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Cap. 1. Tensores cartesianos, clculo tensorial, aplicao aos momentos de inrcia 1. Quantidades fsicas 1.1 Tipos das quantidades fsicas 1.2 Descrio matemtica dos tensores 1.3 Definio dos tensores 2. lgebra tensorial 3. Tensores cartesianos em 2D simtricos 3.1 Derivao da lei de transformao para vectores 3.2 Lei de transformao para tensores de segunda ordem 3.3 Valores prprios 3.4 Circunferncia de Mohr 3.4.1 Convenes e consequncias 3.4.2 Determinao dos valores e das direces principais 3.4.3 Determinao das componentes para uma rotao arbitrria 3.4.4 Determinao do referencial ligado a componentes especificadas 3.5 Verificaes dos valores principais 3.6 Determinao das componentes sabendo valores em 3 direces 4. Tensores cartesianos em 3D simtricos 4.1 Valores e vectores prprios ou valores e direces principais 4.2 Determinao e propriedades 4.3 Casos particulares 4.4 Valores extremos fora de diagonal 4.5 O tensor de inrcia 5. Anlise tensorial

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1. Quantidades fsicas Escalares Vectores Tensores de segunda ordem... Tensores de ordem zero Tensores de primeira ordem Tensores de segunda ordem... 1.1 Tipos das quantidades fsicas Escalares 1 dado suficiente para a descrio completa Exemplos: temperatura, massa, densidade, tempo

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Representao geomtrica Vectores direco intensidade sentido O vector plenamente determinado quando sabemos: Sentido Ponto de aplicao Direco Intensidade preciso 3 dados para a descrio completa Exemplos: fora, deslocamento, velocidade, acelerao

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Tensores de segunda ordem O tensor de segunda ordem plenamente determinado no ponto P quando sabemos 3 vectores de pontos de aplicao P, actuantes Em 3 planos diferentes, no paralelos, que se intersectam no P preciso 9 dados para a descrio completa Representao geomtrica dos tensores... mais tarde de acordo com o significado fsico Neste caso falou-se de um vector livre, ou seja de um vector no sentido matemtico Da disciplina Esttica j sabemos que de acordo com a aplicao particular preciso distinguir vectores de 3 tipos Livre (exemplo: vector associado a um binrio) Deslizante ou seja fixo sua linha de aco (exemplo: fora na mecnica dos corpos rgidos) Fixo ou seja fixo ao ponto de aplicao (exemplo: fora na mecnica dos corpos deformveis) Exemplo: tenso, deformao, tensor de momentos de inrcia Tensores de quarta ordem Exemplo: tensor de rigidez e de flexibilidade

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1.2 Descrio matemtica dos tensores A descrio matemtica dos tensores baseia-se em 3 n em 3D2 n em 2D onde n corresponde ordem do tensor necessrias para a descrio completa dos tensores: Euclid (ca. 325-ca. 270 BC) Espao Para poder definir as componentes, preciso definir o espao e o referencial Espao de Euclid: 1D, 2D, 3D Tambm chamado espao cartesiano 1D espao dos nmeros reais mD espao de combinaes de m nmeros reais componentes Nmero de componentes

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Sistema de coordenadas ou referencial Trs eixos rectos mutuamente perpendiculares Vectores base tm a norma unitria Nas nossas aplicaes sempre directo Verificao de acordo com a regra da mo direita Dedos de x para y Polegar mostra orientao positiva de z Dedos de y para z Polegar mostra orientao positiva de x Dedos de z para xPolegar mostra orientao positiva de y Ren Descartes (1596-1650) Referencial cartesiano: preciso introduzir para poder efectuar representaes geomtricas definido pela origem 0 e pelos vectores base Permutao positiva

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vectorial matricial Vectores Vectortem componentes Representao matemtica Representao geomtrica

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Tensores de segunda ordem Representao matemtica das componentes na forma matricial Representao geomtrica mais tarde de acordo com o significado fsico 3D 2D

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1.3 Definio dos tensores A quantidade fsica chama-se tensor quando as suas componentes obedecem a lei de transformao. Esta lei descreve clculo das componentes no referencial transformado Tensores cartesianos Tensores cartesianos so tensores definidos no referencial cartesiano, consequentemente a lei de transformao especificada apenas no referencial cartesiano e representa a rotao do referencial Para quantidades fsicas as componentes so nmeros e so relacionadas a uma dada posio (ponto) Campos fsicos Quando as quantidades fsicas so funes de posio, chamamos-lhes Campo escalar Campo vectorial Campo tensorial de segunda ordem... Exemplo: campo vectorialtem componentes ; temos assim:

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2. lgebra tensorial Coincide com o clculo matricial e vectorial at tensores de segunda ordem Cada tensor pode ser escrito como soma da sua parte simtrica e antissimtrica Tensor simtricoTensor antisimtrico A propriedade mantm-se, qualquer que seja o referencial Tensores cartesianos de segunda ordem Cada tensor pode ser escrito como soma da sua parte esfrica (isotrpica, volmica) e desviatrica (tangencial); usa-se para tensores simtricos Valor mdio

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Introduz-se a rotao do referencial 0xy para 0xy e calculam-se as componentes no referencial rodado 3.1 Derivao da lei de transformao para vectores 3. Tensores cartesianos em 2D simtricos Matriz de transformao ou de rotao linhacoluna

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matriz ortogonal Quando a rotao se efectua do referencial direito para o direito Componentes dos vectores base do novo referencial, ou seja os cosenos directores dos versores dos eixos rodados formam as linhas da matriz Algumas propriedades da matriz ortogonal : o determinante positivo Outras propriedades das matrizes ortogonais: Produto interno das linhas ou colunas iguais (diferentes) equivale a 1 (0)

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3.2 Lei de transformao para tensores de segunda ordem Tensores de ordem maior preciso usar designao indicial que no ser dada A prova ser dada no Cap. Tenso para se poder usufruir o significado fsico Nota: Voltando aos tensores de segunda ordem e desenvolvendo as multiplicaes, as componentes no referencial rodado escrevem-se:

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Verifica-se, que existe uma rotao do referencial original de tal maneira que os novos valores diagonais correspondero ao mximo e ao mnimo de todos os possveis valores diagonais e que para esta rotao a componente fora de diagonal anula-se O mximo e o mnimo dos valores diagonais chamam-se valores prprios A resoluo pode ser facilmente exprimida analiticamente e determinada de trs maneiras equivalentes: 1. Analogamente como em 3D (veja nos acetatos posteriores) 2. Encontrar o mximo e o mnimo dos valores diagonais 3. Encontrar a rotao para a qual Usando funes trigonomtricas de ngulos duplos, igualmente: 3.3 Valores prprios

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Usando o ponto 2: Usando o ponto 3: Igualmente para Substituindo pelo nas equaes das componentes rodadas, conclui-se, que:

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O que significa que as componentes no referencial principal so Depois de terminar os clculos preciso decidir qual dos eixos rodados corresponde ao eixo do mximo e qual ao eixo mnimo. Pode-se provar uma regras simples desenhada na figura ao lado. Os eixos do mximo e do mnimo definem o referencial principal. ou

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Cristian Otto Mohr (1835-1918) 3.4 Circunferncia de Mohr Relaes em cima so equaes de uma circunferncia o que significa que e raio quando desenham-se no eixo horizontal e no eixo vertical de centro Pela substituio verifica-se facilmente: As componentes de um tensor, relacionadas a todas as possveis rotaes do referencial original formam uma circunferncia

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Cada ponto tem apenas duas coordenadas, por isso a abcissa corresponde a e a ordenada a Torna-se til introduzir a designao seguinte: A faceta e a normal faceta A faceta corresponde a uma recta (um corte) onde actuam duas componentes do tensor considerado: a componente normal (diagonal, que tem o mesmo ndice como a normal faceta) e a componente tangencial (fora da diagonal, que tem dois ndices) Os valores principais visualizam-se no dimetro principal, dado que neste caso a componente fora da diagonal igual a zero e as componentes normais atingem o mximo e o mnimo; este facto no est influenciado pelo referencial inicial A faceta e a normal faceta so mutuamente perpendiculares

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Cada ponto da circunferncia corresponde s componentes intrnsecas do vector na faceta correspondente Componente normal, diagonal Componente tangencial, fora da diagonal o 1 ndice da componente tangencial corresponde normal, o 2 direco Esta representao geomtrica ser igual para o tensor das tenses, mas diferente para o tensor das deformaes Facetas positivas Facetas negativas Componentes tangenciais apontam para os quadrantes positivos

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Assumindo que o referencial original principal, ou seja que: negativo 3.4.1 Convenes e consequncias e introduzindo a rotao

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A rotao na circunferncia faz-se pelo dobro do ngulo de rotao dos eixos -uma rotao de 90 faz-se na CM de 180 o que troca a posio (x) e (y) -uma rotao de 180 faz-se na CM de 360 e no altera nada consequentemente o sentido dos eixos nesta representao indiferente -para ponto (x) ou (x) a ordenada vertical tem sentido oposto (para baixo) -para ponto (y) ou (y) a ordenada vertical tem sentido habitual (para cima) -as componentes normais desenham-se na conveno habitual As componentes do tensor para a mesma rotao visualizam-se nos pontos opostos do dimetro. (x) designa componentes na faceta de normal x e (y) designa componentes na faceta de normal y Define-se Faceta (x): faceta de normal que coincide com o eixo coordenado x Faceta (y): faceta de normal que coincide com o eixo coordenado y A conveno dos sinais Para se manter o mesmo sentido de rotao

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Orientao das componentes tangenciais determina a posio do ponto na circunferncia de Mohr indiferentemente do referencial horrio, negativo Conveno alternativa anti-horrio, positivo

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3.4.2 Determinao dos valores e das direces principais o referencial original Valores fora da diagonal, tangenciais Valores diagonais, normais Justificao das frmulas Sentido de rotao componentes positivas

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Valores fora da diagonal, tangenciais Valores diagonais, normais Correspondncia com a origem do referencial

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Propriedades das circunferncias conhecidas do ensino secundrio Achar centro de uma circunferncia sabendo 3 pontos que pertencem a esta circunferncia

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3.4.3 Determinao das componentes para uma rotao arbitrria Valores diagonais, normais Valores fora da diagonal, tangenciais componentes positivas

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3.4.4 Determinao do referencial ligado a componentes especificadas Valores diagonais, normais Valores fora da diagonal, tangenciais componentes positivas

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R = mximo da componente fora da diagonal, neste caso as componentes diagonais no se anulam, ambas tm o valor T m 3.4.5 Rotaes de 45 a partir do referencial principal

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InvariantesReferencial originalReferencial principal Depois da resoluo dos valores principais convm verificar os invariantes 3.5 Verificaes dos valores principais Invariantes Escalares que no alteram o seu valor com a rotao do referencial so invariantes fundamentais, tambm chamados invariante linear e quadrtico todos os outros invariantes podem-se exprimir em termos de valores prprios so igualmente invariantes

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O referencial introduzido arbitrrio, convm faz-lo na forma mais vantajosa Sabemos:, incgnitas: 3.6 Determinao das componentes sabendo valores em 3 direces Resolver Cada tensor tem 3 componentes, por isso cada 3 valores, mesmo de referenciais diferentes, permitem sempre determinar as componentes. O caso em baixo tem uma aplicao til nas medies de deformaes e alm disso permite uma resoluo grfica simples

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Resoluo grfica Desenho auxiliar a recta com ponto arbitrrio est na vertical arbitrrio Esboo dos eixos na posio original Prova

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arbitrrio Esboo dos eixos na posio original

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4.1 Valores e vectores prprios ou valores e direces principais A soluo no trivial para {v} existe apenas quando Os nmeros que asseguram a nulidade do determinante chamam-se Substituindo valor prprio pelo , (Eq. 1) tornam-se linearmente dependentes e por isso o nmero das solues para componentes {v} infinito (Eq. 1) (Eq. 1) corresponde a 3 equaes algbricas lineares homogneas 4. Tensores cartesianos em 3D simtricos Definio matemtica valores prprios ou principais As solues no triviais para {v} chamam-se vectores ou direces prprios ou principais

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4.2 Determinao e propriedades so reais (pode-se provar devido a simetria do tensor) so 3, contudo podem ser mltiplos calculam-se como razes de equao caracterstica Valores principais so invariantes fundamentais, tambm chamados invariante linear, quadrtico e cbico todos os outros invariantes podem-se exprimir em termos de valores prprios so igualmente invariantes

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Direces principais Clculo das razes da equao caracterstica: Valores prprios correspondem s componentes do tensor relacionadas a um referencial, relativamente a qual todas as componentes fora de diagonal se anulam e os valores prprios visualizam-se na diagonal Forma cannica de matriz de componentes O mximo dos valores prprios o mximo de todas as componentes na diagonal, qualquer que seja o referencial O mnimo dos valores prprios o mnimo de todas as componentes na diagonal, qualquer que seja o referencial A rotao do referencial ou seja o referencial novo mencionado acima est definido pelos vectores prprios

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A matriz de transformao de base [B] tem colunas formadas pelos vectores prprios normalizados, ou seja a matriz de transformao [R] tem linhas formadas pelos vectores prprios normalizados, para assegurar que o referencial novo ser direito, preciso ter o det([B])=1 A soluo nica, por isso encontrando a matriz de coeficientes diagonal, pode-se concluir que o referencial formado pelos vectores prprios e que os valores na diagonal so principais, um deles mximo e um deles mnimo Depois de calcular valores prprios, usa-se o sistema de equaes (Eq. 1) com cada um valor prprio substitudo para calcular o vector prprio correspondente Quando valores prprios so diferentes, a cada um correspondem infinitas solues do vector principal correspondente, que formam uma nica direco no espao. Assumindo o vector normalizado, existem apenas duas solues que diferem pelo sentido. Pode-se dizer que existem apenas 3 vectores prprios normalizados, unicamente definidos excepto do sentido, mutuamente perpendiculares. Estes vectores definem o novo referencial, relativamente a qual a matriz de componentes diagonal, ou seja relativamente a qual as componentes do tensor so valores prprios

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4.3 Casos particulares No caso particular da figura ao lado, vectores (2) e (3) no so unicamente definidos. Todos os vectores que satisfazem a Eq. (1) com o valor 2 = 3 substitudo, formam um plano, cuja normal coincide com a direco (1) qualquer direco principal, a matriz de componentes inicial j diagonal com valores iguais Simplificao para o caso 2D J valor principal Vector principal correspondente: Valor duplo Valor triplo possvel sempre quando se anulam as componentes fora de diagonal

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4.4 Valores extremos fora de diagonal Invariantes no referencial principal Usando as concluses de 2D Crculo de Mohr Crculos fundamentais Depois da resoluo dos valores e direces principais convm verificar os invariantes e a ortogonalidade de vectores prprios Verificaes

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Nota sobre 2D O procedimento de clculo poder ser feito de maneira anloga como em 3D 4.5 O tensor de inrcia Justificao da posio dos eixos principais 5. Anlise tensorial Anlise dos campos tensoriais derivadas, teoremas integrais, etc...