Campo de Velocidade -...
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Universidade Federal Fluminense
Aula 2 – Campo de Velocidade e Propriedades
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)
Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
SUMÁRIO:
Campo de Velocidade
▪ Classificação do escoamento
▪ Linhas de escoamento
▪ Traçado da linha de corrente
Propriedades:
▪ Pressão, temperatura, massa específica e densidade
▪ Viscosidade
Campo de Velocidade:
UFF - FENTRAN - Aula 2 - Prof. Elson Nascimento / Prof. Gabriel Nascimento
V
V
V
𝑉 = 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑢 𝑖 + 𝑣 𝑗 + 𝑤 𝑘?
Deslocamento: 𝑟 = ∫ 𝑉𝑑𝑡
Aceleração: 𝑎 =𝑑𝑉
dt
Classificação de um escoamento:
Regime temporal:
Permanente
Transiente
Dimensionalidade:
Unidimensional (1D)
Bidimensional (2D)
Tridimensional (3D)
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Dinâmico
Estático
𝜕𝜂
𝜕𝑡= 0
𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ≠ 0
𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 0
𝜕𝜂
𝜕𝑡≠ 0
𝜕𝜂 𝜕𝑥 ≠ 0 𝑒 𝜕𝜂 𝜕𝑦 = 𝜕𝜂 𝜕𝑧 = 0
𝜕𝜂 𝜕𝑥 ≠ 0 ; 𝜕𝜂 𝜕𝑦 ≠ 0 𝑒 𝜕𝜂 𝜕𝑧 = 0
𝜕𝜂 𝜕𝑥 ≠ 0 ; 𝜕𝜂 𝜕𝑦 ≠ 0 𝑒 𝜕𝜂 𝜕𝑧 ≠ 0
𝜂 = 𝑉, 𝑝, 𝜌, 𝑇, …
Classificação de um escoamento:Exemplos: Classifique entre 1D, 2D e 3D / entre Permanente e Transiente
__ / _________
__ / _________
__ / _________
__ / _________
__ / _________
ieaxV bt2
kz/1yxaV 32/122
kczjbxziaxV 2
jbxiaeV 2bx
jbyitaxV 2
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1D
3D
2D
1D
2D
transiente
permanente
permanente
permanente
transiente
Linhas de corrente / emissão / trajetória
UFF - FENTRAN - Aula 2 - Prof. Elson Nascimento / Prof. Gabriel Nascimento
https://www.youtube.com/user/GommeBlog. Acesso em 09/12/2015.
Linhas de corrente / emissão / trajetória
UFF - FENTRAN - Aula 2 - Prof. Elson Nascimento / Prof. Gabriel Nascimento
https://www.youtube.com/user/GommeBlog. Acesso em 09/12/2015.
Curvas tangentes ao vetor velocidade em todos os pontos, num determinado instante
Linhas de corrente / emissão / trajetória
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https://www.youtube.com/user/GommeBlog. Acesso em 09/12/2015.
Lugar geométrico das posições das partículas que passaram anteriormente num dado ponto
Ponto de emissão
Linhas de corrente / emissão / trajetória
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Caminho percorrido por uma determinada partícula do fluido
Linhas de corrente / emissão / trajetória
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https://www.youtube.com/user/GommeBlog. Acesso em 09/12/2015.
Num fluxo permanente, as linhas de corrente, emissão e trajetória são idênticas.
Linhas de corrente - traçado
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v
dy
u
dx
𝑽
𝒅𝒓
u
w
v
dx
dy
dz
x
y
z
𝑑 𝑟 = 𝑉𝑑𝑡
w
dz
V
dr
Linhas de corrente
Exemplo: Dado o caso bidimensional u=Kx, v=-Ky e w=0, K0, desenhe as linhas de corrente.
y
x
+1
+1 -1
-1+2
+2 -2
-2+3
C = +3 -3
C = -3
C = 0C = 0
0
0
v
dy
udx
Ky
dy
Kxdx
y
dy
xdx
Cylnxln
Cxyln Cexy C
Cxy
V
dr
w
dz
v
dy
u
dx
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Linhas de corrente
Exemplo: Dado o caso bidimensional u=Kx, v=-Ky e w=0, K0, desenhe as linhas de corrente.
y
x
+1
+1 -1
-1+2
+2 -2
-2+3
C = +3 -3
C = -3
C = 0C = 0
0
0
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v
dy
udx
Ky
dy
Kxdx
y
dy
xdx
Cylnxln
Cxyln Cexy C
Cxy
V
dr
w
dz
v
dy
u
dx
Trajetória
A trajetória de uma partícula é definida pela integraldas componentes da velocidade:
Para o momento inicial t0, a posição será (x0,y0,z0).
0xdtux 0ydtvy 0zdtwz
Propriedades dos fluidos :
Pressão: p Unidades:▪ N/m² 1 N/m² = 1 Pa (Pascal)
▪ mca (metro de coluna d’água) 1 mca = 9,81 kPa
▪ kgf/cm² 1 kgf/cm² 98,1 kPa
▪ bar 1 bar = 100 kPa
▪ atm 1 atm = 101,32 kPa
▪ psi (pound per square inch) ▪ 1 psi = 6,89 kPa = 0,703 mca
▪ 1 atm 14,7 psi
▪ mmHg 1 mmHg = 133,32 Pa
Obs.: kgf/cm²g (gauge) é pressão manométrica e kgf/cm²a é pressão absoluta
-p
atmm ppp
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=𝑑𝐹
𝑑𝐴
Propriedades dos fluidos :
Temperatura: T Unidades:
▪ K (Kelvin)
▪ °C (Celsius)
▪ °F (Fahrenheit)
▪ R (Reaumur)
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Propriedades dos fluidos :
Massa específica: Unidades:
▪ kg/m³
▪ lb/ft³ 1 lb/ft³ = 16,02 kg/m³
▪ lb/in³ 1 lb/in³ = 27.679,9 kg/m³
▪ oz/gal 1 oz/gal = 7,49 kg/m³
Obs.: Fluidos incompressíveis possuem massa específica constante.
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=𝑑𝑚
𝑑𝑉
Propriedades dos fluidos :
Peso específico: Unidade:
▪ N/m³
▪ kN/m³ 1 kN/m³ = 1000 N/m³
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=𝑑𝑃
𝑑𝑉=𝑑𝑚 ∙ 𝑔
𝑑𝑉= 𝜌 ∙ 𝑔
Propriedades dos fluidos :
Densidade: d Unidades:
▪ (adimensional)
Obs.: Density, em português, significa massa específica.
Densidade, é traduzida para inglês por SG (specificgravity) ou relative density.
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=𝜌
𝜌á𝑔𝑢𝑎
Propriedades dos fluidos :
Exemplo:Um fluido ocupa um volume de 1,5 m³ e sua massa é 3.000 kg.
Determine sua massa específica, seu peso específico e sua densidade.
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V = 1,5 m³
m = 3000 kg
=30001,5
= 2000 kg/m³ρ =dm
dV
γ = ρ∙g = 2000∙9,8 = 19600 N/m³
d = ρ ρágua = 2000 1000 = 2
Forças sobre partículas fluidas
Campo:
Gravidade
Inerciais
Contato:
Tensão Normal (pressão)
Tensão Cisalhante (viscosa)
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Viscosidade:
Quando deformado, um fluido mantém sua taxa decisalhamento diretamente proporcional à tensão decisalhamento (Newton, 1687) Fluidos newtonianos
t
dt
d
: viscosidade dinâmica
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Viscosidade:
dt
d
u t
u = u
u = 0x
y
dy
du
dt
d
dy
du
dt
d
dy
du
tan 𝛿𝜃 =𝛿𝑢 𝛿𝑡
𝛿𝑦
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Viscosidade:
Unidades:▪ kg/m.s (SI)
▪ Pa.s 1 Pa.s = 1 kg/m.s
▪ P (Poise) 1 P = 0,1 kg/m.s
▪ cP (centi Poise) 1 cP = 10-3 kg/m.s
Obs.: também denominada viscosidade dinâmica ou absoluta
Viscosidade cinemática:
Unidades:▪ m²/s (SI)
▪ Stokes (St): 1 St = 10-4 m²/s
dydudy
du
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=𝜇
𝜌
Viscosidade dinâmica e cinemática:
Exemplo:Um fluido ocupa um volume de 1,5 m³ e sua massa é 3.000 kg.
Sua viscosidade (dinâmica) é 2 cP. Determine sua massa específica eviscosidade cinemática.
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V = 1,5 m³
m = 3000 kg
=30001,5
= 2000 kg/m³ρ =dm
dV
μ = 2 cP = 2.10−3kg/m.s
ν = μ/ρ = 2.10−3/2000 = 1.10-6m2/s
Viscosidade em função de p e T:
0
5
10
15
20
25
30
0 20 40 60 80 100 120 140 160
µ (
10
-2P
a.s)
T (°C)
Viscosidade X Temperatura (óleo SAE 5W30)
• Pressão (p)– O aumento da pressão causará
um acréscimo da viscosidade relativamente baixo. Ex.: Um aumento da pressão de 1 atmpara 50 atm elevará a viscosidade do ar em apenas 10%.
• Temperatura (T)– Gases: o aumento da
temperatura causa um acréscimo da viscosidade
– Líquidos: o aumento da temperatura causa um decréscimo da viscosidade
0
1
2
3
4
5
6
-200 0 200 400 600 800 1000 1200
µ (
10
-5kg
/m.s
)
T (°C)
Viscosidade X Temperatura (ar)
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FLUIDO ρ
kg/(ms) kg/m³ m²/sHidrogênio 8,810-6 0,084 1,0510-4
Ar 1,810-5 1,2 1,5110-5
Gasolina 2,910-4 680 4,2210-7
Água 1,010-3 998 1,0110-6
Álcool etílico 1,210-3 789 1,5210-6
Mercúrio 1,510-3 13.580 1,1610-7
Óleo SAE 30 0,29 891 3,2510-4
Glicerina 1,5 1.264 1,1810-3
(à 1atm e 20°C)
Viscosidade dinâmica e cinemática:
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Fluxo entre placas:
Vu
0u
𝑢(𝑦)
x
y
Vu
h
dy
du
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Fluxo entre placas:
tecdy
du
h
V
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dy
du
0u
𝑢(𝑦)
x
y
Vu
h
Vu
distribuição linear de velocidade
Fluxo entre placas:
Exemplo:Calcule a tensão cisalhante considerando que o fluido entre as
placas é o óleo SAE 30 à 20°C, a velocidade da placa superior é
de 3m/s e a altura h é de 2cm. Considere uma distribuição linear
de velocidade.
= V / h
= 0,29 * 3 / 0,02 = 43,5 Pa
Vu
0u
𝑢(𝑦)
x
y Vu
h
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Exemplo: Um bloco de peso P desliza para baixo em um planoinclinado enquanto lubrificado por uma película fina de óleo, comomostra a figura abaixo. A área de contato da película é A e suaespessura é h. Considerando uma distribuição linear de velocidade napelícula, deduza uma expressão para a velocidade “terminal” (comaceleração igual a zero) V do bloco.
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Película de líquido com espessura h
Área A de contato com o
bloco
Exemplo: Um bloco de peso P desliza para baixo em um planoinclinado enquanto lubrificado por uma película fina de óleo, comomostra a figura abaixo. A área de contato da película é A e suaespessura é h. Considerando uma distribuição linear de velocidade napelícula, deduza uma expressão para a velocidade “terminal” (comaceleração igual a zero) V do bloco.
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P
N
Fvx
y
Fx = 0 → P.senθ − Fv = 0
→ Fv = P.senθ (i)
Fv = τ.A
→ τ =μVh
Considerando uma distribuição linear de velocidade entre o bloco e o plano:
Fv =μVh
. A
(i) →μVh
. A = P.senθ → V =h.P.senθ
μA
SUMÁRIO:
Campo de Velocidade
▪ Classificação do escoamento
▪ Linhas de escoamento
▪ Traçado da linha de corrente
Propriedades:
▪ Pressão, temperatura, massa específica e densidade
▪ Viscosidade
BIBLIOGRAFIA:
WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw-
Hill, 2010.
FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução à
Mecânica dos Fluídos. 8ª ed. John Wiley and Sons, N.Y.,
Tradução: LTC, 2014.
Imagens e vídeos disponíveis na internet referenciados ao
longo da apresentação.