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1 1 Caos Quântico Raúl O. Vallejos Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas Rio de Janeiro www.cbpf.br/~vallejos UFBA, Salvador, 7-11-2007 2 Resumo Caos clássico A velha teoria quântica Caos quântico 3 Caos Clássico 4 História Henri Poincaré (1895) problema gravitacional de N corpos (Oskar II) [estabilidade do sistema solar] > o problema de três corpos não tem solução analítica Jacques Hadamard (1898) partícula livre numa superfície de curvatura negativa constante > sensibilidade exponencial às condições iniciais 5 Lorenz Edward Lorenz (1961) usando um computador para simular um modelo de clima “descobre” a sensibilidade às condições iniciais (efeito borboleta). sistema dissipativo, não hamiltoniano 6 C. Huygens 1656 Dinâmica regular vs. irregular Exemplo de dinâmica regular: o pêndulo simples Galileo 1602

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1

Caos Quântico

Raúl O. VallejosCentro Brasileiro de Pesquisas Físicas Rio de Janeiro

www.cbpf.br/~vallejos

UFBA, Salvador,

7-11-2007

2

Resumo

� Caos clássico

� A velha teoria quântica

� Caos quântico

3

Caos Clássico

4

História

Henri Poincaré (1895)

problema gravitacional de N corpos (Oskar II)

[estabilidade do sistema solar]

> o problema de três corpos não tem solução analítica

Jacques Hadamard (1898)

partícula livre numa superfície de curvatura negativa

constante

> sensibilidade exponencial às condições iniciais

5

Lorenz

Edward Lorenz (1961) usando um computador para simular ummodelo de clima “descobre” a sensibilidade às condições iniciais(efeito borboleta).

sistema dissipativo, não hamiltoniano

6C. Huygens 1656

Dinâmica regular vs. irregular

Exemplo de dinâmica regular: o pêndulo simples

Galileo 1602

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O pêndulo ideal

8

O pêndulo ideal

9

Espaco de fases

θ

θp

Similar à qualquer sistema de um grau de liberdade

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Dinâmica irregular: o pêndulo duplo

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O pêndulo duplo ideal

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Uma trajetória (xy)

como é a dinâmica noespaço de fases

(quatro dimensões)?

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Espaço de fases: seção de Poincaré

exemplo:

2121 ,,, ppθθ

01 =θ

22 , pθ14

Seção de Poincaré, energia baixa

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Trajetórias q1-q2

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Dinâmica quase-periódica

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Quase-periodicidade – Espaço de fases

Espaço de fases folheado por toros

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Seção de Poincaré II

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Trajetória caótica no plano q1-q2

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Bilhares

Bunimovich (estádio)

Sinai

hipérbole21

Bilhares – seção de Poncaré-Birkhoff

22

Uma trajetória

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Dinâmica clássica – Resumo

sistemas integráveis

sistemas mistos

sistemas completamente caóticos

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Mecânica Quântica

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A velha mecânica quântica

Max Planck (1900) > hipótese quântica:a energia é emitida ou absorvida em quantidades discretas

Albert Einstein (1905), efeito fotoelétrico (1839), a luz consiste de fótons

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Séries espectrais

27

Hidrogênio

Balmer1885

21 =n

28

Séries

29

O átomo de Bohr

Niels Bohr 1913

hndqp ii π2=∫ regra de quantizaçãoSommerfeld 1915

integral em um período30

Einstein 1917

hndqp ii π2=∫depende das coordenadasde separação

hki

i

i ndqp

k

πγ

2=∫∑

l≤≤ i1

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Pergunta

Como se generalizam as fórmulas de quantização quandoa dinâmica clássica não é integrável?

Einstein 1917[RBEF 2005]

32

Caos Quântico

33

Sistemas caóticos - Fórmula do traço

Martin Gutzwiller>1966

{ } { }kkH ψε ,,ˆ

estados ligados

h/ˆˆ tHieU

−=operador de evolução

∫∞

−+ −=0

//ˆˆ hh

h

iEttHi

E eedti

G operador de Green

( )∑∫∞

−−+ −=k

tEi

Ekedt

iGtr

0

/ˆ h

h

ε

( )∑ −=− +

k

kE EGtr εδπˆIm densidade de níveis

34

Fórmula do traço II∫∞

−+ −=0

/ˆ/ˆ hh

h

tHiiEt

Eeedt

iG

( ) ( ) ( ) ( ) h/ReˆIm

ESi

k

kE eEAECEGtr ν

ννεδπ ∑∑ +≈−=− +

∫∞

−+ ∝0

/ˆ/ˆ hh tHiiEt

E etredtGtr

qeqdqetrtHitHi hh /ˆ/ˆ −−

∫=Propagador:soma sobre caminhos fechados (Feynman)q → q

Limite semiclássico: 1) caminhos fechados → trajetórias fechadas de tempo t2) trajetórias fechadas → trajetórias periódicas de período t3) Fourier: tempo → energia

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Fórmula do traço III

( ) ( ) ( ) ( ) h/

0 Re)( ESi

k

k eEAEEE ∑∑ +≈−=ν

νρεδρ

trajetórias periódicas de energia Eν

( )ESνação

( )EAν amplitude, estabilidade

sistemas caóticos: Gutzwillerbilhares: Balian & Blochsistemas integráveis: Berry & Tabor

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Dificuldades

> Convergência (proliferação exponencial de órbitas)

> Esquemas alternativos (regularização)

Michael Berry Jonathan Keating

( ) ( ) ( ) h/

0 Re)( ESieEAEE ∑+≈ν

νρρ

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Verificações

1. Problema de Kepler anisotrópico, Gutzwiller 1982

2. Bilhar hipérbole, Keating & Sieber 1994

38

Densidade de níveis para bilhares

Bilhares

( )m

k

m

pE

22

22h

==

( )

−= ∑

2exp

2sinh

Re2

1

,

πµ

απρ p

p

mp p

p

fl klimm

lk

( ) ( ) ( ) h/

0 Re)( ESieEAEE ∑+≈ν

νρρ

mp,→ν39

Função Z dinâmica – Determinante espectral

( ) ( )kZdk

dk

fllnIm

1

πρ −=

( ) ∏

+−

−−=

mp

p

p

p mklikZ, 2

1

2exp1 α

πµ

André Voros 1988

Ainda exige regularização !

p: órbitas periódicas primitivasm: repetições

40

Conclusões

Êxito para alguns sistemas simples,muito difícil em geral

Domínio de validade?

Outras questões interessantes ...

41

Outra pergunta

Que particularidades exibe a mecânica quântica de sistemasclassicamente caóticos?

Resposta:

(1) flutuações espectrais universais, para um sistema fechado

(2) flutuações universais das seções de choque, para sistemasde espalhamento

Flutuações universais <==> Teoria das matrizes aleatórias

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Espectro nuclear

espectroscopia de neutrons lentos (tempo de vôo)

Quantidade estatística de interesse: distribuição de espaçamentos entre níveis consecutivos.

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Teoria das matrizes aleatórias

Wigner 1950’sDescrição de mínima informação:

hamiltoniano nuclear ensemble de matrizes aleatórias

simetria de reversão temporal?

SIM:matrizes

reais simétricas

NÃO:matrizes

complexas hermitianas

elementosindependentes egaussianamente

distribuídos

44

Teste I

45

Teste II

repulsão

linear

1730 níveis,diferentes núcleos

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Hipótese RMT

Oriol Bohigas 47

Hipótese RMT II

740 níveis,diferentes valores de R

48

Sistemas abertos

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49

Flutuações universais da condutância

dispositivossubmicrométricos

+baixas temperaturas

(<100mK)

transportecoerentequântico

50

Exemplo de flutuações da condutância

Marcus et al 1992

51

Cavidades caóticas vs integráveis

Chang et al 1994

média sobre 48 pontos

52

Flutuações mesoscópicas - Teoria

∑∈∈

=

RbLa

abSh

eG

222 Fórmula de Landauer

freqüências, temperatura, voltagem

baixas,

interação e-e desprezível

Smatriz de espalhamento

(unitária)

S ensemble de matrizes unitáriasCOE, CUE

coeficiente de transmissão

caos!

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Teoria vs simulação

simulação versusRMT

(ensembles circulares)

GT ∝

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Não universalidade

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Tópico especial

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A função z de Riemann

1)(Re,1

)(1

>=∑∞

=

sn

sn

sζ + extensão analítica

∏ −−=

primoss

ps

1

1)(ζ fórmula de Euler (1737)

existem infinitos primos (Euclides, -300)

∞=∑p p

1

57

O teorema dos números primos (PNT)

∞→xx

xx ,

ln~)(π

{ }xpx <= #)(π

conjecturas: Gauss, Legendre ~1800provas: Hadamard, de la Vallée Pousin 1896

provas baseadas em propriedades dos zeros da função Z de Riemann

58

Os zeros de z(s)

K,6,4,2 −−−=s

zeros triviais

59

Zeros de z(s). II

1)Re(0 ≤≤ s faixa críticazeros não triviais

Conjectura de

Riemann:

os zeros não triviais ficam na linha crítica

2

1)Re( =s

60

Primos & zeros de z(s)

Se a conjectura de Riemann for verdadeira então:

xxcd

x

x

lnln

)(2

≤− ∫ ν

νπ

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Prêmio

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Conjectura de Hilbert-Pólya

Existe um operador hermitiano tal que seus autovalores correspondem às partes imaginárias dos zeros da função zeta de Riemann

( ) 0:2

1 =+ kk iεζε

63

Zeta function & RMT

A. M. Odlyzko 1987

GUE

64

Analogia

( ) ∏

+−

−−=

mp

p

p

p mklikZ, 2

1

2exp1 α

πµ

1

,

~

2

1~exp1

2

1~−

+−−−=

+

mp

pp mlkikiZ α

Bilhares

Zeta de Riemann

p

pl

primop

p

p

ln~

ln~

:

=

=

α65

Conjectura

Berry 1986

66

Fim