3/6/2005 Teo-06-2005.doc Página 1 de 3

Cap. 6 - Relação entre Potencial Elétrico e Campo Elétrico

S.J.Troise

6.1 Introdução Mostremos agora que existe uma relação definida entre o potencial elétrico e vetor campo elétrico, ou seja,

uma expressão que permite calcular uma deles sempre que se conhece o outro. Isto permite que o campo elétrico seja estudado conhecendo-se o vetor campo elétrico ou o potencial elétrico.

O estuda do campo elétrico através do potencial elétrico na região é muito mais simples pois, lembremos, o potencial elétrico é um escalar.

Vimos no capítulo anterior que o trabalho realizado pela força eletrostática é dado por B

AB 0 B A

A

F ds Q (V Vτ = ⋅ = − −∫ )

A

Equação 6-1

onde é a força de natureza eletrostática que atua sobre a carga que se move entre os pontos A e B e é a diferença de potencial entre esses dois pontos. Dividamos ambos os membros desta expressão por

F 0QBV V− 0Q

B B

B A0 0

A A

1 F. F ds ds (V V )

Q Q⋅ = ⋅ = − −∫ ∫

Equação 6-2

Porém, 0

FQ

nada mais é do que o vetor campo elétrico que atua sobre a carga , ou seja, podemos

escrever

0Q

B

B A

A

E ds (V V⋅ = − −∫ )

Equação 6-3 Lembremos agora que no capítulo 6 vimos que o trabalho da força eletrostática não depende da trajetória

seguida pela carga móvel. Isso nos permite escrever a diferença de potencial como; B

B A

A

(V V ) dV− = ∫

Equação 6-4 substituindo na Equação 6-1-3

B B B

A A A

E ds dV dV× = − = −∫ ∫ ∫

Equação 6-5 Sendo as duas integrais iguais, concluímos imediatamente que

E ds dV⋅ = − Equação 6-6

Este resultado mostra a existência de uma relação entre o vetor campo elétrico e a diferença de potencial. Mostra mais exatamente que:

1- onde existe campo elétrico (E <> 0 ) existe variação de potencial (dV 0<> )

2- onde existe variação de potencial (dV 0<> ) existe campo elétrico (E ds 0× <> ), ou seja, para que se produza um campo elétrico basta que se produza uma diferença de potencial.

Introdução à Eletricidade S.J.Troise

6.2 O Gradiente do Potencial Lembremos que qualquer que seja o vetor campo elétrico e qualquer que seja o deslocamento elementar

eles podem ser decompostos em componentes, ou seja,

x y zE E i E j E k e ds dxi dyj dzk= + + = + + Equação 6-7

Substituindo na Equação 6-6

( ) ( )( )

x y z

x y z

E i E j E k dxi dyj dzk dV ou

E .dx E .dy E .dz dV

+ + ⋅ + + = −

+ + = −

Equação 6-8 Suponhamos agora que o deslocamento elementar ocorra somente na direção

( ) . A Equação 6-8 fica x

0dye0dx ==

xdV

Edx

= − Equação 6-9

Este resultado mostra que a componente do vetor campo elétrico pode ser calculada a partir do potencial elétrico. Raciocinado de forma semelhante para deslocamentos elementares nos outros eixos

y zdV dV

E e Edy dz

= − = −

Equação 6-10 As equações Equação 6-1-9 e Equação 6-1-10 apresentam um erro de formalismo matemático pois as

derivadas devem ser parciais, ou seja, devemos escrever

x y zV V

E , E e Ex y∂ ∂

= − = − = −∂ ∂

Vz∂∂

Equação 6-11 Voltando à Equação 6-8. podemos escrever

V V VE i j

x y z∂ ∂ ∂⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠k

Equação 6-12 representado por grad ou o termo que aparece entre parênteses é denominado gradiente do potencial elétrico seja

V V Vgrad V i j k

x y z∂ ∂ ∂⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Equação 6-13 Assim, escreve-se

V V VE grad V i j k

x y z∂ ∂ ∂⎛ ⎞

= − = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Equação 6-14

6.2.1 Exercícios de revisão teórica 6.2.1.1 ( ) Qual a relação existente entre potencial elétrico e campo elétrico? 6.2.1.2 ( ) Como é definido campo elétrico médio? Quando que este conceito é utilizado? 6.2.1.3 ( ) Qual a importância dessa relação?

6.2.2 Exercícios 6.2.2.1 ( ) Entre dois pontos do espaço, separados por uma distância de 0,5m existe uma diferença de potencial igual a 400V.

Calcule a intensidade média do vetor campo elétrico nessa região. Resp:

6.2.2.2 ( ) O potencial elétrico varia ao longo de um eixo de acordo com a expressão s 4 1V 3 10 (V)

s= ⋅ ‘. Calcule a

componente do vetor campo elétrico na direção do eixo . sResp:

6.2.2.3 ( ) Numa certa região do espaço o potencial elétrico é dado pela função . Calcule o vetor campo elétrico na região

3 3V 6 10 2 10 x ( V= ⋅ − ⋅ ⋅ )

3/6/2005 Página 2 de 3

Introdução à Eletricidade S.J.Troise Resp

6.2.2.4 ( ) Sendo a função que representa o potencial elétrico numa região do

espaço, determine o vetor campo elétrico nessa região.Numa certa região do espaço o potencial elétrico é dado pela função

. Determine o vetor campo elétrico na região.

(4 3 3V 3 10 x 2 y z (V= ⋅ ⋅ + ⋅ − ) )

C)

3 3V 5.10 2.10 x V= +

Resp:: 3E 2 10 i (N /−= − ⋅

6.2.2.5 ( ) Sabe-se que numa região do espaço o vetor campo elétrico tem componente somente no eixo y sendo constante e

igual a . Determine o potencial elétrico na região. 45,0.10 N / C

Resp:: 4V(y) 5.0 10 y C (N / C)= − ⋅ ⋅ +

6.2.2.6 ( ) Sendo ( )3 2V 2.10. x 2.x.z V= + a função que representa o potencial elétrico numa região do espaço,

determine o vetor campo elétrico.

Resp: 3E 4 10 (x z)i x k (N / C⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ + + ⋅⎣ ⎦ ):

6.2.2.7 ( ) Entre dois pontos do espaço separados de uma distância d = 0,3m existe uma diferença de potencial igual a 270V. Determine o vetor campo elétrico médio entre esses dois pontos.

Resp: mE 900 N / C=

6.2.2.8 ( ) Suponha que entre dois pontos do espaço existe uma diferença de potencial. Descreva o que acontece com uma carga elétrica se ela for abandonada entre os dois pontos.

Resp:

6.2.2.9 ( ) Em um tubo de TV elétrons são acelerados por uma diferença de potencial e lançados contra a tela que contem um material transdutor, isto é, que transforma energia mecânica em energia luminosa. Se a ddp de aceleração é 25 kV, calcule a velocidade com que os elétrons atingem a tela.

Resp:

6.2.2.10 ( ) Na Equação 6-6 ds é um deslocamento qualquer no espaço. Calcule a variação de potencial a) quando este deslocamento é paralelo ao vetor campo elétrico; b) quando é perpendicular ao vetor campo elétrico; c) quando o deslocamento faz um ângulo qualquer com o vetor campo elétrico.

Resp:

6.2.2.11 ( ) A partir da análise do exercício anterior, conclua que existem superfícies nas quais o potencial é constante e que o vetor campo elétrico é sempre normal elas

3/6/2005 Página 3 de 3