Campos Escalares Vetoriais

7/31/2019 Campos Escalares Vetoriais

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1 - CAMPOS ESCALARES

Definicao: Seja D uma regiao no espaco tridimensional e seja f uma

funcao escalar definida em D. Entao, a cada ponto P D, f associa

uma unica grandeza escalar f(P). A regiao D, juntamente com os

valores de f em cada um de seus pontos, e chamada um campoescalar. Dizemos tambem que f define um campo escalar sobre D.

Exemplo: Seja D um solido esferico de raio r cuja temperatura em

cada um de seus pontos e proporcional a distancia do ponto ate o

centro da esfera. Usando um sistema de coordenadas cartesiana

adequado, descrever a funcao escalar T que define o campo de

temperatura em D.
http://find/


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http://find/http://goback/


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2 - CAMPOS VETORIAIS

Definicao: Seja D uma regiao no espaco e seja f uma funcao vetorial

definida em D. Entao, a cada ponto P D, f associa um unico vetor

f(P). A regiao D, juntamente com os vetores f(P), constitui um

campo vetorial. Dizemos tambem que f define um campo vetorial

sobre D.

Exemplo: Seja D a atmosfera terrestre. A cada ponto P D

associamos o vetor f(P) que representa a velocidade do vento em P.Entao f define um campo vetorial em D chamado campo de

velocidade.


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Representacao geometrica de um campo vetorial:

a) f(x, y) = xi.


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b) f(x, y) = xi + yj

Figura: Campo Radial


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c) f(x, y) =y

x2 + y2

i +x

x2 + y2

j. (Vetor unitario)

Figura: Campo Tangencial


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3 - GRADIENTE DE UM CAMPO

ESCALAR

Definicao: Seja f(x,y,z) um campo escalar definido em um certo

domnio. Se existem as derivadas parciais de 1a ordem de f neste

domnio, elas formam as componentes do vetor gradiente de f. Ogradiente de f(x,y,z), denotado por grad(f) ou (f), e um vetor

definido como

grad(f) =f

xi +

f

yj +

f

zk

Exemplos:

a) f(x,y,z) = 2(x2 + y2) z2

b) g(x, y) = x + ey


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c) Encontrar o gradiente do campo escalar

h(x,y,z) =1

2(x2 + y2 + z2), e representar o campo gradiente.


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Propriedades: Sejam f e g funcoes escalares tais que existam

grad(f) e grad(g) e seja c uma constante. Entao:

i) (fc) = c(f)

ii) (f+ g) = (f) + (g)

iii) (fg) = f (g) + g (f)

iv) (f/g) =g (f) f (g)

g2


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Proposicao: Seja f uma funcao escalar tal que, atraves de um ponto

P do espaco, passa uma superfcie de nvel S de f. Se (f) = 0 em

P, entao (f) e normal a S em P.

Exemplo: Determinar um vetor normal a superfcie z = x2 + y2 no

ponto P(1, 0, 1).


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4 - DERIVADA DIRECIONAL

Seja a o vetor posicao do ponto P. Entao,

r(s) = x(s)i + y(s)j + z(s)k = a + bs,

onde s 0 e o parametro comprimento de arco, e uma equacao

vetorial para a semi-reta C.


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A derivada direcionalf

s

(P), na direcao b, em P, e a derivada da

funcao f(x(s), y(s), z(s)) em relacao a s em P.

Supondo que f(x,y,z) possui derivadas de 1a ordem contnuas e

aplicando a regra da cadeia, temos

fs

(P) = b f(P).

Exemplo: Determinar a derivada direcional de

f(x,y,z) = 5x2 6xy + z, no ponto P(1, 1, 0), na direcao do vetor

2i 5j + 2k.

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