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Cap. 3 – Visão do problema de Estrutura Estelar

Evolução estelar 2

Objetivos do Curso

(1) Introduzir as equações necessárias para modelagem da estruturainterna das estrelas.

(2) Estudar a microfísica relevante para as estrelas (as equações de estado, a opacidade, as reações nucleares relevantes).

(3) Examinar as propriedades de modelos simples para estrelas e estudar como modelos verdadeiros são computados.

(4) Pesquisar como as estrelas evoluem e os finais da evolução estelar(anãs bramcas e estrelas de neutrons).

(5) Discutir algumas áreas de pesquisa em física estelar.


Velocidade do som no Sol : predita vs medida

Figura: www.sns.ias.edu/~jnb/

Diferenças da ordem de 0.1% !

Questão: Por que o maior desvio é em 0.7R ?

http://www.sns.ias.edu/~jnb/


O Problema matemático de estrutura estelar• Queremos determinar a estrutura de uma massa isolada M de gás

com uma dada composição química. Considerações simples:

1. Sem rotação Simetria esféricaSol: período de rotação ~ de 1 mês, enquanto período orbital na superfície

de algumas horas. Boa aproximação, embora rotação lenta tenha influência qualitatica nas soluções.

2. Sem campo magnéticoSol: campo de equipartição da ordem de 102 MG, enquanto campos

superficiais nos sunspots da ordem de kG. Campos magnéticos vistos como reservatório de energia em algumas estrelas de neutrons(“magnetars”), mas mesmo lá não é importante para estrutura.

3. EstáticaSol: convecção mas com escala de variabilidade pequena, vento solar

pequeno. Não válida para estrelas pulsantes.4. Gravidade NewtonianaSol: vescape ~ 600 kms-1 << c. OK exceto para estrelas de neutrons.

Quais equações utilizar para descrever a estrutura?


Equações de Estrutura Estelar1. Massa

Raio como variável dependente (simetria esférica)Seja m(r) a massa interior ao raio r. Densidade . Considere camada entre r e r+dr.

2. Equação de movimentoPressão P(r). Em equilíbrio hidrostático, gradiente de pressão deve contrabalançar

gravidade,

Isto envolve a equação de estado, por exemplo, para um gás ideal,

Onde R é a constante dos gases, T(r) é a temperatura, é o peso molecular médio. Generalizando, P= P( , T, composição...), = ( , T, composição...)

necessário termodinâmica para tais cálculos.

24 rdr

dm

2r

Gmg

dr

dP

TPR

Obs.: Descrição euleriana: r e t como variáveis independentes m=m(r,t)Descrição lagrangiana:m como variável independente r=r(m,t)

6

3. Geração de energiaSeja Lr o fluxo de energia através de uma esfera de raio r. Então,

onde é a taxa de geração de energia por unidade de massa.

precisa ( , T, ...) a partir da física nuclear.

4. Fluxo de EnergiaPode ser via radiação, convecção, condução. Para radiação,

onde a é a constante de radiação, c é a velocidade da luz e a opacidade.

Precisa de ( , T, ...) a partir da mecânica quântica.

Com essas aproximações, a estrutura é determinada por sistema de 4 equações + condições de contorno apropriadas.

24 rdr

dLr

TadecondutividÁreaFluxo

dr

dTT

ca

r

Lr 32 3

4

4


Condições de Contorno

• Em r = 0: Lr = 0 e m = 0

• Em r = R (o raio estelar): m = M, Lr = L e P = Psuperfície 0

• Parece que existem 5 condições de contorno, mas R é desconhecido a priori - ou seja, nesta formulação R é um autovalor que precisamos resolver.

• Geralmente, escreveremos as equações com m como variável independente. Por exemplo:

• Então, para uma estrela de dada massa, a localização onde as condições de contorno serão aplicada é fixa.

• Em m = 0, Lr = 0, r = 0.

• Em m = M, Lr = L, P = Psuperfície 0.

24

1

rdr

dm


Soluções

• Em princípio, pode-se tentar e resolver essas equações para a massa M de gás de qualquer composição química especificada. Entretanto, note que:

1. Pode não existir uma solução. Um exemplo físico trivial é que não podemos fazer uma estrela de 10M de ferro – sem energia produzindo reações nucleares, ela irá rapidamente colapsar para um buraco negro.

2. Não há garantias matemáticas que a solução seja única. Fisicamente, não há muita preocupação com isso em relação às estrelas de sequência principal, embora (por exemplo) tenha sido sugerido que acresção muito lenta poderia permitir a existência de anãs marron com massas acima do limite usual para queima de hidrogênio (Salpeter1992 ApJ, 393, 258)

NOTA: Para estrelas jovens, não há dúvidas que a história de acresção éimportante para a estrutura


Motivação Observacional

• Observações úteis:(1) O Sol. Conhecimento preciso da massa, raio, luminosidade, idade (a

partir de razâo de isótopos em rochas). Observações de oscilações não-radiais (heliosismologia) inferência da estrutura interna. Informação sobre reações nucleares a paprtir dos neutrinos.Website sobre Heliosismologia : www.gong.noao.edu

(2) Binárias. A maior parte das estrelas em sistemas binários (ver p.ex., Duquennoy & Mayor 1991, A&A 248, 485). Para sistemas eclipsantes (inclinação i ~ 90°), onde a velocidade radial das estrelas pode ser medida espectroscopicamente, pode-se obter R1, R2, M1 e M2.

(3) Estrelas com distâncias conhecidas a partir de paralaxesmagnitudes absolutas conhecidas.

(4) Aglomerados. Aglomerados abertos no disco e aglomerados globulares (velhos, no halo) fornecem amostra de estrelas a uma mesma distância. Mesma composição, mesma idade.


NOTAS TERMODINÂMICAS

• Calor pode ser definido como a energia em trânsito de um objeto com uma temperatura alta para um objeto de temperatura mais baixa. Um objeto não possui calor; assim, o termo apropriado para a energiamicroscópica em um objeto é energia interna. A energia interna pode ser aumentada pela transferência de energia para o objeto a partir de um objeto mais quente.


2. Calor Específico. É a quantidade de calor por unidade de massa necessária para aumentar a temperatura de 1°C. A relação entre calor e a mudança de temperatura é geralmente expressa na forma mostrada abaixo, onde c é o calor específico. A relação não se aplica se houver mudança de fase, porque o calor adicionado ou removido durante a mudança de fase não altera a temperatura.

3. A primeira lei da termodinâmica é a aplicação do princípio da conservaçãoda energia ao calor e processos termodinâmicos:


4. Entropia.

Uma das idéais envolvendo o conceito de entropia é que a antureza tende da ordem para a desordem em sistemas isolados. Isso nos diz que o lado direito da caixa acima acontece primeiro que o esquerdo. Usando as leis de Newton para descreve o movimento das moléculas não saberíamos qual apareceria primeiro.

Uma maneira mais precisa para caracterizar entropia é dizer que é uma medida da multiplicidade associada aos estados dos objetos. Se um dado estado pode ser atingido em muitos mais modos, então ele é mais provável que um que possa ser atingido via somente poucos modos.


5. Identidade termodinâmica: dU = TdS – PdV

onde U= energia interna, S= entropia, V= volume, T= temperatura, P= pressão

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6. O teorema de Clausius e Inigualdade.

A igualdade acima representa o teorema de Clausius e aplica-se somente a gás ideal ou ciclo de Carnot. Como a integral representa a mudança net na entropia em um ciclo completo, ela atribúi uma mudança zero de entropia à maquina de ciclo mais eficiente. A inigualdade de Clausius aplica-se a qualquer máquina real e implica em umamudança negativa na entropia no ciclo. Isto é, a entropia dada ao meio durante o ciclo é maior que a entropia tranferida à máquina pelo calor vindo de um reservatóriode calor.Quando a 2ª lei da termodinâmica estipula que nem todo ao calor fornecido em uma máquina de calor pode ser usado para o trabalho, a eficiência de Carnot coloca um valor limite na fração de calor que pode ser usado.

Teorema do Virial

Conecta dois importantes reservatórios de energia de uma estrela e permite predições e interpretações de certas fases evolutivas

Uma maneira de entender o teorema do virial

• Suponha que voce tenha uma coleção finita de patículas pontuais interagindogravitacionalmente via a velha mecânica Newtoniana. E suponha que:

1. As médias temporais da energia cinética total e energia potencial total sejam bem definidas. 2. As posições e velocidades das partículas estão ligadas durante todo o tempo.

• Então, temos: <T> = -< >/2 onde <T> é a média temporal da Ec total e < > é a média temporal da Ep total.Este é um caso especial do chamado teorema do “virial”, o qual também se aplicaa forças diferentes da gravitacional e tem impacto desde a astronomia até a teoriados gases.

• Por exemplo, muitas vezes, as partículas no espaço irão colapsar para formar um sistema ligado. Se o sistema estiver grosseiramente em equilíbrio, então as médiastemporais de Ec e Ep estarão próximas de seus valores correntes e o teorema do virial implica que T = - (1/2) . Sabemos que <T> = -< >/2. Com isto, podemosencontrar as massas de sistemas ligados. De fato, esta é a razão de pensarmos quea matéria escura existe!!!

• Para ser mais específica, suponha que voce meça as velocidades de uma série de objetos em seu sistema e infira T. Então, via teorema do virial conhece-se . Se encontrarmos que o poço de potencial é bem mais fundo do que conseguiríamos se fossemos adicinando contribuições de massas de tudo que vemos, saberemos quehá matéria escura.

Nota: Para aplicações do teorema do virial veja William C. Saslaw, Gravitational physics of stellar and galactic systems, Cambridge U. Press, Cambridge, 1985.

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Um exemplo simples• Considere uma partícula leve em órbita circular ao redor de uma mais pesada. Seja m a massa

da partícula leve e M a massa da partícula mais pesada. Admita uma órbita com raio R. Então, a energia potencial é

= -GmM/R (1)

onde G é a constante de Newton. Para descobrir a energia cinética, lembre-se que a força gravitacional é:

Fgrav = -GmM/R2

enquanto a força centrífuga é: Fcentrif = mv2/R• Em órbita circular elas se contrabalançam perfeitamente, de modo que devemos ter:

mv2/R = GmM/R2

• Então, a energia cinética da partícula leve é:

T = mv2/2 = GmM/2R (2)enquanto a energia cinética da partícula mais pesada é desprezível.

• Comparando (1) e (2), vemos que T = - /2 como o teorema do virial estipula.

• O teorema do virial permite-nos generalizar esse fato para sistemas ligados gravitacionalmente. MAS, em um sistema mais geral desse tipo, mesmo com a partícula em órbita elíptica, a Ec e a Ep mudam com o tempo. Essa é a razão do teorema do virial se referir a médias temporais de Ece Ep.


A Prova• Consideremos a quantidade chamada o “virial”:

G = i pi . ri

ou seja, a soma sobre todas as partículas do produto escalar do momento de cada partícula com a sua posição. Um pequeno cálculo mostra que

dG/dt = 2T + i Fi . ri

onde Fi é a força total exercida sobre a i-ésima partícula. • Calculemos agora a média temporal de ambos os lados. Integrando em tempo de 0 a

t , dividindo por t e considerando o limite de t 8 , do lado esquerdo obtemos:

lim t 8 (G(t) - G(0)) / t = 0

já que de acordo com a expressão (2), a função G(t) é ligada. Portanto, temos:

0 = 2<T> + < i Fi . ri>

se as médias temporais forem bem definidas.

19

• Sabemos que <T> é bem definida de acordo com a hipótese (1). Qual é a outra média temporal bem definida?

• A força sobre a i-ésima partícula é causada por todas as outras partículas ,de modo que:

i Fi . ri = i j -grad( ij) . ri

onde Vij é o potencial de interação entre a i-ésima e j-ésima partículas. • Re-escrevendo a relação acima, temos:

i Fi . ri = i < j -grad( ij) . ri + j < i -grad( ij) . rj

= i < j -grad( ij) . ri + i < j -grad( ji) . rj

= i < j -grad( ij) . (ri - rj)

onde no segundo passo, trocamos os índices i e j no segundo termo.• Como Vij é proporcional ao recíproco da distância entre a i-ésima e j-ésima

partículas, temos quegrad( ij) . (ri - rj) = - ij

então, < i Fi . ri> = < i < j ij> = < >

e essa média temporal é bem definida pela hipótese (1).


• Assim, obtemos

0 = 2<T> + < >

ou, em outras palavras,

<T> = -< >/2

Voilà! O teorema do virial!

Nota: Esta prova pode ser encontrada em qualquer bom texto de mecânica clássica, como porexemplo: Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1950.


O Teorema do VirialAs equações de estrutura estelar são locais. O teorema do virial éum teorema integral útil para interpretação da evolução estelar.

Derivação mais simplesSuponha uma estrela estática com movimentos internos desprezíveis. O equilíbrio hidrostático fornece:

multiplicado por V(r)dr = 4/3 r3 dr :

42 4 r

Gm

dm

dP

r

Gm

dr

dP

ou

dmr

GmdPrV

r

GmdrrdPrV

3

1)(

3

4)( 2

24

1

rdm

dr


Integrando sobre a estrela, o lado esquerdo dá por partes,

V = 0 em r = 0. Tomando-se P = 0 em r = R, os termos superficiais desaparecem. Identificando o lado direito com a energia de ligação gravitacional da estrela ,

PdVPVVdP R0

dmr

Gm

dmr

Gmd

M

0

3PdV


Resultado:

Para uma equação de estado (para gás monoatômico, = 5/3)

onde E é a energia interna por unidade de massa, = cp/cv , e

a qual, para constante fornece,

com U sendo a energia interna total da estrela.

PdV30

dVEPdV )1(

U)1(30

ETcTccTm

kPVVP

H

)1()1()(

EP )1(


Uma derivação melhorPode-se derivar o teorema do Virial com hipóteses menos restritivas. Considere a equação de movimento de um elemento de massa dm na posição r (t),

onde P é a pressão isotrópica (isto é, P ij ), F são as forças atuando sobre o elemento.

Para o teorema do virial escalar, considerando o produto escalar com r, integrando e notando que dm = dV:

Estratégia:

• Obter algo relacionado à energia cinética a partir do lado esquerdo da equação

• Primeiro termo do lado direito da equação energia interna como antes• F é devida à gravidade

FPr1

m V m

dmFrPdVrdmrr


Lado direito da equação:

Portanto,

onde definimos:

que é o momento de inércia, e

que é a energia interna cinética – por exemplo: rotação, turbulência

22

2

2

)(2

1

)(

rrrdt

d

rrrdt

drr

TIdmrrm

22

1

dmrIm

2

dmrTm

2

2

1


Lado esquerdo da equação, 1º termo:

Se escolhermos uma superfície tal que P = Ps seja uma constante, então,

Ps = 0 é um caso especial.

Como antes, para uma equação de estado e uma constante ,

S V

V V V

PdVdSrP

PdVdVrPPdVr

PrPPr

3)(

3)(

3)(

VPdVrPSdrPSdrP S

V

S

S

S

S

S 3)(

EP )1(

V

UPdV )1(33

27

Lado direito da equação, 2º termo é chamado de virial de Clausius.Suponha que a única força é devida à gravidade,

onde

Definindo a energia auto-gravitacional – energia requerida para juntar uma estrela a partir do infinito:

F rr

mdGr)(

rr

mddmG

2

1

mddmrr

rrr

rr

rrrG

mddmrr

rrr

rG

rr

mddmrG

dmrdmFr

)()(

2

1

11

2

1

)(


FInalmente, temos:

que se reduz ao resultado anterior se o sistema é estático, , não tem movimentos internos, T = 0, e se considerarmos a pressão de contorno zero, Ps=0 .

VPUTI S3)1(322

1

0I


Teorema do Virial: Aplicações

1. Estimativa da temperatura internaSeja , T = 0.

Então,

Estimando os termos para um gás monoatômico ideal, com = 5/3:

que para = 0.6 dá,

Implicações:

• T >> Te – isto é, forte gradiente de temperatura• A maior parte da estrela é altamente ionizada• Temperatura central é da ordem de grandeza da temperatura suficiente para

nucleossíntese

0IU)1(3

R

GMNMTkU A

2

~2

3

,

K1

6105~solsol R

R

M

MT

30

2. Energia líquida (net) totalA energia líquida total da estrela é: e

Para estrelas hidrostáticas com uma lei de equação de estado , o teorema do virial fornece:

Note que:

• Como < 0, W < 0 se > 4/3. Então, uma estrela com = 5/3 está seguramente ligada gravitacionalmente. Mas, para a pressão de radiação, , e energia por volume = aT4, isto é,

Assim, à medida que a pressão de radiação torna-se mais dominante, as estrelas tornam-se menos ligadas gravitacionalmente.

• Contração Gravitacional. À medida que a estrela irradia,

UW

UW )43()1(3

43

4

3

1TaP

.34)1( uP com

00,0

U, O W

U)1(30


• Em outras palavras, – Uma mudança de energia total da configuração está então conectada com uma

mudança de sua energia interna e com expansão ou contração.

– Seja L a luminosidade da estrela, isto é, a energia total perdida por unidade de tempo via radiação. Então, a conservação de energia exige que

– Chamando =3( -1) e considerando obtemos:

– Vimos que d / dt < 0 para contração de todas as camadas. Para um gás ideal, a equação acima fornece L = - d / dt =dU / dt, que significa que metade daenergia liberada pela contração é irradiada e a outra metade é usada paraaquecer a estrela (L > 0, dU / dt > 0). O fato surpreendente que a estrela se aquece enquanto perde energia pode ser entendido como dizendo que a estrelatem um calor específico negativo.

0Ldt

dW

UUW1

)1(

dt

d

dt

dUL

1)1(


3. Escala de tempo para pulsaçõesConsidere uma estrela executando pulsações radiais de pequena amplitude. Admita que durante a pulsação, a estrutura é homóloga (ou seja, m(r/R) é uma função fixa). Então,

com s, q sendo constantes adimensionais.Seja

com R0 sendo o raio de equilíbrio. Escrevendo o teorema do virial sob a forma,

Então, em equilíbrio, onde W não precisa de subscrito se admitirmos que a energia total permanece fixa durante as pulsações.

Estratégia: escrever a equação do virial de primeira ordem em para derivar a equação para a taxa de mudança de R

R

MGq

RMsI2

2

)()( 0 tRRtR

)34()1(32

1WI

0)34()1(30 W


• Lado esquerdo da equação:

Então,

dando,

• Lado direito da equação:

)(2 2RRRMsI

cái. termo esse em ordem segunda é Como ,2R

2

2

dt

RdR

2

2

02dt

RdRMsI

00

00

2

0

22

1

1

)(

R

R

R

R

R

GMq

tRR

GMq

R

GMq


Substituindo no teorema do virial:

o qual simplificado dá:

Note que:

• 0 < 0, então para oscilações estáveis requer-se > 4/3 (ou seja, uma estrela ligada)• No caso oscilatório,

• Para q = 3/2, s = 0.2, = 5/3, massa e raio solares, encontra-se P ~ 1 hora.

002

2

0 1)43(R

R

dt

RdRMs

RIdt

Rd

0

02

2

)43(

qGM

sRP

)43(2

3


Escalas de TempoEscala de tempo dinâmica

Imagine que a pressão que suporta a estrela repentinamente seja removida. As camadas mais externas da estrela então colapsariam com uma velocidade comparável à velocidade da ordem da velocidade média do som no interior estelar,

A escala de tempo dinâmica então é o tempo típico no qual uma estrela (dinamicamente estável) reage a uma leve perturbação de equílíbriohidrostático, ou tempo de queda livre (tff):

onde < > é a densidade característica. Para o Sol, tdin ~ 27 minutos

Nota: Se a estrutura estiver mudando, como a escala de tempo dessa mudança se comporta em relação ao tdin , para determinar se o equilíbrio hidrostático permanece uma aproximação válida?

R

GM~2v

21

3 1

2

1~~~

GGM

RRtdin v

2

2 2

d r GMdt r


• No caso de uma estrela gigante vermelha: M ~ M , R ~100 R tdin ~18 dias

• Para uma anã branca:M ~ M , R ~R /50 tdin ~4.5 segundos

CONCLUSÃO: Na maior parte das fases de suas vidas, as estrelas mudamlentamente em uma escala de tempo que é muito longa comparada à tdin . Então, elas estão muito próximas do equilíbrio hidrostático.

37

Escala de Tempo NuclearÉ o tempo requerido para a estrela deixar a sequência principal devido àqueima de uma quantia ‘significativa” de combustível nuclear,

onde a eficiência de queima nuclear 0.007 para a reação mais importante H He.O fator qSC ~ 0.1 leva em conta o fato que o core estelar se contrái e a estrela deixa a SP bem antes de todo o hidrogênio ter se esgotado (Schönberg & Chandrasekhar).

Para estrelas com massa solar e acima,

de modo que a escala de tempo nuclear é: isto é, estrelas mais massivas vivem menos.Cálculos numéricos fornecem tempos de SP de 480 Manos para 2.25Msol, 20 Manos para 9 Msol e, para o Sol, tnuc ~ 3 1018 seg ou 1011 anos.

L

cMq

L

Et SCnuc

nuc

2

5.3

solsol M

M

L

L

anos5.2

1010~sol

nuc M

Mt


Escala de tempo de Kelvin-HelmholtzÉ a escala de tempo para a estrela irradiar sua energia térmica (ou gravitacional) presente:

para parâmetros solares.

Como esse tempo se compara com o tempo requerido para um fotonaleatoriamente sair da estrela?

NOTA:

anos 72

103~RL

MGtKH

dinKHnuc ttt


• Antecipando um pouco os resultados que serão obtidos adiante, pode-se mostrar que tHK é também a escala de tempo na qual a estrela se ajusta globalmente à mudanças na estrutura térmica.

• Combinando a equação de transporte de energia

com a versão generalizada da equação de geração de energia que permite mudanças na energia interna u e densidade com o tempo,

e escrevendo u= cV T,

Se o segundo termo do lado direito for ignorado, então isto é justamente a equação de difusão com coeficiente de difusão /cV , onde

m

TT

rca

r

TT

rcaLr

342

32

3

64

3

16

t

P

t

u

m

L2

t

P

t

Tc

m

T

m V 2

3

64 432 rTca

40

A escala de tempo para difusão de energia térmica através de uma camada de espessura m é

Para a estrela toda, m = M e

onde T e * são bem conhecidos para se considerar valores médios. Então,

ou seja, a escala de tempo de Kelvin-Helmholtz é o tempo necessário para um pulso térmico viajar do centro até a superfície da estrela.

Note que:

• Como tajuste << tnuc para estrelas sobre a SP como o Sol, é válido admitir que tais estrelas estão tanto em equilíbrio mecânico com térmico.

• Tajuste é uma quantidade útil quando se considera propriedades térmicas de pequenas regiões no interior da estrela – por exemplo, no core.

Vajuste c

mt

/

2

M

TL ~

KHV

ajuste tL

U

L

MTct ~~~

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