Escoamentos externos viscosos: camada limite

Introduo O escoamento considerado externo quando se estuda os efeitos causados sobre um corpo totalmente envolvido pelo escoamento de um fluido. Em um estudo de um escoamento externo, em geral, procura-se obter as foras de arrasto e sustentao produzidas pelo escoamento sobre o corpo. Essas foras se devem aos efeitos da viscosidade e aos efeitos de presso. A fora de arrasto atua na direo do escoamento e a fora de sustentao atua na direo normal ao escoamento.

As foras que atuam sobre corpos imersos em um fluido que apresenta movimento so resultado da interao entre o corpo e o fluido. - Em algumas ocasies o fluido ao longe do corpo est estacionrio e o corpo se move atravs do fluido com uma velocidade U (ex. carro, avio). - Em outras, o corpo est estacionrio e o fluido passa por ele com uma velocidade U (ex. vento sobre um prdio). - Em ambos os casos, o sistema de coordenadas pode ser fixado no corpo e tratar como se o fluido estivesse escoando em torno do corpo estacionrio com velocidade ao longe U. O estudo de escoamentos externos (ao redor de corpos imersos) pode ser tratado como dois escoamentos distintos: - ao longe do corpo slido, onde o escoamento no afetado pelos efeitos da viscosidade, podendo ser tratado com inviscido; - prximo parede slida e na esteira, onde os efeitos da viscosidade so dominantes.

Os efeitos do cisalhamento (tenso produzida pela viscosidade) esto presentes em uma regio prxima ao corpo slido, onde um gradiente de velocidades estabelecido desde a velocidade do corpo at o valor da velocidade do escoamento ao longe. camada limite A espessura da camada limite definida como o lugar geomtrico dos pontos em que a velocidade u paralela ao corpo slido atinge 99% da velocidade externa U. O conceito de camada-limite foi introduzido por Ludwig Prandtl em 1904. Antes disso, o estudo de escoamento era dividido na hidrodinmica terica, que tratava os fluidos como invscidos - de acordo com essa abordagem o escoamento no era capaz de produzir esforos sobre os corpos. E a hidrulica, criada pelos engenheiros, baseada em dados experimentais que era capaz de prever os esforos de cisalhamento. Essa divergncia nos resultados era conhecida como paradoxo de dAlembert. Existem duas abordagens para a obteno das informaes sobre as foras causadas pelo escoamento sobre o corpo imerso. - tcnicas tericas: analticas e numricas - tcnicas experimentais.

Camada limite A gerao de camada limite est diretamente relacionada ao Nmero de Reynolds, que um grupo adimensional que relaciona os efeitos de inrcia com os efeitos viscosos presentes no escoamento.

=

O escoamento sobre uma placa plana aguda de comprimento L com nmeros de Reynolds baixos (entre 1 e 103) produzem uma regio viscosa ampla que se estende a montante e para os lados do corpo. O corpo retarda a corrente de aproximao e pequenas variaes do escoamento causam grandes mudanas na distribuio de presses. Para esses casos a justaposio de um escoamento invscido ao longe e uma camada limite prxima ao corpo no resultam em solues adequadas. Esses escoamentos so, geralmente, estudados experimentalmente ou por modelagem numrica computacional.

Para nmeros de Reynolds mais elevados (Re > 103) as camadas limites so muito delgadas: - o seu efeito de deslocamento sobre a camada no viscosa externa desprezvel; - a distribuio de presses ao longo da placa pode ser calculada usando a teoria no viscosa, como se a camada limite no estivesse presente.

De acordo com a soluo de Blasius (1908), as solues das equaes para camada limite resultam em: - Para regime laminar ( 103 < Rx < 10

6)

5,0

1

2

- Para regime turbulento (106 < Rex)

0,16

1

7

Onde Rx o Reynolds local.

Alguns resultados:

Rx 104 105 106 107 108

(/x)lam 0,050 0,016 0,005

(/x)turb 0,022 0,016 0,011

Para corpos rombudos, como o escoamento sobre um cilindro, h outros efeitos envolvidos. O escoamento no viscoso prev o escoamento da figura (a), contudo isso no o que acontece. O escoamento real dado pela figura (b). A camada limite delgada no lado de montante, onde a presso decresce ao longo da superfcie (gradiente de presso favorvel). A partir da posio diametral, inicia o aumento da presso (gradiente de presso adverso) que em um determinado momento provoca um colapso na camada limite, causando a separao e produzindo uma esteira pulsante. O escoamento principal defletido por essa esteira, de modo que o escoamento externo muito diferente daquele previsto pela teoria no viscosa.

Gerao de camada-limite

Diversos fenmenos ocorrem em um escoamento externo sobre um corpo. O escoamento da corrente livre divide-se no ponto de estagnao e circunda o corpo. O fluido em contato com a superfcie adquire a velocidade do corpo como resultado da condio de no deslizamento. Camadas-limite formam-se tanto na superfcie superior como na superfcie inferior do corpo.

O escoamento na camada-limite inicialmente laminar. A certa distncia do ponto de estagnao ocorre o incio da transio para escoamento turbulento. Essa distncia depende, entre outras coisas, das condies do escoamento livre (ao longe), da rugosidade da superfcie e do gradiente de presso. A camada-limite turbulenta se desenvolve mais rapidamente do que a camada-limite laminar.

As linhas de corrente do escoamento externo sofrem um leve deslocamento devido ao engrossamento das camadas limites. Uma regio onde a presso crescente denominada de gradiente de presso adverso, pois ele se ope ao movimento do fluido, tendendo a desacelerar as partculas fluidas. Esse gradiente pode ser o responsvel por uma separao da camada limite (descolamento). Nesse caso, o fluido que estava nas camadas-limite sobre a superfcie do corpo forma uma esteira viscosa atrs dos pontos de separao.

Caractersticas da camada limite A borda da camada limite, definido como espessura (x), no claramente definida no escoamento real. Considera-se, arbitrariamente, como o conjunto de pontos nos quais a velocidade igual a 99% da velocidade da corrente livre. Como a camada limite muito delgada, a presso na camada limite considerada como a presso p(x) na parede, como previsto pela soluo do escoamento no-viscoso.

Em um escoamento sobre uma placa plana, a camada-limite comea como um escoamento laminar de espessura zero na borda frontal. Aps uma distncia x que depende da velocidade e do nvel de flutuao da corrente livre, da viscosidade, do gradiente de presso, da rugosidade e da rigidez da

parede, o escoamento laminar passa por um processo de transio e, aps, em um escoamento turbulento. Esse processo de transio ocorre quando:

- =

3 103 para escoamento sobre placas rugosas ou com alta intensidade de flutuao

da corrente livre;

- =

5 105 para escoamento sobre placas rgidas lisas com baixa intensidade de flutuao

na corrente livre. Exemplo: Para o ar na condio padro, com velocidade de corrente livre U = 30 m/s, isso corresponde a x = 0,24 m.

A espessura da camada-limite turbulenta aumenta muito mais rapidamente que a da camada laminar. Ela tambm apresenta um cisalhamento na parede substancialmente maior.

O processo de transio envolve instabilidade do campo de escoamento. Pequenas perturbaes impostas sobre a camada limite, como vibraes na placa, rugosidade da superfcie, pulsaes no escoamento principal aumentam ou diminuem a instabilidade dependendo do lugar onde a perturbao for introduzida: - Se a perturbao ocorre em Rex < Rec so amortecidas fazendo com que a camada limite retorne ao regime laminar - Se a perturbao ocorre em Rex > Rec iro crescer transformando o escoamento em regime turbulento.

A mudana do escoamento laminar para turbulento tambm provoca uma mudana na forma do perfil mdio de velocidades.

Efeito de Gradientes de Presso Uma placa plana infinita tem um gradiente de presso nulo: as partculas fluidas tm suas velocidades reduzidas por tenses de cisalhamento apenas, resultando no crescimento da camada limite. Sobre corpos com formas diferentes da placa plana, um gradiente de presso no nulo gerado nos escoamentos. Um gradiente de presso favorvel aquele no qual a presso diminui no sentido do escoamento ( < 0). Ele chamado de favorvel porque tende a agir contra a reduo da velocidade das partculas fluidas na camada limite. Esse gradiente de presso aparece quando a velocidade da corrente livre U est aumentando com x. Por exemplo, o escoamento sobre a parte esquerda da esfera. Um gradiente adverso de presso aquele no qual a presso cresce no sentido do escoamento ( > 0). Ele provoca uma reduo da velocidade das partculas fluidas a uma taxa maior do que aquela devido ao atrito na camada limite. O gradiente adverso pode levar as partculas ao repouso ou at mesmo a uma velocidade contrria ao escoamento principal. Nesse caso, ocorre o fenmeno chamado separao do escoamento. Isso resulta em uma esteira turbulenta a jusante. Como por exemplo na parte direita da esfera.

Efeito do gradiente de presso sobre os perfis de camada limite. (PI = ponto de inflexo) - (White)

Escoamento ao redor de um cilindro circular. (White) (a) separao laminar; (b) separao turbulenta; (c) distribuio de presso terica e real sobre a superfcie do cilindro.

Provocar que a camada limite, inicialmente laminar, chegue a turbulenta o mais rpido possvel, uma forma de aumentar a quantidade de movimento no escoamento fazendo com que o escoamento resista mais ao gradiente adverso de presso e o descolamento ocorra mais tarde. Isso reduz o arrasto do escoamento. Exemplo da esfera abaixo e bola de golfe.

Equaes de camada limite Considerando um escoamento bidimensional, permanente em um espao x-y. As equaes que regem qualquer escoamento nestas condies so:

+

= 0 (1)

(

+

) =

+ (

2

2+

2

2) (2)

(

+

) =

+ (

2

2+

2

2) (3)

- Os termos de gravidade podem ser desprezados, pois esse termo s importante em escoamentos em que o empuxo do fluido importante. - Como a camada limite muito fina para nmeros de Reynolds elevados, pode-se afirmar que:

Aplicando em (3), resulta

(

) + (

) =

+ (

2

2) + (

2

2)

pequeno pequeno muito peq. pequeno assim:

0

ou () a presso varia ao longo da camada limite e no atravs dela.

Para a equao (2): Como a espessura da camada limite pequena, a presso pode ser conhecida a partir do escoamento externo atravs da Equao de Bernoulli:

+

2

2+ =

Diferenciando em relao a x:

1

+

2

2

+

= 0

resulta:

=

Alm disso, pelas hipteses para camada limite delgada:

2

2

2

2

Portanto, as equaes para camada limite ficam:

+

= 0 (1)

+

1

+ (

2

2) (2)

A equao (2a) pode tambm ser escrita como:

+

+

1

(2)

onde:

=

=

As equaes devem ser resolvidas para: u(x,y) e v(x,y), sendo U(x) uma funo conhecida. As condies de contorno so: y = 0 u = v = 0 y = (x) u = U(x)

Solues para escoamento em camada limite: 1) Escoamento laminar: soluo analtica - Blasius 2) Soluo usando equao integral de Von Karman

0 =

( )

0

2.1) Escoamento laminar (perfil parablico) 2.2) Escoamento turbulento (perfil de lei de potncia)

ARRASTO E SUSTENTAO A interao que ocorre na interface fluido-corpo pode ser descrita por foras que ocorrem em funo

da tenso de cisalhamento na parede , provocada pelos efeitos visocosos e da tenso normal devida a presso p. A fora de arrasto (drag) atua na direo do escoamento e a fora de sustentao (lift) atua na direo normal ao escoamento. Essas foras podem ser obtidas pela integrao das tenses de cisalhamento e normais ao corpo que est sendo considerado. A figura mostra distribuies tpicas de presso e tenso de cisalhamento sobre um aeroflio.

As foras de arrasto e sustentao so calculadas como:

= = cos +

= = sen +

Normalmente muito difcil obter as distribuies de presso e tenso de cisalhamento, seja analtica, numrica ou experimentalmente. Grande parte dos escoamentos no dispe de solues analticas e, portanto, as distribuies de presso e tenso de cisalhamento no so conhecidas. Uma soluo alternativa definir coeficientes adimensionais de arrasto e sustentao e determinar seus valores aproximados atravs de uma anlise simplificada, tcnica numrica ou experimental. O coeficiente de sustentao CL e o coeficiente de arrasto CD so definidos como:

=

1

22

=

1

22

onde: A a rea caracterstica do objeto, em geral a rea frontal do corpo imerso. a massa especfica do fluido U a velocidade relativa fluido/corpo ao longe Exemplo de coeficiente de sustentao CL e coeficiente de arrasto CD.

DESPRENDIMENTO DE VRTICES Objetos rombudos, como cilindros circulares, exibem um fenmeno particularmente interessante, quando colocados na direo normal a um escoamento de fluido. Vrtices ou turbilhes so desprendidos do objeto de forma regular e alternada entre os lados opostos. O escoamento resultante conhecido por esteira de vrtices ou esteira de Von Krmn (em homenagem a Theodor Von Krmm 1881-1963)

Para escoamentos com nmeros de Reynolds altos, ou seja, onde as foras viscosas so menos atuantes, a freqncia de desprendimento f, em hertz, depende somente da velocidade e de uma

dimenso transversal caracterstica (dimetro. p. ex.). Essa freqncia, normalmente expressa como uma quantidade adimensional na forma do nmero de Strouhal:

=

A partir de dados experimentais, observa-se que o nmero de Strouhal praticamente constante de 300 < Re < 105. As oscilaes na esteira provocam oscilaes no campo de presso que devem ser levadas em conta na anlise dos esforos sobre as estruturas. Alm disso, as oscilaes no campo de presso provocam deformaes nos corpos que podem afetar o escoamento. Quando as oscilaes causadas pelos vrtices atuam em freqncias prximas a freqncia natural da estrutura, pode haver acoplamento conduzindo ao fenmeno da ressonncia.

MASSA ADICIONADA Quando um corpo acelera em um meio fluido, no somente o corpo acelerado, mas tambm uma parte do fluido ao seu redor. A acelerao do fluido que envolve o corpo exige uma fora adicional acima da fora necessria para acelerar somente o corpo. Uma forma simples de levar em conta a massa de fluido acelerada adicionar uma massa, chamada massa adicionada (ma) massa do corpo. Somando as foras na direo do movimento, para um corpo simtrico movendo-se horizontalmente na direo de seu eixo de simetria temos:

= ( + )

onde: Vc a velocidade do corpo FA a fora de arrasto

A massa adicionada est relacionada com a massa deslocada de fluido mf pelo corpo atravs da equao:

=

onde: k coeficiente de massa adicionada que caracterstica da forma do corpo. mf calculada a partir do volume do fluido deslocado. - para uma esfera k= 0,5, - para um elipside com o eixo maior com o dobro do comprimento do eixo menor e movendo-se na direo do eixo maior, k= 0,2. - para um cilindro longo movendo-se na direo normal ao seu eixo, k = 1,0 Observao: - Corpos que aceleram na atmosfera a massa adicionada muito pequena e normalmente ignorada. - Corpos que aceleram em lquidos so mais influenciadas pela massa adicionada e, normalmente, deve ser levada em conta. - Estruturas em alto-mar, sujeitas aos movimentos de oscilao das ondas, experimentam foras peridicas cuja determinao deve incluir o efeito da massa adicionada.