Cap02 Lachtermacher PO

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Capítulo 2Programação LinearResolução Gráfica


Conteúdo do Capítulo

• Problemas de Programação Linear

– Resolução pelo método gráfico

– O Problema do Pintor

– Minimização

– Restrições Redundantes

– Solução Múltipla, Ilimitada e Inviável

• Caso Alumilâminas S.A.

• Caso Esportes Radicais S.A.


Modelos Matemáticos

• Em casos de informação estruturada ou semiestruturadas, entre os modelos

matemáticos já utilizados, encontramos:

– Programação Linear e Inteira

– Modelos de Previsão

– Simulação

– Sistemas Especialistas

– PERT/CPM - Gráficos de Gantt

– Árvore de Decisão

– Métodos de Apoio Multicritério


Problemas de Otimização

• Em problemas reais de otimização, busca-se maximizar ou minimizar uma

quantidade específica, chamada objetivo, que depende de um número finito

de variáveis de entrada.

• As variáveis de entrada podem ser:

– Independentes uma das outras.

– Relacionadas uma com as outras por meio de uma ou mais restrições.


Aplicações deOtimização Matemática

• Determinação de Mix de Produtos

• Scheduling

• Roteamento e Logística

• Planejamento Financeiro


Programação Matemática

• Um problema de programação matemática é um problema de otimização

no qual o objetivo e as restrições são expressos como funções

matemáticas e relações funcionais

ïïî

ïïí

ì

³=£

ïïþ

ïïý

ü

=

nnn

n

n

n

b

b

b

xxxg

xxxg

xxxg

xxxfz

:

),...,,(

:

),...,,(

),...,,(

:a Sujeito

),...,,( :Otimizar

2

1

21

212

211

21


Variáveis de Decisão

• x1 , x2,...,xn , são as chamadas Variáveis de Decisão.

w As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do

problema, e que podemos escolher (decidir) livremente.

w As variáveis de decisão representam as opções que um administrador têm

para atingir um objetivo.

w Quanto produzir para maximizar o lucro?

w Quanto comprar de uma ação para minimizar o risco da carteira?


Programação Linear

• Um problema de programação matemática é linear se a função-objetivo

e cada uma das funções que representam as restrições forem lineares, isto

é, na forma abaixo:

e

nnn xcxcxcxxxf +++= ...),...,,( 221121

g x x x a x a x a xi n i i in n( , , . . . , ) . . .1 2 1 1 2 2= + + +

),...,,( 21 nxxxf


Quebrando a Linearidade

• A presença de qualquer das expressões abaixo tornam o problema não linear.

– Exemplos:

•

•

•

( ) 1 para 1 ¹nx n

( ) a basequalquer para log 1xa

aa x devalor qualquer para 1



Exemplos

0,

60020180

2042

s.r.

max

21

21

21

21

³£+

£+

+

xx

xx

xx

xx

0,

60020180

2032

s.r.

2min

21

21

21

21

³=+

³+

+

xx

xx

xx

xx



Áreas de Aplicação

• Administração da Produção

• Análise de Investimentos

• Alocação de Recursos Limitados

• Planejamento Regional

• Logística

– Custo de transporte

– Localização de rede de distribuição

• Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de

comunicação.



Problema na Forma Padrão• Existem 4 características para um problema na forma padrão:

– A função-objetivo é de Maximizar;

– As restrições têm sinal de menor ou igual;

– As constantes de todas as restrições são não negativas;

– As variáveis podem assumir valores não negativos.


0x,...x,x,x

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

xc...xcxcZ

n321

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

nn2211

³£+++

£+++£+++

+++= :a Sujeito

Maximizar

Não negativos


Problema na Forma Padrão


Exemplos

• Forma Padrão wForma Não Padrão

0,

60020180

2032

s.r.

2min

21

21

21

21

³=+

³+

+

xx

xx

xx

xx

0,

60020180

2042s.r.

max

21

21

21

21

³

£+

£+

+

xx

xx

xx

xx

0,

60020180

2042s.r.

max

21

21

21

21

³

£+

£+

+

xx

xx

xx

xx



Hipótese de Aditividade

• Considera as atividades (variáveis de decisão) do modelo como entidades

totalmente independentes, não permitindo que haja interdependência

entre as mesmas, isto é, não permitindo a existência de termos cruzados,

tanto na função-objetivo como nas restrições.

• Esta é a própria hipótese de linearidade do PPL



Hipótese de Proporcionalidade

• O valor da função-objetivo é proporcional ao nível de atividade de cada

variável de decisão, isto é, o valor da função-objetivo se altera de um valor

constante dada uma variação constante da variável de decisão;



Hipótese de Divisibilidade

• Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em

qualquer nível de fracionamento, isto é, qualquer variável de decisão pode

assumir qualquer valor positivo fracionário.

• Esta hipótese pode ser quebrada, dando origem a um problema especial

de programação linear, chamado de problema inteiro.



Hipótese de Certeza

• Assume que todos os parâmetros do modelo são constantes conhecidas.

• Em problemas reais quase nunca satisfeita

– as constantes são estimadas.

• Requer uma análise de sensibilidade, sobre o que falaremos

posteriormente.



Terminologia

• Solução

– No campo de Programação Linear é qualquer especificação de valores

para as variáveis de decisão, não importando se esta especificação se

trata de uma escolha desejável ou permissível.


Exemplo de Solução

0,

800100180

2042

max

21

21

21

21

³£+

£+

+=

xx

xx

xx

s.r.

xxz

x1 = 3 ; x2 = 2 )2,3(=S

x1 = 3 ; x2 = 4 )4,3(=S


Classificação das Soluções

• Solução Viável– É uma solução em que todas as restrições são satisfeitas;

• Solução Inviável– É uma solução em que alguma das restrições ou as condições de

não-negatividade não são atendidas;


Exemplos de Solução Viávele Inviável

0,

800100180

2042

max

21

21

21

21

³£+

£+

+

xx

xx

xx

s.r.

xx x1 = 3 ; x2 = 2S = (3, 2)solução viável: todas as restrições não são violadas

x1 = 3 ; x2 = 4S = (3, 4)solução inviável: pelo menos uma das restrições é violada


Valor da Função-Objetiva

• É especialmente importante verificar como fica o valor da função-objetivo (z) nas soluções viáveis que podemos determinar:

0,

800100180

2042

max

21

21

21

21

³£+

£+

+=

xx

xx

xx

s.r.

xxz)1,1(=S 2=z

)1,2(=S 3=z

)2,3(=S 5=z


A Solução Ótima

• A Solução Ótima é uma solução viável especial.

• Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da função-objetivo otimizado é chamada de ótima;

• A grande questão é como determinar a solução ótima.



Solução Gráfica• Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução

ótima de um problema de programação linear pode ser encontradagraficamente.

Max Z x x= +5 21 2

1x (b)£ 42

x x (c)+ £2 91 2

s r x (a)£ 3. .

x x (d)³ ³0 01 2,



Solução Gráfica

21 4

1

2

x13

x2

x £423

4

x £31

x ³01

x ³02


x £ 42


Solução Gráfica

92 12 xx -=

121

29

2 xx -=

x £ 31

x1

92 21 xx £+

x ³ 01

x ³ 02

x2

(3,0)(0,0)

(0,4)(3,4)

LimiteReta92 21 xx =+

121

29

2 xx -£Região Limitada

(1,4)

(3,3)



Solução Gráficax2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

SoluçãoViável

(3,3)

21 2510 xxZ +==

= SoluçãoÓtima

21 x2x521Z +==

(3,3)21 x2x50Z +==

(0,0)



Solução Gráfica – Exercício• Considere o seguinte o problema de LP

Encontre a solução ótima.

0,

2446

1242 ..

33

21

21

21

21

³£+£+

+

xx

xx

xxrs

xxMax



Solução Gráfica - Exercício

(0,0)

1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

02 ³x

01 ³x x1

(0,3)

(6,0)

1242 21 £+ xx

(4,0)

(0,6)

2446 21 £+ xx5

4

6

7




1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

x1

5

4

6

7

21 330 xxZ +==

21 336 xxZ +==

21 335,13 xxZ +==


Exercício Recomendado 1

max 4x1 + 3x2s.r.x1 + 3x2 £ 72x1 + 2x2 £ 8x1 + x2 £ 3x2 £ 2x1, x2³ 0


Solução do Exercício 1

Solução Ótima


Exercício Recomendado 2

max 4x1 + 8x2s.r.3x1 + 2x2 £ 18x1 + x2 £ 5x1 £ 4x1, x2 ³ 0



Solução Ótima


max 21 3xx +s.r.

0,

10216

304

21

21

21

³£+

³+

xx

xx

xx

Exercício 3



w Sem Soluções Viáveis


O Problema do Pintor

• Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece

todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os

vende por R$5,00 e R$3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3

quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito

em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos

(detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira.

Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar para maximizar a sua

receita?


A Decisão do Pintor

• O que o desenhista precisa decidir?

• O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita?



• O que o desenhista precisa decidir?

• O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita?

wA decisão dele é como usar as 8 horas diárias.

wQuantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer.



• Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação

linear para resolvê-lo;

• Chamemos de x1 e x2 as quantidades de quadros grandes e pequenos que

ele faz por dia, respectivamente.

• O objetivo do Pintor é aumentar sua receita ao máximo.


O Modelo para a Decisão do Pintor

Máx z x x= +5 31 2

• Função-objetivo Maximizar a receita

1s r x £ 3. .w Restrição de vendas de quadros

grandes

x £ 42

w Restrição de vendas de quadros pequenos

x x+ £1,8 81 2

w Restrição de tempo

x ³ 01

, x ³ 02

w Não negatividade


O Modelo para a Decisão do Pintor

970

135

2

21370

135

2

21

35

350

+-=

+==

-=

+==

xx

xxz

xx

xxz

c

c(3 ; 50/18)

88,1 21 £+ xx 31 £x



Solução Gráfica - Minimização

0,

2045

1553

6

5

2 ..

97 min

21

21

21

2

1

21

21

³³+³+

££

£+-+

xx

xx

xx

x

x

xxrs

xx• Encontre a solução ótima:


x11086

51 £x

42

62 £x

221 £+- xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 ³+ xx

2045 21 ³+ xx

02 ³x

01 ³x






+==

117415

197

2

2165415 97

+-= xx

xxz

c

197

2

21 970

-=

+==

xx

xxz

c

(40/13,15/13)



Restrições Redundantes• Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do conjunto de

restrições de um problema não altera o conjunto de soluções viáveis

deste.

• É uma restrição que não participa da determinação do conjunto de

soluções viáveis.

• Existe um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ótima

e mesmo conjunto de soluções viáveis.


• Considere o problema

0,

2045

1553

6

5

12

2 ..

106 min

21

21

21

2

1

21

21

21

³³+³+

££

³+£+-

+

xx

xx

xx

x

x

xx

xxrs

xx


Restrições Redundantes



Restrições Redundantes

x11086

51 £x

42

62 £x

221 £+- xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 ³+ xx

2045 21 ³+ xx

02 ³x

01 ³x

12 21 ³+ xx

Restrição Redundante



Solução Múltipla

0,

2045

1553

6

5

2 ..

106 min

21

21

21

2

1

21

21

³³+³+

££

£+-+

xx

xx

xx

x

x

xxrs

xx

• Encontre a solução ótima:



Solução Múltipla

x11086

51 £x

42

62 £x

221 £+- xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 ³+ xx

2045 21 ³+ xx

02 ³x

01 ³x

SoluçõesMúltiplas



Solução Ilimitada

0,

2045

1553

6

2 ..

106 max

21

21

21

2

21

21

³³+³+

££+-

+

xx

xx

xx

x

xxrs

xx

• Encontre a solução ótima:


x1108642

62 £x

221 £+- xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 ³+ xx

2045 21 ³+ xx

02 ³x

01 ³x


Solução IlimitadaCresce indefinidamente


• Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de

soluções viáveis é vazio.

• Considere o problema

0,

20

12 ..

max

21

21

21

21

³³+£+

+

xx

xx

xxrs

xx


Solução Inviável




01 =x

x2

01 ³x

02 =x 02 ³x x1

12 21 =+ xx 12xx 21 £+ 2021 =+ xx 2021 ³+ xx

2 4 6 8 10 12 140

2

4

6

10

8

12

14


Caso Alumilâminas S.A.

• A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando

espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para

todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa.

Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a

outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16

toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas.

Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de

lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ 100.000,00 para uma

capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2

toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é

de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas

médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para

atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da

função objetivo).


• Variáveis de Decisão

– x1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São Paulo

– x2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica do Rio de Janeiro

• Função-Objetivo

– Minimizar Custo de Produção (mil R$) =

21 200100 xx +



• Restrições de Demanda– Placas Finas

– Placas Médias

– Placas Grossas

• Restrições de Não Negatividade

1628 21 ³+ xx

611 21 ³+ xx

2872 21 ³+ xx

0, 21 ³xx




O Modelo

0,2872

6111628

200100

21

21

21

21

21

³³+³+³+

+

xxxxxxxx

xxmins.r.



Solução Gráfica

Z = 920x1 = 14/5 e x2 = 16/5


Caso Esportes Radicais S.A.

• A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de

montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais

disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite

de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de

processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o paraquedas requer 3

horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a

comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de

cada paraquedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$

40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes

Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).



• Variáveis de Decisão

– x1 – Quantidade de Paraquedas a serem produzidos

– x2 – Quantidade de Asa Deltas a serem produzidos

• Função-Objetivo

– max 60x1 + 40x2



• Restrições de Produção

– Linha 1

– Linha 2

• Restrições de Não Negatividade

1001010 21 £+ xx

4273 21 £+ xx

0, 21 ³xx



O Modelo

0,4273

1001010

4006

21

21

21

21

³£+£+

+

xxxxxx

xxmaxs.r.



Solução Gráfica

Z = 600x1 = 10 , x2 = 0

Cap02 Lachtermacher PO

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