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Caos Quântico
Raúl O. VallejosCentro Brasileiro de Pesquisas Físicas Rio de Janeiro
www.cbpf.br/~vallejos
UFBA, Salvador,
7-11-2007
2
Resumo
� Caos clássico
� A velha teoria quântica
� Caos quântico
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Caos Clássico
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História
Henri Poincaré (1895)
problema gravitacional de N corpos (Oskar II)
[estabilidade do sistema solar]
> o problema de três corpos não tem solução analítica
Jacques Hadamard (1898)
partícula livre numa superfície de curvatura negativa
constante
> sensibilidade exponencial às condições iniciais
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Lorenz
Edward Lorenz (1961) usando um computador para simular ummodelo de clima “descobre” a sensibilidade às condições iniciais(efeito borboleta).
sistema dissipativo, não hamiltoniano
6C. Huygens 1656
Dinâmica regular vs. irregular
Exemplo de dinâmica regular: o pêndulo simples
Galileo 1602
2
7
O pêndulo ideal
8
O pêndulo ideal
9
Espaco de fases
θ
θp
Similar à qualquer sistema de um grau de liberdade
10
Dinâmica irregular: o pêndulo duplo
11
O pêndulo duplo ideal
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Uma trajetória (xy)
como é a dinâmica noespaço de fases
(quatro dimensões)?
3
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Espaço de fases: seção de Poincaré
exemplo:
2121 ,,, ppθθ
01 =θ
22 , pθ14
Seção de Poincaré, energia baixa
15
Trajetórias q1-q2
16
Dinâmica quase-periódica
17
Quase-periodicidade – Espaço de fases
Espaço de fases folheado por toros
18
Seção de Poincaré II
4
19
Trajetória caótica no plano q1-q2
20
Bilhares
Bunimovich (estádio)
Sinai
hipérbole21
Bilhares – seção de Poncaré-Birkhoff
22
Uma trajetória
23
Dinâmica clássica – Resumo
sistemas integráveis
sistemas mistos
sistemas completamente caóticos
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Mecânica Quântica
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A velha mecânica quântica
Max Planck (1900) > hipótese quântica:a energia é emitida ou absorvida em quantidades discretas
Albert Einstein (1905), efeito fotoelétrico (1839), a luz consiste de fótons
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Séries espectrais
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Hidrogênio
Balmer1885
21 =n
28
Séries
29
O átomo de Bohr
Niels Bohr 1913
hndqp ii π2=∫ regra de quantizaçãoSommerfeld 1915
integral em um período30
Einstein 1917
hndqp ii π2=∫depende das coordenadasde separação
hki
i
i ndqp
k
πγ
2=∫∑
l≤≤ i1
6
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Pergunta
Como se generalizam as fórmulas de quantização quandoa dinâmica clássica não é integrável?
Einstein 1917[RBEF 2005]
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Caos Quântico
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Sistemas caóticos - Fórmula do traço
Martin Gutzwiller>1966
{ } { }kkH ψε ,,ˆ
estados ligados
h/ˆˆ tHieU
−=operador de evolução
∫∞
−+ −=0
//ˆˆ hh
h
iEttHi
E eedti
G operador de Green
( )∑∫∞
−−+ −=k
tEi
Ekedt
iGtr
0
/ˆ h
h
ε
( )∑ −=− +
k
kE EGtr εδπˆIm densidade de níveis
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Fórmula do traço II∫∞
−+ −=0
/ˆ/ˆ hh
h
tHiiEt
Eeedt
iG
( ) ( ) ( ) ( ) h/ReˆIm
ESi
k
kE eEAECEGtr ν
ννεδπ ∑∑ +≈−=− +
∫∞
−+ ∝0
/ˆ/ˆ hh tHiiEt
E etredtGtr
qeqdqetrtHitHi hh /ˆ/ˆ −−
∫=Propagador:soma sobre caminhos fechados (Feynman)q → q
Limite semiclássico: 1) caminhos fechados → trajetórias fechadas de tempo t2) trajetórias fechadas → trajetórias periódicas de período t3) Fourier: tempo → energia
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Fórmula do traço III
( ) ( ) ( ) ( ) h/
0 Re)( ESi
k
k eEAEEE ∑∑ +≈−=ν
νρεδρ
trajetórias periódicas de energia Eν
( )ESνação
( )EAν amplitude, estabilidade
sistemas caóticos: Gutzwillerbilhares: Balian & Blochsistemas integráveis: Berry & Tabor
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Dificuldades
> Convergência (proliferação exponencial de órbitas)
> Esquemas alternativos (regularização)
Michael Berry Jonathan Keating
( ) ( ) ( ) h/
0 Re)( ESieEAEE ∑+≈ν
νρρ
7
37
Verificações
1. Problema de Kepler anisotrópico, Gutzwiller 1982
2. Bilhar hipérbole, Keating & Sieber 1994
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Densidade de níveis para bilhares
Bilhares
( )m
k
m
pE
22
22h
==
( )
−= ∑
2exp
2sinh
Re2
1
,
πµ
απρ p
p
mp p
p
fl klimm
lk
( ) ( ) ( ) h/
0 Re)( ESieEAEE ∑+≈ν
νρρ
mp,→ν39
Função Z dinâmica – Determinante espectral
( ) ( )kZdk
dk
fllnIm
1
πρ −=
( ) ∏
+−
−−=
mp
p
p
p mklikZ, 2
1
2exp1 α
πµ
André Voros 1988
Ainda exige regularização !
p: órbitas periódicas primitivasm: repetições
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Conclusões
Êxito para alguns sistemas simples,muito difícil em geral
Domínio de validade?
Outras questões interessantes ...
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Outra pergunta
Que particularidades exibe a mecânica quântica de sistemasclassicamente caóticos?
Resposta:
(1) flutuações espectrais universais, para um sistema fechado
(2) flutuações universais das seções de choque, para sistemasde espalhamento
Flutuações universais <==> Teoria das matrizes aleatórias
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Espectro nuclear
espectroscopia de neutrons lentos (tempo de vôo)
Quantidade estatística de interesse: distribuição de espaçamentos entre níveis consecutivos.
8
43
Teoria das matrizes aleatórias
Wigner 1950’sDescrição de mínima informação:
hamiltoniano nuclear ensemble de matrizes aleatórias
simetria de reversão temporal?
SIM:matrizes
reais simétricas
NÃO:matrizes
complexas hermitianas
elementosindependentes egaussianamente
distribuídos
44
Teste I
45
Teste II
repulsão
linear
1730 níveis,diferentes núcleos
46
Hipótese RMT
Oriol Bohigas 47
Hipótese RMT II
740 níveis,diferentes valores de R
48
Sistemas abertos
9
49
Flutuações universais da condutância
dispositivossubmicrométricos
+baixas temperaturas
(<100mK)
transportecoerentequântico
50
Exemplo de flutuações da condutância
Marcus et al 1992
51
Cavidades caóticas vs integráveis
Chang et al 1994
média sobre 48 pontos
52
Flutuações mesoscópicas - Teoria
∑∈∈
=
RbLa
abSh
eG
222 Fórmula de Landauer
freqüências, temperatura, voltagem
baixas,
interação e-e desprezível
Smatriz de espalhamento
(unitária)
S ensemble de matrizes unitáriasCOE, CUE
coeficiente de transmissão
caos!
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Teoria vs simulação
simulação versusRMT
(ensembles circulares)
GT ∝
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Não universalidade
10
55
Tópico especial
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A função z de Riemann
1)(Re,1
)(1
>=∑∞
=
sn
sn
sζ + extensão analítica
∏ −−=
primoss
ps
1
1)(ζ fórmula de Euler (1737)
existem infinitos primos (Euclides, -300)
∞=∑p p
1
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O teorema dos números primos (PNT)
∞→xx
xx ,
ln~)(π
{ }xpx <= #)(π
conjecturas: Gauss, Legendre ~1800provas: Hadamard, de la Vallée Pousin 1896
provas baseadas em propriedades dos zeros da função Z de Riemann
58
Os zeros de z(s)
K,6,4,2 −−−=s
zeros triviais
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Zeros de z(s). II
1)Re(0 ≤≤ s faixa críticazeros não triviais
Conjectura de
Riemann:
os zeros não triviais ficam na linha crítica
2
1)Re( =s
60
Primos & zeros de z(s)
Se a conjectura de Riemann for verdadeira então:
xxcd
x
x
lnln
)(2
≤− ∫ ν
νπ
11
61
Prêmio
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Conjectura de Hilbert-Pólya
Existe um operador hermitiano tal que seus autovalores correspondem às partes imaginárias dos zeros da função zeta de Riemann
( ) 0:2
1 =+ kk iεζε
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Zeta function & RMT
A. M. Odlyzko 1987
GUE
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Analogia
( ) ∏
+−
−−=
mp
p
p
p mklikZ, 2
1
2exp1 α
πµ
1
,
~
2
1~exp1
2
1~−
∏
+−−−=
+
mp
pp mlkikiZ α
Bilhares
Zeta de Riemann
p
pl
primop
p
p
ln~
ln~
:
=
=
α65
Conjectura
Berry 1986
66
Fim