Cap. 3 - EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL

5/13/2018 Cap. 3 - EQUIL BRIO DE UM PONTO MATERIAL

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I

EQUILIBRIO DE UMPONTO MATERIAL

~ ua nl l[ ,) 'S iiO ! js aa 6s , c il b@s p af a~ e l iy :ar l ima:,carga, e ls s d e ve m se tsel,edona4os, i1 ~ ~ i c i ' d @ que. IIQQ ! faU?


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C~p.3 EQUILIBRIO DE UM PONTO MATERIAL 69Ma l a s . Se for usada para apoio a mo ta e la s ti ca l inea l ' , 0 comprimento cia molavariani em proporcao direta com a forc;a que atua sobre ela, Uma caracterfs-ticaque define a 'elasticidade' e a constante do; mala ou rigidez k, A intensidadeda forca exercida na mola elastica linear que tern rigidez k e est a deforrnada(alongada ou comprirnida) de uma distancia s, medida a partir de sua posi!;aos e m ca rga , e :

I F = ks I (3.2)Nesse caso, a distancia.s e definida pela diferenca entre 0 comprimento

deforrnado da mola I e sen comprimento sern deforrnacao 10, isto e , s = l - 10,Se s for positivo, F 'puxa'a mola; se fot negativo, F a 'empurra', Por exemplo,a mala mostrada na Figura 3.1 tern compr i rnenro sem deformacao 1 0 = 0,4 erigidez k = 500 N/in. Para estiee-Ia de modo que I = 0,6 m, e neeessaria umaforca F = ks = (500 N/m)(O,6 m - 0,4 m) = 100 N. Da mesma maneira, paracbrnprimi-Ia a usn cernprimento 1= 0,2 ill, e necessaria uma Iorca F = ks =(500 N/m)(O,2 m - 0,4 m) = -100 N (Figura 3.1).

-----L-- (s = O J-,k=50 0 N/m

-F

F +sFigura 3.1

OaDos e Pollas, Ao Iongo deste livre, exceto na Sec;ao 7.4, sera eensideradoque todosos cabos (au cordas) tern peso despreztvel e sao indeformaveis.Alerndisso; 0cabo suporta apenas u rn a te n sa o ou forr;a de ' tracao', que atua sempreaadire~aodo cabo. No Capitulo 5 sera mostrado que a forr;a de tensao atuandoem urn cabo continuo que passa sobre um a polia sem atrito deve ter intensi-dade constante para manter 0 cabo em equilibrio, Portanto, para qualquera:ngulo 0 n).pstrado na Figura 3.2, 0 cabo esta submetido a uma tensao constan-te Tao longo de todo 0 seu comprimento.

" ' . . . "

TT

Figura 3.2

A cacamba l manuda em equilibria pelo cabo, e, instin-tivamenie, sabemos que a [orca no cabo deve ser igualao peso da caqamba. Desenhando a diagrama de corpolivre da eacamba podemos compreender par que issoocorre. Esse diagrama mostra que htiopenas duas for-cas atuando sabre a cacamba, all, seja, seu. peso w e aforca T do cabo. Pam manter 0 equilibria, a resnltanted es sa s for ca s IM "e ser igual a zero e, assiin, T =W 0intportante e que, isolando-se a cacamba, (I[orca desco-nltecida do cabo T o torna-se 'exposta' e deve serconsiderada requisito para 0equilfbrio.


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[

I' .

70 ESTAncA

PROCEDIMENTO PARA TRA~AR UM D"lAGRAMA 0. CORPO LIVREComo devemes considerar todas as /ol"(;asque atuam sabre 0ponto material ao aplicar as equacoes de equilfbrio,nao devemos darenfase exeessiva a importaneia de desenhar primeiro a diagrama de corpo livre. Para construf-Ioe necessaria seguir 'estes passos:Desenhe 0 COlltOHIO do ponte material t1 set estudado. Imagine que 0 ponto material esteja isolodo, au'seccionado', ou 'livre' de seu entorno, e desenhe 0 contorno cle sua forma.Mostre tadas as [orcas. Indique nesse esboco todas as (orcas queatuam sabre 0ponto material. Essas for-cas podem ser ativqs, tendendo apor 0ponte material emmovimento, ou reativas, que sao 0 resultado de restrieoesau apoios que tendem a impedir 0movimento, Para se considerarem todas as foreas, e interessante tracar 0 con-torno em torno do pont> material, anotando cuidadosamente cada ferca que age sobre ele.Idtmtifique cada [ere. As forr;:?lsconhecidus devern ser marcadas com suas intensidades, direcoes e senti-dos. Sao usadas letras para .representar as intensidades, direcoes e sentidos das forcas desconhecidas.

EXEMPLO 3.1

Considere a boblna de peso W suspensapela lanca do guindaste. Se quisermosobter as [orcas 'nos caaos AB e AC" deve-retnos considerar 0 diagrama de eorpolivre. do anel em A, vista fJl1e as forr;asatuam sabre 0 a/lei. Nesse caso, os cabosAD exercem a [orqa resultante W sabre aanel. e a condiciio de equil ibria e usadapara abler T8 e Te.

.~.

A esfera da Figura 3.3a tern massa de 6 kg e esta apeiada como mostrado, Desenhe 0 diagrama de eorpo livre da esfera, da corda CE e do n o em (SOLU~AOEsfe.ra. . Verifica-se que haapenas duas forcas atuando sabre a esfera: Sfpeso e a forca da cerda C E o A esfera tern peso de 6 kg (9,81 rn/s2). 0 diagnrna de eorpo livre e mostrado naFigura 3.3b.\".

FCE(For ..a da corda CEaluando sabre a esfera)

5'8.9N (Peso ou gravirlade atuando sobre a esfera)(b)

Figura : J . 3


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Cap.3 EQUILfBRlO DE UM PONTO MATERlA:.k 71Corda. CEo Quando a corda CE eisolada de seu entorno, seu diagrama dec~rpn livre mostra sornente duas torcas atuando sabre ela: a torca da esfera ea forffa do no (Figura 3.3c), Observe, que aFCE mostrada nessa figura e igualmas opostaa mostrada na Figura 3.3b, em consequencia da terceira lei deNewton. Alern disso, FCe F EC puxam a corda e a mantern sob tensao, de modoquenao se rompa. Para 0 equilfbrio, FCE= Fu:N6. 0 no em Cesta sujeito a tres'forcas (Figura 3.3d). Elas sao.causadas pelascordas eRA e CE e pela rnola CD., Como seficitado, diagrama de corpo livremostra todas as forcas identificadas pef suas intensidades, direcoes e sentidos,E lUlportante observar que 0 peso da esfera nao atua diretamente sabre a no;e a corda C E que submete on6 a essa Iorca,

:ua-

FedFer


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72 ESTATICA

IJ

Essas e qH a t;6e s e sc ala r es d e e quil i br io requerem-que a s om a a lglbr ica (componentes x e y de todas as Iorcas que atuam sabre 0 ponto material 81nula. Como resultado, as equacoes 3.3 sao resolvidas no maximo para diincognitas, geralmente representadas como angulose intensidade das fanmostradas no diagrama de carpo livre do ponte material.Notar;{i() Escalar, Como cad a uma das duasequacoes requer 0desdobranuto dos cempcnentes do vetor ao longe de urn eixo especificado x au y, vanusar a notacao escalar para representar as componentes ao aplicar.as equaccAD se adotar essa condi~ao, 0 sentido de cada componente e considerado P is in a l a lg eb ri co que corresponde ao sentido da ponta da flecha do ccmpeneiao longo de carla eixo, Se a forga ti".Br i nte n si d ad e d e s e on he ci d a, 0 sentideponta da fleeha da: forea no diagrama de corpo livre podera ser suposto. COla intensidade de uma forca e s e m p r e positiva, sea so lucao der urn e s c a l a r ne ,tivo, isso indicaraque 0 sentido da fOT9


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)

"

Gap.3 EQUILIBRIO DE UM PONTO MATERIAL 73

PROCEDIMENTO PARA ANALISEOS problemlls de equilfbrio de forcas coplanare.s para urn ponto material sao resolvidos usando-se este procedimento:Diagrtlnra de COI-pO Livre... Defina os eixos .r, y C0m orientacso adequada. ldentifique todas as intensidades e sentidos conhecidose desconhecidos das torcas no diagrama. 0 sentido cia forca que tenha intensidade desconheeida e suposto,Equtl(oes de Equilibria. Aplique as equacoes de equilibria ~ F . , " = 0 . e. ' i F _ y = .. Os componentes serao positives se forem orientados ao longo do sentido positivo do eixo, e negativos se foremorientadosaolongo do sentido negative So eixo, Se existirem mais deduas incognitas e 0 problema: envolver rnola, deve-se aplicar F = ks para relacionar a.forc;a da mala a deformacao s da mola. Se a solueao.der resultado negativo, isso indica queo sentido da f O T C a e oposte ao mostrado no diagrams deeorp! livre (que foi suposto). .

EXEMPLO 3.2Determine a tensao nos cabos AB e AD para 0 equilfbrio do motor de2 5 0 kg mostrado na Figura 3;6a.

SOtU(:AODiagrama de Corpo -Liv,.e.Para 'resolver este problema, vamos investigaro equilfbrio do anel em A, porque esse 'ponto material' esta subfnetido tantoa-forqa do cabo AB quanto a do AD. Entretanto, veja que 0 motor tem umpgSO (250 kg)(9,81 m/s2) =2.452 kN que e suportado pelo cabo CA. Portanto,como mostrado na Figura 3.6b, ha tres forcas concorrentes tuuando sobre 0ane l . As fOl'c;asTB e TD tern intensidades desconhecidas massentidos conhe-cidos, e 0 cabo AC exeree uma forca descendente em A igual a 2.452 kN.

,.:-

I a . . .: l - - - .r"--,..........I.---x -.',i'2.452kN(a) (b)Figura 3.6

Equtl(;ljes de Equilibrio. As duas intensidades desconheeidas TB e TD saoobtidas pelas dU3Sequacoes escalares do equilibria, 'if..= 0 e " i : . F v = O . Paraaplicar eSS3Sequaeoes, es eixos x, ys'iio definidos no diagrama de.corpo livree TB deve ser desdobrada em seus oornponentes x, y. Assim:


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74 EST;\TlCA~ 'iFx = 0 ;+j'iFy = 0;

TB C0~ 3Qo-T D= 0T B sen 30 - 2.452 kN = 0

(

Resolvendo a Equacao 2 em TB e fazendo a substituicao na Equacarpara obter Tv:

1 '1

I!

T B = 4;90kNTD = 4,25 kN

ResposRespos

A precisao desses resultados depende da precisao dos dados, isto e , medas da geometria e cargas, Para a rnaioriados trabalhos de engenharia qenvolvem urn problema como esse, os dados rnedidos com tres digites signcativos sao suficientes, Alem disso, observe que, nesse caso, foram desprezacos pesos doscabos, hipotese razoavel, visto que eles seriarn pequenosem coparacao com 0peso. do motor.

EXEMPLO 3.3Se 0 saco da Figura 3.7a tiver peso de 20 lb em A, determine 0 peso dem B e a fOTc;;aecessaria em cada corda para manter 0 sistema na posicaoequilfbrio mostrada.

.'I

1II

S O L U ( : : A . O

(b)

Figura 3.7

Como 0 peso de A e conhecido, a tensao desconhecida nas duas 00[1EG e EC e determi~.


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'.~

Cap. 3 EQUILlBRcIO DE. UM.PONTO MATERlAL 75TEC= 38,6 lb { le!>qme,' taTKG = 54,61b 8e!tPOSI(l.

Usandose a resultado obtido pataTsc;b equilfbric do anelem Ce entaoin:vc.stig:ad0gara determiner a tensao: em CD e a peso de. E,_Diagrauio de co/po Livre, Como mostrado na Figura 3.7c, TEG = ~$.,6Ib'puxa' C. A razao se torna clara quando se.desenha Q diagraffiq de cofpo livredacorda eB e se aplica oequilfbri e 0 grindpio dea!;ao e Fea~aQ.,igual mas0PQstO afor9a de reaqao (tereeira !tide Newton) (Figura 3.7d).

(foIT;n daoorda Eea t u _ a n . do s a b r e a C O T . d a E ! { }E _

38.610 .(F!!m;:ado ~el E: c : - - - - - - , . . : : j ,a tu and o seb re a cerda' Be) , . , 1 ' " A~ao.e{ rea'9aoA~ao _ . < I :

rea~ao ; I t I ! ! . (Forr,:a d o anel e\ 38,6' ib amanda sobre o.anel Ee)~ C F b n ; ; a da c o r d a BeC !: t atuando sobre.eanel C J )

(c) (d )FigJIra 3.7

yua(oe s d e Eql'il-lbno.n-eftriindo.se,os eixesx, ye observando-se que osomponent~s de TeD s~o prQptircibn:aisa. ihdina~4o da Gorda, eorrro defirridop:eiot~iahg].l10 34-5,terp_-se:~ ~D= 0,1 'J.""x ,~,F = o y. '

38 ,6 cos.4" Jb - (~)TCD = 0d)TCl_) + 38,6 sen 4$ lb - W E = 0

(3)

(4)Resolvendosse a EquaQ-8.o 3 e inserindo-se e resaltadc - ' - n ; i l . -Equa~ao 4,C i l h l e m " : s e : - f 7 "

Tco =J4;2 lbW B = 47,81b

R'esp.o'&'ta

EXEMPLO 3.4

Deferiilipeo compriment_o d,a ,oJ;tla,Ac;' da 'F~guia ~.8a, de modo quea hirnintiria deS kgseja suspensa lla PQsi~ao m o . s t 1 7 a d . a . 0 eomp.r:inrenton ii o d e ,f" or m -a d o da raofa AB e . l' All = 0 ,4 mea mola tem figide.z /CAB =30P N/ro. .;SOLU~AO

Se a fot~a na mola AB forcenhecida, 0 alongamente da molasera determi-na:dbuS3Q,dos\! 11= ks.E possfvl i ll en tao ealeular geometricamente Q COrnpNHl:entQde AC. .


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Diagrama de C01:pO ti~re. A luminaria tern peso W = 8(9;81) = 78, N: 0diagrama de corpo livre d o anel em A emesrredo na Figura, i8b.

--'------0-----' ...-- x' T A B

W=7B.5 N(bJ

1, ~ Equofoes de Eqtdlillrio, Usaneo os ei~0sx, y:~"ZF = Q.x _t

.. ,~~ +j:SF =0'.r ' T AC sen 3Qo - 78;5N = 0Resolvendo,obtem-se:

TAc= 15'7 NTAB = 136 N

o alcngamento da mola AB e,[email protected],S'AB = 'O,4'JII'!

fIIde. modo que 0 COP l J" r :i rn e nJ q alongadb e :

'j ,

r. j 'r l l: \ 1 1 'I.

I!

.IAB = Q',4ffi + 0,453 m = 0,85311l[) . : '

A tlisUintiahorizontal de CaB (Fi&pra.3.8!'ll requer:2 m . = lAc CO $ 30 +O,8~a IiIlAC :;;:;1,32m Resposta


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Cap. 3' EQUILiBRIa DE UIyI .PONTO MATERIAL 77

IR O B L E M A S3;1.D.etepnine as intensidades de F] e Fz de modo que 0ponto Q)ateri;:ilP estejaem equilfbrio ..

4'OOlb

F

7 .. 5 bN

Problema 3.4Pl'olJlema 3.1 3.5. As parte's de uma tfeliga 8a.0 acopladas por pinqs najunta Q, cemo rnostra a figura. Determine as.intensidades de

F! eF2pm:;aequilibno. Suponha que 8 = .60~.~.6. Dete);'mine ag0ra as-grandezasde Fl eseu angulo [email protected] ql.!.e F z= 6 l\: N.

3.2. Determine aintensidadee 0senfide (J de F de modoque 0 pentomaterial esteja em equilibrio.

ySkN

Problemas - 1 , . s / 6,PI:oblema 3.;1: 3;7, 0 rilis_positiYeffiostradona 'figura'e usada para desem-p en al' a estI'utura de 3ut(')m!!lvejsque sO.fteramum a trombada,Determine a,tens&9 de eada segments da con~nte;4ReRe,considera,ndo q ue a fo rQ


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78 . ESTA.TJCA8

Problema - ' . t t

3.10. A caixa de-500 lb e erguida com urn guincho pelas cor-das AB 'e AC. Cada corda resiste a uma Iorca de tragabmaxima de 2.500 Ib sem se romper. Se AS: permaneeesem-pre horizontal, determine 0menor angulo (J pelo qual a caixapode ser lev:antada.

Probfema 3.103.11. Duas esferas carregadas eletric"irriente, cada urna commassa de. 0,2 g, estao suspensas par fios leves de igual COID-prirnento, Determine. ~a f(Jr~a hocl-zontal' de repul~jioresult ante F que atua emeada esfera se a distsncia medidaentre lIas e r =: 20 0 mm.

Problema :t.ll

*3.12. 0 cotovelo de concreto tern peso de 400 Ibe o cen-tro d gravidade esta localizado no ponto G. Determine aforca necessaria nos cabos AB e CD para suporta-lo.

3.13. Detertninea deformacao que cada mola da figuradeve ter para equilibrar e b lo co de 2 k g: .As rnolas eneontrarn-se em posie;:aode equilfbrio,3.14. 0 comprimento sem deformaeae da mola AB e de 2 m,Com 0 bloco rnantido na posi


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3.17. Determille 0 peso tmtximo do vasa de planra que pedeser,stlportaoe, sem eXGederuma fon.a de tral;iiuoe 50 I]).nem11.0'balfJQ AB nem no 1! lC.

Cap,3 EQUILIBRIa DE DMPOUI'O :MATERIAL 19

_ . _ . . . . . . .).19. Cada urrra das eordas : RCA . e. CD pude, supertar uma~arga m~ximade 1 . 0 0 lb . Determine (;)pe'SomAxiin~ da caixaque pode ser levansado oomveh: lc idade constante e .0 'angu-lo 'f)para equilfbrio.*3'.20.. Deterrriine as tOPi.as nem:;5Sa}iia~ nes cabQsAC eA.Bda flgurapata manter a esfera D, de, i ? O leg, em eqnilfbrio .Suponhavque F = 300 N e cj= 1 m.lit. A esfera D t ern n ra ss a de 20 kg. Se, uma for~;a F =lU o N for aplieada .herizontalrrtente ao anelemA,cletermi-ne a maier dimens~od de moen que a for~a no cabo sejanula.

r FP,I'oblemUB .1.15/16

Problemas 3.201213.22. 0 bloco da figura tern peso de20 lb-e esta sendo.levan-tado eom veloeidade constante, Determineo angulo 8 par-aequilfbrioe a {(jI9anee&ss~ia em cada corda,3.23. Determtne 0 'pes@ maximo W 40 bloeo que pode ser ,levanrado na p0sir;:.aoInmstllada" se cada c0rdasuporta ultrafQrg


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*3.24. Determine a intensidade e.osentido da f0r~ade.equi-IfhdQ f'A8 exercidaao longo do eln AS pslo disP0siti'vQ de~lar;a0 mostrado, A rnassa suspensa ~de' 10 kg. Despreee asdirnensoes da p0lia ern : . < t .

If

Problema 3.27

Problema 3.283.29. 0quaqro tem peso,ge 1011:>e deve ser pend:i.IIado ncpin! em B. Se um fio [pt presoa. rtl61dura rros pontbs A e, (e a for~a rnarima que ~le pudetSuportar for 'ae Hi lb, deter,mine .omener 'comprinlentodn fio qu e pode ser usado,corr'segutan~a.

3.30 . 0 fangue d e . m : a s s a ilOiftmne d e ZO fl I t> e st :i ' suspens.per meiode urn .eabo de 6 pes de c,ompFimentIDpreso itasuas laterals e ! ;l ue passa ! !, CI !1 r~uma pequena polia localizac;I,aem O. Se 0 'cabo puoerser pl'eso eQ1 qualquer urn dopontes A e 1 iJ au C e D, determine qual actlplamento predua menorfon;a de ttas:a'0i10 cab@ equal e essa f()r:Qa.

Problctl!U 3.243i25. Os blocos D e F Resartl 50 lb oada mil it o bloco Epesa8 lb: Determine 0 cQm~l1irnflto s para equilfurio. Desprezea s dimensoes das polias,3.26.. So as, bloeos .D e F tern peso d,e 5 U) eada urn, deter-mine 0peso do l ;>(a) A se a cornpIiimento s e d. 3 pe~,Desprese as ditnens!\ies das {'lQlias.

D F

3.27. A barra.de 8ustenta(f,ii.Qe usada para levanfar urn Ieci-piente cern massa de SODkg,Detentiine a,fOTjfa em cada umdos cabes AB e.ACern tun~l'i.b de (}.Se a [or~a maxima .erncada cabo for de ~ ](N,determiM 0 menOl ,Gom,p~imentlJ docabe ABe do J ' l . C que pode.ser usado para o)e.va~tamentQ.o eentl;(;)4~ gT;a.vidade do ~eeipiente ista localizado e;ffi G,*J,28.. A carga aa figura tern massa de 15 kg e e-Ievantadepei6sistem'a depolias mostrado.Determine a .fara F nae erd a.em fu n( fa o d @,angul@ 8 . Faga u rn g r.a fie o d a f un :Q ao daIorga F v.erst/so iingulo (1para '0 .:S.O :S ! ! ) 'O O , ' .


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.F

o

Qap. 3 EQUILiBRLO DE.UM PONT0 MATERIAL 81

s =1,5 pi!

Problema ~U3

6001bProblema 3.30.~.31. Uma for~a vertical P =10lb e aplicada as extremi-dades da corda AB de 2 pes de comprimento e da mola AC.Se a mola tern comprimento de 2 pes sem deformacao, deter-mine 0 lingUlo (J para equilibria. Suponha que k: = 15 lb/pe,*3.32. Determine 0 comprimento da mola AC sem defer-ma~o se uma forca P = 80 Ib forma 0 lingulo (J = 60"paraque baja equilibria. A eorda AB tem 2 psi.d.ecamprimento,Suponha que k = 50 lb/pe,

ipes-[-- 2pes-i~ ~

pPl ',( Ib lemas .3.31/32'

-; .33. 0 conjunto d a l i ' f i k U t a ' f()f~onstruidoc;:om uma corda'de.4 pes de comprnnento e um bloco D de 10 lb. A cordae s t a presa a urn pino em A e passa sobre duas polias peque-nils. Determine a peso do bloeo suspenso B se 0 sistemaestiver em equilfbrio quando s=1,5 pe .3.34. Umcarro deveser rebocadousando-se o arranje.mos-trade na figura. A forca de arrasto necessaria e de 60 0 lb.Determine a comprimento minimo I da corda AB, de modoque a Iorca nao exceda 75() Ib'nem na corda AS nem na AC.D i c a : use a eondi~ao de equilfbrin no ponte A para determi-nar 0 angulo (J requerido para 0 aeoplamente, depois.determineI usando trigonometria aplicada ao trianguloABC.

lrObler.ha 3.34.3.35. A mola tern rigidez k = 800 N/m e comprimento de20 0 mm sem deformacao. Determine a forc;anos eabos Be eBD quando a mel a 'e mantida na ,l'losiit.aomostrada,

500 min --;---Problema :U5


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82. ESTATICA*3.3.6. A arnarra BAC e.usada para levantar a carga de. 100lb com velocidade constante. Determine a forca na amana,faca 0grafico de seu valor T (ordenada) em funl!ao de suaorientac


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Cap. :3 EQUILiBRIO DE UMPONTO MATERIAL 83

3.4 SIST EMA S D E F OR


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I.jI

1 ,1

84 ESTATICA

PROCEDJMENTO PARA ANALISEProblemas de equilfbrio de Iorca tridimensional de urn ponto material sao resolvidos usando-se 0 procedimentoa seguir.Dla,gmlll(1 de COIpO Livre. Defina os eixos x, y, Z numa otie'nta~ao adequada. Identifique todas as intensidades e sentidos conhecidos e desconhecidos das Iorcas no diagrama." Q sentido de uma forca que tenha intensic1ade desconhecidae suposto.Eqlla{:ii~?:S'e Eqllilibrio. Use asequacoes escalares de equilfbrio '2.F,= 0, 'i,F,. = O.!F= = 0 nos cases em que seja facil decompor cadaforca em seus eomponentes x, y, z . . Se a geometria tridimensional parecer diffcil, primeiro expresse cada forca como vetor cartesiano, Iaca asubsrituicao pelos vetores na equacao 'i,F = 0 e iguale a zero os componentes I, j , k. Se a solucao der resultado neghtivo, isso indica que 0 seritido cia forca e oposto ao mostrade no diagrama decorpo livre.

EXE~fPLO 3.5Urna carga de 90 lb esta suspensa pel>gancho rnostrado na Figura 3.10a

A carga e suportada pOTdeis cabos e por nma mola com rigidez k = .500 lb/peDetermine a torca nos cabos e a deformaeao da mola para a condicao de equilfbrio. 0 cabo AD esta localizado no plano x-yeo C3.QO AC, no plano x-z.

zFe

y

(a)

Figura .1.10

A deformacao da mola podera ser determinada uma vez que afOrr;a sobra rnola esteja determinada.Dlagrama d.eCorpo Livre. 0 acoplamento em A e escolhido para a analse do equilfbrio, visto que as forcas do cabo sao concorrentes nesse ponte. (diagrams de corpo livre e mostrado na Figura 3.10b.Equat;.(Jes ile Equilibrio.. Cada forea pode ser facllmente decompesta erseus componentes x, y, z e, portanto, as tres equacoes escalares de equilfbripodem ser diretamente aplieadas. Considerando os componentes orientados alongo dos eixos como 'positives', temos:


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:e

.i-ornio10

Cap.3 EQUILiBRIO DE U l v J PONTO MATERIAL 854Fosen 300 - SFc = 0

"'p'= O y ,(1)(2)

( " )'_ ,

Resposta

:aXEMPLO 3.6

x

(a)

F,= 800 N

l . ; F ~ = Q; ~F. - 9 0' I b = 0~'c '

(b)

figll!"a ~.n

Resolvendo a Equacao 3 em Fc, a Equacao 1 em Fn e a Equacao 2 ernF E , tem-se:Fe = 150lbFb = = 2401bF B= 2081b

Resposta

RCSJJOSUl

Oalong~unento cia mola e, porranto:FB = ksAR

2081b = 5001b/pe(sAB)

Determine a intensidade e os angulos dos sentidos das coordenadas dafCiT9aF da Figura 3.11a necessaries para 0 equilfbrio do pento material o.S O L U < ; : A O,f)iag:rcmra de Corpo Livre. Quatroforcas atuam sabre 0 ponto material 0(Figura 3.11b).Equa(oes de Equitibria. Cada uma das forcas e expressa na forma de veto!'cs!lltesiano e as equacoes de equilfbrio sao aplicadas para deterrninar ospomponentes z, y, z de F: Se as coordenadas de B SaO B( -2 m, -3 rn, 6 m),temos:

Fl = {400jl NF2 ,=' I-S OO k} N

" c r " .F 3 = F ( r B ) = 70.0 Nf -2i':"'" 3j +6k ] - ; " * '3 rs V(-2f + (- 3f + (6f

= {-20m - 300j + 600k} NF "" Fri + F - " j + Fzk

f '_".

Para 0 equilfbrio:2.:F = 0 F 1 + Fa + F~ + F = 0

400j - 800k - 20m - 3QOj '+ 600k + fri + F - l ' j + Fz k = 0


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86 ESTf\l1IGAIgualando a zero os respectivos componentes i, j, k, temos:

2:,Fx = 0; -200 + F T = 0400 - 300 + F y = 0

- 80 0 + 60 0 + F z = o

F, = 200NF y = -lOONr, = 200N}2Fy = Q ;2:,Fz = 0;

}--___---y Assim:o

.,F = 120m - 100j + 200k J NF = V(200)2 + (-100? + (200f = 300 N

F 200 100 200.OF = F = 300i-300j + 300kIe)

Figura 3.11 1 ( 200) .a = cos- -. - = 48.20. 30 0 Respostal ( - 1 0 0 ) .f 3 = cos- -- = 1090. 300 Respostc(200)'V = cos? - = 482q1 . 300 ' Resposu

A intensidade e as sent~dos corretos de F sao mostrados na Figura 3.11 .

EXEMPL.O 3.7Determine a fot~a desenvolvida em cada cabo usado para suportar a cabde 40 Ib mostrada na Figura 3.l2a.

x

(a)Figura 3.12


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Cap.3 EQUILiBRIO DE UN! PONTO MATERIAL 87

SOLU(:AUDiagrama de Corpo Livre. Como mostrado na Figura 3.12b, 0 diagram a decorpo livre do ponto Ae considerado 1 1 . fim de 'expor' as tres forcas desconhe-cidas nos cabos.EquafOeS d , e EquUibrio. Primeiro.vamos expressar cada forca na forma veto-rial cartesiana. Como as coordenadas dos pontos B e Csao B( -3 pes, -4 pes,8 pes) e C( - 3 pes, 4 pes, 8 pes), temos:

[ - 3i - 4j + 8k ]FB = FB ---;===:::===::::::::::====;. Y( -3)2 + (_4)2 + (8f= -0,318F8i - O,424F8j + O,848FBk

[ - 3i + 4j + Sk ]Fe = F e ~===:::=====o;===-.. '1'(-3)2 + (4f + (8)il= -0,318Fci + 0,424Fd + 0,484Fck

FD = FdiW= {-40k} lb

o equilfbrio requer:2:F = 0 ; FE + Fe + FD + W = 0

-O ,318 FB .i - 0,424FBj + O;848FBk - O,31S:fei+ O,424Fej+O,848Fek + FDi - 40k = 0

W=401b v

Igualando a zero os respectivos componentes i, j, k, temos:2:Fx= 0; -O ,318PB - O ,318Fe + Fv = 0 (1)

(2)(3)

(b)

Fig~lra 3.12

. _ . : , . : . . . .EXEMPLO 3.8" __

'2.Fy = 0;"f.Fz = O;

-O,424Fli + 0,424Fc = 0O,848FB + 0 ,848Fc - 40 = 0

Pela Equa~ao 2, F'l3 = Fc. Assim, resolvendo a Equacao 3 em FB e Fe esubstituindo-os par esse resultado na Equacao 1 para obter FD , tern-secFB = Fe = 23,61bFv =)51hl

RespostaRe$posllt

i...

A caixa de 100 kg mostrada na Figura 3.13a e suportada por tres cordas,uma delas acoplada a rnola mostrada. Determine a forca nas cordas AC e ADe a deforrnaeao da mola.SOLU


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I IT

F C i f - : ' \ J F D_- :~,--:r- W=~81 N(b)

Fi.g,ura 3.13E qua 90e s d e E qu'i ltbl10. Cada vetor do diagrama de corpo!ivf e primeiroexpresso na forma de veter oartesiano, U samkl a Equaeao 2.11 pam Fee toman-do 0 ponto D( -1 $,2 Ill, '2 m)para En, r emes :

F-s= F E l ~'Fe = F e _ : cos 120Pi+ Fc'cos 13S0 j + Fc cos 600k

= -O,sFci - O,707Ed + O,5}1tk- . [ -li+2j+2k 1ED = ED V(_1)2 + (2)2+(2)2

= -O,;H3'F'Di + 0 ,6 67 F :o i + 0;667FDk :W = {-981k} N

o equilibria requer:NF = 0; EB +Fc +FD + W = 0

F B i - O,5Fd - 0 ,707 Fd + Q,5Fbk - O , 3 ' 3 3 P D l + O,6o'7Fpj< . +0 ;6.67 P ok - 981k =Q

Igua:lanoo a zero os respectivos ccmpeaentes I,j, k.jemes;

SF y = 0;"2 F z = Q;

, _ P E l - O,5FG : - O , : 1 3 3 F D = .0-O,70iEc +O,667FD = oO,5Pe + Q,66iFn- 98~ = 0

(1)(?) .(3)

SF = o ,.

Reselveado a Equa9iio '2 para ED eIJil tun~ao de Fe e fazeI ).Qo a substi-tUllfao naEquaq:ao 3, ohtemos Fc; ED e determinada pela Equa"aQ 1.Finalmente, substituinde na Eqhla(fa() 'lFce FDpei0s resultados eneontranrssFR ' Entae:

F ' t ; = $,1~NFD = 862NF 13 ,:00 , 69B ,7 N

RespostilRe!!J'ptif{J


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s

Cap. 3 EQUILiBRIa DE t)M PON'T'O MAJ:ERlAL 89A .deforrha~aoda mola e , portante:

F = ks 693,7 = 1 .)OOss = 0;462 m Resposta

PROBLEMAS3:41. Determine aJntensidade e 0 sentido de FI nece&~:aFibspam manter 0 sisterna de ' f Q t f i ; ! , ' I conccrrente.em equililirio. * .3.44. I)etermine


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9 C l ESn\TICA

f F

xProblem!!. 3.46

3.47. Determine a deformacao necessaria em cada uma:dasmelas para manter a caixa de 20 kg na posicao deequilfbriomostrada na figura. Cada molatemeomprimento de 2 m semdeformacao erigidez k = 300 N/rn.

c

.:

Problema 3.47'1;3.48, Se 0 balde e sep conteudo tern peso. total de 20 Ib,determine a fQI9a nos cabos de apoio DA,DB e DC.

.xPrqblcma 3Afl

.3.49. A caixa de 2.500 N deve ser levantada com veladade constante do porao de urn navio usando-se 0 arranjocabos mostrade na figura. Determine a forca de cada urn (tres cabos para a condicao de equilfbrio.

F= 2 50 0 . N

y

Problema 3.49113.50. A luminaria tern rnassa de 15 kg e e suportada Jurn poste AO e pelos cabos AB e AC. Se a forca no pcatua ao longo de seu eixo, determine as f':)1"~asm AD , A .1AC para a cortdi


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r.~,

IS).

fmblenUi 3.523.53. Ocabo suporta a caeam b a e seucD oteud o, que tern massatotal de 3 0 Q k , : g . Determine as forgas. deaenvalvidas nas escorasA'D e AE e a forea .na parteA~ do cabo ~ara a condigao. deequiliOriQ. A fOFl ta em cad a escora atua ao longo d e'seu eixo .

i.Problema 3.53

3,.54. [Determ ine a forqa necessaria em cads tim dHS tres.rabos para levantaraescavadeira ..que tern massa de ~.t.

Call3 EQUILtEllUO DEuMPONTO MATI"lRIAL 9 . 13.55. Deeerminea Jorqa necessaria que , atua ,aD longo doeixo de cad a uma das I rl ts e scQras. para suportar 0bloco deS O O - .k g .

P 'r ob l. eum 3 .5 '. 5*3.56. O'iraS0~ suportado de A pelos tr~s.C:aQbs. Determineaforc;a queatua em Gada cabo paraa C!:(mdiqab de equilibriQ.COTIs jdeFe d = 2, 5 ill.3$7, Determinea altura. d dQca1:lpAB a e modo que a for-f?an0~ cabes AI) e Ae syja meta,de da intensidade da Iorqa~e cabo :AB.Eocol l . t ; re 1 j; fOHia eP l oada cabo para esse case,o vaso a~flores temtnassa de SOl,(g.

3.58. 0 caridelabro de 80 Ib e s\!IPQrta'do por tfe.s arames,(;:~mo mostrado na figtn'a ..'T Ile te -Fn : iine a fin;:a er n cada aTamep a-ra a e on di'9 ae d e e gu iJ fb rio .3.S9. S.e c a .c !_ a\ aT ame p od ,e sustenrar a fQrqa m~xima d'e 120Ib,det. ; :rrnine I ~ caio r p eso d o candeJ:abr0 qu e G IS eabes supor-ta m rra Pbsi~an 1i10stIada na figura.


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92 ESTATI~A

Problema 3.6lProblemas 3.58/59 3.62. Om pequeno pino esta em repouso sobrea mala con-tida dernro do tubo lisa. Quando a 1 TI0 1a e cemprimida demodo que s =: 0,15 m,ela exerce urna for~a de 60 N paracima sobreo pine, Determine 0 ponte de acoplamento A(x,

y , .O) da eorda PA de modo que as tensoes nas cordas PB ePC sejam iguais a 30Ne 50N, respectivamente,

"'3.60. Sao usados tres cabes. para sup'dl'tar oanel de 900lb. Determine a forca ern cada cabo para a condi9iio deequilfbrio,

z

F

~ O ' 4 ; L v---~. . / A.xProblema 3..,62x

Problema 3.hO

3.63, Determine a forca necessaria em cada cabo parasuportar a plataforma de 3.500 lb. Consrdere d = 4 pes._*3.64. A esfera de 80It>esta susperrsa a partir do and hori-zontal por meie de tres molas, cada uma com comprimentode 1,5 pe sem deformacao e rigidez de 50 Ib/pe. Determinea distancia vertical II do ponte A do anel para a condicao deequilfbrio.

3.61. Q cilindro de 800 lb e suportado por tres correntes,como mostrado na figura. Determine a f.9reraem cada cor-rente p~p;_a condicao de equilfbrio, Considere d =1 pe,


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)

Cap,:3 EQUILtBRID DE UMPONTO MATERIAL 933;65. Determine a forca desenvolvida nos cabos OD e OBe necessaria Ill! escora DC para supoutara caixa de 50 kg,Amola OA rem comprimento de 0.8 IIIsem deforrnaeao e rigi-dez k'OA =1,2 kN/m. A forca na escora atua ao longo do eixodela,

3S00lb

\\\l O , L, " s / 'y

y

x v

Problema 3.63

Problema 3.65

Iroblema 3.64REVISAO 00 CAPITULO

Eqltifibtio. Quando urn ponto t:q,aterial e$,ta em repouso ou se move.com velocidade constante, encontra-seern equilfbrio, Essa situa'iao requer que, todas 'as forcas, que atuam sobre Q ponte material tenham Iorea resul-ta~te nula, Para se considerarem todas as forcas e-necssario tracar urn diagrama deseorpo livre. Esse diagramaeo contomo da forma do ponte material que mostra todas as forcas, com-sues intensidades e sentidos conhe-cidos e desconheeidos,DUGS Dimensiies. As duas equacoes escalares de equilfbrio da forca " i . E . " = 0 e JoFy= 0 podem ser aplica-das quando refe.ridas a urn sistema de coordenadas x, y definido. Se a solucao para a intensidade de uma forcader um escalar negative, enUio a fnrca atua no sentido oposroaquele m~strado no diagrama de corpolivre,Se 0 problema envolve mola elastica linear, ntao 0 tracionamento au a eompressao s da mola e relaeionado11f(jr~a aplicada pela expressao F = ks.r,.&s Dimensiies. Como a geomstria tridimen-sional e diffoil de vrsuaiiea, a equa~ao deequilfbrio 2:F = 0deve ser aplicada usando-se analise vetorial cartesian a, 0 que requer prime.iro expresser cada Iorca no. diagra-rna de corpo livre como urn vetor cartesiano, Quando as forcas sa o somadas e igualadas a zero, os compenentes 'i,I,k tarnbemsao nulos, de modo Que " i . E . " =0, !F.v = 0 e !F= =0,


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I !II

94 EsTAncA

PROBLEMAS DE REVISAO3.66. 0 tubo e mantido na posiao pela morsa. Se 0 para-fuso exerce lima forca de 50 lb sabre o tubo na direcaomostrada, determine as fonylfsFA e Fa que os contates Iisosem A e B exercern sobre.o tuba.

Problema 3.663.67. Quando y e nulo, as molas sustentam uma forca de 60-' lb.Treterreine a intensidade das foscas aplicadas F e>necessarias para afastar 0 ponto A do ponto B de urna dis-tancia y = 2 pes. As extremidades das cordas CA.D e eBDestao presas aos aneisem C e D.*3.68. Quando y e nulo, as molasestao esticadas 1,$ pe,Determine a distancia y se uma tfJrc,:aF = 60 lb f O J . : aplicadanos pontos A e B,como rnostrado na figura. As extremidadesdas cordas CAJ) e CBD estao presas aos aneis em C e D.

F

-:F

3.69. Romeu tenta alcancar Julieta subindo com velocida-de constante par uma cordaamarrada no ponto A. Qualquerurn dos tres segmentos de corda suporta uma forca maximade 2 kN sem se romper. Determine se Rorneu, que tern massade 65 kg, pode subir pela corda, Em caso positive, verifiquese ele.juntamente com Julieta, que rem rnassa de 60 kg, poddescerpela corda com velocidadrs constante,

B

Problema ) .69.].70. Determine as intensidades das forcas F}, F2 e F3necessarias para manter a forca F = (-9i - Bj'- Sk] em equi-lfbrio,

xF

""-, -;. 'l!: (4 m, 4 m , ~2 rn)

f'H!blema 3,703.71. 0 homern tenta puxar a tara em C usando as tFes'cordas, Determine a direcao e em que ele Ieve puxar sua cordcom urna f0T,?1i de 80 lb de modo a exercer uma torca maxirna sebre a tera e defina qual e essa forca, Determintambem a dil;e~aQem que e.le deve puxar a tora a fim dmaximizar a f O I : c , : ! J na corda presa em B e defina qual e essforca maxima.


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Cap. 3 EQUILIBRIO DE UM PONto, MATERI/\L91S

Problema .1733.14. Determine a. fOfaoecess'aria em cada cabo parasupertarrr ca:rga de 500 l b .

Pwhie l I laJ . 3 . 7 1 . )'"'_3.72. Oa:Elel de

Cap. 3 - EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL

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