cam7_pr_menu2_u5

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

1/38

112

Ficha n.o1 Pgina 112 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA

1. Opo (A). a nica figura que uma sequncia de segmentos de reta (lados), tal que pares de

lados consecutivos partilham um extremo, lados que se intersetam no so colineares e no h mais

do que dois lados a partilhar um extremo. Nas opes (B) e (D) h um extremo partilhado por trs

lados e na opo (C) h uma linha curva.

2. Opo (C). a nica que representa uma linha poligonal fechada simples. Na opo (A) est

representada uma linha poligonal fechada mas no simples. Na opo (B) no est sequer

representada uma linha poligonal, pois existe um extremo partilhado por trs lados. Na opo (D) est

representada uma linha poligonal aberta.

3. Opo (C). Na opo (A) no est sequer representada uma linha poligonal, pois existem dois

extremos partilhados por trs lados. Nas opes (B) e (D) esto representadas as fronteiras de

polgonos convexos, pois qualquer segmento de reta que une dois pontos destes polgonos est

contido neles. De facto, a linha poligonal da opo (C) a fronteira de um polgono cncavo, visto

existirem segmentos de reta que unem dois pontos do polgono e que intersetam o seu exterior.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

2/38

113

Ficha n.o1 Pgina 113

4.1. a) Linhas 3, 4, 5, 6 e 8

b) Linhas 1, 3, 4, 5, 7 e 8

4.2. As extremidades so Ae E.

4.3. a) A linha poligonal 3 representa a fronteira de um polgono, uma vez que se trata de uma linha

poligonal fechada simples.

b) Os vrtices so F, G, H, Ie J.

c) Os lados so os segmentos de reta [FG], [GH], [HI], [IJ] e [JF].

d) Por exemplo, [GH] e [HI] so dois lados consecutivos.

e) Por exemplo, [GH] e [JF] so dois lados no consecutivos.

4.4. Linhas 3, 4, 5 e 8.

4.5. a) Linhas 5 e 8

b) Linhas 3 e 4

5.1. a) Por exemplo: b) Por exemplo:

c) Por exemplo: d) Por exemplo:

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

3/38

114


5.1. e) Por exemplo: f) Por exemplo:

6.1. Trata-se de um quadriltero simples uma vez que a unio de uma linha poligonal fechada simples

(com quatro lados) com a sua respetiva parte interna.

6.2. [AB]

6.3. [AB] e [CD]

6.4. [AC] e [BD]

7. a) 0 diagonais

b) 2 diagonais

c) 5 diagonais, como se pode verificar no exemplo abaixo.

d) 9 diagonais, como se pode verificar no exemplo abaixo.

8. Se um polgono tem n lados, ento tambm tem nvrtices. Para formar uma diagonal, cada vrtice

une-se a um vrtice no consecutivo, podendo ento unir-se com 3n vrtices distintos (j que

no se pode unir consigo mesmo nem com os dois vrtices que lhe so consecutivos). Assim,

teramos ( )3n n diagonais. Contudo, cada diagonal est a ser contabilizada duas vezes, uma em

cada um dos vrtices que a definem. Temos, portanto, um total de( )3

2

n ndiagonais.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

4/38

115


9. O nmero de diagonais de um heptgono ( )7 7 3 7 4 28

142 2 2

= = = .

O nmero de diagonais de um enegono

( )9 9 3 9 6 54

272 2 2

= = = .

10.1. F. Por exemplo, o pentgono tem 5 diagonais e 5 um nmero mpar.

10.2. F. Uma linha poligonal pode ter apenas 2 lados. Por exemplo:

10.3. F. Uma linha poligonal fechada com nlados tem nvrtices.

10.4. V. Por exemplo:

10.5. F. Um polgono a unio de uma linha poligonal simples e fechada com a sua respetiva parte interna.

10.6. V, por definio de polgono.

11. A linha poligonal que satisfaz as quatro propriedades linha 3.

A linha poligonal 1 no satisfaz a propriedade I., pois trata-se de uma linha poligonal aberta. Tambm

no satisfaz a propriedade IV., porque nem sequer a fronteira de um polgono.

A linha poligonal 2 no satisfaz a propriedade II., pois existem pontos comuns a dois lados que no

so vrtices, o que faz com que a linha no seja simples. Tambm no satisfaz a propriedade IV.,

pela mesma razo referida para a linha 1.

A linha poligonal 4 no satisfaz a propriedade IV., visto que se trata da fronteira de um polgonoconvexo, pois qualquer segmento de reta que une dois pontos do polgono est contido no polgono.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

5/38

116


1. Opo (B). 90 38 128DCB = + =

2. Opo (D). 180 112 68 =

3. Opo (A). ( )360 70 110 132 360 312 48x = + + = =

4.1. F. A soma das medidas das amplitudes dos ngulos externos de um tringulo 360.

4.2. V.

4.3. F. Um ngulo externo de um polgono um ngulo suplementar (pois a soma 180) e adjacente a

um ngulo interno desse polgono.

4.4. F. Se o referido polgono existisse, ento o seu nmero de lados seria soluo da equao

( )180 2 1480n = .

( )1840

180 2 1480 180 360 1480 180 1480 360 180 1840180

n n n n n = = = + = =

Como ( )1840

10, 2180

= no representa um nmero natural, conclui-se que o polgono no existe.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

6/38

117


5.1.

5.2. As diagonais traadas decompem o hexgono [ABCDEF] em 4 tringulos. Como a soma das

medidas das amplitudes dos ngulos internos de qualquer tringulo 180, ento a soma das

medidas das amplitudes dos ngulos internos do hexgono 180 4 720 = = = = .

6.1. ( )180 7 2 180 5 900 = =

6.2. ( )180 9 2 180 7 1260 = =

7. ( )3600

180 2 3240 180 360 3240 180 3240 360 180 3600 20180

n n n n n n = = = + = = =

Assim, o polgono tem 20 lados.

8.( )180 8 2 180 6

135

8 8

= =

180 135 45 =

Assim, cada ngulo interno de um octgono regular tem 135 de amplitude e cada ngulo externo tem

45.

9.1. 180 150 30 =

9.2. Como a soma das amplitudes dos ngulos externos de um polgono 360, ento o nmero de lados

do polgono ser dado por360

12

30

= . Trata-se, portanto, de um dodecgono.

10. Se cada ngulo interno tem 120 de amplitude, ento cada ngulo externo ter 60, pois

180 120 60 = . O nmero de lados do polgono dado por360

660

= , tratando-se, por isso, de um

hexgono. O nmero de diagonais do hexgono dado por( )6 6 3 6 3

92 2

= = , por aplicao da

frmula do exerccio 8 da ficha n. 1deste tema.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

7/38

118


1. Sim, o objetivo poder ter sido o referido pelo Andr. Os quadrilteros D, E e H so, de entre as

figuras apresentadas, os trapzios no paralelogramos, pois tm dois lados opostos paralelos, sendo

os dois restantes lados no paralelos.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

8/38

119


2.1. B, C, E, F, H, I, Je L 2.2. B, E, F, Ie L

2.3. C, He J 2.4. B, Ie L

2.5. F, Ie L 2.6. Ie L

2.7. G 2.8. J(ou H)

3.1. V. Para ser um trapzio, bastava que tivesse um par de lados paralelos, mas se tem os dois pares de

lados paralelos, continua a ser um trapzio.

3.2. F. Para ser um paralelogramo no basta ter dois lados paralelos; tem de ter os lados paralelos dois a

dois.

3.3. F. Por exemplo, o trapzio Hdo exerccio 2 desta ficha no um paralelogramo.

3.4. V.

3.5. V. Os quadrados tm os ngulos retos, por isso so retngulos.

3.6. F. Por exemplo, o retngulo Fdo exerccio 2 desta ficha no um quadrado, pois no tem os lados

todos iguais.

3.7. V. Por exemplo, o losango Bdo exerccio 2 desta ficha no um quadrado.

4.1. Para que [ABLM] seja um quadrado, sendo Le Mpontos do 2. quadrante, as coordenadas de Le de

Mtero de ser ( )8, 1 e ( )10, 3 respetivamente, como se pode verificar na figura abaixo.

4.2. O ponto Nter coordenadas ( )4, 2 , como se pode verificar na figura apresentada em 4.1.

4.3. O ponto Pter coordenadas ( )3, 2 , como se pode verificar na figura apresentada em 4.1..

4.4. O ponto Qpoder ter coordenadas( )1, 3 ,

( )2, 3 ou

( )4, 3 , por exemplo.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

9/38

120


1. Opo (C). Num paralelogramo, os ngulos internos adjacentes ao mesmo lado so suplementares,

isto , a soma das medidas das suas amplitudes 180.

2.

3.

Relatrio:

1.: Traar um segmento de reta [AB], com 5 cm de comprimento.

2.: Traar uma semirreta com origem em Ae que faa com ABi

um ngulo com 110 de amplitude.

3.: Marcar, na semirreta traada anteriormente, um ponto Dque diste 3,5 cm de A.

4.: Traar uma reta paralela a ABpor De uma reta paralela a ADpor B, que se intersetam num

ponto (C).

5.: Traar o polgono [ABCD].

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

10/38

121


4. 3,8 2 1,8 cmEC AC AE = = =

Assim, AE EC , logo as diagonais do quadriltero no se bissetam, por isso no se trata de um

paralelogramo.

5. 123XYZ = , pois os ngulos opostos de um paralelogramo tm a mesma amplitude.

180 123 57T XY YZT= = = , uma vez que, num paralelogramo, os ngulos adjacentes ao mesmo

lado so suplementares, ou seja, as medidas das suas amplitudes somam 180.

6. Considerando que CBA x = , ento 27

BAD x = . Como a soma das medidas das amplitudes de dois

ngulos adjacentes ao mesmo lado 180, ento2

180

7

x x+ = .

2 7 2 1260 1260180 9 1260 140

7 7 7 7 9x x x x x x x + = + = = = =

Assim, 140CBA ADC= = e 180 140 40BAD DCB= = = .

7.

O ponto Ctem coordenadas ( )5, 1 .

A rea do paralelogramo [ABCD] igual soma das reas dos tringulos [ABC] e [ADC], ambos com

a mesma rea.

7 12 7

2A

= =

Assim, o paralelogramo [ABCD] tem 7 unidades quadradas.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

11/38

122


1. Opo (A).

2.1.

2.2. Papagaio (porque tem dois pares de lados consecutivos iguais).

2.3. Paralelogramo, trapzio, papagaio e losango

3.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

12/38

123


4.

5.1.

5.2.

5.3.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

13/38

124


1. Losango [ABCD]

2 2 3,6 dm 7,2 dm 72 cmDB EB = = = =

240 72 1440 cm2 2AC DBA

= = =

Trapzio [FGHI]

( ) 213 7 8 20 8 80 cm2 2

A+

= = =

Papagaio [JLMN]

24 4 8 m2 2

NL MJA

= = =

2. Opo (A). O segmento de reta [BD] uma das diagonais do papagaio. Sendo BD x=

, ento6

16,22x

= .

6 16,216,2 3 16,2 5,4 cm

2 3x

x x x= = = =

3. Opo (B). A rea do losango 29 8 72

36 m2 2

= = . Se um quadrado equivalente a este losango,

ento tem a mesma rea. Assim, o lado do quadrado ter 6 m de comprimento, pois 36 6= .

4. 4AC = ;4

10 10 2 10 52 2

AC BD BD BD BD

= = = =

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

14/38

125


5.1. O trapzio [ABCD] um trapzio issceles.

5.2. 5 cmCD AB = = ; ( )30 5 7 5 30 17 13 cmAD = + + = =

A rea do trapzio , ento, 213 7

4 10 4 40 cm2 2

AD BCBF

+ + = = =

5.3.13 7 6

3 cm2 2

AF ED

= = = =

Os tringulos [ABF] e [CDE] so retngulos (pois apresentam um ngulo reto) e escalenos (pois as

medidas dos comprimentos dos seus lados so todas diferentes).

5.4. O tringulo a que se refere o enunciado tem 20 cm de base, uma vez que 13 7 20+ = . Se a sua altura

4 cm, ento a rea 220 4 40 cm2

= ,o que mostra que este tringulo equivalente ao trapzio

[ABCD], pois apresentam a mesma rea.

5.5. Seja xo comprimento da diagonal maior do papagaio. Se este equivalente ao trapzio da figura,

ento apresenta a mesma rea. Assim,4

40 2 40 202x

x x= = = . Conclui-se, ento, que a

diagonal maior do papagaio tem 20 cm de comprimento.

6.1. F. A rea do trapzio calculada usando a frmula 2B b

h+

e no 2B b

h+

+ .

6.2. V.

6.3. V. Se o trapzio e o papagaio tm a mesma rea, ento2 2

D d B b h

+= , o que equivalente a ter

( )

2 2

B b hD d + = , que por sua vez equivalente a ter ( )D d B b h = + , ou seja,

( )D d h B b = + .

6.4. V. Se a rea do trapzio x unidades quadradas e as suas bases somam x unidades de

comprimento, ento a sua altura h tal que2x

h x = .

22 2

2 2 2x xh x

h x xh x h = = = =

6.5. F. Se o losango tem 225 cm de rea e uma das suas diagonais mede 5 cm, ento, representando a

outra diagonal por d, tem-se que5

25 5 50 10

2

dd d= = = . Assim, a outra diagonal tem 10 cm

de comprimento.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

15/38

126


7.1. As diagonais de um papagaio so sempre perpendiculares. Neste caso, as diagonais do papagaio

so os segmentos de reta [AC] e [BD]. Como r perpendicular a [AC] e Bpertence a r, ento o ponto

Dter de pertencer a r, para que [AC] e [BD] sejam perpendiculares.

7.2. Dtem coordenadas ( )2, 1 , como se pode verificar na figura abaixo.

7.3. A rea do losango 4 2

42

= unidades quadradas. Assim, a rea do papagaio [ABCE] ser 6

unidades quadradas, pois 4 2 6+ = . O ponto E ter, ento, coordenadas ( )2, 3 , pois assim o

papagaio ter uma diagonal com 2 unidades de comprimento e outra com 6 unidades, sendo,

portanto, a sua rea dada por2 6

6

2

= unidades quadradas.

8. Seja DC x= . Se a rea do trapzio 254 cm , ento:

10 60 6 246 54 54 30 3 54 3 24 8

2 2 3x x

x x x x + +

= = + = = = =

Assim, 8 cmDC = .

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

16/38

127


9. Seja NP x= . Assim,3,6 7,56

7,56 1,8 7,56 4,22 1,8

xx x x= = = = .

10.1.4 120

30 24 m5 5

DC = = =

30 24 5418 m

3 3 3AB DC

CE + +

= = = =

A rea do trapzio , ento, 230 24 54

18 18 27 18 486 m2 2+

= = =

10.2. 25% de 2486 m equivale a 20,25 486 121,5 m =

O custo da plantao de tlipas ficar por 1215 , pois 121,5 10 1215 = .

Assim, no possvel encomendar o servio ao horto PlantAses, pois o custo superior ao dinheiro

disponibilizado pela cmara.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

17/38

128


1. Opo (D). Os dois tringulos referidos nesta opo so congruentes, uma vez que possvel

estabelecer entre os respetivos vrtices uma correspondncia de um para um de tal modo que pares

de vrtices correspondentes so equidistantes.

2.1.

Os dois quadrilteros so figuras isomtricas, uma vez que pares de pontos correspondentes esto

mesma distncia.

2.2. Qualquer reflexo uma isometria, pois dados dois pontos Ae B, e as respetivas imagens Ae Bpor

essa reflexo, os comprimentos dos segmentos de reta [AB] e [AB] so sempre iguais.

3. 1. par de tringulos

Os dois tringulos so iguais pelo critrio LLL de igualdade de tringulos, pois os seus lados

apresentam os mesmos comprimentos.

2. par de tringulos

Os dois tringulos so iguais pelo critrio LAL de igualdade de tringulos, pois apresentam um ngulo

com a mesma amplitude e dos lados adjacentes a esse ngulo com o mesmo comprimento.

3. par de tringulos

( )180 110 30 180 140 40 + = =

Os dois tringulos no so iguais, visto que o segundo tem um ngulo com 50 de amplitude, mas o

primeiro no tem nenhum ngulo com essa amplitude.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

18/38

129


4.1. Uma infinidade.

4.2. A medida do comprimento de um dos seus lados.

5. Os ngulos ECDe BCAtm a mesma amplitude, uma vez que so verticalmente opostos. Os ngulos

ABCe DECtm a mesma amplitude, j que so ngulos alternos internos, pois AB// ED. Alm disso,

EC CB= . Assim, os tringulos [CDE] e [ABC] so iguais pelo critrio ALA de igualdade de tringulos.

6. AC CB= . O lado [CM] comum aos dois tringulos. Como o ponto M o ponto mdio de [AB], ento

AM MB = . Assim, os tringulos [ACM] e [MCB] so iguais pelo critrio LLL de igualdade de

tringulos.

7. Os tringulos [ABC] e [CDB] tm em comum o lado [BC] e o ngulo DBC. Alm disso, o comprimentodo lado [AC] do tringulo [ABC] igual ao do lado [CD] do tringulo [CDB]. No entanto, os tringulos

no so iguais, uma vez que apesar de terem dois lados iguais e um ngulo de igual amplitude, este

no o ngulo formado pelos referidos lados, no podendo ser aplicado o critrio LAL de igualdade

de tringulos.

8. Considere-se o paralelogramo [ABCD] e a sua diagonal [AC].

Os lados opostos de qualquer paralelogramo so iguais, logo AB DC= e BC AD = . O lado [AC]

comum aos dois tringulos, [ABC] e [ACD]. Assim, estes dois tringulos so iguais pelo critrio LLL de

igualdade de tringulos.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

19/38

130


1. Os pares de figuras semelhantes so I, III e V.

2. Opo (B). Os quadrilteros Ae Bno so semelhantes, pois de Apara B, uma das dimenses do

paralelogramo mantm-se constante e a outra duplica o seu comprimento.

3.1. F. Por exemplo, as figuras apresentadas em I no exerccio 1 desta ficha tm a mesma forma, mas

no so iguais, pois tm dimenses distintas.

3.2. F. Por exemplo, os retngulos apresentados na situao IV do exerccio 1 desta ficha tm o mesmo

nmero de lados, contudo no so semelhantes.

3.3. V. Se duas figuras so isomtricas, ento so semelhantes com razo de semelhana igual a 1.

3.4. V. Duas figuras so semelhantes se tiverem a mesma forma, logo dois quadrados so sempresemelhantes.

3.5. V. Por exemplo, os tringulos da situao II do exerccio 1desta ficha no so semelhantes, pois os

comprimentos dos seus lados no so diretamente proporcionais.

3.6. V. Pelo mesmo raciocnio apresentado em 3.4., dois crculos so sempre semelhantes.

3.7. V. Para que um polgono sofra uma ampliao, a medida do comprimento dos seus lados ter de ser

multiplicada por um nmero superior a 1.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

20/38

131


4.

5.1.AD DC AC

EH HG EG = = , porque

15 54

3,75 1,25= = .

5.2. Os papagaios so semelhantes, porque as medidas dos comprimentos dos seus lados sodiretamente proporcionais.

5.3. A razo de semelhana da reduo 14

3,75 115 4

HG

DC

= =

.

6.1.2,4 2,4 10 24

46 10 6 6

xx x x

= = = =

Logo, 4 cmx = .

6.2.9,5 9,5 4 38

54 7,6 7,6 7,6x

x x x

= = = =

Logo, 5 cmx = .

7. Se o permetro de um crculo 4 cm , ento o seu raio 2 cm, pois 2 2 2 4P r= = = . Assim, o

raio de um crculo construdo com razo de semelhana23

ser2 4

2 cm3 3

= .

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

21/38

132


1. Opo (A). Esta igualdade vem da aplicao do Teorema de Tales.

2. Opo (B). Pelo Teorema de Tales, sabe-se queAC AB

AE AD

= , ou seja,

3 4 9 412

9 3AD AD

AD

= = = .

Assim, 12 4 8 cmBD= = .

3. Diviso de [LM] em trs partes iguais

1. passo:traar uma semirreta com origem em L, que no contenha [LM].

2. passo: marcar na semirreta traada no passo anterior trs pontos, de tal modo que pontos

consecutivos sejam equidistantes (contando com L).3. passo: unir P(o ltimo dos pontos a que se refere o passo anterior) a M.

4. passo: traar segmentos de reta paralelos ao traado no 3. passo, passando pelos pontos

referidos no 2, passo.

Diviso de [PQ] em cinco partes iguaisO procedimento anlogo ao usado para dividir [LM] em trs partes iguais.

4. Se r // AC, ento, pelo Teorema de Tales,AB CB

MB DB = . Como M o ponto mdio de [AB], ento

2AB

MB= , logo tambm 2

CB

DB= , isto , 2CB DB = . Assim, conclui-se que BD DC= , ou seja, D o

ponto mdio de [BC].

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

22/38

133


5. Procedimento:

1. passo: traar uma semirreta com origem

em A, que no contenha [AB].

2. passo: marcar na semirreta traada no

passo anterior sete pontos, de tal modo que

pontos consecutivos sejam equidistantes

(contando com A). Seja Po quinto desses pontos e Qo stimo.

3. passo:traar [PB].

4. passo:traar um segmento de reta paralelo a [PB] por Q, que interseta ABem C.

6. Se

2

5

AC

BC = , ento tem que se dividir o

segmento de reta [AB] em sete partes

iguais.

7.1. 4,8 3,2 8 cmAE = + =

AE BE

CE DE = , logo

8 8 3,66

4,8 3,6 4,8BE

BE BE

= = =

Assim, 6 3,6 2,4 cmx BD= = =

7.2.EC CD

EA AB = , logo

8 6 9 812

9 6EA EA

EA

= = =

Assim, 12 8 4 cmx AC= = =

7.3.EB AB

ED CD = , logo

16 16 712,4 dm

7 9 9x

x x

= =

7.4. EB AB ED CD

= , logo 6,4 5 2,8 5 2,2 m2,8 6,4

x xx

= =

8. Como h duas retas paralelas, possvel aplicar o Teorema de Tales.

Assim,110 3050

x

x

+= , sendo x AB= . Numa proporo, o produto dos meios igual ao produto dos

extremos, logo:

( )1500

50 30 110 1500 50 110 50 110 1500 60 1500 2560

x x x x x x x x x + = + = = = = =

Conclui-se, ento, que o Joo tem de andar 25 m.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

23/38

134


1.1.16 4

44 1

= =

Assim, os dois tringulos so semelhantes pelo critrio LAL de semelhana de tringulos, uma vez

que apresentam dois lados com medidas diretamente proporcionais e o ngulo por eles formado comigual amplitude (90).

1.2.18 16 28

3,25,625 5 8,75

= = =

Assim, os dois tringulos so semelhantes pelo critrio LLL de semelhana de tringulos, pois as

medidas dos trs lados de um so diretamente proporcionais s medidas dos lados do outro.

1.3. Cada um dos lados iguais do tringulo maior mede 6 cm, pois19,2 7,2

6

2

= .

Cada um dos lados iguais do tringulo menor mede 5 cm, pois16 6

52

= .

7,2 61,2

6 5= =

Assim, os dois tringulos so semelhantes pelo critrio LLL de semelhana de tringulos, pois as

medidas dos trs lados de um so diretamente proporcionais s medidas dos trs lados do outro.

1.4. ( )180 90 42 48 + =

Os dois tringulos no so semelhantes, uma vez que o tringulo mais pequeno tem um ngulo com58 de amplitude e o maior no tem nenhum ngulo com esta amplitude.

2. Opo (D).

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

24/38

135


3. O ngulo CABdo tringulo [ABC] igual ao ngulo CDEdo tringulo [CDE]. Alm disso, o ngulo

BCA do tringulo [ABC] igual ao ngulo ECD do tringulo [CDE]. Assim, os dois tringulos so

semelhantes pelo critrio AA de semelhana de tringulos. A razo de semelhana da ampliao que

transforma o tringulo [CDE] no tringulo [ABC] 85

, sendo58

a razo de semelhana da

correspondente reduo. Como os tringulos so semelhantes, ento os comprimentos dos seus

lados so diretamente proporcionais.

Assim,BC AB AC

CE DE CD = = . O valor de CE, ento 6,25 cm, uma vez que

10 56,25

8CE

= = .

4. Opo (A). ( )180 95 47 38 + = , logo os tringulos no tm os mesmos ngulos internos e, por

isso, no so semelhantes.

5.1. O ngulo DCB comum aos dois tringulos. Alm disso, os ngulos CBDe CAEso iguais, uma vez

que AE// BD. Assim, os tringulos [ACE] e [BCD] so semelhantes pelo critrio AA de semelhana de

tringulos.

5.2. A razo de semelhana da ampliao 8,4 5,6 14 140 5

8,4 8,4 84 3+

= = = .

5.3.5 30

6 10 cm

3 3

x = = =

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

25/38

136


6. Os tringulos [DCE] e [CBA] so semelhantes pelo critrio AA de semelhana de tringulos

( DCE BCA= , pois so ngulos verticalmente opostos, e EDC ABC= , pois so ngulos alternos

internos, em virtude de ABe DEserem retas paralelas).

Assim,10 8 8 25

2025 10

AB AB AB

= = =

Como 20 m superior a 14 m, conclui-se que no possvel construir a referida ponte.

7. No concordo com nenhuma das respostas dadas pela Rita. Na questo 1, a resposta deveria ser:

o critrio AA, pois os dois tringulos a que se refere a questo tm um ngulo em comum (o ngulo

CED) e DCE BAE= pelo facto de CD ser paralela a AB. Na questo 2, a resposta deveria ser

120 4080

x

x

+

= , pois, segundo o Teorema de Tales,AB AE

CD CE = e 40AE x= + .

8. 2,3 3,2 5,5 mPT = + = e 3 4 7 mQT = + =

5,51,71875

3,2 = e

71,75

4 =

Se [PQ] e [RS] fossem paralelos, ento, pelo Teorema de Tales, ter-se-ia que verificar a igualdade

PT QT

RT ST = , contudo esta no se verifica, pelos clculos apresentados acima. Assim, conclui-se que

[PQ] e [RS] no so paralelos.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

26/38

137


9.1. Os tringulos [ABC] e [EDC] so semelhantes pelo critrio AA, uma vez que partilham o ngulo BCA

e, alm disso, EDC ABC= .

9.2. Se a razo de semelhana que transforma o tringulo [ABC] no tringulo [EDC] 38

, ento a razo

da semelhana que transforma [EDC] em [ABC] o seu inverso, ou seja,83

. Assim,8 32

43 3

AB = = .

O comprimento da circunferncia ser, ento,32 32

33,5 cm3 3

d

= = .

10. Se a pirmide quadrangular regular, ento a sua base quadrada. Sendo 231,36 cm a rea da

base, ento a medida do lado da base 5,6 cm, pois 31,36 5,6= .

Na figura ao lado, A o vrtice da pirmide original, Do centro da sua base, Eo ponto mdio de umaaresta da sua base, B o centro da base da pirmide mais pequena que resultou do corte na

pirmide maior e C o ponto mdio de uma aresta da base desta pirmide mais pequena. Os

tringulos [ADE] e [ABC] so semelhantes pelo critrio AA, pois partilham o ngulo DAE e, alm

disso, 90CBA EDA= = . Segundo os dados do enunciado, 6 cmAB = , 10 cmAD = e

5,62,8 cm

2DE = = . Como

AD DE

AB BC = , ento

10 2,8 2,8 61,68

6 10BC BC

BC

= = = . Assim, a altura

da pirmide mais pequena mede 6cm e o seu lado da base 3,36 cm, pois 1,68 2 3,36 = .

11. Os dois tringulos representados na figura so semelhantes pelo critrio AA (partilham um ngulo de

vrtice Fe ambos tm um ngulo reto).

Assim, representando por x a altura da torre,60 48 108 108 40

9040 48 40 48 48x x

x x+

= = = = .

Conclui-se, ento, que a torre tem 90 m de altura.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

27/38

138


1. A opo correta a (A), uma vez que2

'5

OC OC = .

2.1. F. A ampliao que transforma Cem Dtem razo 2.

2.2. V. Trata-se da homotetia que transforma Dem B.

2.3. V. So todas semelhantes, uma vez que resultam umas das outras por homotetias de centro O.

2.4. V. As figuras Ae D, para alm de semelhantes, tm as mesmas dimenses, logo so isomtricas.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

28/38

139


3.

4.

5.1. 5.3.

A rea do tringulo [DEF] dada por

8 28

2


5.2. A rea do trapzio [ABBA] dada por4 2 6

1 1 32 2+

= = unidades quadradas.

A rea do tringulo [DEF] dada por8 2

82


7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

29/38

140


1.1. A opo correta a (B), visto que a razo entre os permetros de duas figuras semelhantes igual

respetiva razo de semelhana.

1.2. A opo correta a (C), uma vez que a razo das reas de duas figuras semelhantes igual aoquadrado da respetiva razo de semelhana.

2.1. A razo da semelhana que transforma o quadriltero [EFGH] no quadriltero [IJKL] 32

, pois

32

OL OH = . Assim, o permetro do quadriltero [IJKL] 3 25,2

8,4 12,6 cm2 2

= = .

2.2. A razo da semelhana que transforma o quadriltero [EFGH] no quadriltero [ABCD] 12

, pois

12

OD OH = . Assim, a rea do quadriltero [ABCD] 2

21 16,8 6,8 1,7 cm2 4

= =

.

3. O permetro do polgono B 5 78

15,6 19,5 cm4 4

= = . A rea do polgono B

225 25 45018 18 28,125 cm

4 16 16

= = =

.

4.1. O permetro de Y

3 60

20 7,5 dm8 8 = =

.

4.2. Se a razo da semelhana que transforma X em Y 38

, ento a razo da semelhana que

transforma Yem X83

. A rea de X, ento,2

28 64 1209,618,9 18,9 134,4 dm3 9 9

= = =

.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

30/38

141


5.1. Se 6,25 a razo entre as reas de A e de B, ento A uma ampliao de B com razo

56,25 2,5

2= = . Assim, a razo da semelhana que transforma Aem Bser o inverso desta, isto ,

25

, pois trata-se de uma reduo.

5.2. A altura da figura B2

52 20,8 mm5

= .

6. Se 2OF OA= , ento o pentgono [FGHIJ] a imagem do pentgono [ABCDE] por uma homotetia de

razo 2. Assim, a rea do pentgono [FGHIJ] ser 2 225,6 2 25,6 4 102,4 cm = = . Alm disso,

2 2 4 8 cmFG AB = = = , logo a rea do quadrado [FGKL] 28 8 64 cm = . Assim, a rea do

hexgono [FJIHGKL] dada por 2102,4 64 38,4 cm = .

7. Se o tringulo [CPQ] equivalente ao trapzio [ABQP], ento tm a mesma rea, logo o tringulo

[ABC] tem o dobro da rea do tringulo [CPQ]. Assim, a razo entre a rea do tringulo [ABC] e a do

tringulo [CPQ] 2, logo a razo da semelhana que transforma o tringulo [CPQ] no tringulo [ABC]

2 , sendo1

2a razo da reduo que transforma o segundo no primeiro. Assim,

1 1 66 4,24 cm

2 2 2PQ AB PQ PQ PQ = = = .

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

31/38

142


1.1. A opo correta a (A), pois5

2,52

= .

1.2. A opo correta a (B), pois 2 0,54

= .

2. A opo correta a (C), pois [EC] e [CB] so, respetivamente, um cateto e a hipotenusa de um

tringulo retngulo issceles (o tringulo [BEC]).

3.1. 2 2180 2 3 5b = =

3.2. ( )22 2 2 4 4 22 3 5 2 3 5b = =

3.3. 2 4 4 2 5 4 22 2 3 5 2 2 3 5b = =

3.4. Seja qual for o nmero natural a, na decomposio em fatores primos do nmero 2a , o nmero primo

2, se constar dessa decomposio, tem expoente par, logo 2a no poder ser igual a 22b , j que na

decomposio de 22b em fatores primos, o nmero primo 2 tem expoente mpar (5).

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

32/38

143


4. Etapa 1:Sejam quais forem os nmeros naturais ae b, nas decomposies em fatores primos dos

nmeros 2a e 2b figuram nmeros primos com expoentes pares, pois os expoentes das

decomposies em fatores primos de ae de bso multiplicados por 2.

Etapa 2:Na decomposio em fatores primos de 2b , o fator 2 ter expoente par (eventualmente

expoente nulo se o fator 2 no fizer parte da decomposio). Ao multiplicar 2b por 2, o expoente do

fator 2 fica mpar, pois ao multiplicar duas potncias de base 2, mantm-se a base e somam-se os

expoentes. Ora, a soma de um nmero par com um nmero mpar um nmero mpar.

Etapa 3:Assim, se na decomposio em fatores primos de 2a o fator 2 tem expoente par e em 22b

esse expoente mpar, ento 2 22a b , concluindo-se ento o pretendido.

5.1. [ ] [ ]AD BC , logo 90CDA ADC= = . Alm disso, CBA ACB= , pois num tringulo issceles, a lados

iguais opem-se ngulos iguais. Consequentemente, BAD DAC= , pois se dois tringulos tm, de um

para o outro, dois ngulos iguais, o terceiro ngulo ser tambm igual. Para alm disso, o lado [ AD]

comum aos tringulos [ABD] e [ADC], logo estes tringulos so iguais pelo critrio ALA de igualdade

de tringulos.

180 90 452

CBA ACB

= = = . Os dois referidos tringulos so retngulos, porque apresentam um

ngulo reto e so issceles, pois ( )180 90 45 45DAC BAD= = + = , logo tm dois ngulos com a

mesma amplitude (45) e, consequentemente, tm dois lados iguais, logo so issceles.

5.2. Os trs tringulos so semelhantes, pois todos apresentam um ngulo reto e dois ngulos com 45 de

amplitude, logo aplica-se o critrio AA de semelhana de tringulos.

5.3. Como os tringulos [ABD] e [ABC] so semelhantes, entoAB BD

BC AB = . Se BC a= ,

6 26

a

a= , o que

equivalente a ter 2 72a = (pois2

2 26 6 36 2 36 722 2a a

a a a = = = = ). A decomposio

dente nmero em fatores primos 3 2

2 3

, sendo 3 o expoente do fator 2. Conclui-se ento que anopode ser um nmero natural. Assim, os segmentos de reta [BC] e [AB] so incomensurveis.

6. No tringulo [ABC], [BC] e [AB] so segmentos de reta comensurveis, pois54

CB AB = , sendo54

um

nmero racional. Se um tringulo [ABC] semelhante a [ABC] com razo de semelhana r, ento

' 'A B r AB = e ' 'C B rCB = . Como54

CB AB = , ento54

rCB r AB = , pelo princpio da multiplicao

das equaes, ou seja,5

' ' ' '4

C B A B = e, portanto, [CB] e [AB] so segmentos de reta

comensurveis. Analogamente se procederia com o outro cateto.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

33/38

144

Teste n.o1 Pgina 144 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA

1. Opo (C). Esta linha a nica, de entre as opes, em que os nicos pontos comuns a dois lados

so vrtices.

2. Opo (D). Esta afirmao falsa, uma vez que o hexgono regular tem 6 lados e 9 diagonais e 9no o dobro de 6.

3. Como [AB] // [DC], se [BC] tambm fosse paralelo a [AD], ento [ABDC] seria um paralelogramo.

Contudo, num paralelogramo os ngulos internos consecutivos so suplementares, o que no se

verifica neste caso, pois 53 129 182 180+ = . Conclui-se, ento, que [BC] e [AD] no so

paralelos.

4. Se todas as peas representassem polgonos regulares, teramos um quadrado, um hexgono regular

e um octgono regular, cujos ngulos internos tm 90, 120 e 135 de amplitude, respetivamente,

pois 360 :4 90= ,( )180 6 2

1206

= e

( )180 8 2135

8

= . Ora, 90 120 135 345 360+ + = ,

logo as trs peas no se conseguiriam juntar como na figura. Assim, nem todas representam

polgonos regulares, ou seja, pelo menos uma das peas no representa um polgono regular.

5. A afirmao falsa. H losangos que tm os lados todos iguais e no so quadrados; basta que no

tenham os ngulos retos.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

34/38

145

Teste n.o1 Pgina 145

6.1. Se [EBFC] um paralelogramo, ento [BF] // [EC], logo [BF] // [AC] e, portanto, [ABFC] um trapzio,

j que tem dois lados paralelos. Alm disso, lados opostos de um paralelogramo so iguais, logo

EC BF = . As diagonais do paralelogramo [ABCD] bissetam-se, logo AE EC = . Assim sendo,

2 2AC EC BF = = , de onde se conclui que uma das bases do trapzio tem o dobro do comprimento

da outra.

6.2. AE EC = , logo os tringulos [ABE] e [BCE] tm bases com o mesmo comprimento. A altura destes

dois tringulos coincide pois , em ambos, igual distncia de B reta AC. Assim, se os dois

tringulos tm a mesma altura e bases com o mesmo comprimento, tm a mesma rea, j que a rea

de um tringulo dada por2

base altura. Conclui-se, portanto, que so tringulos equivalentes.

6.3. A rea de [ABFC] o triplo da rea do tringulo [ABE], pois os tringulos [ABE], [EBC] e [CBF] so

equivalentes. Assim, a rea do tringulo [ABE] 26 cm , pois18

63

= . A rea do paralelogramo

[ABCD] o qudruplo da do tringulo [ABE], ou seja, 24 6 24 cm = .

7.1.

Relatrio da construo:

1.: Traar [AC].

2.: Traar a mediatriz de [AC], ou seja, uma reta perpendicular a [AC] e que passa no seu ponto

mdio. A mediatriz de [AC] interseta rem Be [AC] em M.

3.: Marcar D, na mediatriz de [AC], tal que MB MD= .

4.: Traar o losango [ABCD].

7.2. As propriedades do losango em que se baseou a construo foram:

As diagonais de um losango so perpendiculares.

As diagonais de um losango (em geral, de um paralelogramo) bissetam-se.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

35/38

146


8.3

8 6 cm4

BD = =

A rea do papagaio [ABCD] 28 6

24 cm2

= . A rea do trapzio [EFGH] ser, ento,

21 1 31 24 1 24 24 36 cm2 2 2

= + = =

.

Assim,( )11,6 8, 4 20 36

36 36 10 36 3,62 2 10

h hh h h

+ = = = = = , ou seja, a altura do

trapzio mede 3,6 cm.

9.1. Se DF// EBe DE// FB, ento [DEBF] um paralelogramo. Num paralelogramo os lados opostos so

iguais, logo DF EB = e DE FB = .

9.2. FDC EAD= , pois DF// AE, e ADE DCF= , pois DE// CB. Alm disso, AD DC= , pois D o ponto

mdio de [AC]. Assim, os tringulos [ADE] e [DCF] so iguais pelo critrio ALA de igualdade de

tringulos.

9.3. Sendo os tringulos [ADE] e [DCF] iguais, ento DF AE = , pois em tringulos iguais, a ngulos

iguais opem-se lados iguais. Como DF EB = e DF AE = , ento tambm AE EB = , logo E o

ponto mdio de [AB]. Analogamente se mostraria que F o ponto mdio de [BC].

10.1.

10.2.

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

36/38

147


11.1.32

11.2. 12

11.3. 5

11.4.14

12.1. Os tringulos [ABC] e [EBD] so semelhantes pelo critrio AA de semelhana de tringulos, pois

ambos tm um ngulo reto e o ngulo EBD comum aos dois tringulos.

12.2. Se 3AB EB = , ento a razo da semelhana que transforma o tringulo [EBD] no tringulo [ABC] 3.

Assim, a rea do tringulo [EBD] 2

21 150,4 50,4 5,6 m3 9

= =

.

13. Opo (C).

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

37/38

148


1. Opo (A). Segundo este termo geral, o segundo termo da sequncia 2 4 6+ = e o terceiro termo

3 4 7+ = . A diferena entre os terceiro e segundo termos um cubo perfeito, pois 37 6 1 1 = = .

2. Opo (D).21 1

0,(1)3 9

= =

. Assim,

213

representa uma dzima infinita peridica de perodo 1.

3.1. O lado do pedao de papel mede 14 cm, pois 196 14= .

145,6

2,5 = e

144

3,5 = , logo as diagonais do losango medem 4 cm e 5,6 cm.

3.2. A rea do losango 211,2 cm , pois5,6 4

11,2

2

= .

4. ( )12

g x x b = +

Como ( )2, 3 pertence ao grfico de g, ento1

3 2 3 1 3 1 42

b b b b = + = + + = = , logo

( )1

42

g x x= + .

( ) ( ) ( )1

2 2 4 1 4 5 22

g f = + = + = =

( ) ( )1 1 8 7

1 1 4 12 2 2 2

g f= + = + =

( ) ( )1 7 8 1

7 7 4 72 2 2 2

g f= + = + =

( ) ( )1

4 4 4 2 4 2 42

g f= + = + = =

Assim, o conjunto-soluo da equao ( ) ( )f x g x = { }2, 4S = .

5. Seja xo nmero de bolas vermelhas existentes no saco. Ento, o nmero de bolas azuis ser 28 x .

Assim, ( )1 1 1 28 1 2 84 3 72

28 12 12 2 84 3 723 2 3 2 2 6 6 6 6

x x x x x x x x + = + = + = + =

72 84 12 12x x x = = =

Assim, existem no saco 12 bolas vermelhas e 16 azuis (pois 28 12 16 = ).

7/26/2019 cam7_pr_menu2_u5

38/38


6.1. Como [ABPC] sempre um quadriltero simples, ento Pnunca coincide com Cnem poder estar

localizado esquerda de C. Alm disso, como r // s, ento [CP] // [AB], logo [ABPC] tem dois lados

opostos paralelos sendo, portanto, um trapzio.

6.2. a) ( ) ( )5 3 15 3 3 15

2 2 2 2

x xf x x

+ += = = +

b) f uma funo afim, pois a soma de uma funo linear (de coeficiente da varivel32

) com uma

funo constante (igual a152

). O coeficiente da varivel de f32

e o termo independente 152

.

c) ( )3 15 9 15 24

3 3 122 2 2 2 2f = + = + = =

( )3 15 12 15 27

4 4 13,52 2 2 2 2

f = + = + = =

( )3 15 15 15 30

5 5 152 2 2 2 2

f = + = + = =

7. Os tringulos [ABD] e [CBE] so semelhantes pelo critrio AA de semelhana de tringulos. Assim,

7 14 4 72 cm

4 14AD AB

CE CE CE CB CE

= = = = .

A rea do tringulo [CBE] 24 2 4 cm2

= . A rea do trapzio [ACED] :

( ) 27 2 10 9 10 45 cm2 2

+ = =

Assim, a razo entre a rea do trapzio [ACED] e a do tringulo [CBE] 45

11,254

= .

cam7_pr_menu2_u5

Documents

Transcript of cam7_pr_menu2_u5