Camada Limite

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia

Departamento de Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Fluidos – DEM 0252

Docente: João Alves de Lima

CAMADA–LIMITE

Discentes: Airton Santos Araújo de Souza Édipo Solano de Medeiros

Junho de 2012 Natal, RN

INTRODUÇÃO

O conceito de camada–limite foi estabelecido originalmente em 1904 por Ludwig Prandtl, um alemão estudioso da aerodinâmica. Antes da contribuição de Prandtl, a mecânica dos fluidos se desenvolvera em duas ramificações distintas: a hidrodinâmica teórica e a hidráulica. A primeira se desenvolveu a partir das equações de Euler (publicadas por Leonhard Euler em 1755 ) para o movimento de um fluido não–viscoso. Porém, como os resultados teóricos não condiziam com muitas observações experimentais, engenheiros desenvolveram seus próprios métodos empíricos da hidráulica, baseados em dados experimentais que eram significativamente diferentes da abordagem puramente matemática da hidrodinâmica teórica.

INTRODUÇÃO (cont.)

Apesar de as equações que descrevem o movimento de um fluido viscoso (as equações de Navier–Stokes) serem conhecidas antes de Prandtl, as dificuldades matemáticas para solucioná-las faziam com que uma análise teórica dos escoamentos viscosos fosse impraticável. Prandtl demonstrou que muitos escamentos viscosos podem ser avaliados dividindo o escoamento em duas regiões: uma bem pequena perto das fronteiras sólidas (região delimitada pela camada–limite, onde os efeitos viscosos são importantes) e outra no restante do escoamento (onde os efeitos viscosos são desprezíveis). A partir do conceito da camada-limite, houve a solução de problemas de escoamentos viscosos, que seria impossível pela aplicação das equações de Navier–Stokes ao campo completo de escoamento, marcando assim o início da era moderna da mecânica dos fluidos.

CONCEITO DE CAMADA–LIMITE

Pela Figura 01 vemos que a camada–limite é uma região do escoamento onde o atrito é significante, e nela a velocidade aumenta rapidamente de zero (na superfície sólida) até o valor previsto pela teoria do escoamento invíscido (sobre a borda externa da camada–limite). Nessa região, tanto as forças viscosas quanto as de inércia são importantes. Então, fica claro que o número de Reynolds é significativo para a caracterização dos escoamentos de camada–limite.

Figura 01

Como em um escoamento em um duto, o escoamento de camada limite pode ser classificado como laminar ou turbulento. Não há um valor determinado do número de Reynolds em que haja a transição de escoamento laminar para turbulento em uma camada limite. Fatores que afetam a transição da camada–limite: gradiente de pressão, a rugosidade superficial, a transferência de calor, as forças de campo e as perturbações da corrente livre.

CONCEITO DE CAMADA–LIMITE (cont.)

Figura 02

A Figura 02 mostra o crescimento de uma camada–limite sobre uma placa plana. A camada–limite é laminar por uma curta distância a jusante da borda de ataque. A transição ocorre sobre uma região da placa, e não sobre uma linha única transversal à placa. A região de transição estende–se para jusante até o local onde o escoamento de camada–limite torna-se inteiramente turbulento.

Figura 02


Para o escoamento incompressível sobre uma placa plana lisa (gradiente de pressão nulo), na ausência de transferência de calor, a transição de escoamento laminar para turbulento na camada–limite pode ser retardada para números de Reynolds superiores a um milhão, se as perturbações externas forem minimizadas ( ; o comprimento é medido a partir da borda de ataque da placa). É mostrado na Figura 02 a camada–limite turbulenta crescendo mais rápido que a camada laminar.

Figura 02

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A camada–limite é a região adjacente a uma superfície sólida na qual tensões viscosas estão presentes. Essas tensões estão presentes porque existe cisalhamento das camadas do fluido, i. e., gradientes de velocidade na camada–limite. Tanto a camada–limite laminar quanto a turbulenta apresentam tais gradientes, porém a dificuldade é que os gradientes apenas se aproximam assintoticamente de zero quando se atinge a borda da camada–limite.

ESPESSURAS DE CAMADA–LIMITE

Figura 02

A camada–limite é a região adjacente a uma superfície sólida na qual tensões viscosas estão presentes. Essas tensões estão presentes porque existe cisalhamento das camadas do fluido, i. e., gradientes de velocidade na camada–limite. Tanto a camada–limite laminar quanto a turbulenta apresentam tais gradientes, porém a dificuldade é que os gradientes apenas se aproximam assintoticamente de zero quando se atinge a borda da camada–limite.

ESPESSURAS DE CAMADA–LIMITE (cont.)

Figura 02

Consequentemente, a definição de borda, i. e., de espessura de camada–limite, não é de simples definição. Por isso, diversas definições de camada–limite têm sido desenvolvidas (Figura 03): a espessura de perturbação (ou de camada–limite, simplesmente) , a espessura de deslocamento e a espessura de quantidade de movimento .


Figura 03

A definição mais direta é a espessura de perturbação, . Ela é a distância da superfície na qual a velocidade se situa dentro de 1% da velocidade da corrente livre, ou seja, (Figura 03 b). As outras duas definições são baseadas na noção de que a camada–limite retarda o fluido, de modo que tanto o fluxo de massa quanto o fluxo de quantidade de movimento são menores do que eles seriam sem a existência da camada–limite.


Figura 03

Uu 99,0

Imagina–se, então, que o fluido continue com sua velocidade uniforme , porém a superfície da placa fosse movida para cima, de modo a reduzir ambos os fluxos (de massa e de quantidade de movimento) da mesma quantidade que a camada–limite realmente reduz (Figura 03). A espessura de deslocamento, , é a distância que a placa seria deslocada, de forma que a perda de fluxo de massa (devido à redução na área do escoamento uniforme) fosse equivalente à perda causada pela camada–limite.


Figura 03

U

Caso não existisse camada–limite, o fluxo de massa seria onde w é a largura da placa perpendicular ao escoamento. O fluxo de massa real do escoamento é


Figura 03

0wUdy

0wudy

Então, a perda devida à camada–limite é Por outro lado, imagina-se o escoamento com velocidade constante, com a placa deslocada para cima de uma distância , a perda de fluxo de massa seria (Figura 03 a).


Figura 03

0

wdyuU

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Igualando essas perdas, tem-se que Para escoamento incompressível, é igual a Como para , o integrando é aprox. zero para .


Figura 03

0

wdyuUwU

(01) 1100

dyU

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Uu y y

A espessura de quantidade de movimento, , é a distância em que a placa seria movida de modo que a perda de fluxo de quantidade de movimento fosse equivalente à perda real causada pela camada–limite. Caso não existisse camada–limite, o fluxo de quantidade de movimento seria


Figura 03

0wuUdy

(posto que o fluxo de massa real é e a quantidade de movimento por unidade de fluxo de massa do escoamento uniforme é o próprio ).


Figura 03

0wudy

U

O fluxo real de quantidade de movimento na camada–limite é Então, a perda de quantidade de movimento na camada–limite é


Figura 03

0

2 wdyu

0

wdyuUu

Por outro lado, imagina-se o escoamento com velocidade constante, com a placa deslocada para cima de uma distância , a perda de fluxo de quantidade de movimento seria (Figura 03 c) Igualando essas perdas, tem-se que


Figura 03

U

wUwUUdy 2

0

Para escoamento incompressível, é igual a Novamente, o integrando é aprox. zero para .


Figura 03

0

2dyuUuU

(02) 1100

dyU

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y

As espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento são espessuras integrais, pois estão em termos de integrais através da camada–limite. Elas são consideravelmente mais fáceis de avaliar com precisão, a partir de dados experimentais, em comparação com a espessura de perturbação, pois são definidas em termos de integrais cujos integrandos tornam-se nulos na corrente livre. Já se foi visto anteriormente que o perfil de velocidade em uma camada–limite se une assintoticamente com a velocidade da corrente livre. Um pequeno erro é introduzido se a pequena diferença entre as velocidades na borda da camada–limite for ignorada em uma análise aproximada.


Hipóteses simplificadoras para o desenvolvimento da camada–limite, usualmente usadas em análises de engenharia são:

em

em

dentro da camada–limite

Também é razoável supor que a variação da pressão através da camada–limite delgada é desprezível. A distribuição de pressão da corrente livre é impressa sobre a camada–limite.


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REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

FOX, Robert W.; McDONALD, Alan T.; PRITCHARD, Philip J. Introdução à mecânica dos fluidos. 6ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

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