cap 03 - Realizando Computações

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Realizando Computações

Este capítulo discute conceitos-chave relacionados à realização de computações com Maple. Ele

discute funcionalidades que são relevantes para todos os usuários do Maple. Depois de aprender sobre

esses conceitos, você aprenderá, no capítulo seguinte, como usar o Maple para resolver problemas em

áreas específicas.

3.1 Neste Capítulo

Seção Tópicos

Computação Simbólica e Numérica- Uma visão geral de computaçãoexata e com ponto flutuante

• Computações Exatas•Computações comPonto-Flutuante • Conversão deQuantidades Exatas para Valores comPonto-Flutuante• Fontes deErro

Operações com Inteiros - Comorealizar computações com númerosinteiros

• Comandos Importantes comInteiros • Números em Base nãoDecimal• Anéis e CamposFinitos • Inteiros Gaussianos(Gaussian Integers)

Resolução - Como resolverequações matemáticas básicas(padrão?)

• Equações e Inequações•Equações DiferenciaisOrdinárias• EquaçõesDiferenciais Parciais• Equaçõescom Inteiros• Equações comInteiros em um Campo Finito•Sistemas Lineares• Relações deRecorrência


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Seção Tópicos

Unidades,Constantes Científicas eIncerteza - Como construir e computar com expressões que têmunidades, constantes científicas ougraus de incertezas

Unidades

• Conversões• Aplicação deUnidades a uma Expressão•Realização de Computaçõescom Unidades• Trocando oSistema de Unidades Corrente•Extensibilidade

Constantes Científicas

• Constantes Científicas•Propriedades de Isótopos eElementos• Valores, Unidades eIncertezas• Realização deComputações• Modificação eExtensibilidade

Propagação de Incerteza

• Quantidades com Incerteza•Realização de Computação comQuantidades com Incerteza

Restrição de Domínio - Comorestringir o domínio paracomputações

• Domínio dos Números Reais•Suposições sobre Variáveis

3.2 Computação Simbólica e Numérica

A computação simbólica é a manipulação matemática de expressões envolvendo símbolos ou

quantidades abstratas, como variáveis, funções e operadores; e números exatos, como os inteiros,

racionais, π e . O objetivo de tais manipulações pode ser para transformar uma expressão em uma

forma mais simples ou relacionar a expressão a uma outra, fórmulas mais compreensíveis .


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A computação numérica é a manipulação de expressões em um contexto de precisão aritmética

finita. Expressões envolvendo números exatos, por exemplo, são substituídos por

aproximações usando números com ponto-flutuante, por exemplo 1.141421. Essas computações

geralmente envolvem algum erro.A compreensão e o controle deste erro é freqüentemente tão

importante quanto o resultado computado.

No Maple, a computação numérica é normalmente realizada se você usar números com ponto-flutuante

(números contendo um ponto decimal) ou o comando evalf. O comando plot (veja Gráficos e Animações

(pág. 157)) usa computação numérica, enquanto que comandos como int, limit, e gcd

(veja Operações com Inteiros (pág. 60) e Computações Matemáticas (pág. 99)) usam somenteacomputação simbólica para alcançar seus resultados.

Computações Exatas

No Maple, números inteiros, racionais, constantes metemáticas como π e ∞ e estruturas matemáticas

como matrizes tendo esses como entradas são tratados como quantidades exatas. Nomes, como ,

, my_variable e funções matemáticas como sin(x) e LambertW(k, z) são objetos simbólicos.

Os nomes podem ter seus valores designados por quantidades exatas, e funções podem ser avaliadas

nos argumentos simbólicos ou exatos.

>

(3.1)

Importante: A não ser quando for pedido para fazer-se de outro modo (veja a seção seguinte), o Maple

avalia expressões contendo quantidades exatas com resultados exatos, assim como você faria se


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estivesse calculando à mão e não com aproximações numéricas, como normalmente você obtém de

uma calculadora manual padrão.

>

>

(3.2)

>

(3.3)

Computações com Ponto-Flutuante

Em algumas situações, uma aproximação de uma quantidade exata é requerida. Por exemplo, o

comando plot requer que a expressão, da qual ele está fazendo o gráfico, avalie com valores numéricos

que possam ser interpretados na tela: π não pode ser interpretado, mas 1.14159 pode. O Maple distingue

quantidades aproximadas das exatas pela presença ou ausência de um ponto decimal: é aproximada,

enquanto que é exata.

Nota: Uma representação alternativa de números com ponto flutuante, chamada notação-e, pode

não incluir um ponto decimal explícito: 1e5 , 3e-2 .

Na presença de uma quantidade com ponto-flutuante (aproximada) em uma expressão, o Maple

geralmente computa usando aproximações numéricas. A aritmética envolvendo quantidades exatas

e com ponto-flutuante fornece resultados com ponto-flutuante.


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>

(3.4)

Se uma função matemática passa por um argumento com ponto-flutuante, ela tenta normalmente

produzir como resultado uma aproximação com ponto-flutuante,

>

(3.5)

Conversão de Quantidades Exatas para Valores com Ponto-Flutuante

Para converter uma quantidade exata para uma aproximação numérica dessa quantidade, use o comando

evalf ou a operação Approximate do menu de contexto (veja Aproximação do Valor de uma Expressão

(pág. 19)).

>

(3.6)


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Por padrão, o Maple computa tais aproximações usando 10 dígitos aritméticos. Você pode modificar

isto de duas maneiras:

• Localmente, você pode passar a precisão como um índice para a chamada evalf.

>

(3.7)

• Globalmente, você pode determinar o valor da variável do ambiente Digits.

>

>

(3.8)

Para mais informações, veja as páginas de ajuda ?evalf e ?Digits.

Nota: Quando apropriado, o Maple realiza computações com ponto-flutuante usando diretamente

o hardware fundamental do seu computador

Fontes de Erro

Pela sua natureza, computações com ponto-flutuante envolvem algum erro. O controle do efeito desses

erros é o objetivo da pesquisa em Análise Numérica (Numerical Analysis).Algumas fontes de erro

são:


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• Uma quantidade exata que pode não ser representável exatamente na forma decimal:

e π são exemplos.

• Pequenos erros podem acumular depois várias operações aritméticas.

• Subtração de quantidades aproximadamente iguais pode resultar em uma informação inútil. Por

exemplo, considere a computação de para

>

(3.9)

Não resta nenhum dígito correto. Se, entretanto, você usar o Maple para analisar esta expressão

e substituir esta forma por uma representação mais apurada para pequenos valores, um resultado em

dígito-10 bastante preciso pode ser obtido.

>

(3.10)

>

(3.11)

Para mais informações sobre avaliação de uma expressão em um ponto, veja Substituindo uma

Sub-expressão por um Valor (pág. 280).


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Para informações sobre criação de uma aproximação por série, veja Séries (pág. 132).

Para mais informações sobre números com ponto-flutuante, consulte as páginas de ajuda ?float e

?type/float.

3.3 Operações com Inteiros

Em adição aos operadores aritméticos básicos, o Maple tem muitos comandos para a realização de

computações mais complicadas com inteiros, tais como a fatoração de um inteiro, verificação quanto a

um inteiro ser número primo e a determinação do máximo divisor comum (MDC) de um par de inteiros.

Nota: Muitas operações com inteiros estão disponíveis como tarefa templates (Tools>Tasks>Browse).

Você pode realizar com rapidez muitas operações com inteiros usando os menus de contexto.

Selecionando um inteiro e então clicando com o botão direito (para Macintosh, Control-clique) exibe-se

um menu de contexto com comandos para inteiros (integer), por exemplo, Integer Factors, que aplica o

comando ifactor. Veja a figura 3.1.

>

Figura 3.1: O Menu de Contexto para um Inteiro


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No modo Planilha, o Maple usa um rótulo de referência de equação na chamada de seqüência ifactor.

>

(3.12)

>

(3.13)

Para mais informações sobre rótulos de equação, veja Rótulos de Equação (Equation Labels)

(pág 51).

Para mais informações sobre o uso de menus de contexto no modo Planilha, veja Menus de

Contexto(pág. 39). Para informações sobre o uso de menus de contexto no modo Documento, vejaMenus de Contexto (pág. 18).

Você pode também entrar com o comando ifactor e especificar o inteiro a ser fatorado como um

argumento.

>

(3.14)

O Maple tem muitos outros comandos para inteiros, incluindo aqueles listados na tabela 3.1.

Tabela 3.1: Seleção de Comandos para Inteiros (Select Integer Commands)

comando Descrição

abs valor absoluto (exibe em 2-D math como )

factorial fatorial (exibe em 2-D math como

ifactor fatoração

igcd máximo divisor comun (greatest commondivisor)

iquo quociente de divisão de inteiro (quotient ofinteger division)


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irem resto de divisão de inteiro (remainder ofinteger division)

iroot aproximação de raiz n-ésima de inteiro

isprime teste de número primo

isqrt aproximação de raiz quadrada de inteiro

max,min máximum e mínimum de um conjunto

mod aritmética modular (modular arithmetic)(Veja Campos e Anéis Finitos (pág. 63)

numtheory[divisors] conjunto de divisores positivos

>

(3.15)

>

(3.16)

>

(3.17)

>

(3.18)

Para informações sobre encontrar soluções inteiras para equações, veja Equações de Inteiros (Integer

Equations (pág. 78).

Sistemas de Números Não-Decimais e outros Sistemas Numéricos

O Maple dá suporte a:

• Números com base não-decimal

• Aritmética de campos e anéis finitos (Finite ring and field arithmetic)

• Inteiros Gaussianos (Gaussian integers)


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Números com Base Não-Decimal

Para representar uma expressão em outra base, use o comando convert.

>

(3.19)

>

Para informações sobre palavras-chave entre aspas simples ('), veja Avaliação Posterior (Delaying

Evaluation (pág. 285).

Você pode também usar o comando convert/base.

>

(3.20)

Note: O comando convert/base devolve uma lista de valores de dígitos (digit values) em ordem

significativa decrescente.

Campos e Anéis Finitos (Finite Rings and Fields)

O Maple dá suporte a computações com (congruências lineares de) um inteiro de módulo m.

O operador mod avalia uma expressão com um inteiro de módulo m.

>

(3.21)

Por padrão, o operador mod usa a representação positiva (comando modp). A representação simétrica

fica disponível usando o comando mods.

>

(3.22)


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>

(3.23)

Para informações sobre representação simétrica como padrão, consulte a página de ajuda ?mod .

os operadores de aritmética modular estão listados na tabela 3.2.

Tabela3.2: Operadores de Aritmética Modular

Operação Operador Exemplo Adição (Addition)

Subtração (Subtraction) -

Multiplicação (exibe em2-D Math como . )

*

Multiplicativo de inverso (exibe em 2-D Math como um sobrescrito)

^(-1)

Divisão (exibe em 2-DMath como )

/

Exponenciação &^

¹ Para introduzir um circunflexo (^) em 2-D Math, entrecom um caractere contrabarra seguido por um circunflexo, isto é, \^.

Para informações sobre resolução de uma equação módulo de um inteiro, veja Equações de Inteiros

em um Campo Finito (Integer Equations in a Finite Field) (pág. 78).

O operador mod dá suporte também a aritmética polinomial e matrizes sobre campos e anéis finitos. Para mais informações, consulte a página de ajuda ?mod.


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Inteiros Gaussianos

Inteiros Gaussianos são números complexos em que as partes reais e imaginárias são números inteiros.

O pacote GaussInt contém comandos que realizam operações de inteiros Gaussianos (Gaussian integer).

O comando GIfactor devolve a fatoração de inteiro Gaussiano.

>

(3.24)

Você pode entrar com a unidade imaginária usando os seguintes métodos.

• Na paleta Common Symbols, clicar o item i ou j . Veja Paletas (pág. 9).

• Entrar com i ou j e, então,pressionar a tecla de finalização. Veja Nomes de Símbolos (pág. 14).

Nota: Na entrada 1-D Math, entrar com a unidade imaginária como um i maiúsculo (I). O comando

GIsqrt aproxima a raiz quadrada nos inteiros Gaussianos.

>

(3.25)

Para maiores informações sobre inteiros Gaussianos incluindo uma lista de comandos do pacoteGaussInt, consulte a página de ajuda ?GaussInt.

3.4 Resolução de Equações

Você pode resolver uma variedade de tipos de equações, incluindo aqueles descritos na tabela 3.3.


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Tabela 3.3: Sumário dos Métodos de Resolução para Importantes Tipos de Equações

Tipo de Equação Método de Resolução

Equações e inequações comandos solve e fsolve

Equações diferenciaisordinárias (ordinarydifferential equations)

ODE Analyzer Assistant (e comando dsolve)

Equações diferenciaisparciais (partial differential equations)

comando pdsolve

Equações de inteiros (Integerequations)

comando isolve

Equações de inteiros (Integerequations) em um campo finito

msolve command

Sistemas lineares comandoLinearAlgebra[LinearSolve]

Relações de Recorrência comando rsolve

Nota: Muitas operações de resolução estão disponíveis como tarefas templates (Tools>Tasks>Browse)

e em menus de contexto. Esta seção foca sobre outros métodos.

Resolução de Equações e Inequações

Usando o Maple, você pode resolver simbolicamente equações e inequações. Você pode também

resolver equações numericamente.

Para resolver uma equação ou um conjunto de equações usando o menu de contexto:

1. Clicar a equação com o botão direito (para Macintosh, Control-clique).

2. Do menu de contexto, selecionar Solve (ou Solve Numerically). Veja a figura 3.2.

>

(3.26)


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Figura 3.2: Menu de Contexto para uma Equação

No modo Planilha, o Maple insere uma chamada de seqüência que resolve a equação seguida pelas

soluções.

Se você selecionar Solve, o Maple computa soluções exatas.

>

(3.27)

>

(3.28)

Se você selecionar Solve Numerically, o Maple computa soluções com ponto flutuante.

>

(3.29)


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>

(3.30)

Para informações sobre como resolver simbolicamente equações e inequações usando o comando solve,

veja a seção seguinte. Para informações sobre como resolver numericamente usando o comando fsolve,

veja Resolvendo Equações Numericamente (pág. 70).

Resolvendo Simbolicamente Equações e Inequações

O comando solve é um resolutor geral que determina soluções simbólicas exatas para equações e

inequações. As soluções para uma única equação ou inequação são devolvidas como uma seqüência

de expressões. Se o Maple não encontra nenhuma solução, o comando solve devolve uma seqüência

de expressões vazia.

>

(3.31)

Recomenda-se que você verifique as soluções devolvidas pelo comando solve. Para maiores detalhes,

veja Trabalhando com Soluções (Working with Solutions) (pág. 71).

Para devolver as soluções como uma lista, coloque a chamada de seqüência entre colchetes ([]).

>


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(3.32)

Expressões

Você pode especificar expressões em lugar de equações. O comando solve automaticamente as iguala

a zero.

>

(3.33)

W representa a função Lambert W.

Múltiplas Equações

Para resolver múltiplas equações ou inequações, especifique-as como um conjunto ou uma lista.

>

(3.34)

>

(3.35)

Resolvendo para Incógnitas Específicas


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Por padrão, o comando solve devolve soluções para todas as incógnitas. Você pode especificar as

incógnitas para as quais quer solução.

>

(3.36)

Para resolver para múltiplas incógnitas, especifique-as como uma lista.

>

(3.37)

Equações Transcendentais

Em geral, o comando solve devolve uma solução para equações transcendentais.

>

>

(3.38)

Para produzir todas as soluções, determine a variável de ambiente _EnvAllSolutions como true.

Nota: Para entrar com o caractere sub-linha (_) no 2-D Math, entre com \_.

>


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>

(3.39)

O Maple usa variáveis da forma _ZN~, onde N é um inteiro positivo, para representar inteiros arbitrários.O til (~) indica que é uma quantidade com uma suposição (assumption). Para informações

sobre nomes com suposições, veja Suposições sobre Variáveis (Assumptions on Variables) (pág. 95).

Estrutura RootOf

O comando solve pode devolver soluções, por exemplo, para equações polinomiais de ordem mais alta,

em uma forma implícita usando estruturas RootOf .

>

(3.40)

Estas estruturas RootOf são lugares de espera (placeholders) para raízes da equação

O parâmetro index numera e ordena as quatro soluções.

Como qualquer expressão simbólica, você pode converter estruturas RootOf para valores com

ponto-flutuante usando o comando evalf .

>

(3.41)

Algumas equações são difíceis de resolver simbolicamente. Por exemplo, equações polinomiais de


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quinta ordem ou de ordem mais alta, em geral, não têm uma solução em termos de radicais. Se ocomandosolve não encontrar nenhuma solução, é recomendado que você use o resolutor numérico

do Maple , fsolve. Para mais informações, veja a seção seguinte, Resolvendo Equações

Numericamente.

Para mais informações sobre o comando solve, incluindo como resolver equações definidas como

procedimento e como encontrar soluções paramétricas, comsulte a página de ajuda ?solve/details.

Para informações sobre verificação e uso de soluções devolvidas pelo comando solve, veja Trabalhando

com Soluções (Working with Solutions) (pág. 71).

Resolvendo Equações Numericamente

O comando fsolve resolve equações numericamente. O comportamento do comando fsolve é similarao docomando solve.

>

>

(3.42)

Nota: Você pode também resolver equações numericamente usando os menus de contexto. Veja

Resolução de Equações e Inequações (pág. 65).

Recomenda-se que você verifique as soluções devolvidas pelo comando fsolve. Para maiores detalhes,

veja Trabalhando com Soluções (pág. 71).


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Múltiplas Equações

Para resolver múltiplas equações, especifique-as como um conjunto. O comando fsolve resolve para

todas as incógnitas.

>

(3.43)

Equações Polinomiais a Uma Variável

Em geral, o comando fsolve encontra uma solução. Entretanto, para uma equação polinomial a uma

variável, o comando fsolve devolve todas as raízes reais.

>

>

(3.44)

Controlando o Número de Soluções

Para limitar o número de raízes, especifique a opção maxsols.

>

(3.45)

Para encontrar soluções adicionais para uma equação geral, use a opção avoid para ignorar as

soluções conhecidas.

>


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(3.46)

Soluções Complexas

Para procurar por uma solução complexa, ou para encontrar todas as raízes complexas e reais para um

polinômio a uma variável, especifique a opção complex.

>

(3.47)

Se o comando fsolve não encontra nenhuma solução, recomenda-se que você especifique um intervalo

(range) em que procurar soluções ou especificar um valor inicial.

Range (Intervalo)

Para procurar por uma solução em um intervalo, especifique o intervalo na chamada de

seqüências. O Intervalo pode ser real ou complexo.

>

(3.48)

A sintaxe para uma região específica no plano complexo é ponto esquerda-abaixo..ponto direita-acima.

(lower-left point..upper-right point).

>

(3.49)

Valores Iniciais

Você pode especificar um valor para cada incógnita. O comando fsolve os usa como valores iniciais


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das incógnitas no método numérico.

>

(3.50)

Para maiores informações e exemplos, consulte a página de ajuda ?fsolve/details.

Para informações sobre verificação e uso de soluções devolvidas pelo comando fsolve, veja a seção

seguinte Trabalhando com Soluções.

Trabalhando com Soluções

Verificação

É recomendável que você sempre verifique as soluções (que os comandos solve e fsolve devolvem)usandoo comando eval.

>

>

(3.51)

>

(3.52)

>


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>

(3.53)

>

(3.54)

Para maiores informações, veja Substituindo uma Sub-expressão por um Valor (pág. 280).

Atribuindo o Valor de uma Solução a uma Variável

Para atribuir o valor de uma solução à variável correspondente como uma expressão, use o

comando assign.

Por exemplo, considere a solução numérica para equation2 , , encontrada

usando o valor inicial (starting value)

>

Error, `>` unexpected

>

(3.55)

Criando uma Função de uma Solução


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O comando assign atribui um valor como uma expressão a um nome. Ele não define uma função.

Para converter uma solução para uma função, use o comando unapply.

Considere uma das soluções para q para a equação .

>

>

(3.56)

Você pode avaliar esta função em valores numéricos ou simbólicos.

>

(3.57)

>

(3.58)

>

(3.59)

Para maiores informações sobre definição e uso de funções, veja Operadores Funcionais (Functional

Operators (pág. 267).


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Outros Resolutores Especializados

Além de equações e inequações, o Maple pode resolver outras equações incluindo:

• Equações Diferenciais Ordinárias -EDOs (ODEs)

• Equações Parciais Diferenciais -EDPs (PDEs)

• Equações de Inteiros (Integer equations)

• Equações de Inteiros em um campo finito

• Sistemas Lineares

• Relação de Recorrência

Equações Diferenciais Ordinárias -EDOs (ODEs)

O Maple pode resolver EDOs e sistemas de EDOs, incluindo problemas de valor inicial e valores de

contorno, simbolicamente e numericamente.

ODE Analyzer Assistant

O ODE Analyzer Assistant é uma interface apontar-e-clicar para as rotinas de resolução de equações

diferenciais ordinárias (ODEs) do Maple.

Para iniciar o ODE Analyzer:

• Do menu Tools, selecionar Assistants e depois o ODE Analyzer.

O Maple insere o dsolve[interactive]() chamando seqüência no documento.O ODE Analyzer Assistant

(Figura 3.3) é exibido.


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Figura 3.3: ODE Analyzer Assistant

Na janela principal do ODE Analyzer Assistant, você pode definir ODEs, condições de valor inicial

e de contorno e parâmetros. Para definir derivadas, use o comando diff . Por exemplo, diff(x(t),

t)corresponde a e diff(x(t), t, t) corresponde a . Para mais informações sobre o comando

diff , veja O Comando diff (pág. 128).

Após definir uma equação diferencial ordinária (ODE), você pode resolvê-la numericamente ou

simbolicamente.

Para resolver numericamente um sistema usando o ODE Analyzer Assistant:

1. Assegure-se de que as condições garantam solução única.

2. Assegure-se de que todos os parâmentros tenham valores fixos.

3. Clique o botão Solve Numerically.

4. Na janela de Solve Numerically (Figura 3.4), você pode especificar o método numérico e os

parâmetros relevantes e tolerâncias de erro para resolver o problema.

5. Para computar os valores da solução em um ponto, clicar o botão Solve.


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Figura 3.4: ODE Analyzer Assistant: Diálogo Solve Numerically

Para resolver um sistema simbolicamente usando o ODE Analyzer Assistant:

1. Clicar o botão Solve Symbolically.

2. Na janela de Solve Symbolically (Figura 3.5), você pode especificar o método e relevantes opções

de método-específico para usar na solução do problema.

3. Para computar a solução, clicar o botão Solve.


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Figura 3.5: ODE Analyzer Assistant: Diálogo Solve Symbolically

Ao resolver numericamente ou simbolicamente, você pode ver um gráfico da solução clicando o botão

Plot .

• Para fazer o gráfico da solução de um problema simbólico, todas as condições e parâmetros devem

estar determinados.

• Para personalizar o gráfico, clicar o botão Plot Options para abrir a janela Plot Options.

Para ver os comandos Maple correspondentes enquanto você resolve o problema ou faz o gráfico da

solução, selecione a caixa de seleção do comando Show Maple.

Você pode controlar a devolução do valor do ODE Analyzer usando a lista suspensa On Quit, Return. Você pode selecionar para nenhuma devolução o gráfico exibido, o procedimento numérico computado

(para soluções numéricas), a solução (para soluções simbólicas) ou os comandos Maple necessários

para produzir os valores da solução e o gráfico exibido.


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O Comando dsolve

O ODE Analyzer provê uma interface apontar-e-clicar para o comando Maple dsolve.

Para ODEs ou sistemas de ODEs, o comando dsolve pode encontrar:

• Soluções em forma fechada (Closed form)

• Soluções Numéricas

• Soluções em série

Além disso, o comando dsolve pode encontrar:

• Soluções formais em série de potências para ODEs lineares com coeficientes polinomiais

• Soluções formais para ODEs lineares com coeficientes polinomiais

Para acessar todas as funcionalidades disponíveis, use o comando dsolve diretamente. Para maiores

informações, consulte a página de ajuda ?dsolve.

Equações Diferenciais Parciais (PDEs)

Para resolver uma PDE ou um sistema de PDE simbolicamente ou numericamente, use o comando

pdsolve. Os sistemas PDE podem conter ODEs, equações algébricas e inequações.

Por exemplo, resolver simbolicamente a seguinte PDE.

>

(3.60)

>

(3.61)

A solução é uma função arbitrária a uma variável aplicada a .

O Maple geralmente imprime somente o valor devolvido, erros e espera durante a computação. Para

imprimir informações sobre as técnicas que o Maple usa, aumente o contexto (setting) infolevel para


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o comando.

Para devolver toda informação, coloque o infolevel para 5.

>

>

Checking arguments ...

First set of solution methods (general or quase general solution)

Second set of solution methods (complete solutions) Trying methods for first order PDEs

Second set of solution methods successful

(3.62)

Para mais informações sobre PDEs, incluindo soluções numéricas e resoluções de sistema PDE, consulte

a página de ajuda ?pdsolve.

Equações de Inteiros (Integer Equations)

Para encontrar soluções para uma equação, use o comando isolve. O comando isolve encontra soluções

para todas as variáveis. Para mais informações, consulte a página de ajuda ?isolve.

>

(3.63)

Equações de Inteiros (Integer Equations) em um Campo Finito

Para resolver uma equação módulo de um inteiro, use o comando msolve. Para mais informações,

consulte a página de ajuda ?msolve. O comando msolve encontra soluções para todas as variáveis.

>


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(3.64)

Resolvendo Sistema Lineares

Para resolver um sistema linear, use o comando LinearAlgebra[LinearSolve]. Para mais

informações, consulte a página de ajuda ?LinearAlgebra[LinearSolve]. O comando LinearSolve

devolve o vetor x que satisfaz A . x = B.

Por exemplo, construir uma matriz aumentada usando a paleta Matrix (veja Criando Matrizes e

Vetores (pág. 110)) em que as quatro primeiras colunas contêm entradas de A e a coluna final

contém as entradas de B.

>

>

(3.65)

Para mais informações sobre o uso do Maple para resolver problemas de álgebra linear, veja Álgebra

Linear (pág. 110).

Resolvendo Relações de Recorrência


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Para resolver uma relação de recorrência, use o comando rsolve. Para mais informações, consulte

a página de ajuda ?rsolve. O comando rsolve encontra o termo geral da função.

>

(3.66)

3.5 Unidades, Constantes Científicas e Incerteza

Além de manipular quantidades simbólicas e numéricas exatas, o Maple pode realizar computações

com unidades e incertezas

O Maple suporta centenas de unidades, por exemplo, milhas, coulombs e bars e provê facilidades

para a adição de unidades outras (custom units).

O Maple tem uma biblioteca de centenas de constantes científicas com unidades, incluindo propriedades

de elementos e isótopos.

Para suportar computações com incertezas, o Maple propaga erros através de computações.

Unidades (Units)

O pacote Units no Maple provê um biblioteca de unidades e facilidades para o uso de unidades em

computações. E é completamente extensível, tanto que você pode adicionar unidades conformesejanecessário.

Nota: Algumas das operações estão disponíveis como tarefas templates (veja Tools>Tasks>Browse)

e através de menus de contexto.

Sumário de Unidades (Overview of Units)

Uma dimensão (dimension) é uma quantidade mensurável, por exemplo, comprimento ou força. O

conjunto de dimensões que são fundamentais e independentes são conhecidas como dimensões


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básicas ou fundamentais (base dimensions).

No Maple, as dimensões básicas (fundamentais) incluem comprimento (length), massa (mass), tempo

(time), corrente elétrica, temperatura termodinâmica, intensidade luminosa, informação e circulação

(currency). Para uma lista completa, veja Units[GetDimensions]().

Dimensões complexas (ou dimensões compostas) medem outras quantidades em termos de uma

combinação de dimensões básicas (fundamentais). Por exemplo, a dimensão composta de força é

uma medida de .

Cada dimensão, fundamental ou composta, tem unidades associadas. (Unidades fundamentais medem

uma dimensão fundamental. Unidades compostas medem uma dimensão composta). O Maple dá suporte a mais de trinta unidades de comprimento, incluindo pés (feet), milhas (mile), metro (meters),angstroms,microns e unidades astronômicas. Um comprimento deve ser medido em termos de umaunidade, por exemplo, um comprimento de 2 parsecs.

Tabela 3.4 lista algumas dimensões, suas dimensões básicas (fundamentais) correspondentes e exemplo

de unidades.

Tabela 3.4: Amostra de Dimensões

Dimensão Dimensão Básica Exemplos de Unidades

Time time segundo, minuto, hora, dia, semana, mês, ano, milênio,blink, lune

Energia joule, eletron volt, erg, watt hora, caloria,Calorie, unidade térmica britânica

PotêncialElétrico

volt, abvolt, statvolt

Para a lista completa de unidades (e seus contextos e símbolos) disponível para uma dimensão,

consulte a página de ajuda correspondente, por exemplo, a página de ajuda ?Units/length para

as unidades de comprimento.


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Cada unidade tem um contexto. O contexto distingue entre diferentes definições da unidade. Por exemplo,a padrão e a medida milha do US (US survey miles) são diferentes unidades de comprimento;

e o segundo é uma unidade de tempo e de ângulo. Você pode especificar o contexto de uma unidade

anexando-o como um índice, por exemplo, mile[US_survey]. Se você não especificar um contexto, oMaple usa o contexto padrão.

As unidades estão coletadas em sistemas, por exemplo, o sistema foot (pé)-pound (libra)-segundo (FPS) eo sistema internacional, (SI). Cada sistema tem um conjunto padrão de unidades usadas para medidas.Nosistema FPS, foot (pé), pound (libra) e segundo são usadas para medir as dimensões de

comprimento, massa e tempo. A unidade de velocidade é foot/second. No sistema SI, metro,quilogramae segundo são usadas para medir as dimensões de comprimento, massa e tempo. As

unidades de velocidade, fluxo magnético e potência são o metro/segundo, weber, e watt.

Conversões

Para converter um valor medido em uma unidade para o valor correspondente em uma unidade diferente,

use o UnitsCalculator.

• Na planilha, entre com ?UnitsCalculator.

A aplicação Units Calculator abre (Figura 3.6).

Figure 3.6: Assistente Conversor de Unidades

Para realizar uma conversão:


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1. No campo de texto Convert, entre com o valor numérico a ser convertido.

2. Na lista suspensa Dimension, selecione a dimensão da unidade.

3. Nas listas suspensas From e To, selecione a unidade original e a unidade a que converter.

4. Clique Perform Unit Conversion.

O Maple insere o comando correspondente convert/units no documento.

>

(3.67)

Importante: Usando o Units Calculator, você converte temperaturas e mudanças de temperatura

(temperature change).

• Para realizar uma conversão de temperatura, selecione na lista suspensa Dimension, temperature

(absolute).

• Para realizar a conversão de mudança de temperatura , na lista suspensa Dimension, selecionetemperature(relative).

Para converter mudanças de temperatura, o Units Calculator usa o comando convert/units. Por exemplo, um aumento de 32 graus Fahrenheit corresponde a um aumento de pelo menos 18 grausCelsius.

>

(3.68)

Para converter temperaturas absolutas, O Unit Converter usa o comando convert/temperature.Por exemplo, 32 graus Fahrenheit corresponde a 0 graus Celsius.

>

(3.69)

Aplicando Unidades a uma Expressão

Para inserir uma unidade, use as paletas Units. A paleta Units (FPS) (Figura 3.7) contém importantes


37 de 57 30/03/2008 12:59

unidades do sistema pé-libra-segundo (foot-pound-second). A paleta The Units (SI) (Figura 3.8) contémimportantes unidades do sistema internacional de unidades.

Figura 3.7: Paleta Units (FPS) Figura 3.8: Paleta Units (SI)

Para inserir uma unidade:

• Em uma paleta Units, clique um símbolo de unidade.

>

(3.70)

Para inserir uma unidade que não está disponível nas paletas:

1. Em uma paleta Units, clique o símbolo unit . O Maple insere um objeto Unit no lugar

de espera selecionado.

2. No lugar de espera, entre com o nome da unidade (ou o símbolo).


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Por exemplo, para entrar com miles standard [o contexto padrão (default)], você pode especificar

o nome da unidade, mile, ou o símbolo, mi.

>

(3.71)

O contexto de uma unidade é exibido somente se ela não estiver no contexto padrão.

Importante: Na entrada em 1-D Math, a quantidade e a unidade (entradas usando o toplevel comando Unit) são um produto, não uma simples identidade.As seguintes chamadas de seqüências definemexpressões diferente.

> 1*Unit(m)/(2*Unit(s));

(3.72)

1*Unit(m)/2*Unit(s);

(3.73)

Algumas unidades suportam prefixos. Por exemplo, as unidades SI suportam prefixos para nomes e

símbolo. Você pode especificar 1000 metros usando kilometer ou km. Para mais informações, consulteaspáginas de ajuda ?Units/prefixes.

>

(3.74)

Realizando Operações com Unidades


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No ambiente padrão Maple, você não pode realizar computações com quantidades que têm unidades.Você pode somente realizar conversões de unidades. Para mais informações sobre ambiente padrão,

consulte a página de ajuda ?Units/default.

Para computar com expressões que têm unidades, você precisa carregar um ambiente Units, Natural

ou Standard. É recomendado que você use o ambiente Standard.

>

No ambiente Standard Units, os comandos que suportam expressões com unidades devolvem os

resultados com unidades corretas.

>

(3.75)

>

(3.76)

>

Error, (in Units:-Unit) `Units:-Standard:-`*`(m, Units:-Standard:-`/`(s))` is not

a recognized unit

? mas se escrevo:

>


40 de 57 30/03/2008 12:59

(3.77)

>

(3.78)

Para mais informações sobre derivação e integração, veja Cálculo (pág. 125).

Trocando o Sistema Corrente de Unidades

Se uma computação inclui múltipas unidades, todas as unidades são expressas usando unidades de

um sistema corrente de unidades.

>

(3.79)

Por padrão, o Maple usa o sistema de Unidades SI, em que o comprimento é medido em metros e o

tempo, em segundos.

>

(3.80)

Para ver o nome do sistema de unidades padrão, use o comando Units[UsingSystem].

>


41 de 57 30/03/2008 12:59

>

(3.81)

Para trocar o sistema de unidades, use o comando Units[UseSystem].

>

>

(3.82)

Extensibilidade

Você pode estender o conjunto de:

• Dimensões básicas e unidades

• Dimensões compostas

• Unidades compostas

• Sistemas de unidades

Para mais informações, consulte as páginas de ajuda ?Units[AddBaseUnit], ?Units[AddDimension], ?Units[AddUnit], e ?Units[AddSystem].

Para mais informação sobre unidades, consulte a página de ajuda ?Units.

Constantes Científicas e Propriedades de Elementos

As computações freqüentemente requerem não somente unidades (veja Unidades (pág. 80)), mas

também os valores de constantes científicas, incluindo propriedades de elementos e seus isótopos.


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O Maple dá suporte a computações com constantes científicas. Você pode usar as constantes embutidas eadicionar outras constantes (custom constants).

Sumário de Constantes Científicas e Propriedades de Elementos

O pacote ScientificConstants provê os valores de quantidades físicas constantes, por exemplo, avelocidade da luz e o peso atômico do sódio. O pacote ScientificConstants também provê unidadesparaos valores das constantes, permitindo maior compreensão da equação, assim como uma associação

de unidades para a verificação de erro da solução .

As quantidades disponíveis no pacote ScientificConstants estão divididas em duas categorias distintas.

• Constantes físicas• Propriedades químicas de elementos (e isótopos)

Constantes Científicas

O Maple contém muitas constantes científicas embutidas, que você pode facilmente incluir em suas

computações.

Lista de Constantes Científicas

Você tem acesso às constantes científicas importantes em engenharia, física, química e outros campos.

A Tabela 3.5 lista algumas das constantes com suporte. Para uma lista completa de constantes científicas,consulte a página de ajuda ?ScientificConstants/PhysicalConstants.

Tabela 3.5: Constantes Científicas

Nome Símbolo

Newtonian_constant_of_gravitation

Constante de gravitação de Newton

G

Planck_constant

Constante de Planck

h

elementary_charge (carga elementar) e Bohr_radius (Raio de Bohr) a[0]

deuteron_magnetic_moment

Momento magnético do dêuteron

mu[d]

Avogadro_constant

Constante de Avogadro

Faraday_constant

Constante de Faraday

F


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Você pode especificar uma constante usando seu nome ou seu símbolo.

Acessando Definição de Constantes

O comando GetConstant no pacote ScientificConstants devolve a definição completa de uma constante.

Para ver a definição da constante gravitacional Newtoniana, especifique o símbolo G (ou seu nome) em uma chamada ao comando GetConstant.

>

>

(3.83)

Para informações sobre acesso ao valor de uma constante, unidades ou incerteza, veja Valor, Unidades

e Incerteza (Value, Units, and Uncertainty (pág. 89)).

Propriedades de Elementos

O Maple também contém propriedades de elementos e isótopos.

Elementos

O Maple dá suporte aos primeiros 112 elementos da tabela periódica, mais os elementos de número 114

e 116. Cada elemento tem um único nome, número atômico e símbolo químico. Você pode especificarumelemento usando quaisquer destes rótulos. Para uma lista completa de elementos suportados,

consulte a página de ajuda ?ScientificConstants/elements.

O Maple dá suporte às propriedes chave de elementos (key element properties), incluindo peso atômico

(atomicweight), afinidade eletrônica (electronaffinity) e densidade. Para uma lista completa de propriedades de elementos, consulte a página de ajuda ?ScientificConstants/properties.


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Isótopos

Os Isótopos, formas variantes de um elemento que contêm o mesmo número de prótons mas um número

diferente de neutrons, existem para muitos elementos. Para ver a lista de isótopos suportados para um

elemento, use o comando GetIsotopes.

>

(3.84)

O Maple dá suporte a isótopos e tem um conjunto distinto de propriedades para isótopos, incluindo

abundância, energia de ligação (bindingenergy) e excesso de massa (massexcess). Para uma lista

completa de propriedades de isótopos, consulte a página de ajuda ?ScientificConstants/properties.

Acessando a Definição de Propriedades de um Elemento ou Isótopo

O comando GetElement no pacote ScientificConstants devolve a definição completa de um elemento

ou isótopo

>

(3.85)

>

(3.86)

Valor, Unidades e Incerteza

Para usar constantes ou propriedades de elementos, você deve primeiro construir um objeto


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Scientific-Constants.

Para construir uma constante científica, use o comando Constant.

>

(3.87)

Para construir uma propriedade de elemento (ou isótopo), use o comando Element.

>

(3.88)

Valor

Para obter o valor de um objeto ScientificConstants, use o comando evalf .

>

(3.89)

>

(3.90)

Nota: O valor devolvido depende do sistema de unidades corrente. Para informações sobre controle

de sistemas de unidades, veja Trocando o Sistema Corrente de Unidades (pág. 85).

Unidades

Para obter as unidades para um objeto ScientificConstants, use o comando GetUnit.


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>

(3.91)

>

(3.92)

Para informações sobre a troca do sistema de unidades padrão, por exemplo, do SI para pé-libra-

segundo (foot-pound-second), veja Trocando o Sistema Corrente de Unidades (pág. 85).

Valor e Unidades

Se estiver realizando computações com unidades, você pode acessar o valor e as unidades para um

objeto ScientificConstants especificando a opção units ao construir o objeto e depois avaliá-lo.

>

(3.93)

>

(3.94)


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Incerteza

O valor de uma constante é freqüentemente determinado pela medição direta ou derivado de valores

medidos. Logo, ele tem associada uma incerteza. Para obter a incerteza no valor de umobjetoScientificConstants, use o comando GetError.

>

(3.95)

>

(3.96)

Realizando Computações

Você pode usar valores constantes em qualquer computação. Para usar valores constantes com unidades,

use um ambiente Units como descrito no Realizando Computações com Unidades (pág. 84). Para

informações sobre computações com quantidades que têm uma incerteza, veja a seção seguinte.

Modificação e Extensibilidade

Você pode trocar a definição de uma constante científica ou propriedade de elemento (ou isótopo).

Para mais informações, consulte as páginas de ajuda ?ScientificConstants[ModifyConstant] e ?ScientificConstants[ModifyElement].

Você pode estender o conjunto de:

• Constantes

• Elementos (e isótopos)

• Propriedade de Elemento (ou isótopo)

Para mais informações, consulte as páginas de ajuda ?ScientificConstants[AddConstant],

?ScientificConstants[AddElement] e ?ScientificConstants[AddProperty].

Para mais informações sobre constantes, consulte a página de ajuda ?ScientificConstants.


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Propagação de Incerteza

Algumas computações envolvem incertezas (ou erros). Usando o pacote ScientificErrorAnalysis, vocêpode propagar a incerteza nestes valores através da computação para indicar o possível erro no

resultado final.

O pacote ScientificErrorAnalysis não realiza intervalo aritmético. Isto é, o erro de um objeto nãorepresenta um intervalo no qual possíveis valores devem estar contidos. (Para realizar intervalo aritmético,use o pacote Tolerances. Para mais informações, consulte a página de ajuda?Tolerances). Asquantidades representam valores desconhecidos com tendência central. Para mais informações sobre tendênciacentral, consulte qualquer texto sobre análise de erros para ciências físicas ou engenharia.

Quantidades com Incertezas

Criando

Para construir quantidades com incertezas, use o comando Quantity. Você deve especificar o valor e aincerteza. A incerteza pode ser definida absolutamente, relativamente ou em unidades do últimodígito.Para mais informações sobre especificação de incerteza, consulte a página de ajuda?ScientificError

Analysis[Quantity].

A saída exibe o valor e a incerteza da quantidade.

>

>

(3.97)

>

(3.98)

Para especificar o erro em unidades do último dígito, o valor deve ser do tipo com ponto-flutuante

>

(3.99)


49 de 57 30/03/2008 12:59

Para acessar o valor e a incerteza de uma quantidade com incerteza, use os comandos evalf e ScientificErrorAnalysis[GetError].

>

(3.100)

>

(3.101)

Arredondando

Para arredondar o erro de uma quantidade com incerteza, use o comando ApplyRule. Para uma descriçãodas regras de arredondamente pré-definidas, consulte a página de ajuda

?ScientificErrorAnalysis/rules.

>

(3.102)

Unidades

As quantidades com erros podem ter unidades. Por exemplo, constantes científicas e propriedade de

elemento (e isótopo) nos pacotes ScientificConstants são quantidades com erros e unidades.

Para construir uma nova quantidade com unidades e incerteza, inclua unidades na chamada de seqüência

Quantity.

Para um erro absoluto, você deve especificar as unidades em ambos: no valor e no erro.

>

>

(3.103)


50 de 57 30/03/2008 12:59

Para um erro relativo, você pode especificar unidades somente no valor.

>

(3.104)

Para informações sobre a correlação entre variância e covariância entre quantidades com incerteza,

consulte a página de ajuda ?ScientificErrorAnalysis.

Realizando Computações com Quantidades com Incerteza

Muitos comandos do Maple dão suporte às quantidades com incerteza.

>

>

Compute o valor da derivada de em x=sin(π/4).

>

(3.105)

>

Para converter a solução para uma única quantidade com incerteza, use o comando combine/errors.

>


51 de 57 30/03/2008 12:59

O valor do resultado é:

>

(3.106)

A incerteza do resultado é:

>

(3.107)

Informação Adicional

Para informações sobre tópicos incluindo:

• Criando novas regras de arredondamento

• Determinando regras padrão de arredondamento

• Criando uma nova interface para quantidades com incerteza

consulte a página de ajuda ?ScientificErrorAnalysis.

3.6 Restringindo o Domínio

Por padrão, o Maple computa no sistema de números complexos. A maioria das computações é

realizada sem quaisquer restrições ou suposições sobre as variáveis. O Maple freqüentemente devolve

resultados que são estranhos ou não simplificados ao computar no campo de números complexos.

Usando restrições, você pode mais fácil e eficientemente realizar computações em um domínio

menor.

O Maple tem facilidades para realizar computações no sistema dos números reais e para aplicar

suposições para variáveis.

Domínio dos Números Reais


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Para forçar o Maple a realizar computações no campo dos números reais, use o pacote RealDomain.

O pacote RealDomain contém um pequeno sub-conjunto de comandos Maple relativos a pré-cálculoecálculos matemáticos básicos, por exemplo, arccos, limit, e log, e a manipulação simbólica de

expressões e fórmulas, por exemplo, expand, eval, e solve. Para uma lista completa de comandos, consulte a página de ajuda ?RealDomain.

Depois de carregar o pacote RealDomain, o Maple assume que todas as variáveis são reais. Os comandosdevolvem resultados simplificados apropriados ao campo dos números reais.

>

>

(3.108)

>

(3.109)

Alguns comandos que geralmente devolvem NULL, devolvem um resultado numérico

quando você usa o pacote RealDomain.

>

(3.110)

Devolução de valores complexos são excluídos ou substituídos por undefined.

>


53 de 57 30/03/2008 12:59

>

(3.111)

Suposições Sobre Variáveis

Para simplificar a solução do problema, é recomendado que você sempre aplique quaisquer suposições

conhecidas para as variáveis. Você pode impor suposições usando o comando assume. Para aplicar

suposições para uma única computação, use o comando assuming.

Nota: Os comandos assume e assuming não têm suporte no pacote RealDomain.

O Comando assume

Você pode usar o comando assume para determinar propriedades de variáveis, por exemplo, x::real

e relações entre variáveis, por exemplo, x < 0 or x < y.

Para informações sobre propriedades válidas, consulte a página de ajuda ?assume. Para informação

sobre o operador dois pontos duplos (::), consulte a página de ajuda ?type.

O comando assume permite simplificação melhorada de expressões simbólicas, especialmente funções

multi-avaliadas, por exemplo, computação de raiz quadrada.

Psra assumir que x é um número real positivo, use a seguinte chamada de seqüência. Então computea raizquadrada de .

>

(3.112)

O til (~) seguindo o nome x indica que ele carrega suposições.


54 de 57 30/03/2008 12:59

Quando você usa o comando assume para colocar a outra suposição sobre x, as suposições anteriores

são todas removidas.

>

(3.113)

Exibindo as Suposições

Para ver as suposições sobre uma expressão, use o comando about.

>

Imposição de Múltiplas Suposições

Para impor simultaneamente múltiplas condições sobre uma expressão, especifique múltiplos argumentosna chamada de seqüência calling.

>

Para especificar suposições adicionais sem substituir as suposições anteriores, use o comando

additionally. A sintaxe da chamada de seqüência additionally é a mesma do comando assume.

>

Originally x, renamed x~:

is assumed to be: 1

O único inteiro no intervalo aberto (0, 2) é 1.


55 de 57 30/03/2008 12:59

Testanto Propriedades

Para testar se uma expressão sempre satisfaz uma condição, use o comando is.

>

(3.114)

Os seguintes testes devolvem false porque existem valores de x e y (x = 0, y = 10) que satisfazem

a suposição, mas não satisfazem a relação na chamada de seqüência is.

>

(3.115)

Para testar se uma expressão pode satisfazer uma condição, use o comando coulditbe.

>

(3.116)

Removendo Suposições

Para remover todas as suposições sobre uma variável, retire a atribuição (unassign) dada a

seu nome.

>

Para mais informações, veja Retirada de Atribuições de Nomes (Unassigning Names) (pág. 50).

Para mais informações sobre o comando assume, consulte a página de ajuda ?assume.


56 de 57 30/03/2008 12:59

O Comando assuming

Para realizar uma única avaliação sob suposições sobre nomes em uma expressão, use o comando

assuming.

A sintaxe do comando assuming é expression assuming <property or relation>. Propriedades e relaçõessão introduzidas em O Comando assume(pág. 95).

O comando frac devolve a parte fracional de uma expressão.

>

(3.117)

Usar o comando assuming é equivalente a impor suposições com o comando assume, avaliando aexpressão e então removendo as suposições.

>

x: nothing known about this object

Se você não especifica os nomes aos quais aplicar uma propriedade, ela é aplicada a todos os nomes.

>

(3.118)

Suposições colocadas sobre nomes usando o comando assume são ignoradas pelo comando assuming, a menos que você inclua a opção additionally.

>

>

(3.119)


57 de 57 30/03/2008 12:59

>

(3.120)

O comando assuming não afeta variáveis dentro de procedimentos. Para informações sobre

procedimentos, veja Procedimentos (pág. 301). Você deve usar o comando assume.

>

(3.121)

>

(3.122)

>

(3.123)

Para mais informações sobre o comando assuming, consulte a página de ajuda ?assuming.

cap 03 - Realizando Computações

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