Cap 3 3 Otimizacao Condicionada

Calculo 2 - Capıtulo 3.3 - Otimizacao condicionada 1

Capıtulo 3.3 - Otimizacao condicionada

3.3.1 - Metodo dos multiplicadores de Lagrange3.3.2 - Significado dos multiplicadores de Lagrange

Em diversos problemas de maximizacao ou minimizacao, existem restricoes que limitam as solucoes possıveis.Veremos, neste capıtulo, como implementar solucoes para problemas de otimizacao na existencia de restricoesde igualdade. As leituras complementares tratam do problema mais geral de restricoes de desigualdades.

3.3.1 - Metodo dos multiplicadores de Lagrange

Existem diversos casos de aplicacoes de otimizacao em que ocorre a presenca de restricoes. Ilustraremosisto com a funcao de Cobb-Douglas (vista nos capıtulos anteriores), que da a producao P como uma funcao docapital K investido em maquinas e infra-estrutura e o capital L investido no trabalho. Tal funcao e dada por

P (K,T ) = AKαL1−α ,

onde A e chamada de constante tecnologica e α e um coeficiente que vai de 0 e 1 e determina o tipo de producaocom que se esta lidando. Valores baixos de α indicam que a atividade depende bastante da mao-de-obra (labor

intensive) e um α poximo a 1 indica que a atividade depende mais do capital investido em infra-estrutura emaquinario do que da mao de obra (capital intensive).

Consideremos agora que o capital total a ser investido e limitado, o que e uma restricao bastante razoavel.Temos, entao, que K + L = C, onde C e o total que pode ser investido. Com isto, ha uma limitacao do que sepode produzir e provavelmente teremos um ponto especıfico em que a funcao e maxima. No entanto, antes deresolver esse problema, vamos analisar um problema mais simples.

Exemplo 1: calcule o ponto de maximo da funcao f(x, y) = 4 − x2 − y2 quando x + y = 1.

Solucao: se nao houvesse a restricao, poderıamos calcular esse ponto atraves das derivadas primeiras da funcao:

fx = −2x , fy = −2y .

Um ponto crıtico ocorre quando

fx = 0 ⇔ −2x = 0 ⇔ x∗ = 0 , fy = 0 ⇔ −2y = 0 ⇔ y∗ = 0 .

A hessiana do ponto (0, 0), ou em qualquer outro ponto, e dada por

H(f) =

(

−2 00 −2

)

e tem determinante

detH(f) =

∣

∣

∣

∣

−2 00 −2

∣

∣

∣

∣

= 4 > 0 , fxx = −2 < 0 ,

de modo que (0, 0) e um ponto de maximo da funcao.No entanto, 0 + 0 6= 1, de modo que este ponto nao satisfaz a condicao imposta, que e representada na figura a

seguir como um plano perpendicular ao plano xy. Para impor esta restricao, podemos escrever y em funcao de x:

x + y = 1 ⇔ y = 1 − x

e substituı-la na funcao, obtendo

f(x) = 4 − x2 − y2 = 4 − x2 − (1 − x)2 = 4 − x2 − (1 − 2x + x2) = 4 − x2 − 1 + 2x − x2 = 3 + 2x − 2x2 .


x y

z

1.02.0

3.0

-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

1.02.0

3.0

-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

b

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

b

b

Note que agora temos uma funcao somente da variavel x, f(x) = 3 + 2x− 2x2, que e uma parabola, desenhadaem verde na figura. Derivando essa funcao com relacao a x e igualando a zero, temos

f ′(x) = 0 ⇔ 2 − 4x = 0 ⇔ 4x = 2 ⇔ x∗ =1

2.

Substituindo na restricao, temos

y = 1 − x ⇔ y = 1 − 1

2⇔ y∗ =

1

2.

Portanto, a solucao que maximiza a funcao, mediante a restricao dada, e (x∗, y∗) = (1/2, 1/2). Como

f(1/2, 1/2) = 4 − 1

4− 1

4= 4 − 1

2=

7

2,

o ponto de maximo da funcao, mediante a restricao dada, e (1/2, 1/2, 7/2).Para provar que o ponto obtido realmente corresponde a um maximo da funcao, precisamos calcular a derivada

segunda da funcao obtida mediante o uso da restricao: f ′′(x) = −4. Como a derivada segunda e negativa para todovalor de x, entao o ponto encontrado e um maximo da funcao f(x) e, por consequencia, um maximo da funcaof(x, y) mediante a restricao dada.

Uma alternativa de resolucao do problema que acabamos de ver e utilizar os chamados multiplicadores de

Lagrange, que funcionam da seguinte forma: escrevemos

x + y = 1 ⇔ x + y − 1 = 0 .

Agora, vamos adicionar esse “zero” a funcao, multiplicado por um fator λ, que e o multiplicador de Lagrange.A funcao resultante sera chamada lagrangeana:

L = f(x, y) + λ(x + y − 1) = 3 − x2 − y2 + λ(x + y − 1) .

Esta e uma funcao das duas variaveis originais mais a variavel λ. Derivando com relacao a essas tres variaveise igualando essas derivadas a zero, temos

Lx = 0 ⇔ −2x + λ = 0 ⇔ λ = 2x ,

Ly = 0 ⇔ −2y + λ = 0 ⇔ λ = 2y ,

Lλ = 0 ⇔ x + y − 1 = 0 ⇔ x + y = 1 .

Note que conseguimos de volta a nossa restricao, so que agora ela esta embutida na lagrangeana.Igualando as duas primeiras identidades (λ = λ), ficamos com uma outra relacao entre as variaveis x e y:

2x = 2y ⇔ x = y .

Substituindo na terceira equacao, temos

x + y = 1 ⇔ y + y = 1 ⇔ 2y = 1 ⇔ y∗ =1

2,


de modo que

x = y ⇔ x∗ =1

2.

Portanto, o ponto que maximiza a funcao mediante a restricao dada e (x∗, y∗) = (1/2, 1/2). O valor domultiplicador de Lagrange e dado por

λ = 2x ⇔ λ = 2 · 1

2⇔ λ∗ = 1 .

Para que calcular λ? Como sera visto na segunda secao deste capıtulo, o multiplicador de Lagrange temum significado tanto matematico quanto economico.

E claro que deverıamos verificar que este ponto e realmente um maximo da funcao. No entanto, isto ja foifeito no exemplo 1.

Sistematizando o que acabamos de fazer, podemos fazer a seguinte definicao.

Definicao 1 - Dada uma funcao f(x, y) e uma restricao ϕ(x, y) = 0, podemos escrever a lagrangeana

L(x, y, λ) = f(x, y) + λϕ(x, y) ,

onde λ e chamado multiplicador de Lagrange.

Teorema 1 - Dada uma funcao f(x, y) e uma restricao ϕ(x, y) = 0, podemos maximizar ou minimizaressa funcao, mediante a restricao (quando isto for possıvel), derivando a lagrangeana L(x, y, λ) comrelacao as variaveis x, y e λ e igualando essas derivadas a zero.

Exemplo 2: calcule o ponto de mınimo da funcao f(x, y) = x2 + y2 − 4x − 2y quando x = 2y.

Solucao: comecamos escrevendo a restricao como x − 2y = 0. Com isto, podemos montar a seguinte lagrangeana:

L = x2 + y2 − 4x − 2y + λ(x − 2y) .

Derivando essa nova funcao com relacao as variaveis x, y e λ, ficamos com

Lx = 2x − 4 + λ , Ly = 2y − 2 + λ , Lλ = x − 2y .

Igualando essas derivadas a zero, ficamos com o sistema de equacoes

Lx = 0Ly = 0Lλ = 0

⇔

2x − 4 + λ = 02y − 2 + λ = 0x − 2y = 0

.

Isolando λ nas duas primeiras equacoes, ficamos com

2x − 4 = −λ2y − 2 = −λx = 2y

⇔

λ = −2x + 4λ = −2y + 2x = 2y

.

Igualando as duas primeiras equacoes, temos

−2x + 4 = −2y + 2 ⇔ x − 2 = y − 1 ⇔ x = y + 1 .

Substituindo esse resultado na terceira equacao do sistema, obtemos

x = 2y ⇔ y + 1 = 2y ⇔ y∗ = 1 .

Sendo assim, x = 2y ⇔ x∗ = 2. Para calcular λ, podemos substituir os valores encontrados para x e para y emqualquer uma das duas primeiras equacoes do sistema. Escolhendo a primeira equacao, temos

λ = −2x + 4 ⇔ λ = −2 · 2 + 4 ⇔ λ∗ = 0 .

Portanto, a solucao fica x∗ = 2, y∗ = 1 e λ∗ = 0.


Para verificar que esse resultado e mesmo um mınimo da funcao, devemos adotar um procedimento semelhanteao utilizado no exemplo 1 desta secao. Comecamos usando a restricao x = 2y para eliminar a variavel x da funcaoque queremos minimizar (poderıamos tambem eliminar a variavel y, com o mesmo resultado). Fazendo isto, temosuma funcao somente da variavel y:

f(y) = (2y)2 + y2 − 4 · 2y − 2y = 4y2 + y2 − 8y − 2y = 5y2 − 10y .

A derivada primeira dessa funcao ef ′(y) = 10y − 10

e sua derivada segunda ficaf ′′(y) = 10 ,

de modo que o ponto encontrado corresponde a um mınimo da funcao.

Note que, para verificar se o ponto encontrado correspondia a um mınimo da funcao, tivemos que utilizarum metodo que, sem o uso da lagrangeana, levaria a uma solucao para o problema. Existe uma forma de testara solucao usando somente uma versao da hessiana para problemas com restricoes. Essa forma lida com umamatriz orlada, mas as dificuldades do metodo sao muitas e e ele so funciona para restricoes lineares. Por isso,ele nao sera visto aqui.

Apesar da complicacao extra de inserir uma variavel a mais no problema, o metodo dos multiplicadores deLagrange e facilmente generalizavel para problemas envolvendo muitas restricoes ou problemas mais complexos.Por isso, ele e largamente utilizado em diversos setores da ciencia e da tecnologia. Voltaremos a seguir a umexemplo envolvendo a funcao de Cobb-Douglas.

Exemplo 3: considere uma fabrica cuja producao e bastante proxima da funcao P (K,L) = 10K0,6L0,4, onde

K e o capital investido em maquinas e infra-estrutura e L e o capital investido em trabalho, ambos medidos emreais. Neste mes, estao disponıveis 10.000 reais para investimento nesses dois setores. Encontre a distribuicaodesse investimento que maximiza a producao da fabrica.

Solucao: temos a restricao K + L = 10000, que pode ser escrita K + L − 10000 = 0. No entanto, e mais comumescreve-la como 10000 − K − L = 0, pois isto facilita a interpretacao economina do multiplicador de Lagrange (oque sera visto na proxima secao). Podemos, agora, montar a seguinte lagrangeana:

L = 10K0,6L0,4 + λ(10000 − K − L)

(escrevemos a lagrangeana usando o L caligrafico para diferenciar da variavel L). Derivando com relacao as tresvariaveis e igualando essas derivadas a zero, temos

LK = 0 ⇔ 10 · 0, 6K−0,4L0,4 − λ = 0

LL = 0 ⇔ 10 · 0, 4K0,6L−0,6 − λ = 0

Lλ = 0 ⇔ K + L − 10000 = 0

.

Isolando λ nas primeiras duas equacoes, temos

λ = 6K−0,4L0,4 , λ = 4K0,6L−0,6 ,

de modo que

6K−0,4L0,4 = 4K0,6L−0,6 ⇔ 6L0,4

K0,4= 4

K0,6

L0,6⇔ 6L0,4L0,6 = 4K0,6K0,4 ⇔

⇔ 6L = 4K ⇔ K =6

4L ⇔ K =

3

2L .

Substituindo na restricao, temos

3

2L + L = 10000 ⇔ 5

2L = 10000 ⇔ L =

20000

5⇔ L∗ = 4000 .

Portanto,

K =3

2L ⇔ K =

3

2· 4000 ⇔ K∗ = 6000 .


Podemos, agora, calcular o valor de λ:

λ = 6K−0,4L0,4 = 6

(

L

K

)0,4

⇔ λ = 6

(

4000

6000

)0,4

⇔ λ = 6

(

2

3

)0,4

⇔ λ ≈ 5, 102 .

Desse modo, devem ser investidos R$ 6000, 00 em maquinas e infra-estrutura e R$ 4000, 00 em trabalho. A producaomaxima sera de

P (600, 400) = 10 · 60000,640000,4 ≈ 51017 .

Para verificar que este e realmente um maximo da funcao producao, precisamos primeiro usar a restricao dadapelo problema, K + L = 10000, para eliminar uma das variaveis do problema em funcao da outra. EscolhendoK = 10000− L, temos

P (L) = 10(10000− L)0,6L0,4 .

Derivando com relacao a L, temos

P ′(L) = 6(10000− L)−0,4L0,4 + 4(10000− L)0,6L−0,6 .

A derivada segunda fica

P ′′(L) = 6 · (−4)(10000− L)−1,4L0,4 + 6 · 4(10000− L)−0,4L−0,6 +

+4 · 6(10000− L)−0,4L−0,6 + 4 · (−6)(10000− L)0,6L−1,6 =

= −24(10000− L)−1,4L0,4 + 24(10000− L)−0,4L−0,6 +

+24(10000− L)−0,4L−0,6 − 24(10000− L)0,6L−1,6 =

= −24(10000− L)−1,4L0,4 + 48(10000− L)−0,4L−0,6 − 24(10000− L)0,6L−1,6 .

Substituindo o valor encontrado para L, L = 4000, temos

P ′′(4000) = −24 · 6000−1,4 · 40000,4 + 48 · 6000−0,4 · 4000−0,6 − 24 · 60000,6 · 4000−1,6 ≈ −0, 00085 .

O valor, apesar de ser muito pequeno, e negativo, de modo que temos um ponto de maximo da funcao.A funcao sem a restricao e com a restricao e o ponto otimo e representada nas duas figuras a seguir.

x

y

z

5.000

10.000

5.000

10.000

50.000

x

y

z

b

5.000

10.000

5.000

10.000

50.000

Nos exemplos desta primeira secao, usamos e calculamos repetidamente variaveis extras chamadas multi-plicadores de Lagrange. Agora, para que calcular os valores dessas variaveis se o que importa mesmo sao asvariaveis originais do problema? Vamos, na proxima secao, estudar um pouco o que significam esses tais demultiplicadores de Lagrange que viemos usando ate agora, e veremos que eles tem sua importancia na analisede problemas de otimizacao com restricoes.

3.3.2 - Significado dos multiplicadores de Lagrange

Consideremos o problema de maximizar ou minimizar uma funcao f mediante uma restricao ϕ = 0, comopor exemplo maximizar f(x, y) = 4−x2−y2 mediante a restricao ϕ = x+y−1 = 0. A lagrangeana e montada


escrevendo a funcao somada a restricao multiplicada por um multiplicador de Lagrange:

L = f + λϕ .

Usando a funcao e a restricao de nosso exemplo, teremos L = 4 − x2 − y2 + λ(x + y − 1).Vamos, agora, considerar essa restricao ϕ como sendo uma variavel e derivar a lagrangeana com relacao a

essa restricao. Obtemos, entao,

Lϕ =∂L

∂ϕ= λ .

Portanto, o multiplicador de Lagrange λ e a derivada da lagrangeana com relacao a restricao a qual ele estaassociado. Se tivermos uma lagrangena com mais de um multiplicador de Lagrange, como por exemplo L =f + λ1ϕ1 + λ2ϕ2, temos Lϕ1

= λ1 e Lϕ2= λ2.

Observacao: a letra ϕ e uma forma variante de se escrever a letra grega φ, pronunciada“fi”, cuja forma maiuscula

e Φ.

Vamos lembrar que

Lϕ =∂L

∂ϕ= lim

∆ϕ→0

∆L

∆ϕ,

de modo que∂L

∂ϕ≈ ∆L

∆ϕpara valores pequenos de ∆ϕ. Isto significa que

λ ≈ ∆L

∆ϕ

para valores pequenos de ∆ϕ. Caso ∆ϕ = 1 provoque um deslocamento relativamente pequeno em L, podemosescrever

λ ≈ ∆L (∆ϕ = 1) ,

de modo que o multiplicador de Lagrange pode ser interpretado como uma aproximacao da variacao da la-grangeana quando ocorre uma variacao de uma unidade na restricao. E o equivalente a analise marginal vistano curso de Calculo 1 e no curso de Microeconomia. Para enterdermos melhor o significado do multiplicadorde Lagrange, vejamos um exemplo mais pratico.

Exemplo 1: consideremos novamente a funcao de Cobb-Douglas, P = 10K0,6L0,4, vista no exemplo 3 daprimeira secao deste capıtulo, sujeita a restricao K + L = 10000. O problema tratava da maximizacao daproducao P com relacao ao capital K investido em infra-estrutura e maquinas e o capital L investido notrabalho com a limitacao de 10.000 reais para o investimento. Com isto, foi montada a lagrangeana (escritaaqui como L)

L = 10K0,6L0,4 + λ(10000 − K − L) .

Explique o significado do multiplicador de Lagrange associado a essa lagrangeana.

Solucao: neste problema, a restricao e ϕ = 10000− K − L, de modo que podemos escrever

L = K0,6L0,4 + λϕ .

Derivando com relacao a restricao, temos∂L∂ϕ

= λ ,

de modo que o multiplicador de Lagrange e, aproximadamente,

λ ≈ ∆L∆ϕ

.

Esse multiplicador de Lagrange foi calculado no exemplo 3 da secao passada, resultando em λ = 6(2/3)0,4 ≈ 5, 102.Isto significa que, para uma variacao ∆ϕ = 1 na restricao, teremos

∆L∆ϕ

≈ 5, 102 ⇔ ∆L1

≈ 5, 102 ⇔ ∆L ≈ 5, 102 .


Mas o que significa uma variacao de uma unidade na restricao? Escrevendo

ϕ + 1 = 10000− K − L + 1 = 10001− K − L ,

podemos ver que esse acrescimo na restricao equivale a ter um real a mais para investir na producao. O que∆L = 5, 102 significa e que, para cada 1 real a mais disponıvel para investimento, a producao sobe em 5, 102,aproximadamente. E por isso que o multiplicador de Lagrange tem um valor positivo.

Se quisermos saber o quanto a producao deve cair caso o investimento caia em 100 reais, basta multiplicar essevalor por 100: ∆L ≈ 510, 2, lembrando que a aproximacao piora conforme aumentamos o valor de ∆ϕ. Portanto,o multiplicador de Lagrange e uma ferramenta importante na analise da producao de uma fabrica ou de um paıs.

O multiplicador de Lagrange quantifica o efeito que uma determinada restricao tem sobre uma funcao. Porexemplo, no exemplo 2 da secao passada, o multiplicador de Lagrange vale zero, o que significa que a restricaonao tem impacto algum na solucao do problema: o mınimo da funcao independe da restricao.

Com isto, terminamos nossos estudos sobre otimizacao. A Leitura Complementar 1 trata de problemasque tem mais de uma restricao. Existem ainda outras tecnicas para o calculo de problemas de otimizacaoenvolvendo restricoes de desigualdade. Uma introducao a esse tipo de problema pode ser vista na LeituraComplementar 2.

Resumo

• Lagrangeana: dada uma funcao f sujeita a restricoes ϕ1, ϕ2, · · · , ϕm, sua lagrangeana e escritacomo

L = f + λ1ϕ1 + λ2ϕ2 + · · · + λmϕm .

• Otimizacao: uma funcao f sujeita a restricoes ϕ1, ϕ2, · · · , ϕm, a funcao e maximizada ou mini-mizada quando suas derivadas com relacao a suas variaveis e com relacao a seus multiplicadores deLagrange sao todas zeradas.

• Significado do multiplicador de Lagrange: dada uma lagrangeana L = f + λ1ϕ1 + λ2ϕ2++ · · · + λnϕn, temos que

∂L

∂ϕ1

= λ1 ⇔ λ1 ≈ ∆L

∆ϕ1

,

de modo que λ1 e aproximadamente a variacao em L decorrente de uma pequena variacao na restricaoϕ1.


Leitura Complementar 1 - Problemas com mais

de uma restricao

Em problemas onde existe mais de uma restricao, devemos usar mais de um multiplicador de Lagrange.Por exemplo, para uma funcao de 3 variaveis, f(x, y, z) com 2 restricoes, ϕ1 = 0 e ϕ2 = 0, podemos montar alagrangeana

L(x, y, z, λ1, λ2) = f(x, y, z) + λ1ϕ1 + λ2ϕ2 ,

onde λ1 e λ2 sao multiplicadores de Lagrange.A definicao e o teorema a seguir mostram como pode ser usada a Lagrangeana para resolver problemas de

otimizacao com restricoes.

Definicao 2 - Dada uma funcao f(xi), i = 1, 2, · · · , n, de n variaveis, e uma restricao ϕj(xi) = 0,j = 1, 2, · · · ,m, podemos escrever a lagrangeana

L(xi, λj) = f(xi) + λjϕj(xi) ,

onde λj sao multiplicadores de Lagrange.

Teorema 2 - Dada uma funcao f(xi), i = 1, · · · , n, e uma restricao ϕj(xi) = 0, j = 1, · · · ,m, podemosmaximizar ou minimizar essa funcao, mediante a restricao (quando isto for possıvel), derivando alagrangeana L(xi, λj) com relacao as variaveis xi e λj e igualando essas derivadas a zero.

O exemplo a seguir ilustra um desses casos.

Exemplo 1: maximize f(x, y) =√

4 − x2 − y2 sujeita as condicoes x2 + y2 = 1 e x + y = 1.

Solucao: temos agora duas restricoes, de modo que devemos usar dois multiplicadores de Lagrange. Escrevendo

x2 + y2 − 1 = 0 e x + y − 1 = 0 ,

temos a lagrangeanaL = (4 − x2 − y2)1/2 + λ1(x

2 + y2 − 1) + λ2(x + y − 1) .

Derivando com relacao a todas as variaveis, ficamos com as equacoes

Lx = 0Ly = 0Lλ1

= 0Lλ2

= 0

⇔

(1/2)(4 − x2 − y2)−1/2 · (−2x) + 2λ1x + λ2 = 0

(1/2)(4 − x2 − y2)−1/2 · (−2y) + 2λ1y + λ2 = 0x2 + y2 − 1 = 0x + y − 1 = 0

⇔

⇔

−x(4 − x2 − y2)−1/2 + 2λ1x + λ2 = 0−y(4 − x2 − y2)−1/2 + 2λ1y + λ2 = 0x2 + y2 = 1x + y = 1

.

Substituindo x2 + y2 = 1 nas primeiras duas equacoes, ficamos com

−x · 3−1/2 + 2λ1x + λ2 = 0

−y · 3−1/2 + 2λ1y + λ2 = 0x2 + y2 = 1x + y = 1

⇔

−x/√

3 + 2λ1x + λ2 = 0

−y/√

3 + 2λ1y + λ2 = 0x2 + y2 = 1x + y = 1

.


Vamos, agora, trabalhar com as duas ultimas equacoes do sistema: isolando y na ultima equacao, y = 1 − x, esubstituindo na penultima, ficamos com

x2 + (1 − x)2 = 1 ⇔ x2 + 1 − 2x + x2 = 1 ⇔ 2x2 − 2x = 0 ⇔ 2x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 1 .

Sendo assim, ha duas solucoes para o problema: x = 0 ou x = 1.

Para x = 0, temos y = 1 − x = 1 − 0 = 1. Substituindo nas primeirasduas equacoes do sistema, temos

{

−0/√

3 + 2λ1 · 0 + λ2 = 0

−1/√

3 + 2λ1 · 1 + λ2 = 0⇔

⇔{

λ2 = 0

−1/√

3 + 2λ1 + 0 = 0 ⇔ 2λ1 = 1√3⇔ λ1 = 1

2√

3

.

Portanto, a primeira solucao fica x = 0, y = 1, λ1 = 12√

3e λ2 = 0.

Para x = 1, temos y = 1 − x = 1 − 1 = 0. Substituindo nas primeirasduas equacoes do sistema, temos

{

−1/√

3 + 2λ1 · 1 + λ2 = 0

−0/√

3 + 2λ1 · 0 + λ2 = 0⇔

⇔{

−1/√

3 + 2λ1 + 0 = 0 ⇔ 2λ1 = 1√3⇔ λ1 = 1

2√

3

λ2 = 0.

Portanto, a segunda solucao fica x = 1, y = 0, λ1 = 12√

3e λ2 = 0.

x y

z

1.02.0

3.0

-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

1.02.0

3.0

-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

bb

A funcao, que representa a parte de cima de uma esfera de raio 2, o cilindro de raio 1, x2 + y2 = 1, e o planox + y = 1 estao representados na figura acima, juntamente com as duas solucoes.


Exercıcios - Capıtulo 3.3

Nıvel 1

Otimizacao condicionada

Exemplo 1: maximize a funcao f(x, y) = exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4) sujeita a restricao 2x − y = 1.

Solucao: escrevemos 2x − y = 1 ⇔ 2x − y − 1 = 0, de modo que possamos montar a lagrangeana

L = exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4) + λ(2x − y − 1) .

Derivando com relacao as variaveis x, y e λ, temos

Lx = (−2x + 2) exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4) + 2λ ,

Ly = (−6y + 6) exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4) − λ ,

Lλ = 2x − y − 1 .

Igualando as derivadas a zero, ficamos com as equacoes

(−2x + 2) exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4) + 2λ = 0(−6y + 6) exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4) − λ = 02x − y − 1 = 0

.

Isolando λ nas duas primeiras equacoes, ficamos com

(−2x + 2) exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4) = −2λ(−6y + 6) exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4) = λ2x − y = 1

⇔

λ = (x − 1) exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4)λ = (−6y + 6) exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4)2x − y = 1

.

Igualando as duas primeiras equacoes, ficamos com

(x− 1) exp(−x2 − 3y2 +2x+6y− 4) = (−6y +6) exp(−x2 − 3y2 +2x+6y− 4) ⇔ x− 1 = −6y +6 ⇔ x = −6y +7 .

Substituindo esse resultado na terceira equacao do sistema, temos

2x − y = 1 ⇔ 2(−6y + 7) − y = 1 ⇔ −12y + 14 − y = 1 ⇔ −13y = −13 ⇔ y = 1 .

Sendo assim, temosx = −6y + 7 ⇔ x = −6 · 1 + 7 ⇔ x = 1 .

Para calcular o valor do multiplicador de Lagrange, substituımos os valores encontrados de x e de y em umadas duas primeiras equacoes do sistema, como, por exemplo, a primeira delas:

λ = (x − 1) exp(−x2 − 3y2 + 2x + 6y − 4) ⇔ λ = (1 − 1) exp(−1 − 3 + 2 + 6 − 4) = 0 · e0 = 0 · 1 = 0 .

Portanto, a solucao do problema e x = 1, y = 1 e λ = 0.

E1) Determine o maximo da funcao f(x, y) = 4 − x2 − y2 + 6x mediante a restricao x + y = 3.

E2) Determine o maximo da funcao f(x, y) = exp(−x2 − y2 + 2x + y) mediante a restricao x − y = 1.

E3) Determine o mınimo da funcao f(x, y) =√

4 − x2 − y2 mediante a restricao x2 + y2 = 1.


Nıvel 2

E1) Considere uma producao dada pela funcao P (K,L) = K3/4L1/4, onde K e o total investido em infra-estrutura e maquinario e L e o total investido em trabalho, ambos medidos em reais. Calcule o quanto deve serinvestido em cada setor para conseguir a producao maxima se o total de dinheiro disponıvel para investimentose R$ 100.000.

E2) De quanto aumentara, aproximadamente, a producao dada no exercıcio E1 caso o total de dinheirodisponıvel para investimento aumente em um real?

E3) Uma companhia planeja gastar R$ 10.000 em uma campanha publicitaria. O custo do anuncio em televisaoe de R$ 3.000 por minuto e o custo do anuncio em radio e de R$ 1.000 por minuto. A firma estima que, seforem comprados x minutos em televisao e y minutos em radio o retorno da campanha em vendas (em milharesde reais) sera dado aproximadamente pela funcao

r(x, y) = −2x2 − y2 + xy + 8x + 3y .

Maximize o retorno dessa firma.

E4) A saude de um paciente que toma dois tipos de remedios e dada pela funcao f(x, y) = 100 − (x − 10)2 −(y − 20)2, onde f e a saude do paciente (medida em prcentagem), x e a quantidade do remedio 1 tomada porsemana e y e a quantidade do remedio 2 tomada por semana.

a) Calcule as quantidades das duas drogas que devem ser consumidas por semana de modo a maximizar a saudedo paciente e determine qual e a saude maxima deste.

b) Verifique os efeitos na saude do paciente de limitar-se o total de drogas a serem tomadas a um total de 20unidades por semana.

Nıvel 3

E1) Dada a funcao de Cobb-Douglas P (K,L) = AKαL1−α e uma restricao orcamentaria K + L = Q, calculeo nıvel de investimento que maximiza a producao.

E2) Dada a funcao de producao CES (Constant Elasticity of Substitution) P (K,L) = A [αKρ + (1 − α)Lρ]1/ρ

e uma restricao orcamentaria K + L = Q, calcule o nıvel de investimento que maximiza a producao.

E3) Problema de orcamento fixo. Considere uma empresa cuja producao dependa de dois tipos de tra-balhadores especializados segundo uma funcao de producao Q(x, y), onde x e y sao os numeros totais de horasdisponıveis de cada tipo de trabalhador. Suponha que a hora de um trabalhador do primeiro tipo custe punidades monetarias e que a hora de um trabalhador do segundo tipo custe q unidades monetarias. Supondoque o orcamento total para ser gasto com esses trabalhadores seja fixo em um valor Q, estabeleca uma relacaoentre Qx e Qy.

E4) Problema de custos a uma producao fixa. Suponha que a producao de uma firma que dependa dedois insumos cujas quantidades sao medidas em x e y seja dada por P (x, y) = Axαy1−α e que os seus custossejam dados por C(x, y) = px+ qy. Considerando que a producao seka fixa, isto e, P (x, y) = K, onde K e umaconstante, calcule os valores de x e de y que minimizam os custos da empresa.

E5) A tabela a seguir mostra as cotacoes de tres acoes entre os dias 30/09/2004 e 11/10/2004.


Data Vale do Rio Doce ON Telemar Embraer ON

30/09 64, 33 35, 74 13, 7001/10 64, 80 35, 58 13, 9504/10 65, 70 36, 52 14, 2205/10 66, 54 36, 92 13, 9606/10 66, 05 36, 62 13, 7407/10 65, 63 36, 49 13, 5508/10 63, 87 36, 87 13, 4511/10 63, 37 36, 19 13, 32

O risco associado a uma carteira geralmente esta associado a dois fatores: a volatilidade de cada um dosinvestimentos, que e o quanto ele oscilou em um determinado perıodo, medido por sua variancia, e a correlacaoentre os elementos da carteira. Se dois elementos tem uma correlacao alta, se o valor de uma acao cai, a outradevera cair, tambem. O melhor e ter uma carteira onde os elementos tem correlacao baixa.

Uma formula usada pelo mercado financeiro e baseada na variancia amostral σa de um investimento a e dacovariancia σab de dois investimentos a e b, dadas por

σ2a =

1

n − 1

n∑

i=1

(rai − ra)2 , σab =

1

n − 1

n∑

i=1

(rai − ra) (rbi − rb) ,

onde rai sao os retornos de uma determinada acao em diversos momentos i = 1, . . . , n e ra e a media dessesvalores:

ra =1

n

n∑

i=1

rai .

Os valores de retorno podem ser obtidos subtraindo o valor da acao em um determinado dia menos o valordesta no dia imediantamente anterior.

Usando esses termos, a formula fica, para uma carteira composta por tres acoes,

r = σ2ax

2a + σ2

bx2b + σ2

cx2c + 2σabxaxb + 2σacxaxc + 2σbcxbxc ,

onde xa, xb e xc sao as participacoes (em porcentagem) das tres acoes na carteira.Encontre a participacao de cada acao que minimize o risco da carteira.

Respostas

Nıvel 1

E1) x = 3, y = 0 e λ = 0.

E2) x = 1, 25, y = −0, 25 e λ = 1, 5 e1,125.

E3) qualquer solucao tal que x2 + y2 = 1 minimiza a funcao mediante a restricao imposta e λ = 12√

3.

Nıvel 2

E1) K = R$ 75.000, L = R$ 25.000, λ = −0, 25 4√

27 ≈ −0, 57.

E2) A producao aumentara em, aproximadamente, 0, 57.

E3) A firma deve comprar aproximadamente 2,5 minutos em comerciais de televisao e aproximadamente 2,6 minutos depropaganda em comerciais de radio.

E4) a) x∗ = 10, y∗ = 20 e f∗ = 100. b) A saude do paciente cai de 100% para 50%.

Nıvel 3

E1) K = αQ e L = (1 − α)Q.


E2) K =(1 − α)1/(ρ−1)Q

α1/(ρ−1) + (1 − α)1/(ρ−1)e L =

α1/(ρ−1)Q

α1/(ρ−1) + (1 − α)1/(ρ−1).

E3) Qx =p

qQy. E4) x =

K

A

(

pβ

qα

)1−α

e y =K

A

(

pβ

qα

)α

.

E5) A solucao aparente para o problema seria uma participacao de −5, 2% da Vale do Rio Doce, 3, 1% da Telemar e102, 1% da Embraer. No entanto, nao podemos ter participacoes negativas ou acima de 100% na carteira. Isto ocorreporque alem da restricao de que o total da carteira deve somar 1 (100%) tem que ser tambem usada a restricao de queas acoes da Vale do Rio Doce nao podem perfazer menos que 0% da carteira. Com isso, temos dois multiplicadores deLagrange e a solucao valida e que a participacao da Vale do Rio Doce na carteira deve ser 0%, a participacao da Telemardeve totalizar 1,2% e as acoes da Embraer devem perfazer 98,8% da carteira.

Cap 3 3 Otimizacao Condicionada

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