cálculos para lajes

MDULO 4 DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIAS EM CONCRETO ARMADO

4.1 Introduo Pgina 1 de 32 Viu-se no mdulo anterior, em Caminho das Aes, que o Elemento Estrutural Bsico de denominao Laje o primeiro a receber as cargas oriundas da utilizao da edificao. Algumas premissas j foram vistas, resta ento partir para o dimensionamento propriamente dito, relativo a estas aes (cargas ou carregamentos), ou seja, a verificao do pr-dimensionamento geomtrico e a determinao da armadura que ser inserida na seo da laje para incorporar-se ao concreto estes juntos (concreto armado) poderem suportar as tenses de flexo ocasionadas pelas cargas verticais. Porm antes, expem-se conceitos j abordados, incorporados a novos (respaldados pela Norma). Ento, pode-se ressaltar que, Lajes so elementos planos, em geral horizontais, com duas dimenses muito maiores (dimenses que delimita a rea do compartimento da edificao) que a terceira, sendo esta denominada espessura. A principal funo das lajes receber os carregamentos atuantes no andar, provenientes do uso da construo (pessoas, mveis e equipamentos), e transferi-los para os apoios. Apresenta-se, neste captulo, o procedimento para o projeto de lajes retangulares macias de concreto armado, apoiadas sobre vigas ou paredes. Nos edifcios usuais, as lajes macias tm grande contribuio no consumo de concreto: aproximadamente 50% do total. A norma (item 14.4.2.1) define placas como sendo elementos de superfcie plana sujeitos principalmente a aes normais a seu plano. As placas de concreto so usualmente denominadas lajes, e a norma estipula que lajes com espessura maior que 1/3 do menor vo devem ser estudadas como placas espessas. As prescries sobre as lajes esto contidas nos itens 13.2.4, 13.2.5.2, 13.3, 14.7, 19 e 20 da NBR-6118/2003. 4.2 Classificao e Tipos de Lajes Na verdade, a classificao est intimamente ligada ao Tipo e a recproca tambm verdadeira, ou seja, na prtica, existem diferentes tipos de lajes que so empregadas nas obras de um modo geral, sendo que podem ser classificadas da seguinte forma: Quanto a sua composio e forma;

Quanto ao tipo de apoio; Quanto ao esquema de clculo. Lajes mistas pr-moldadas; 4.2.1 Quanto a sua composio e forma Lajes mistas moldadas na obra; Lajes macias; Lajes Nervuradas

Pgina 2 de 32 Lajes Contnuas;

4.2.2 Quanto ao Tipo de Apoio Lajes Isoladas; Lajes em balano; Lajes Cogumelo e Lisa Vigote de Concreto Capa de Concreto Bloco Cermico Laje Mista Pr-Moldada Laje Macia Lajes Nervuradas Vazio Vazio Enchimento Fig. 4.1 Lajes quanto a Forma e Composio Laje Laje Isolada Laje Contnua Laje Lisa Laje em Balano Pilar Capitel Laje Cogumelo Fig. 4.2 Lajes quanto ao Tipo de Apoio Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 3 de 32 Lajes Armadas em 1 Direo; 4.2.3 Quanto ao Esquema de Clculo Lajes Armadas em 2 Direes. necessrio, antes da definio destes dois tipos de Lajes, a introduo dos conceitos acerca de vo livre ( o ) e vo terico ( ) de uma laje, pois esta classificao est intimamente ligada relao entre os seus vos. 4.2.3.1 Vo Livre e Vo Terico Vo livre ( o ) a distncia livre entre as faces dos apoios. No caso de balanos, a distncia da extremidade livre at a face do apoio (Fig. 4.3). O vo terico ( ) denominado vo equivalente pela NBR 6118, que o define como a distncia entre os centros dos apoios, no sendo necessrio adotar valores maiores do que: em laje isolada, o vo livre acrescido da espessura da laje no meio do vo; em vo extremo de laje contnua, o vo livre acrescido da metade da dimenso do apoio interno e da metade da espessura da laje no meio do vo.

do apoio Nas lajes em balano, o vo terico o comprimento da extremidade at o centro do apoio, no sendo necessrio considerar valores superiores ao vo livre acrescido da metade da espessura da laje na face Em geral, para facilidade do clculo, usual considerar os vos tericos at os eixos dos apoios (Fig. 4.3). Conhecidos os vos tericos,considera-se x o menor vo, y o maior e = y / x (Fig. 4.4). De acordo com o valor de , usual a seguinte classificao: < 2 laje armada em duas direes; 2 laje armada em uma direo. Fig. 4.3 Vo Livre e Vo Terico o o

Pgina 4 de 32 Nas lajes armadas em duas direes, as duas armaduras so calculadas para resistir os momentos fletores nessas direes, tais momentos fletores sero vistos no item a seguir. As denominadas lajes armadas em uma direo, na realidade, tambm tm armaduras nas duas direes. A armadura principal, na direo do menor vo, calculada para resistir o momento fletor nessa direo, obtido ignorando-se a existncia da outra direo. Portanto, a laje calculada como se fosse um conjunto de vigas-faixa na direo do menor vo. Na direo do maior vo, coloca-se armadura de distribuio, com seo transversal mnima dada pela NBR 6118. Como a armadura principal calculada para resistir totalidade dos esforos, a armadura de distribuio tem o objetivo de solidarizar as faixas de laje da direo principal, prevendo-se, por exemplo, uma eventual concentrao de esforos. 4.3 Vinculao de Bordo de Lajes Na maioria dos processos de clculos usuais, cada painel individual de laje deve apresentar as condies de bordo bem definidas. Os bordos das lajes so: Engastados; Apoiados e; Livres. Onde se utiliza uma representao grfica para os referidos casos.

Fig. 4.4 Vos Tericos - x (menor vo) e y (maior vo) x y x yl Laje L 1 Vigas Apoiado Engastado Livre Laje Viga Fig. 4.5 Tipos de Bordos de Lajes Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 5 de 32 A hiptese de sempre que uma laje estiver ao lado de uma outra, o bordo comum s duas resulte necessariamente em um engaste, isso no regra; como se v a seguir: Relao entre os vos das lajes adjacentes Se ;2Lemengastada1L412l e se .2Lemapoiada1L412 2,5 m bordo engastado h > h1 bw hmin Engaste Parcial Pode ocorrer, por exemplo, uma borda com uma parte engastada e a outra apoiada, como mostrado na Figura 4.8. Um critrio aproximado, possvel para este caso, indicado na tabela a seguir.

4.4 Cargas e Verificao da Flecha 4.4.1 Cargas (ou Carregamentos) em Lajes As cargas atuantes nas lajes so de natureza permanente ( g ) e de natureza acidental ( q ). Os valores dessas so indicadas pela NBR-6120. As cargas de natureza permanente que atuam nas lajes so compostas basicamente por: Peso prprio da laje; Peso da regularizao; Peso do enchimento; Peso do revestimento; Peso dos elementos construtivos fixos; Peso das instalaes permanentes; outras. Para efeitos prticos e satisfazendo os ditames de norma, remete-se a seguir as consideraes j mencionadas anteriormente em Sistemas Estruturais 1, quanto aos carregamentos em Lajes (Mdulo3): Engaste Apoio Fig. 4.8 Caso Especfico de Vinculao llllx lllly1 lllly lllly2 ly1 ly / 3 Considera-se a borda totalmente apoiada Calculam-se os esforos para as duas situaes: Borda totalmente apoiada e totalmente engastada adotar o maior valor no dimensionamento ly1 2. ly / 3 Considera-se a borda totalmente engastada Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 7 de 32 Peso-prprio (p): Este peso, definido como peso-prprio funo do peso especfico do material em questo. : peso especfico do material (kN/m3) concreto armado: 25 kN/m3 Alvenaria (alv): funo do peso/m2 da alvenaria, dependendo se a parede mais ou menos espessa. O peso das paredes de alvenaria de uma obra deve ser considerado sobre os elementos estruturais em que elas se apiam. Estes elementos podem ser vigas, caso mais comum ou lajes (no to comum, porm possvel). O peso/m2 dos principais tipos de alvenaria so os seguintes: alvenaria de cutelo: 0,95 kN/m2 alvenaria de 1 vez: 3,20 kN/m2

argamassa de 1,5 cm entre tijolos, e 1 cm de reboco Os valores de peso/m2 da alvenaria acima foram calculados para tijolo de barro furado com Revestimento (rev): O peso dos revestimentos (prontos, considerando contrapiso/regularizao e acabamento final) de uma obra deve ser considerado sobre aquelas lajes em que eles se apiam. Um valor bsico utilizado como peso de revestimento: rev = 0,50 kN/m2 (carregamento distribudo/m2) O valor acima considerado somente para revestimentos mais comumente utilizados, como por exemplo: taco, tapete, borracha, paviflex, etc. Pgina 8 de 32

Para outros tipos de revestimento devem ser consultadas tabelas especiais ou devem ser feitas consultas ao prprio fabricante. Porm, ressaltando que estamos falando de revestimento, pois a laje em si, j deveria ter sido considerada no seu peso prprio tambm. Cobertura (cob): O peso da cobertura deve ser considerado naquelas lajes em que se apiam algum tipo de cobertura (usados geralmente em residncia), entendo-se por cobertura toda a estrutura (madeira ou metal) que suporta as telhas mais o peso das prprias telhas. O peso da cobertura funo do peso/m2 do telhado. cob = 0,60 kN/m2 1,0 kN/m2 (carregamento distribudo/m2) - onde, 0,60 kN/m2 ( telha de fibrocimento) e 1,0 kN/m2 ( telha de barro ). Carregamentos Acidentais Os carregamentos acidentais, ao contrrio dos permanentes, nem sempre esto presentes em um Sistema Estrutural. H pocas em que eles so atuantes e h pocas em que eles no aparecem. Apesar desta sazonalidade, eles devem ser considerados durante todo o tempo, no podendo nunca ser esquecidos. Sobrecargas: So carregamentos dados em funo da utilizao de determinado compartimento da edificao. Isto quer dizer, para que uso se destina o determinado compartimento da edificao. O efeito da sobrecarga considerado sobre lajes sendo, portanto, um carregamento do tipo distribudo/m2 . Valores a serem considerados: forro (sem acesso ao pblico): sc = 0,50 kN/m2 residncia, escritrio: sc = 1,50 2,0 kN/m2 compartimentos com acesso ao pblico (escolas, restaurantes, etc.): sc = 3,0 kN/m2 compartimentos para baile, ginstica, esporte (teatros, ginsios, clubes, etc.): sc = 4,0 kN/m2 compartimentos para arquivos/bibliotecas/depsitos: sc = funo de cada caso Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 9 de 32 Lajes em Balano Nas lajes em balano, que se destinam a sacadas, alm das cargas permanentes e acidentais citadas at aqui, devem ser considerados os seguintes carregamentos: 4.4.2 Flecha como delimitador Deslocamentos limites (ou flechas) so valores prticos utilizados para verificao em servio do estado limite de deformaes excessivas da estrutura. A norma define quatro grupos bsicos de deformaes. O item 13.3 da norma apresenta valores limites para cada tipo de deslocamento, com comentrios e observaes adicionais. Apresenta-se a seguir um critrio prtico que permite a obteno de lajes relativamente rgidas, ou seja, flechas admissveis; isso em funo de sua altura til (d) d = h c onde altura total da laje ( h ) e recobrimento da armadura ( c ), onde pode-se adotar c = 1,5 cm (interior estrutura convencional), c = 2,0 cm ( exterior estrut. conv. e interior concreto aparente) e c = 2,5 cm ( exterior coc. Aparente). Para lajes retangulares com bordas apoiadas ou engastadas, a altura til d (em cm) pode ser estimada por meio da expresso:

onde: d h c Armadura (ou ferragem)

Fig. 4.9 Altura til ( d ) da Laje

lx ou; *l < 0,7 ly n o nmero de bordas engastadas; *l menor valor entre 1 m Onde: q carga acidental do compartimento que lhe d acesso;

Pgina 10 de 32 Para lajes em balano, pode ser usado o critrio da NBR 6118 : Onde: l = menor vo terico da laje; 2= valor que depende das condies de bordo; 3= valor que depende do ao empregado. 1,70 1,20 1,0 0,50 Valores de ( 2 ) para lajes armadas em 1 direo Valores de ( 2 ) para lajes armadas em 2 direes, onde: L lado maior e l lado menor L L / l l Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


4.5 Determinao dos Esforos nas Lajes

Pgina 1 de 32 Consideram-se aqui: aes (cargas), reaes de apoio (para as vigas ou pilares) e momentos fletores (nos vos, que serviro de referncia para o dimensionamento da armadura). O efeito das aes, ou cargas, j se abordou neste mdulo. Onde, na avaliao do peso prprio, conforme item 8.2.2 da NBR 6118, admite-se o peso especfico de 25 kN/m3 para o concreto armado. As cargas relativas aos revestimentos de piso e da face inferior da laje dependem dos materiais utilizados. Esses valores se encontram. As cargas de paredes apoiadas diretamente na laje podem, em geral, ser admitidas uniformemente distribudas

na laje, antes da determinao dos Momentos abordaremos mais especificamente o efeito de parede sobre laje. Quando forem previstas paredes divisrias, cuja posio no esteja definida no projeto, pode ser admitida, alm dos demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuda por metro quadrado de piso no menor que um tero do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mnimo de 1 kN/m2. 4.5.1 Reaes de Apoio As aes atuantes nas lajes so transferidas para as vigas de apoio. Embora essa transferncia acontea com as lajes em comportamento elstico, o procedimento de clculo proposto pela NBR 6118 baseia-se no comportamento em regime plstico, a partir da posio aproximada das linhas de plastificao, tambm denominadas charneiras plsticas. Este procedimento conhecido como processo das reas. Processo das reas Como j visto anteriormente (tambm no mdulo 3 de Sistemas Estruturais 1) e conforme o item 14.7.6.1 da NBR 6118 , permite-se calcular as reaes de apoio de lajes retangulares sob carregamento uniformemente distribudo considerando-se, para cada apoio, carga correspondente aos tringulos ou trapzios obtidos, traando-se, a partir dos vrtices, na planta da laje, retas inclinadas de: 45 entre dois apoios do mesmo tipo; 60 a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado; 90 a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda vizinha for livre. Este processo encontra-se ilustrado nos exemplos da Figura 4.10. A ttulo de reafirmao de conceitos anteriores e com base nessa figura, as reaes de apoio por unidade de largura sero dadas por: Valores de ( 3 ) Laje macia Ao utilizado Laje Nervurada x y'A.q y'Vx yA.q yVx'A.qx'Vx x V

Pgina 12 de 32 4.5.2 Cargas de Alvenaria nas Lajes Quando existirem paredes que se apiam diretamente sobre as lajes, o seu peso prprio dever ser considerado como sendo uma carga permanente, da seguinte forma: Lajes armadas em 1 direo a) Alvenaria segundo a menor dimenso: A carga da parede ser suposta distribuda uniformemente segundo uma faixa de largura ( b ) e o trecho ser dimensionado como uma viga de largura ( bw ), altura ( h ) e vo terico ( ): q carga total uniformemente distribuda llllx , lllly menor e maior vo terico da laje respectivamente

Vx , Vx reaes de apoio na direo do vo llllx Vy , Vy reaes de apoio na direo do vo lllly Ax, Ax, Ay e Ay reas correspondentes aos apoios considerados V e A sinal referente s bordas engastadas Vx lllly Vx Vy Vx Vy Vy Vx lllly llllx llllx Fig. 4.10 Exemplos de Aplicao do Processo das reas Seo de clculo Parede bw Parede b b = a + h bw a llllx lllly Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 13 de 32 b) Alvenaria segundo a maior dimenso: Lajes armadas em 2 direes Um critrio simplista, porm usual, consiste em considerar que o peso total da parede se distribua uniformemente por sobre toda a laje. 4.5.3 Determinao dos Momentos Fletores

grande maioria dos profissionais da rea de engenharia e arquitetura O clculo das placas por processos exatos extremamente complexo, uma vez que envolve a soluo de uma equao diferencial de quarta ordem. A matemtica nos fornece mtodos como as Diferenas Finitas, os Elementos Finitos, etc. que levam a resultados quase que exatos, porm, mesmo estes mtodos, alm de complexos, de soluo demorada, demandam conhecimentos no dominados pela Os processos de clculo simplificados surgiram em funo da necessidade de se ter um clculo rpido, com um nvel de preciso coerente com a atividade da engenharia, e acessvel aos profissionais. Calculadas segundo a teoria das placas, os mtodos de clculo so divididos em dois grupos: Mtodo Clssico - Teoria da Elasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime

elstico linear, homogneos, istropos bw parede Armadura de distribuio Armadura Principal x y y x 1 m x h Seo de clculo parede

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rgido-plstico - Teoria das charneiras plsticas Mtodo da Ruptura - Teoria da Plasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime 4.5.3.1 Determinao dos Momentos Fletores para Lajes Armadas em 2 direes

dos obtidos atravs da Teoria da Elasticidade O processo de Marcus um processo de clculo simplificado, oriundo do Mtodo Clssico, assimilando a laje uma grelha formada por faixas independentes entre si. Marcus introduziu coeficientes de correo nas expresses dos momentos fletores positivos, de tal forma que seus resultados se aproximassem Pelo Processo de Marcus convencionado que os lados da laje sero denominados " x " e " y ", sendo: x est na direo mais vinculada. Caso ambas as direes sejam igualmente vinculadas: x estar na direo com menor vo.

e a relao entre os lados ser definida como: xyl l= Os momentos fletores positivos e negativos em uma laje so determinados supondo-se uma faixa da laje, de 1,0 m de largura carregada pelo quinho de carga atuante na direo da mesma. O efeito da grelha introduzido no clculo destas vigas fictcias atravs dos coeficientes mx e my (para os Momentos Positivos) e nx e ny (para os Momentos Negativos). Onde: Para:

Antes de se colocar a tabela, necessrio , passar o conhecimento dos tipos de lajes que se referem nessa mesma tabela. Para a Tabela dos Coeficientes de Marcus, ou simplesmente, Tabela de Marcus; os tipos de laje so relacionados conforme a sua vinculao: xnxXxmxM q carga total uniformemente distribuda llllx conforme definio para o Processo de Marcus mx, nx, my e ny Coeficientes tabelados conforme o tipo de laje e a Mx , My Momentos Positivos nas respectivas direes Xx , Xy Momentos Negativos nas respectivas direes relao Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)

MDULO 4 DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIAS EM CONCRETO ARMADO Laje Tipo 1 com todas as bordas simplesmente apoiada Laje Tipo 2 com uma borda engastada

Laje Tipo 3 com duas bordas, adjacentes, engastadas Laje Tipo 4 com duas bordas, opostas, engastadas Laje Tipo 5 com trs bordas engastadas Laje Tipo 6 com todas bordas engastadas

Pgina 15 de 32 Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 5 Tipo 4 Tipo 6 mx my my my my my nx nx nx nx ny ny my ny mx mx mx mx mx nx

Pgina 16 de 32 Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 5 Tipo 4 Tipo 6 mx my my my my my nx nx nx nx ny ny my ny mx mx mx mx mx nx Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 17 de 32 4.5.3.2 Determinao dos Momentos Fletores para Lajes Armadas em 1 direo Quando um painel de laje apresentar a relao de lados maior que dois, de maneira muito simplificada pode-se calcular os esforos apenas na direo do menor vo. Na outra direo (maior vo), coloca-se uma armadura mnima de distribuio recomendada por norma. Lajes Isoladas ou Lajes Contnuas O esquema de determinao dos Momentos (Positivo e/ou Negativo) fica idntico ao das vigas de vo nico, dependendo claro da vinculao (apoio) das bordas. Para a Laje L1, s temos Momento Positivo ( M1 ); j para as Lajes L2 e L3 (seccionadas de uma continuidade de Lajes) existiro: Um Momento Positivo ( M2 ) e um Momento Negativo ( X2 referente ao momento na borda engastada ) e para Laje L2: um Momento Positivo ( M3 ) e 2 Momentos Negativos ( X3 e X3 referente aos momentos nas bordas engastadas ). 4.5.4 Compatibilizao dos Momentos Fletores

H de se observar, que tanto para os momentos positivos como para os negativos, os valores determinados pela Tabela de Marcus (para as lajes armadas em 2 direes armadas em cruz), ou os momentos determinados nos casos de lajes armadas em 1 s direo, devero sofrer uma compatibilizao (ou compensao); pois, como nas vigas contnuas, os momentos de engastamento perfeito dos diversos vos no so os valores definitivos para os apoios. Bem como, os momentos positivos nos vos so calculados (pelo mtodo das sees), em funo dos momentos nos apoios j compensados (processo de Cross). Porm, a compensao dos momentos fletores em lajes, ao contrario das vigas, um processo bastante simplificado, rpido e que fornece resultados razoavelmente prximos dos reais, desde que se observe algumas restries: 1 3 2 y Laje L3 Laje L2 Laje L1

Pgina 18 de 32 a carga permanente deve ser maior que a acidental, carregamento das lajes deve ser simultneo e com carga total, as lajes devem ter rigidez e vos que no difiram muito entre si. Estas restries, para a grande maioria dos casos estruturais surgidos ( ou que surgiro) para anlise na vida profissional de um arquiteto, no ser impeditivo para a utilizao do processo que passaremos a detalhar a seguir. Ao contrario das vigas contnuas, onde ocorre a propagao dos momentos ao longo dos tramos, nas lajes esta propagao no ser considerada. A compensao ser feita uma a uma, independente das demais. Decorre ento, a necessidade do entendimento da existncia de uma diferena de Momentos Negativos em cada apoio e, quando houver a compensao

desses momentos, necessariamente o Momento Negativo compensado ser menor que o maior dos dois momentos. Com isso, tantos nos vos extremos, quanto nos vos internos o Momento final Positivo ser acrescido, pois a curvatura desce: O Processo Simplificado segue o seguinte procedimento: OBS Seguiremos as numeraes do exemplo acima para ficar mais fcil a compreenso Momento Negativo Final (no caso, do apoio entre as lajes 1 e 2; isto claro na direo x): M 2x M 1x M 3x X 3x X 1x x x x 2) x80,0 Onde X ser adotado o maior valor entre X1 e X2 Xc1 Adotar o maior valor entre 1 e 2. Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 19 de 32 Momento Positivo Final (no caso, se demonstrar o procedimento para os Momentos positivos das Lajes 1 e 2, pois diferem na analogia, uma vez que a Laje 1 de extremidade e a Laje 2 Laje intermediria, tambm na direo x):

4.6 Dimensionamento de Lajes Macias de Concreto Armado Conhecidos os momentos fletores caractersticos compatibilizados (Mk Momentos Positivos e Negativos Compatibilizados segundo item anterior ), passa-se determinao das armaduras. Esse dimensionamento feito Flexo (como veremos mais detalhadamente no estudo de vigas), admitindose a largura b = 1m = 100cm. Obtm-se, dessa forma, uma armadura por metro linear.

barras, respectivamente Podem ser utilizadas as tabelas descritas a seguir, sendo a Tabela 4.3 para o clculo das reas necessrias das armaduras e as Tabelas 4.4 e 4.5 para a escolha do dimetro e do espaamento das Inicialmente, determina-se o momento fletor de clculo ( Md ), em kN.cm/m: Md = f . Mk onde, f = 1,4 ( coeficiente de segurana de norma adimensional) Posteriormente, calcula-se o coeficiente Kc conforme: LAJE 1 Xc 1 1x Mc 1

Onde :2 Xc1 Momento Negativocompensado Mc1 Momento Positivocompensado LAJE 1 LAJE 2 LAJE 3 Mc 2 Onde :2 Xc2 Momento Negativocompensado Mc2 Momento Positivocompensado Xc 1 Xc 2

Pgina 20 de 32 dM wcK = onde bw = 100 cm ( largura de calcula para 1,0 m de faixa de laje ) e d = altura til da laje ( em cm ) e Md ( em kN.cm ); Com o coeficiente Kc, e conhecidos a resistncia caracterstica do concreto ( em MPa ) e o tipo de ao ( ferro ) utilizados na obra, determina-se ( atravs da Tabela 4.3) o coeficiente Ks; Com o coeficiente Ks, determina-se ento a rea de armadura ( As em cm2 ), conforme: dMs K Atravs das Tabelas 4.4 e ou 4.5 determina-se o dimetro nominal do ferro e o seu espaamento. 4.6.1 Diretrizes de Norma

4.1 e 4.2 nas quais s = As d ). Onde relaciona s = f ( min ) e min = As min / (bw / (bw . d ) As armaduras devem respeitar os valores mnimos recomendados pela NBR 6118, indicados nas tabelas Calcula-se min para fatores diferentes, usando a equao ou usando a tabela: yd cdf minmin = onde, min taxa mecnica mnima de ferro Devem ser observadas outras prescries da NBR 6118, algumas das quais so mencionadas a seguir: Tabela 4.2 - VALORES DE min Tabela 4.1 - VALORES MNIMOS PARA AS ARMADURAS Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)

MDULO 4 DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIAS EM CONCRETO ARMADO Qualquer barra da armadura de flexo deve ter dimetro no mximo igual a h/8

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o menor desses dois valores na regio dos maiores momentos fletores Espaamento da armadura principal de flexo devem ser igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo O espaamento da armadura secundria de flexo da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaamento entre barras de no mximo 3 cm. TABELA 4.3 Ks = f (Kc)

Pgina 2 de 32 TABELA 4.4 Determinao de Nmero de Ferros e bitola ( ) = f ( As, bw ) Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 23 de 32 TABELA 4.5 Determinao de Nmero de Ferros e bitola ( ) = f ( As) p/ bw =100 cm

Pgina 24 de 32 Dimensionar a rea de armadura (de ferro) positiva e negativa das lajes ( L1, L2 e L3 ) da figura abaixo. Sabe-se que o ferro a ser utilizado CA 50 e o concreto fck = 20 MPa e que, a Laje 3 dever ser rebaixada em 20,0 cm, pois

ser rea destinada a rea de servio. Sabe-se tambm, que o piso de uma edificao residencial e ser revestido com cermica. 1. Determinao das cargas nas lajes. 2. Verificao do tipo de laje quanto ao modo de clculo (armada em 1 ou 2 direes). 3. Determinao do tipo de laje para a utilizao das Tabelas de Marcus. 4. Determinao da relao = y / x. 5. Atravs das tabelas de Marcus (com o tipo de laje e ), determinar os coeficientes mx, my, nx e ny. 6. Calcular os Momentos Positivos e Negativos ( Mx, My, Xx e Xy ). 7. Compatibilizao dos Momentos Fletores 8. Com os momentos, calcular as reas de armadura. SOLUO: 1. Determinao das cargas nas lajes Revestimento ( cermica ) = 0,50 kN/m2 Total ( q = ) = 4,50 kN/m2 Carga Acidental ( uso residencial ) = 1,50 kN/m2 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 25 de 32 2. Verificao do tipo de laje quanto ao modo de clculo (armada em 1 ou 2 direes) Laje 1 Independentemente da vinculao da Laje 1 com as Lajes 2 e 3, pela definio, para determinarmos , leva-se em considerao que lx o menor lado e ly o maior lado. J a anlise de para o uso na Tabela de Marcus,

pode diferir o valor, isso decorrente do estabelecimento de lx, que no necessariamente o menor vo. Laje 1 Armada em 2 direes Laje 2 Da mesma forma que na Laje 1, independentemente da vinculao da Laje 2 com as Lajes 1 e 3, pois, para o clculo de , leva-se em considerao que lx o menor lado e ly o maior lado. Laje 3 Para o clculo de , leva-se em considerao que lx o menor lado e ly o maior lado. 3. Determinao do tipo de laje para a utilizao das Tabelas de Marcus Laje 1 A Laje 1 tem trs bordos simplesmente apoiados, pois so lados que no h lajes adjacentes a eles. Existe somente um bordo (ou lado) a ser analisado, ou seja, o lado que separa a Laje 1 da Laje2 ( ly1 ) e da Laje 3 ( ly2 ). L1xx

Pgina 26 de 32 Laje1/Laje2 ( bordo ly1 ) l1 = 3,0 m e l2 = 2,0 m estabelecem uma relao ( l1 / l2 ) < 4 e, se no h restrio alguma de rebaixo, logo ly1 est engastado. Laje1/Laje3 ( bordo ly2 ) l1 = 3,0 m e l3 = 4,50 m estabelecem uma relao ( l3 / l1 ) < 4; porm h a indicao de que a Laje 3 tem rebaixo de 20 cm ( h = 20 cm ); para a verificao de engaste ou no, deve-se alm de comparar-se h (espessura da Laje 1) com h, tambm averiguar se l ou < 2,50 m, onde l ( = 3,0 m ) o menor valor entre l1 e l3. como ( bordo ly2 ) bordo engastado Como ly1 e ly2 so engastados, logo o bordo ly totalmente engastado para a Laje L1. importante observar que, se ly2 no fosse engastado, dever-se-ia analisar a relao ly1 / ly, verificando se < 1/3 (apoiado), ou se 2/3 (engastado).

A relao ly1 / ly = 3,50 / 5,50 < 2/3 e > 1/3. Neste caso, dever-se-ia finalmente, adotar os maiores valores de Reaes de Apoio e de Momentos (Positivos e Negativos) verificando-se para ambos os casos (apoiado e engastado). Com tudo isso, a Laje 1 TIPO 2. Laje 2 A Laje 2 tem dois bordos simplesmente apoiados, pois so lados que no h lajes adjacentes a eles. Existem somente dois bordos (ou lados) a serem analisados, ou seja, o lado que separa a Laje 2 da Laje1 e da Laje 3. Laje2/Laje1 l2 = 3,50 m, para a Laje 2, no precisa de nenhuma outra anlise (alm daquelas feitas para a Laje 1), pois est engastado. Ou seja, na sua totalidade existe outra laje adjacente. Laje2/Laje3 l2 = 3,50 m e l3 = 2,0 m estabelecem uma relao ( l3 / l1 ) < 4; porm h a indicao de que a Laje 3 tem rebaixo de 20 cm ( h = 20 cm ); para a verificao de engaste ou no, deve-se alm de comparar-se h (espessura da Laje 2) com h, tambm averiguar se l ou < 2,50 m, onde l ( = 2,0 m ) o menor valor entre l2 e l3. como ( bordo L1/L3 ) bordo apoiado xy Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 27 de 32 Com tudo isso, a Laje 2 TIPO 2.

A Laje 3 como j visto, armada em 1 direo; logo, no h a necessidade de anlise dos bordos nas direes que no sejam quela de clculo. Na direo de clculo, existe uma borda (parcial) com uma laje adjacente (no caso a Laje 2), porm, j tambm visto, no h engaste e sim apoio. E mesmo que houvesse engaste, dever-se-ia ainda, analisar a extenso desse engaste, em relao com a totalidade do lado. Para ento, determinar se (ou no) o lado todo engastado. Com tudo isso, a Laje 3 Armada em 1 direo ( com apoios articulados e vo de 2,0 m llllx = 4. Determinao da relao = y / x. Laje 2 TIPO 2, e = ly / lx = 3,5 / 2,0 = 1,750 Laje 3 Armada em 1 direo ( no calculado o Momento com o auxlio das Tabelas de Marcus ) 5. Atravs das tabelas de Marcus (com o tipo de laje e ), determinar os coeficientes mx, my, nx e ny. Obs: o valor de my foi interpolado, para se determinar 76,6, uma vez que os valores so tabelados para variando de 1,82 para 1,84. Obs: o valor de my foi interpolado, para se determinar 71,5, uma vez que os valores so tabelados para variando de 1,74 para 1,76. 6. Calcular os Momentos Positivos e Negativos ( Mx, My, Xx e Xy ). Laje 1 llllx = 3,0 m mx = 17 , my = 76,6 e nx = 8 onde: xnxXxmxM Mx = 2,38 kN.m / m Mx = 238 kN.cm / m Xx = - 5,06 kN.m / m Xx = - 506 kN.cm / m ( sinal negativo somente indica armadura

Pgina 28 de 32 superior ) x n x X x m x M Mx = 1,05 kN.m / m Mx = 105 kN.cm / m My = 0,251 kN.m / m My = 25,1 kN.cm / m Xx = - 2,25 kN.m / m Xx = - 225 kN.cm / m ( sinal negativo somente indica armadura

superior ) Laje 3 llllx = 2,0 m q = 4,5 kN/m2 ( armada em 1 direo e bi-articulada) m/m.kN25,2 xMl Mx = 2,25 kN.m / m Mx = 225 kN.cm / m 7. Compatibilizao dos Momentos Fletores Antes de se compatibilizar os Momentos Positivos e Negativos, deve-se fazer um resumo destes Momentos:

Laje 1 Laje 2

My = 52,9 kN.cm / m My = 25,1 kN.cm / m

Laje 3

My = 0,0 kN.cm / m

Mx = 225 kN.cm / m ( armada em 1 direo ) Xx = 0,0 kN.cm / m ( L3/L2 L3 rebaixada ) Xy = 0,0 kN.cm / m ( L3/L1 armada em 1 direo e na direo x ) Logo, a compatibilizao dos Momentos dever ser feita a partir dos Momentos Negativos referentes ao(s) bordo(s) que separa(m) L1 das Lajes L2 e L3. LAJE 1 Fica caracterizado que para a Laje L1 adota-se Laje Externa (Vo Externo):

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Pgina 29 de 32 Primeiramente faz-se a anlise do(s) Momento(s) Negativo(s), referente ao(s) bordo(s) de ligao das Lajes L1/L2 e L1/L3. Logo, tambm para o bordo Laje 1 / Laje 3 Xc1= 404,8 kN.cm/m Xc1= 404,8 kN.cm/m (ao longo de todo que separa Laje 1 com as Lajes 2 e 3) O Momento Positivo na direo x dever tambm ser compatibilizado ( Mxc1 ), onde: Fica caracterizado que para a Laje L2, tambm se adota Laje Externa (Vo Externo), como esta laje liga Laje L1 e somente Laje L1; logo, a compatibilizao do Momento Negativo para esta laje o mesmo valor da Laje L1. Xc2= 404,8 kN.cm/m (ao longo de todo que separa Laje 2 com as Lajes 1) O Momento Positivo na direo x dever tambm ser compatibilizado ( Mxc2 ), onde: Mxc2 Como se trata de Laje armada em 1 direo e, no ter o bordo engastado na direo de clculo, isso implica em no haver a necessidade de compatibilizao do momento positivo, pois no h momento negativo nos bordos. Mxc3 = Mx3

8. Com os momentos, calcular as reas de armadura. Com o intuito de parmetros de norma quanto a Armadura Mnima, deve-se ento estabelecer As min e este valor determinado atravs da frmula min = As min / (bw

d ), onde encontrado na Tabela

4.2 e, pode-se ento confrontar as situaes de comparao de min com s, determinado respectivamente As min e As .

Pgina 30 de 32 Para concreto fck = 20 MPa e ao CA 50 min = 0,15 % As min = min . (bw d ), onde pela Tabela 5.5 min = 0,15% E segundo recomendao de norma (tabela 4.4), para Armadura Positiva de Lajes armadas em 2 direes, s ( A s ) 0,67 min ( As min ) , ento, no exemplo: A s para Lajes armadas em 1 direo, a armadura principal: s ( A s ) min ( As min ), mesma condio para Armadura Negativa. Para a Armadura Secundria (ou de Distribuio) em Lajes Armadas em 1 direo: s ( A s ) 20% da Armadura Principal, ou s ( A s ) 0,50 min ( As min ), ou ainda, s ( A s ) 0,90 cm2/m, o que for maior.

Na verdade, estabeleceu-se uma referncia para todas as Trs Lajes (pois os fatores: fck e tipo de ao so os mesmos para as trs Lajes) Md = f . Mk Md dM dM sKx = s A e como Asx > 0,86 cm2/m, ento OK ! Direo y Myc1 = My1 Md = f . Mk Md dM dM sKy = s A e como Asy < 0,86 cm2/m, ento Asy assume o valor Borda entre as Lajes L1/L2 e L1/L3 Xc1 = 404,8 kN.cm/m Md = f . Mk Md dM Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimares (MIRO) SISTEMAS ESTRUTURAIS I (AU 026)


Pgina 31 de 32 dM sKx = s A e como Asx > 1,28 cm2/m, ento OK ! Md = f . Mk Md dM dM sKx = s A e como Asx < 0,86 cm2/m, ento Asx assume o Direo y Myc2 = My2 Md = f . Mk Md dM dM sKy = s A e como Asy < 0,86 cm2/m, ento Asy assume o valor Armadura Positiva : Direo x ( Laje armada em 1 s direo ) Mx3 = 225,0 kN.cm/m Md = f . Mk Md dM

Pgina 32 de 32 dM sKx = s A e como Asx < 1,28 cm2/m, ento Asx assume o valor de 1,28 cm2/m Asx = 1,28 cm2/m Direo y ( Armadura Secundria As d )

Como a Armadura Principal = As min = 1,28 cm2/m, ento o maior valor entre as trs consideraes: s ( A s ) 20% da Armadura Principal, s ( A s ) 0,50 min ( As min ), e ainda, s ( A s ) 0,90

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