Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

CAPÍTULO

Terceira Edição

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Torção em Seções Circulares

Resistên

ciad

os M

ateriais

3 - 2

Capítulo 3 – Torção em Seções Circulares

3.1 – Introdução

3.2 – Análise Preliminar das Tensões

3.3 – Deformações em Eixos Circulares

3.4 – Tensões no Regime Elástico

3.5 – Ângulo de Torção no Regime Elástico

3.6 – Projeto de Eixo de Transmissão

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3.1 - Introdução

• Tensões e deformações de eixos ou peças de seção transversal circular sujeitos à ação de conjugados ou torques;

O gerador cria um torque igual e oposto T’, chamado momento torçor.

O eixo transmite o torque no gerador;

A turbina exerce um torque T no eixo;

• Exemplo: “eixos de transmissão”.

Efeitos da torção:• Tensões de cisalhamento nas diversas seções transversais do eixo;• Produz um deslocamento angular de uma seção transversal em relação à

outra.

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3.2 – Análise Preliminar das Tensões

dAdFT

• A resultante das tensões de cisalhamento, geram um torque interno igual e oposto ao torque externo aplicado

• Embora a resultante do torque devido às tensões de cisalhamento seja conhecida, a distribuição das tensões ainda não o é.

• Diferentemente da distribuição das tensões normais devido à cargas axiais, a distribuição das tensões de cisalhamento devido ao torque não pode ser considerada uniforme.

• A determinação da distribuição das tensões de cisalhamento é estaticamente indeterminada, deve-se considerar as deformações do eixo para a sua solução.

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3.2 – Análise Preliminar das Tensões

• O torque aplicado na barra circular produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo axial.

• Demonstração:

considerando que a barra é feita de tiras axiais;

• As condições de equilíbrio requerem a existência de tensões iguais nas faces dos dois planos que contêm o eixo da barra.

uma lâmina desliza com relação a outra quando torques iguais e opostos são aplicados nas extremidades do eixo.

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• O ângulo de torção do eixo é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento do eixo.

L

T

3.3 – Deformações em Eixos Circulares

• Toda seção circular do eixo permanece planae sem distorção quando a torção é aplicada.

• Seções transversais de eixos não-circulares são distorcidas quando sujeitas a torção.

• Logo, o eixo circular é definido como axissimétrico (a aparência é a mesma quando o eixo é observado de algum ponto).

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3.3 – Deformações em Eixos Circulares

• Considere um elemento no interior de uma seção de um eixo, submetido a um torque T.

Logo, a deformação de cisalhamento máxima será:

Então:

• Desde que a extremidade do elemento perma-nece plana, a deformação de cisalhamento é proporcional ao ângulo de torção.

e

ou

AA L AA

LL

max max e c

L c

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3.4 – Tensões no Regime Elástico

maxG Gc

max e Tc T

J J

Jc

dAc

dAT max2max

• Como a soma dos momentos internos causados pela tensão de cisalhamento deve ser igual ao torque externo,

421 cJ

41

422

1 ccJ • Os resultados são conhecidos como fórmulas de torção

elástica,

• Pela lei de Hooke para o cisalhamento,

logo,

A tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância radial na seção.

1max min max

2

c

c c

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Exemplo 3.1

Para o eixo vazado de aço, determinar: (a) o maior momento de torção T que pode ser aplicado para que as tensões de cisalhamento não excedam 120 MPa; (b) o valor mínimo da tensão de cisalhamento para resposta do item (a).

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Tensões em Planos Ortogonais ao Eixo

Elementos com faces perpendiculares e paralelas ao eixo axial, estão submetidas a cisalhamento puro.

Tensões normais e tensões de cisalhamento são encontradas para outras orientações.

max0

0max45

0max0max

2

2

245cos2

o

A

A

A

F

AAF

• Considere um elemento a 45o do eixo axial,

Elemento ‘a’ está sob cisalhamento puro.

Elemento ‘c’ está submetido a tração em duas de suas faces e a compressão nas outras duas.

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Falhas sob torção

Materiais dúcteis geralmente falham por cisalhamento.

Materiais frágeis são menos resistentes à tração (tensão normal) do que ao cisalhamento.

• Na torção, os materiais dúcteis rompem no plano onde ocorre a tensão de cisalhamento máxima (plano perpendicular ao eixo axial).

• Na torção, os materiais frágeis rompem em um plano onde ocorre a tensão normal máxima (plano que forma 45o com eixo axial).

Cisalhamento puro

Tensões de tração e

compressão

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O eixo BC é oco com diâmetro interno de 90 mm e diâmetro externo de 120 mm. Os eixos AB e CD são cheios e de diâmetro d. Para o carregamento mostrado, determine: (a) as tensões de cisalhamento mínima e máxima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão admissível ao cisalhamento para o material do eixo é de 65 MPa.

Exemplo 3.2

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O projeto preliminar de um eixo de transmissão levou à escolha de uma barra de seção vazada, com diâmetro interno de 100 mm e diâmetro externo de 150 mm. Pede-se determinar o máximo torque que poderá ser transmitido, sendo a tensão admissível do material 83 MPa, nas seguintes situações: (a) do projeto preliminar; (b) supondo um eixo sólido maciço de mesmo peso daquele do anteprojeto.

Exemplo 3.3

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3.5 – Ângulo de Torção no Regime Elástico

• Sabemos que o ângulo de torção e a deformação de cisalhamento estão relacionadas por:

L

c max

• Pela lei de Hooke para o cisalhamento:

JG

Tc

G max

max

• Igualando as equações e resolvendo para o ângulo de torção:

JG

TL

• Se o torque, a seção, o material ou o compri-mento variam ao longo do eixo:

i ii

ii

GJ

LT

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Exemplo 3.4

Determine o valor do momento de torção que deve ser aplicado à extremidade do eixo circular mostrado de modo que o ângulo de torção produzido seja de 2º. Dado: G = 80 GPa.

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Exemplo 3.5

Para o eixo de seção vazada cujo material tem G = 80 GPa, calcular o valor do ângulo de torção que provoca uma tensão de cisalhamento de 70 MPa na face interna do eixo.

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• Ex: Dado o eixo da figura, desejamos determinar os torque reativos em A e B.

Eixos Estaticamente Indeterminados

• Da análise do D.C.L. do eixo:

90lb ft (1)A BT T

1 2

2 1

90 lb ft (2)A A

L JT T

L J

• Substituindo na equação de equilíbrio,

ABBA T

JL

JLT

GJ

LT

GJ

LT

12

21

2

2

1

121 0

• Dividindo o eixo em duas partes, as quais precisam ter compatibilidade de deformações,

O número de incógnitas a encontrar é maior que o número de equações da estática aplicáveis.

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Exemplo 3.6

Dois eixos sólidos de aço são conectados por engrenagens. Sabendo que o material dos eixos tem G = 11,2 x 106 psi e tensão admissível ao cisalhamento de 8 ksi, determine: (a) o torque máximo T0 que pode ser aplicado em A; (b) o correspondente ângulo de torção em A.

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SOLUÇÃO:

• Análise de equilíbrio estático nos dois eixos para encontrar uma relação entre TCD e T0 .

0

0

0 0,875in.

0 2,45in.

2,8

B

C CD

CD

M F T

M F T

T T

• Análise da cinemática para relacionar a rotação angular das engrenagens.

2,45in.

0,875in.

2,8

B B C C

CB C C

B

B C

r r

r

r

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SOLUÇÃO:

• Encontre T0 para a tensão máxima admissível em cada eixo – escolha o menor deles.

0max 4

2

0

0.375in.8000

0.375in.

663lb in

AB

AB

TT cpsi

J

T

inlb5610 T

0max 4

2

0

2.8 0.5in.8000

0.5in.

561lb in

CD

CD

TT cpsi

J

T

• Eixo AB:

• Eixo CD

• O menor valor:

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SOLUÇÃO:

• Encontre o ângulo de torção em cada eixo e a rotação da extremidade A.

/ 4 6

2

o

2.8 561lb in. 36in.

0.5in. 11.2 10 psi

0.514 rad 2.95

CDC D

CD

T L

J G

o48.10A

• Eixo AB:

• Eixo CD

/ 4 6

2

o

561lb in. 24in.

0.375in. 11.2 10 psi

0.387 rad 2.22

ABA B

AB

T L

J G

o o

o o/

2.8 2.8 2.95 8.26

8.26 2.22

B C

A B A B

• Partindo do ponto Dfixo:

o/

0

2.95

D

C C D

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3.6 – Projeto de Eixo de Transmissão

• O projeto de eixos de transmissão (árvores) baseia-se na potênciatransmitida e na velocidade de rotação do eixo.

• O torque aplicado é uma função da potência e da velocidade de rotação,

2 W

N.m2

P T f T

P PT

f

• O projetista precisa selecionar o material e calcular adequadamente a seção do eixo, sem que exceda a tensão admissível do material e o ângulo de torção máximo permitido para a aplicação.

• A seção do eixo é encontrada, igualando-se a tensão máxima à tensão admissível do material,

maxmax

3

max

4 42 1

2 2 max

eixo sólido2

eixo oco2

Tcc J

J TJ T

cc

J Tc c

c c

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Exemplo 3.7

Determinar o diâmetro que deve ser usado para o eixo do rotor de uma máquina de 5 hp, operando a 3600 rpm, se a tensão de cisalhamento não pode exceder 59 MPa.

Exemplo 3.8

Um eixo é construído por um tubo de aço de 50 mm de diâmetro externo e deve transmitir 100 kW de potência a uma frequência de 20 Hz. Determinar a espessura do tubo para que a tensão máxima de cisalhamento não exceda 60 MPa.

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