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Campos Magnéticos

Cap. 28

Copyright © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

28-1 Campos Magnéticos e a Definição de B

A Definição de B

O Campo. Definimos o campo magnético B como sendo um vetor que existe quando

exerce uma força FB numa partícula carregada movendo-se com velocidade v.

Podemos então medir o módulo de FB quando v é direcionada perpendicularmente à

força e então definimos o módulo de B em termos do módulo da força como:

onde q é a carga da partícula. Podemos sintetizar todos estes resultados com a

seguinte equação vetorial:

isto é, a força FB na partícula pelo campo B é igual à carga q vezes o produto vetorial

de sua velocidade v pelo campo B (tudo medido no mesmo referencial). Podemos

escrever o módulo de FB como

onde ϕ é o ângulo entre as direções da velocidade v e campo magnético B.

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Determinação da Força Magnética

Esta equação nos diz a direção de F. Sabemos que o produto vetorial de v e B é

um vetor que é perpendicular a estes dois vetores. A regra da mão direita (Figs. a-c) nos diz que o polegar da mão direita aponta na direção de v × B quando os dedos

fecham de v para B. Se q é positivo, então (pela eq. acima) a força FB tem o mesmo sinal que v × B e deve ser no mesmo sentido; isto é, para q positivo, FB é ao longo

do polegar (Fig. d). Se q é negativo, então a força FB e o produto vetorial v × B têm

sinais opostos e então devem estar em sentidos opostos. Para q negativo, F está

no sentido oposto ao do polegar (Fig. e).



Determinação da Força Magnética

Answer:

(a) towards the

positive z-axis

(b) towards the

negative x-axis

(c) none (cross

product is zero)© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

A força FB agindo sobre uma partícula movendo-se com velocidade v

através de um campo magnético B é sempre perpendicular a v e B.


Linhas de Campo MagnéticasPodemos representar campos magnéticos com linhas de campo, como para

campos elétricos. Regras similares se aplicam:

(1) A direção da tangente à linha de campo magnético em um ponto qualquer

fornece a direção de B naquele ponto

(2) O espaçamento entre as linhas representa o intensidade de B —o campo

magnético é mais intenso onde as linhas estão próximas.

Dois Polos. As linhas de campo (fechadas) entram numa extremidade

de um magneto e saem do outro extremo. O lado do magneto a partir

do qual as linhas de campo emergem é chamado de polo norte do

magneto; o outro lado, onde as linhas de campo entram, é chamado de

polo sul. Por conta disto é chamado de dipolo magnético.

(a) Linhas de campo de uma barra magnética.

(b) Um “ímã de vaca” — ímã em forma de barra introduzido no rúmen das vacas

para evitar que pedaços de ferro ingeridos acidentalmente cheguem ao intestino

do animal. A limalha de ferro revela as linhas de campo magnético..


28-2 Campos Cruzados: Descoberta do Elétron

Uma versão moderna do aparelho

de J.J. Thomson para medir a

razão carga-massa do elétron. Um

campo elétrico E é estabelecido

ao conectar a fonte entre os

terminais da placa defletora. O

campo magnético B é formado por

meio de uma corrente num

sistema de bobinas (não

mostrado). O campo magnético

mostrado está no plano da fig.,

como representado pelo conjunto

de Xs (os quais lembram partes

traseiras de flechas).

Se uma carga se move por uma região contendo ambos um campo elétrico e um

campo magnético, pode ser afetada por ambas uma força elétrica e uma força

magnética. Quando os dois campos são perpendiculares entre si, são ditos serem

campos cruzados.

Se as forças estão em sentidos opostos, para uma determinada velocidade não

haverá nenhuma deflexão da partícula.


28-3 Campos Cruzados: O Efeito Hall

Como discutido, um feixe de elétrons no vácuo podem ser

defletidos por um campo magnético. Os elétrons num fio de

cobre serão também afetados por um campo magnético?

Em 1879, Edwin H. Hall, então um estudante de 24 anos na

Universidade Johns Hopkins, mostrou que sim, podem.

Este Efeito Hall permite descobrir se os portadores de carga

num condutor são positivos ou negativos. Além disso podemos

medir o número destes portadores por unidade de volume do

condutor.

A figura (a) mostra uma fita de cobre de largura d, com uma

corrente i cujo sentido convencional é do topo da figura à parte

de baixo. Os portadores de carga são elétrons e, como

sabemos, eles derivam (com velocidade de deriva vd) no

sentido oposto, de baixo para cima.

Ao passar o tempo, elétrons movem-se para a direita,

empilhando-se na borda direita da fita, deixando cargas

positivas não compensadas em posições fixas à esquerda

como mostrado na figura (b).© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

28-3 Campos Cruzados: O Efeito Hall

Quando um campo magnético uniforme B é aplicado em uma

fita condutora com uma corrente i, com o campo perpendicular

à direção da corrente, é gerada uma diferença de potencial do

efeito Hall na fita em questão.

A força elétrica FE nos portadores de carga é balanceada pela

força magnética FB sobre eles.

A densidade n ode portadores de carga pode ser determinada

por

onde l (= A/d) é a largura da fita. Com esta equação podemos

determinar n a partir de grandezas mensuráveis.

Quando um condutor se move em um campo magnético

uniforme B com uma velocidade v, a diferença V de potencial

do efeito Hall é

Onde d é a largura perpendicular a ambos a velocidade v e o

campo B.© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

28-4 Uma Partícula Carregada em Mov. Circular

Um feixe de elétrons é injetado numa

câmara por um injetor de elétrons G. Os

elétrons entram no plano da página com

velocidade v e então move-se numa região

de campo magnético uniforme B

direcionado para fora daquele plano.

Como resultado, uma força magnética

FB= q (v×B) desvia os elétrons, e uma vez

que v e B são sempre perpendiculares

entre si, este desvio faz com que os

elétrons sigam uma trajetória circular. A

trajetória é visível na fig. porque os átomos

de gás na câmara emite luz quando alguns

dos elétrons circulantes colidem com eles.

Aplicando a 2ª. lei de Newton para este movimento

Então o raio r da circunferência é


28-5 Cíclotrons e Sincrotrons

O Cíclotron: A figura é uma visão de cima da região de um

cíclotron no qual as partículas (prótons, digamos) circulam. Os dois

objetos ocos na forma de D (cada um aberto na sua face reta) são

feitos de folhas de cobre. Estes Ds, como são chamados, são parte

de um oscilador que alterna a diferença de potencial elétrico entre o

vão entre os Ds. Os sinais elétricos dos Ds são alternados em

direção, primeiro para um D e então para o outro indefinidamente.

Os Ds estão imersos num campo magnético alto dirigido para fora

do plano da página. A intensidade de B é ajustada via um controle

no magneto produzindo o campo.

A chave para a operação do cíclotron é que a frequência f na qual o próton circula no

campo magnético (e que não depende de sua velocidade) deve ser igual à frequência

fixa fosc do oscilador elétrico, ou

Esta condição de ressonância diz que se a energia do próton circulante aumenta,

deve-se adicionar energia ao sistema numa frequência fosc que é igual à frequência

natural f na qual o próton circula no campo magnético.


28-5 Cíclotrons e Sincrotrons

Sincrotron com Proton: O campo magnético B e a frequência do oscilador fosc,

ao invés de ter valores fixos como num cíclotron convencional, varia com o

tempo durante um ciclo de aceleração. Quando isto é feito de maneira

adequada, (1) a frequência de circulação dos prótons permanece sincronizado

com o oscilador em qualquer tempo, e (2) os prótons seguem uma trajetória

circular — não uma espiral. Então, o magneto precisa estar apenas naquele

trecho da trajetória circular, não sobre todos os 4 ✕106 m2. A trajetória circular,

entretanto, ainda necessita ser grande se almeja alcançar altas energias.


28-6 Força Magnética num Fio Percorrido por Corrente

Um fio flexível passa entre os polos

de um magneto (somente o polo

mais distante é mostrado). (a) Sem

corrente no fio, o fio está reto. (b)

Com corrente para cima, o fio está

desviado, para a direita. (c) Com

corrente para baixo, é desviado para

a esquerda.

Um fio reto que conduz uma corrente i num

campo magnético uniforme sofre uma força

lateral

Aqui L é o vetor comprimento que tem módulo L

e está direcionado ao longo do segmento do fio

na direção (convencional) da corrente.

Fio Curvo. Se um fio não é reto ou o campo não

é uniforme, podemos imaginar o fio quebrado

em pequenos seguimentos retos. A força no fio

como um todo é então o vetor soma de todas as

forças nos segmentos. No limite diferencial,

podemos escrever

e a direção do vetor comprimento L ou dL é na

direção de i.© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

28-7 Torque em uma Espira percorrida por Corrente

Os elementos de um motor elétrico:

Uma espira retangular, conduzindo uma

corrente e livre para girar em torno do

um eixo fixo, é colocada num campo

magnético. Forças magnéticas no fio

produzem um torque que rotaciona. Um

comutador (não mostrado) inverte o

sentido da corrente a cada meia volta

de modos que o torque sempre age na

mesma direção.

Como mostrado na figura

(direita) a força resultante

na espira é um vetor soma

das forças agindo nos

quatro lados e é igual a

zero. O torque resultante

agindo na bobina tem

módulo dado por

onde N é o número de voltas na bobina, A é

a área de cada volta, i é a corrente, B é o

módulo do campo, e θ é o ângulo entre o

campo magnético B e o vetor normal à

bobina n.


28-8 O Momento Dipolar Magnético

Uma bobina (de área A e N voltas, conduzindo uma corrente i) num campo

magnético uniforme B sofrerá um torque τ dado por

onde μ é o momento de dipolo magnético da bobina, com módulo μ = NiA

e direção e sentido dados pela regra da mão direita.

A energia de orientação de um dipolo magnético num campo magnético é

Se um agente externo rotaciona um dipolo

magnético a partir de uma orientação inicial θi

para alguma outra orientação θf e o dipolo está

estacionário ambos inicialmente e no final, o

trabalho Wa realizado no dipolo pelo agente é


28 Sumário

O Campo Magnético B• Definido em termos da força FB

agindo numa partícula teste com

carga q movendo-se através do

campo com velocidade v

Eq. 28-2

Eq. 28-15

Força Magnética num Fio com

uma Corrente • Um fio reto com uma corrente i num

campo magnético uniforme sofre

uma força lateral

• A força agindo num elemento de

corrente i dL num campo magnético

é

Eq. 28-26

Eq. 28-16

Torque numa Espira percorrida

por uma Corrente• Uma bobina (de área A e N voltas,

com corrente i) num campo mag.

uniforme B sofre um torque τ dado

por

Eq. 28-37

Uma Partícula Carregada em

Mov. Circular num Campo Mag. • Aplicando a segunda Lei de Newton

para o mov. circular leva à

• A partir daí encontramos o raio da

órbita circular como

Eq. 28-28


28 Sumário

O Efeito Hall• Quando uma fita com uma corrente

i é colocada num campo magnético

uniforme B, alguns portadores de

carga (com carga e) acumulam-se

num lado do condutor, criando uma

diferença de potencial V na fita. As

polaridades dos lados indicam o

sinal dos portadores de carga.

Energia Orientacional de um

Dipolo Magnético• A energia orientacional de um dipolo

magnético em um campo magnético

é

• Se um agente externo gira o dipolo

magnético de sua orientação original

θi para uma outra θf e o dipolo está

estacionário ambos inicialmente e ao

final, o trabalho Wa realizado no

dipolo pelo agente é

Eq. 28-38

Eq. 28-39


28 Exercícios


Halliday 10ª. Edição

Cap. 28:

Problemas 4; 11; 14; 27; 30; 36; 46; 51; 55; 59

28 Problema 28-4


Uma partícula alfa se move com uma velocidade de módulo 550 m/s em

uma região onde existe um campo magnético de módulo 0,045 T. (Uma

partícula alfa possui uma carga de +3,2 × 10-19 C e uma massa de 6,6 ×10-27 kg.) O ângulo entre a velocidade e o campo magnético é 52o.

Determine (a) o módulo da força que o campo magnético exerce sobre a

partícula e (b) a aceleração da partícula causada por . (c) A velocidade

da partícula aumenta, diminui ou permanece constante?

28 Problema 28-11


Uma fonte de íons está produzindo íons de 6Li, que possuem carga +e e

massa 9,99 × 10-27 kg. Os íons são acelerados por uma diferença de

potencial de 10 kV e passam horizontalmente em uma região onde existe

um campo magnético uniforme vertical de módulo B = 1,2 T. Calcule a

intensidade do menor campo elétrico que, aplicado na mesma região,

permite que os íons de 6Li atravessem a região sem sofrer um desvio.

28 Problema 28-14


Uma fita metálica com 6,50 cm de comprimento, 0,850 cm de largura e

0,760 mm de espessura está se movendo com velocidade constante em

uma região onde existe um campo magnético uniforme B = 1,20 mT

perpendicular à fita, como mostra a Fig. 28-34. A diferença de potencial

entre os pontos x e y da fita é 3,90 μV. Determine a velocidade escalar v.

28 Problema 28-27


Um espectrômetro de massa (Fig. 28-12) é usado para separar íons de

urânio de massa 3,92 × 10-25 kg e carga 3,20 × 10-19 C de íons

semelhantes. Os íons são submetidos a uma diferença de potencial

de 100 kV e depois a um campo magnético uniforme que os faz

descreverem um arco de circunferência com 1,00 m de raio. Após

sofrerem um desvio de 180o e passarem por uma fenda com 1,00 mm de

largura e 1,00 cm de altura, os íons são recolhidos em um recipiente. (a)

Qual é o módulo do campo magnético (perpendicular) do separador? Se

o aparelho é usado para separar 100 mg de material por hora, calcule (b)

a corrente dos íons selecionados pelo aparelho e (c) a energia térmica

produzida no recipiente em 1,00 h.

28 Problema 28-30


Na Fig. 28-40, um elétron com uma energia cinética inicial de 4,0 keV penetra

na região 1 no instante t = 0. Nessa região existe um campo magnético

uniforme, de módulo 0,010 T, que aponta para dentro do papel. O elétron

descreve uma semicircunferência e deixa a região 1, dirigindo-se para a

região 2, situada a 25,0 cm de distância da região 1. Existe uma diferença de

potencial ΔV = 2000 V entre as duas regiões, com uma polaridade tal que a

velocidade do elétron aumenta no percurso entre a região 1 e a região 2. Na

região 2 existe um campo magnético uniforme, de módulo 0,020 T, que

aponta para fora do papel. O elétron descreve uma semicircunferência e

deixa a região 2. Determine o instante t em que isso acontece.

28 Problema 28-36


Um cíclotron, no qual o raio dos dês é 53,0 cm, é operado a uma

frequência de 12,0 MHz para acelerar prótons. (a) Qual deve ser o

módulo B do campo magnético para que haja ressonância? (b) Para

esse valor do campo, qual é a energia cinética dos prótons que saem do

cíclotron? Suponha que o campo seja mudado para 1,57 T. (c) Qual deve

ser a nova frequência do oscilador para que haja ressonância? (d) Para

esse valor da frequência, qual é a energia cinética dos prótons que saem

do cíclotron?

28 Problema 28-46


Na Fig. 28-44, um fio metálico de massa m = 24,1 mg pode deslizar com

atrito desprezível em dois trilhos paralelos horizontais separados por

uma distância d = 2,56 cm. O conjunto está em uma região onde existe

um campo magnético uniforme de módulo 56,3 mT. No instante t = 0, um

gerador G é ligado aos trilhos e produz uma corrente constante i = 9,13

mA no fio e nos trilhos (mesmo quando o fio está se movendo). No

instante t = 61,1 ms, determine (a) a velocidade escalar do fio e (b) o

sentido do movimento do fio (para a esquerda ou para a direita).

28 Problema 28-51


A Fig. 28-46 mostra um cilindro de madeira de massa m = 0,250 kg e

comprimento L = 0,100 m, com N = 10,0 espiras de fio enroladas

longitudinalmente para formar uma bobina; o plano da bobina

passa pelo eixo do cilindro. O cilindro é liberado a partir do repouso em

um plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal, com o plano

da bobina paralelo ao plano inclinado. Se o conjunto é submetido

a um campo magnético uniforme de módulo 0,500 T, qual é a menor

corrente i na bobina que impede que o cilindro entre em movimento?

28 Problema 28-55


Duas espiras circulares concêntricas, de raios r1 = 20,0 cm e r2 = 30,0

cm, estão situadas no plano xy; ambas são percorridas por uma corrente

de 7,00 A no sentido horário (Fig. 28-48). (a) Determine o módulo do

momento dipolar magnético do sistema. (b) Repita o cálculo supondo

que a corrente da espira menor mudou de sentido.

28 Problema 28-59


Uma espira que conduz uma corrente de 5,0 A tem a forma de um

triângulo retângulo cujos lados medem 30, 40 e 50 cm. A espira é

submetida a um campo magnético uniforme de módulo 80 mT paralelo

à corrente no lado de 50 cm da bobina. Determine o módulo (a) do

momento dipolar magnético da bobina e (b) do torque sobre a bobina.

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