Cap. 6. Definição e métodos de resolução do problema de valores de fronteira

1. Pressupostos2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear

2.1 Condições no interior2.2 Condições de fronteira2.3 Tipos dos problemas de elasticidade2.4 Condições iniciais2.5 Desvantagens da formulação clássica

3. Métodos de resolução do problema de elasticidade3.1 Método dos deslocamentos3.1 Método das forças

4. Resolução dos problemas simples5. Princípio de Saint-Vénant

1. Pressupostos:

Ou seja material linearmente elástico

análise geometricamente linear

Análise linear

análise fisicamente linear

ou seja a teoria dos pequenos deslocamentos, que implica:(i) a teoria das pequenas deformações,ou seja a linearidade de deformações emfunção de derivadas dos deslocamentos(ii) não se distingue a forma inicial da final do MC

Caso clássico de análise não linear:problema de contacto

lento e gradual aumento das cargas

Análise estática

Materiais não linearesainda para peq. deformações: betão

Elementos estruturais não linearesainda para peq. deformações: cabos

2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear

3 Equações de equilíbrio 0f

6 Equações deformações - deslocamento uT

C6 Equações constitutivas

Encontrar campos de deslocamentos (3 componentes), de deformações (6 componentes) e de tensões (6 componentes) para as quais as 15 equações fundamentais (3 tipos)

Vsejam satisfeitas em cada ponto interior do MC, Vx

2.1 Condições no interior

A análise com os pressupostos do slide anterior ou seja a análise linear estáticacostuma-se designar o problema de elasticidade linear que faz parte do conjunto dos problemas de valores de fronteira

O problema de elasticidade define-se da seguinte maneira:

A “necessidade” das condições de fronteira é a consequênciado facto, que as equações fundamentais são diferenciais

Mais é válido

ØSS pu SSS pu

S

Superfícies sem carga e sem deslocamentos impostos fazem

parte da superfície com a carga pS 0t

de facto os conjuntos poderão sersobrepostos desde que se relacionamàs diferentes componentes

Igualmente os campos das entidades incógnitastêm que satisfazer as condições de fronteira

0uu Geométricas

0pnt Estáticas

em cada ponto da superfície do MC,

nomeadamente geométricas na parte da fronteira

e estáticas na parte da fronteira

uSx pSx

2.2 Condições de fronteira

2.5 Desvantagens da formulação clássica

Exige-se demasiada continuidade, que restringeo número dos problemas que se podem resolver

A tensão tem que ser contínua incluindo as primeiras derivadas (e. equilíbrio), queimplica a deformação contínua incluindo as primeiras derivadas (e. constitutivas)e os deslocamentos contínuos até as segundas derivadas (e. deform. – deslocam.)

Quando é preciso implementar as condições de compatibilidade, os deslocamentos têm que ter as derivadas de terceira ordem contínuas, o que aumenta a continuidade das tensões e das deformações até segundas derivadas

Habitualmente assume-se o estado inicial sem carga, sem tensões e sem deformações, mas igualmente podem-se estudar casos com um campo de tensões iniciais imposto, ou com um campo de deformações iniciais imposto, que podem corresponder às deformações térmicas

SSu

1º problemade valores de fronteira

2º problemade valores de fronteira

problema de valoresde fronteira misto

SSp ØS&ØS up

2.3 Tipos dos problemas de valores de fronteira

2.4 Condições iniciais

3. Métodos de resolução do problema de elasticidade

3.1 Método dos deslocamentos uincógnita básica:

= condições de equilíbrio em termos de deslocamentos

0fC 0f C

Equações de Lamé 0fuC T uT

+ condições de fronteira em termos de deslocamentos

0uu uSx geométricas

0pn̂t Cestáticas

0fuGz

w

y

v

x

u

xG x

Exemplo da primeira equação de 3

Gabriel Lamé, 1795-1870

uT 0pCn̂

pSx 0T puCn̂

Ponto de partida: Condições de compatibilidade

3.2 Método das forças incógnita básica:

Não são precisas as condições de compatibilidade

Resolvendo: u uT C

02 Podem-se escrever na forma:

D 0D2

é uma matriz de operadores 2onde

condições de equilíbrio, reordenação

Eugenio Beltrami, 1835-1900

Equações de Beltrami-Michell6

= condições de compatibilidade em termos de tensões

John-Henry Michell (1863 - 1940)

+ condições de fronteira em termos de tensão

Resolvendo: D

pela integração u

Exemplo da primeira equação do primeiro bloco de 3

Exemplo da primeira equação do segundo bloco de 3

z

f

y

f

x

f

1

1

x

f123

x1 zyxx

m2

2

x

y

f

z

f13

yx1 zy

m

2

xy

(difícil exprimir desta maneira as condições geométricas)

do campo de deformação que é já compatível

Existe apenas o número finito dos materiais distintos, igualmenteo número de interfaces entre os materiais diferentes é finito

4. Resolução dos problemas simples

Há possibilidade de assumir a distribuição das tensões e das deformaçõesuniforme em cada material distinto que forma o MC

Como consequência desenvolvem-se apenas as componentes normais das tensões e das deformações

Como consequência o campo de deslocamento é linear

Aplicam-se apenas as cargas normais e o campo de temperatura

Resolução a partir das condições de fronteira

Interfaces

Componente

normaltensão deformação

perpendicular igual diferente

paralela diferente igual

Cargas estaticamente equivalentes

5. Princípio de Saint-Vénant

Os efeitos locais na zona de aplicação de cargas diminuem rapidamente com a

distância, por isso as cargas aplicadas na realidade podem ser substituídas pelas

cargas estaticamente equivalentes

cargas cujas resultantes (força - binário) são iguais na secção transversal de aplicação

Excepção: algumas cargas concentradas aplicadas em cascas

P 4/P 2/P 2/PA/Pp

Distribuição da tensão normal uniforme

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, 1797 - 1886