Cap07-04 Velocidades Criticas

Versión 2014

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

CCAAPPIITTUULLOO 77

PPRROOYYEECCTTOO YY CCÁÁLLCCUULLOO DDEE EEJJEESS

YY EELLEEMMEENNTTOOSS AACCCCEESSOORRIIOOSS

División 4

Dinámica de ejes y rotores

Determinación de frecuencias críticas

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1. Introducción

En esta división se presentan conceptos para analizar y determinar las frecuencias críticas de

los ejes rotantes. Se efectúa una somera revisión del problema de vibraciones mecánicas para

introducir la idea de vibraciones naturales. Luego se presentan algunas fórmulas simples para

determinar la frecuencia crítica flexional.

2. Vibraciones Mecánicas: Revisión elemental

Para entrar en tema se recordarán algunos aspectos de las vibraciones mecánicas empleando

el sistema elemental de la Figura 7.40, donde se muestra un sistema masa, resorte

amortiguador bajo una condición de solicitación Fe(t).

Figura 7.40 Sistema de masa, resorte y amortiguador completo.

Se recordará del curso de Mecánica Racional [4] que la ecuación de equilibrio dinámico para

el sistema de la Figura 7.40 viene dado por la ecuación:

tFkwwcwm ea (7.86)

Siendo ma, c y k, la masa, la constante de amortiguación y la constante de resorte del sistema

respectivamente. Mientras que w es el desplazamiento de la masa y Fe(t) la fuerza excitadora,

cuyo caso más común y simple es de tipo armónico (o sea representable mediante una

función sinusoidal de frecuencia e). Se recordará también que en el caso que el sistema de

la Figura 7.40 sea tal que el amortiguamiento se pueda despreciar y no exista fuerza

excitadora, la ecuación de equilibrio viene dada por la siguiente expresión:

0 kwwma (7.87)

Esta expresión se puede acomodar de la siguiente manera:

02 ww n (7.88)

Donde n que es la denominada frecuencia circular natural del sistema viene dada por:

a

nm

k (7.89)

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Luego la frecuencia natural y el período natural vienen dados por:

a

nm

kf

2

1 ,

k

mT a

n 2 (7.90)

La solución de (7.88) o de (7.87) contemplando las condiciones iniciales de posición 0w y

de velocidad 0w viene dada (ver [4] o [5]) por:

tCoswtSen

wtw nn

n

00

(7.91a)

O bien por:

ono tSenAtw con 0

0

w

wTan n

o

,

ono Cos

w

Sen

wA

000

(7.91b)

Ahora bien la ecuación (7.86) con una fuerza de excitación armónica puede escribirse como:

tSenm

Fww

m

cw e

a

on

a

2 (7.92)

La cual tiene la siguiente solución general (ver [4] o [5]):

22

2

21

n

e

n

e

eo

k

tSenFtw

(7.93)

Con

2

1

2

n

e

n

e

Tan

, nam

c

2 (7.94)

En la (7.94), suele llamarse coeficiente o factor de amortiguamiento.

Obsérvese que en la medida que 0 y ne las oscilaciones del sistema aumentan

considerablemente. Esto significa que en la medida que la frecuencia de forzamiento o de

excitación se acerque a la frecuencia natural del sistema, este tendrá una condición de

funcionamiento inestable y es lo que se desea evitar sea cual fuere el sistema mecánico

involucrado.

3. Frecuencias críticas en ejes: cálculo simplificado

Nótese que en la ecuación (7.90), bajo la situación de deflexión estática, se puede calcular la

frecuencia fundamental o natural en tanto que se conozca la masa y la deflexión estática. Así

pues, si es la deflexión estática y g es la aceleración de la gravedad, la constante de resorte

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viene dada por k = P/, donde P es el peso de la masa dado por P = mag. En consecuencia la

frecuencia natural viene dada por:

gf n

n2

1

2 (7.95)

El razonamiento efectuado en el párrafo anterior permite establecer una forma simplificada

para el cálculo de la frecuencia natural en un sistema de eje con rotores a partir de conocer

los desplazamientos flexionales en los puntos donde actúan tales rotores. Para ello téngase

presente el método energético visto en Mecánica Racional [4] (ver también [5]) según el cual

la ecuación (7.87) puede obtenerse a partir de la conservación de la energía del sistema. Para

ello se tendrá en claro que la conservación de la energía del sistema cumplirá con la siguiente

condición:

ctetUtK , o bien (7.96)

0 tUtKdt

d (7.97)

Siendo K y U la energía cinética y energía potencial del sistema, respectivamente.

Recuérdese que si el sistema mecánico posee un movimiento armónico y libre de

amortiguamiento (o de otras solicitaciones no conservativas), la (7.97) conduce a que la

energía potencial se transforma totalmente en energía cinética y viceversa, es decir que se

tiene:

MAXMAX UK (7.98)

Ejemplo 1: A modo de ejemplo se deducirá la (7.87) a partir de la (7.97).

Si en el sistema de la Figura 7.40 se toma c = 0 y Fe(t) = 0. Entonces bajo la condición

de equilibrio estático, según la (7.96) se obtiene:

ctekwwma 22

2

1

2

1

Luego, aplicando (7.97) se tiene

0 wkwwma , con 0w

Finalmente la ecuación diferencial se obtiene:

0 kwwma

Ejemplo 2: Empleando la (7.97), dedúzcase la frecuencia natural flexional de un eje de

longitud L simplemente apoyado que soporta en el medio del tramo un rotor de masa

M. El eje tiene una rigidez flexional EI.

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Este problema se puede resolver fácilmente empleando la expresión (7.95) y teniendo

presente que:

EI

PL

48

3

, con MgP

Luego, aplicando (7.95) se tiene

3

48

2

1

ML

EIfn

Sin embargo esta última expresión no contempla la distribución de masa del eje.

Por otro lado, la frecuencia natural se podría haber obtenido a partir de (7.98), teniendo

presente que la energía cinética máxima y la energía potencial máxima vienen dadas

por (tener presente la expresión (7.91b)):

2

2

1MAXMAX kwU , 22

2

1MAXnaMAX wmK

Luego, empleado (7.98) se puede despejar n quedando según (7.89).

Ahora bien el método de energía se puede emplear en sistemas de masas concentradas y

distribuidas en tanto que se conozca el movimiento de cada punto del sistema. En muchos

sistemas mecánicos las masas están vinculadas entre si por conectores, palancas, etc. que

pueden vincularse entre si para dar el valor de una masa efectiva, que es la que se emplea

para aproximar el valor de la frecuencia.

Ejemplo 3: Calcule la frecuencia natural del sistema del ejemplo 2, pero considerando

ahora el efecto de la masa m del eje.

Este problema se puede resolver teniendo presente que la deflexión a lo largo de la

viga viene dada por:

3

max 43

L

x

L

xww con

2

Lx

Luego la energía cinética máxima de la masa del eje se tiene que integrar empleando:

2

max

2/

0

2

35

17

2

1

2

12 wmdxw

L

mK

L

eMAX

Luego la máxima energía cinética total del sistema para el movimiento armónico viene

dada por:

2

max

22

max

22

max

2

2

1

35

17

2

1

2

1wMwmwMK nefnnMAX

Siendo Mef la masa efectiva del sistema, es decir:

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mMM ef35

17

Luego empleando (7.98) y teniendo presente el Ejemplo 2 se llega a

3

48

2

1

LM

EIf

eff

n

Ahora bien, luego de exponer los anteriores ejemplos se puede plantear la metodología

energética para calcular la frecuencia natural (también llamada crítica) para los sistemas de

masas concentradas. En la Figura 7.41 se tiene un eje simplemente apoyado con un par

masas rotantes adosadas (poleas o engranajes o volantes, etc).

Figura 7.41 Sistema de masas concentradas en un eje.

Tal como se mencionó previamente, para hallar la frecuencia crítica o natural a partir

de la metodología energética se debe conocer una configuración de los desplazamientos.

De acuerdo con la Figura 7.41 y contemplando los desplazamientos estáticos, que se pueden

hallar conociendo los pesos de las masas, la energía potencial máxima y la energía cinética

máxima vienen dadas por:

2211

2

22

2

112

1

2

1wPwPwkwkUMAX (7.99)

2

22

2

11

22

22

2

112

1

2

1wPwP

gwmwmK n

MAX

(7.100)

Donde P1 y P2 son los pesos de las masas y n es la frecuencia circular crítica. De manera

que empleando (7.98) se puede despejarla frecuencia crítica como:

2

22

2

11

2211

2

1

2 wPwP

wPwPgf n

n

(7.101)

Ahora bien en el caso que el sistema tenga una cantidad arbitraria de masas condensadas, la

expresión de cálculo se desprende inmediatamente del procedimiento precedente. De manera

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que para N masas condensadas la frecuencia crítica del eje está dada por la siguiente

expresión, también llamada ecuación de Rayleigh:

N

i

ii

N

i

ii

nn

wP

wPg

f

1

2

1

2

1

2

(7.102)

Obviamente la (7.101) es un caso particular de la (7.102). Nótese que en estas últimas

ecuaciones no se contempló la masa del eje, cosa que puede hacerse simplemente teniendo

presente el Ejemplo 3.

La ecuación de Rayleigh sobrestima el valor de la frecuencia natural ya que los

desplazamientos efectivos son mayores que los empleados en la ecuación, es decir los

estáticos asociados a los pesos de las masas y no contempla el efecto de la masa del eje.

La siguiente expresión, denominada ecuación de Dunkerley (ver desarrollo en [5]), permite

establecer una cota inferior para el cálculo de la frecuencia crítica.

N

i in 122

11

(7.103)

En la (7.103), n es la frecuencia circular crítica del sistema, en tanto que i es la frecuencia

circular crítica de la i-ésima masa actuando por si sola en el sistema y en ausencia de las

restantes. Obviamente i se puede calcular empleando la (7.95). La razón por la cual la

ecuación de Dunkerley da una cota inferior de la frecuencia crítica verdadera reside en el

hecho que se emplea la deflexión de una de las masas actuando por si sola.

Observación 1: El empleo de las ecuaciones de Rayleigh y de Dunkerley permite establecer

o acotar el valor verdadero de la frecuencia natural. Es decir de la primera frecuencia del

sistema.

Observación 2: Tanto la ecuación de Dunkerley cuanto la de Rayleigh no contemplan la

masa asociada al eje, que puede incluirse como en el Ejemplo 3. Este efecto puede ser de

mucha importancia si el eje es relativamente grueso.

Observación 3: Las ecuaciones de Dunkerley y Rayleigh están limitadas para condiciones de

borde sencillas (simplemente apoyadas, o empotradas) en cada extremo, de manera que se

sepa el desplazamiento flexional en todo el sistema. Además el modelo de estudio es regido

por la teoría de vigas de Bernoulli-Euler.

Observación 4: Es claro que un eje que porta masas adosadas también está rotando y este

aspecto debe tenerse en cuenta para poder determinar con mayor detalle el patrón vibratorio

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del sistema. Sin embargo tal aspecto está más allá de los alcances de la asignatura de

elementos de máquina y es tema propio de una asignatura de vibraciones mecánicas.

4. Bibliografía

[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.

[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill

2000.

[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.

[4] L. Ercoli, “Mecánica Racional”, Serie de Monografías Docentes, UTN-FRBB, 2001,

Página de Internet: http://www.frb.utn.edu.ar/carreras/materias/mecanicaracional/index.html.

[5] W.T. Thomson, “Teoría de Vibraciones: Aplicaciones”, Prentice-Hall, 1983.

5. Problemas Propuestos

Problema 1:

Un sistema rotante está formado por un eje de 6 mm de diámetro empotrado en ambos

extremos distantes L=0.3 m. En el eje se montan de manera equidistante 2 rotores. El espesor

de cada rotor es de 1 cm y el radio de cada uno es de 2.5 cm. Se conocen las siguientes

propiedades del eje y de los rotores: todos son de acero con módulo de elasticidad E = 206

GPa, módulo de elasticidad por corte G = 80.8 GPa, densidad =7850 g/m3, coeficiente de

Poisson = 0.3.

a) Calcule la frecuencia fundamental para este caso empleando la fórmula de Rayleigh y

la de dunkerley.

b) Efectue una comparación de los resultados con un programa de elementos finitos.

Para comparación emplee el descriptor FlexPDE que se adjunta con toda la información

necesaria.

TITLE "Modal Analysis: Resonance frecuencies"

SELECT

modes=2

ngrid = 1

errlim = 1E-2

COORDINATES

cartesian3

VARIABLES

U { X-displacement }

V { Y-displacement }

W { Z-displacement }

http://www.frb.utn.edu.ar/carreras/materias/mecanicaracional/index.html

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DEFINITIONS

L=0.3

b =0.01

Re=0.025 Ri=0.003 { Radio }

z0=0

z1= L/3-b/2

z2= L/3+b/2

z3 = 2*L/3-b/2

z4 = 2*L/3+b/2

z5= L

mag=0.05 { factor de escala de despalzamiento en plots }

{ Acero } { bottom }

E=2.06E11

G=8.08E10

mu=0.3

rho=7850

C=E/(1-mu^2)

{ relaciones constitutivas y cinematicas para materiales isotropos }

uvw=vector(u,v,w) uvwm=magnitude(uvw)

ex=dx(u) ey=dy(v) ez=dz(w)

exy=dx(v)+dy(u) exz=dz(u)+dx(w) eyz=dy(w)+dz(v)

sxy=(G*exy) sxz=(G*exz) syz=(G*eyz)

sx=2*G*ex+((mu*E)/((1+mu)*(1-2*mu)))*(ex+ey+ez)

sy=2*G*ey+((mu*E)/((1+mu)*(1-2*mu)))*(ex+ey+ez)

sz=2*G*ez+((mu*E)/((1+mu)*(1-2*mu)))*(ex+ey+ez)

INITIAL VALUES

U = 0.0001

V = 0.0001

W= 0.0001

EQUATIONS { define las ecuaciones de desplazamiento } {omega =sqrt(lambda)}

U: dx[Sx] + dy[Sxy]+dz[Sxz]+lambda*rho*U = 0

V: dx[Sxy] + dy[Sy] +dz[Syz]+lambda*rho*V = 0

W: dx[Sxz]+dy[Syz]+dz[Sz]+lambda*rho*W=0

EXTRUSION

surface z=z0

surface z=z1

surface z=z2

surface z=z3

surface z=z4

surface z=z5

BOUNDARIES

surface 1 value(U)=0 value(V)=0 value(W)=0

surface 6 value(U)=0 value(V)=0 value(W)=0

REGION 1

start (0,Re) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360

TO CLOSE

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limited REGION 2 { void exists only on layer 2 }

layer 1 VOID


TO CLOSE

start (0,Ri) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360

TO CLOSE


layer 3 VOID


TO CLOSE


TO CLOSE


layer 4


TO CLOSE


TO CLOSE


layer 5 VOID


TO CLOSE


TO CLOSE

MONITORS

grid(x+mag*U,y+mag*V,z+mag*W) as "deformacion" { show final deformed grid }

report sqrt(lambda)/(2*pi) as "Frequency in [1/seg]"

PLOTS


summary

report (lambda) as "eigenvalue"



summary

report (lambda) as "eigenvalue"


END

Problema 2:

Calcular el diámetro del eje que se muestra en la Figura, de manera que la velocidad crítica

fundamental sea de 9000 RPM. El eje es de acero de 207 Gpa. La distancia a=300 mm y la

masa ma = 100 kg. Ignorar la Masa del eje. Para esto emplear las ecuaciones de Rayleigh y

de Dunkerley y comparar ambos diámetros. Comparar la velocidad crítica con un modelo de

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elementos finitos cuyo planteo en FlexPDE se adjunta. Emplee el diámetro calculado

previamente.

title "vibraciones Libre: viga tipo Timoshenko" {HECHO PARA FLEXPDE 2.20, corregir de ser necesario}

Select

modes 3

errlim=0.001

Variables

wc

thy

Definitions

{---------------------------------------------------------------------------------------------------------------}

d= 0.13 {DIAMETRO DEL EJE, QUE SE DEBE IR VARIANDO}

{---------------------------------------------------------------------------------------------------------------}

Lx = 0.3 {distancia entre tramos medida en metros}

esp=0.1

MA1 = 200 {masa en kg}

MA2 = 100 {masa en kg}

Ly=Lx/8

Em = 2.07e11 {modulo de elasticidad longitudinal}

Gm = Em/2.6 {modulo de elasticidad transversal}

ro = 7850 {densidad}

Egig = 1e10

{--------- Diametros de las masas rotantes ---------------------------------------------}

d1=Sqrt(4*MA1/ro/Pi/esp)

d2=Sqrt(4*MA1/ro/Pi/esp)

{--------- Constantes de rigidez e inerciales --------------------------------------------}

roIy0 = ro*Pi*d^4/64 roA0 = ro*Pi*d^2/4

EI0 = Em*Pi*d^4/64 GAk0=6/7*Gm*Pi*d^2/4

roIy1 = ro*Pi*d1^4/64 roA1 = ro*Pi*d1^2/4

EI1 = Em*Pi*d1^4/64 GAk1=6/7*Gm*Pi*d1^2/4

roIy2 = ro*Pi*d2^4/64 roA2 = ro*Pi*d2^2/4

EI2 = Em*Pi*d2^4/64 GAk2=6/7*Gm*Pi*d2^2/4

{--------- Constantes por defecto -------------------------------------------------------------}

roIy = roIy0 roA= roA0

EI = EI0 GAk = GAk0

frecHertz= Sqrt(lambda)/ (2*pi)

mag= 0.5

EQUATIONS

GAk*dx(dx(wc)-thy) + Egig*dy(dy(wc)) + roA*lambda*(wc) = 0

GAk*(dx(wc)-thy) + EI*dx(dx(thy)) + Egig* dy(dy(thy)) + (roIy)*lambda*(thy) = 0

BOUNDARIES

Region 1

start(0,0)

Natural[wc]=0

Natural[thy]=0

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line to (Lx-esp/2,0) to (Lx-esp/2,Ly) to (0,Ly)

value[wc]=0

Natural[thy]=0

line to Finish

Region 2


EI = EI1 GAk = GAk1

start(Lx-esp/2,0)

Natural[wc]=0

Natural[thy]=0

line to (Lx+esp/2,0) to (Lx+esp/2,Ly) to (Lx-esp/2,Ly) to Finish

Region 3


EI = EI0 GAk = GAk0

start(Lx+esp/2,0)

Natural[wc]=0

Natural[thy]=0

line to (2*Lx-esp/2,0) to (2*Lx-esp/2,Ly) to (Lx+esp/2,Ly) to Finish

Region 4


EI = EI2 GAk = GAk2

start(2*Lx-esp/2,0)

Natural[wc]=0

Natural[thy]=0

line to (2*Lx+esp/2,0) to (2*Lx+esp/2,Ly) to (2*Lx-esp/2,Ly) to Finish

Region 5


EI = EI0 GAk = GAk0

start(2*Lx+esp/2,0)

Natural[wc]=0

Natural[thy]=0

line to (3*Lx,0)

value[wc]=0

Natural[thy]=0

line to (3*Lx,Ly)

Natural[wc]=0

Natural[thy]=0

line to (2*Lx+esp/2,Ly) to Finish

plots

grid( x, y) report( frecHertz)

end

Problema 3:

Con los datos de material y de rotor del problema 1, calcule la frecuencia fundamental si el

eje está empotrado a flexión en un extremo y en el extremo libre se halla un solo rotor.

Cap07-04 Velocidades Criticas

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