99929388.doc12.3 COMBINAO LINEAR12.3.1 DEFINIOSeja V um espao vetorial real e na ,...,2a , a Vnv ,...,2v ,1v1e, ento o vetornvna ...2v2a1v1a v + + + um elemento de V e dito combinao linear de nv ,...,2v ,1v.Exemplo 1 Verifique se o vetor( ) 7 , 18 , 4 v combinao linear de ( ) ( ) 1 , 4 , 22v 2 , 3 , 11v e .Para verificar que v C.L. de 1ve2v precisamos encontrar escalares a e b tais quea . 1v + b . 2v = v2 a 3 b7 b a 218 b 4 a 34 b 2 a ' + +eExemplo 2 Mostrar que o vetor v = ( 4,3,-6) no combinao linear de v1= ( 1,-3,2) e v2=( 2,4,-1) ResoluoDeve-se mostrar que no existem escalaresa e b tais quev = av1 +bv2Temos;( 4,3, -6)= a ( 1,-3,2) + b ( 2,4,-1) de onde resulta o sistema:' + +6 b a 23 b 4 a 34 b 2 aVerificamos que este sistema impossvel, logo o vetorv no pode serescrito como combinao linearde v1ev2. 10699929388.docExemplo 3Determine o valor de k,para que o vetoru = ( -1, k, -7) seja combinao linear de v1 ev2( dado do exemplo 2)Devemos ter : u = av1 + bv2ou ( -1,k,-7) = a ( 1,-3,2)+ b ( 2,4,-1)de ondetemos o sistema:' + +7 b a 2k b 4 a 31 b 2 a Para ser combinao linear, o sistema deve ser possvel, Do qual resulta ,k = 13 .( verifique a resoluo deste sistemano captulo 2, exemplo 7)Exemplo 4Seja( ) ( ) 1 , 02v 0 , 11v ,2V e ento[ ]2v ,1v V poisdadoqualquer vetor ( ) V y , x v temos ( ) ( ) 1 , 0 y 0 , 1 x v + ou seja 2yv1xv v + Exemplo 5Os polinmios nt ,...,3t ,2t , t , 1geram o espao vetorial de todos os polinmios de grau menor ou igual a n, pois seja um polinmio qualquer ntna ...2t2a t1a 1 .0antna ...2t2a t1a0a + + + + + + + +. Ou seja todo polinmio pode ser escrito como uma C.L.de nt ,...,3t ,2t , t , 1.PROPOSIO SUBESPAO GERADOTomemososvetores nv ,...,2v ,1v, oconjuntodetodas ascombinaes linearesdenv ,...,2v ,1vchamadodesubespaogeradopornv ,...,2v ,1v. Para simboliz-lo usaremos a notao : [ ]nv ,...,2v ,1v W EXERCCIOS E3. Sejam os vetores( ) 2 , 3 , 2 u e( ) 4 , 2 , 1 v em 3.a) Escrever o vetor ( ) 2 , 11 , 7 w como C.L. de u e v;b) Para que valor de k, o vetor ( ) k , 14 , 8 C. L. de u e v; 10799929388.docE4. Consideremos no espao{ } + + c , b , a / c bt2at2Pos vetores t2t 23p 2 t2p 1 t 22t1p + + e , .a) Escrever o vetor 7 t 52t 5 p + como C.L.dep1, p2e p3.b) Escrever o vetor 7 t 52t 5 p + como C.L.dep1 e p2.c) possvel escrever p1 como C.L. de p2e p3?E5.Seja o espao vetorialM=(2,2)e os vetores 1]1

1]1

1 02 12V ,1 10 11V e 1]1

1 21 03V escrever o vetor 1]1

5 08 1V comoC.L. dos vetores v1, v2 e v3 .E6. Sejam os vetores( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 23v 2 , 0 , 12v 1 , 2 , 11v e,. Expressar cada um dos vetores ( ) ( ) ( ) 0 , 0 , 0 w 3 , 2 , 0 v , 1 , 4 , 8 u e como C.Lde 3v ,2v ,1vE7. Expressar o vetor( )46 , 4 , 4 , 1 u como C.L. dos vetores ( ) ( ) ( ) 0 , 0 , 1 , 13v 2 , 1 , 1 , 02v , 0 , 1 , 3 , 31v e .Respostas:E3. a) w=3u-vb) k=12c) 16a +10b-c=0E4. a) p=3p1+2p2+p3b) impossvelc) no possvelE5. V= 4v1+3v2-2v3E6.u=3v1 v2+2v3v=v1 +v2

w= 0v1 + 0v2+0v3E7. V = -v1 +3 v2+2v3 10899929388.doc12.4 VETORES LINEARMENTE DEPENDENTES E LINEARMENTE INDEPENDENTESDEFINIO: Seja V um espao vetorial e{ } Vnv ,...,2v ,1v A . Consideremosaequao0nvna ...1v1a + + (I), onde0simbolizaovetor nulo.Sabemos que se 0na ...2a1a a igualdade(I) se verifica obviamente, tal soluo dita trivial.Se a equaoI no admitir somente a soluo trivial, isto , se existirem escalares no todos nulos na ,...,2a ,1a tais que 0nvna ...2v2a1v1a + + +, o conjunto A dito L.D. Caso contrrio, o conjunto dito Linearmente Independente ( L. I ).ExemplosVerifique se os conjuntos abaixo so L.Iou L. D.1) No espao vetorial3V tomemos{ }3v ,2v ,1v A onde ( ) ( ) ( ) 1 , 3 , 23v 2 , 0 , 12v , 3 , 1 , 21v e .Resoluo:Vamos determinar a soluo do sistema 03cv2bv1av + +( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 , 0 c , c 3 , c 2 b 2 , 0 , b a 3 , a , a 20 , 0 , 0 1 , 3 , 2 c 2 , 0 , 1 b 3 , 1 , 2 a + + + + ' + + 0 c b 2 a 30 c 3 a0 c 2 b a 2Resolvendo o sistema temos:a = 3, b = 4e c = -1Comoexistemescalares, a, b,cnosimultaneamentenulos, taisque 03cv2bv1av + +, pela definioA L.D. 10999929388.doc2) Noespaovetorial das matrizes colunas 3x1,{ }3e ,2e ,1e A onde 111]1

111]1

111]1

1003e0102e0011e e, .Vamos determinar a soluo do sistema 03ce2be1ae + +111]1

111]1

111]1

111]1

+111]1

+111]1

111]1

111]1

+111]1

+111]1

000cba000c000b000a000100010001a

c. b. .da temosa = 0, b = 0e c = 0Verificamosassimqueosistema03ce2be1ae + +admitesomentea soluo trivial a=b=c=0 , logo o conjunto { }3e ,2e ,1e A L.I.3) No espao vetorial4V ,{ }3v ,2v ,1v A sendo os vetores ( ) ( ) ( ) 2 , 4 , 0 , 03v 1 , 3 , 5 , 02v , 4 , 3 , 2 , 21v e .Queremos encontrar a soluo do sistema 03cv2bv1av + +( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 . 2 0 0 . 4 c 2 b a 40 c 0 c . 4 0 . 3 0 . 3 0 c 4 b 3 a 30 b 0 b 5 0 b 5 0 . 2 0 b 5 a 20 a 0 a 20 , 0 , 0 , 0 c 2 , c 4 , 0 , 0 b , b 3 , b 5 , 0 a 4 , a 3 , a 2 , a 20 , 0 , 0 , 0 2 , 4 , 0 , 0 . c 1 , 3 , 5 , 0 . b 4 , 3 , 2 , 2 a + + + + + + + + + +Vemos que o sistema 03cv2bv1av + +admite apenas a soluo trivial. Logo A .e L.I. 11099929388.docEXERCCIOSE8. Verificar se so L.I ou L.Dos seguintes conjuntos:) 2 , 2 ( M963 42 1) a12 -3,;'1]1

1]1

onde M(2,2) o espao vetorial das matrizes 2x2( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }40 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 0 , 1 , 1 ) c23 , 1 , 1 , 2 ) b { }2P2x 7 x 4 3 ,2x 3 x 2 ,2x x 2 1 ) d + + +E9. Considere dois vetores ( a,b)e ( c,d)no plano. Sead bc 0, mostre que eles so LI.E10.Determine se os seguintes vetores em 3 so LD ouno.a) ( 1,-2,1); ( 2,1,-1) ; ( 7, -4, 1 )b) ( 1 ,-3 , 7 ); ( 2, 0 ,-6 );( 3, -1, -1); ( 2, 4, -5 )c) ( 1,2,-3) ; ( 1, -3,2); ( 2, -1 5 )E11. Determine se u , v e wso linearmente dependentes, sendo:1]1

1]1

1]1

1]1

1]1

1]1

0 45 1w2 21 3v1 32 1u ) b0 01 1w1 00 1v1 11 1u ) a

, , Respostas:E8. a) LDb) LIc) LI d) LDE10a) LD, b) LD,c) LIE11 a) LI b) LD 11199929388.docEnunciaremos agora umimportante resultado que nos dar mais uma caracterstica importante de um conjunto LD.TEOREMA: Umconjunto{ }3v ,2v ,1v A LDse, esomentese, pelo menos um desses vetores combinao linear dos outros.Demonstrao: SeALD, entopor definioexistem na ,...,2a ,1ano todos nulos tais que 0nvna ...1v1a + + .Suponha que iaseja diferente de zero; ento isolando ivia temos:ianv2a...ia2v2aia1v1aivnvna ...2v2a1v1aivia Assim, iv combinao linear de nv ,...,2v ,1v.Por outrolado, assumamosque em um conjuntonv ,...,2v ,1v,um vetoriv seja combinao linear dos demais, ento:nvna ...2v2a1v1aiv + + + De onde temos:0nvna ...2v2a1v1aiv ) 1 ( + + + + , logo o sistema0nvna ...1v1a + + admite uma soluo no trivial, o que pela definio nos d que nv ...2v ,1v LD. 11299929388.doc12.5 BASE12.5.1 DEFINIOUm conjunto { }3v ,2v ,1v B V base de um espao vetorial V se: i) B LIii) B gera V ( ou seja , qualquer vetor de V pode ser escrito com C.L. de B)Exemplos:a) B={ ( 1,1) , ( -1, 0) } base de 2. De fato:i) B LI, pois sea(1,1) +b(-1,0) = ( 0,0)ento (a - b) , a) = ( 0, 0)a - b=0 b=0a=0ii) B gera 2, pois seja( x,y ) 2, queremos achar a e b , tais que (x,y) = a (1,1)+b( -1, 0)(x,y) = ( a b, a) x = a b x = y - bb= y xy = aAssim, ( x, y ) = y ( 1,1) + ( y - x) (-1,0)b) B = { ( 1,0) , ( 0,1) } base de 2De fato:i) B LI , poisa( 1,0) + b ( 0,1) = (0,0)(a , b) = (0,0)a=0b = 0ii) B gera 2 , pois seja ( x ,y) 2,(x ,y) = x ( 1,0) + y ( 0,1)Obs: Tal base denominada base cannica 11399929388.docc);'1]1

1]1

1]1

1]1

1 00 0,0 10 0,0 01 0,0 00 1 uma base cannica de M (2,2)De fato:i) 1]1

1]1

1]1

1]1

+1]1

+1]1

+1]1

0 00 0d bc a0 00 01 00 0d0 10 0c0 01 0b0 00 1ada:a= b= c = d= 0Portanto B LIii)B gera o espaoM (2,2) poisqualquer) 2 , 2 ( Md bc a1]1

pode ser escrito como 1]1

+1]1

+1]1

+1]1

1]1

1 00 0d0 10 0c0 01 0b0 00 1ad bc a12.6 DIMENSO DE UM ESPAO VETORIALSeja V um espao vetorial:Se V possuiuma base com n vetores,ento V tem dimenso n, e anota-se dimV = nSe V no possui base, dimV=0Se v tem infinitos vetores, ento a dimenso de v infinita.EXEMPLO1) dim2=2, pois toda base de 2 tem dois vetores.2) Dim n = n3) Dim M (2,2) = 4( sendo M(2,2) matrizes 2x2)4) Dim Pn = n+1 Pn = polinmios de grau nEnunciaremos aqui sem demonstrar , um importante resultado que nos ajudar em muitos exerccios. Se dimV=n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI base de V.Exemplo: A { ( 0,2) , ( 3,5) } um subconjunto LI de 2 , logo A uma base de 2. 11499929388.doc12.7 COMPONENTES OU COORDENADAS DE UM VETORSeja { }nv ,...,2v ,1v B uma base de V. TomemosV v , sendo:nvna ...2v2a1v1a v + + + Os nmeros a1, a2, ...,an so chamados componentes ou coordenadas de v em relao base B e so representados por:( )na ,...,2a ,1aBV oucomnotaomatricial:11111111]1

na...2a1aBV. Estamatriz chamada matriz coordenada de V em relao a B.ExemploDado v = { 8,6} 2 , encontre as coordenadas de v , nas bases:a) A = { ( 1,0) , ( 0,1) }b) B = { ( 2,0) ,(1,3) }c) C= { ( 1, -3 ) , (2, 4 ) }a) v = 8(1,0) + 6 ( 0,1)logo vA= ( 8,6)b) a(2,0) + b ( 1,3) = ( 8,6)(2 a +b,3b)=(8,6)' +2 b 6 b 38 b a 23 a 8 2 a 2 8 b a 2 + +Logo vB = ( 3,2)c) a(1,-3) +b(2,4) = (8,6)(a+2b, -3 a +4b)=(8,6)' + +' + +6 b 4 a 324 b 6 a 3: temos , 3 por 1 ndo multiplica6 b 4 a 38 b 2 aLda b = 3ea=2Logo vc = (2,3) 11599929388.docEXERCCIOSE12. Sejamosvetoresv1=(1,2,3) , v2=( 0,1,2) ev3=( 0,0,1). Mostreque { }3v ,2v ,1v B uma base de 3.E13.a) Mostre que v1=(1,2,3) , v2= ( 0,1,2) , v3=(0,0,1) uma base de 3b) Determinar o vetor coordenada e a matriz coordenada de v = ( 5,4,2) em relao a B.E14. Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do2:a) { ( 1,2) , ( -1, 3 ) }b) { ( 3, -6) , ( -4,8) }c) {(0,0), ( 2,3) }d) { ( 3,-1) , ( 2,3) }E15. Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base de 3?a) (1,1,-1) , ( 2,-1,0) , ( 3,2,0)b) (1,0,1) , ( 0,-1,2) , ( -2, 1, -4)c) (2,1,-1) , ( -1, 0 ,1) , ( 0,0,1)d) (1,2,3) , ( 4,1,2)e) ( 0,-1,2) , ( 2,1,3) , ( -1,0,1) ( 4, -1, -2 )E16. Quais dos seguintes vetores formam uma base de P2?2x x 2 1 ,2x x , x 1 ) e2x ,2x x ,2x x 1 ) d2x 1 , x 1 , 2 ) c2t , t , 1 ) b1 t 32t , 4 t2t 2 ) a + ++ + ++ + +

E17. Mostrar que o conjunto;'1]1

1]1

1]1

1]1

5 27 3,1 12 3,2 01 1,0 13 2

uma base de M (2,2).E18. Determinar as coordenadas de v = ( 6,2) em relao as seguintes base:( ) { } { })} 0 , 1 ),( 1 , 0 {( d) )} 1 , 0 ),( 0 , 1 {( c)1 , 2 ),( 2 , 1 ( )b ) 2 , 0 ,( 0 , 3 a) E19. Seja{ }2x , x 2 , 3 A uma base de P2. Determinar o vetor- coordenada de 2x 3 x 4 6 v + em relao a base A . 11699929388.docE20. Determinar a dimenso e uma base para cada um dos seguintes espaos vetoriais:( ) { };' + 1]1

c d e c a b ,d cb a) bx 3 y / z , y , x ) aRespostas:E14: a e dE15.a , cE16: b,c,dE18( ) ) 6 , 2 ( V 2 , 6 v310,32V ) 1 , 2 ( V ) a ,_

d)c)b) E19: VA = ( 2, -1, -3)E20: a ) dim 2, b) dim 2 117