CONSULTORIA EMPRESARIAL - Cap. 1 e 2 introdução e tendências
Cap.1-Introdução
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Mecânica dos MateriaisPr
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por:
Filip
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Capítulo 1
Conceito de Tensão
Mecânica dos MateriaisPr
epar
ado
por:
Filip
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Conceito de Tensão - Sumário
Conceito de TensãoRevisão de EstáticaDiagrama de Corpo LivreAnálise de TensõesCarga Axial: Tensão NormalCarregamento Centrado e
DescentradoTensões de CorteTensões de Corte: Exemplos
Tensões em LigaçõesAnálise de Tensões e exemplo de
projectoTensões num Plano OblíquoTensões MáximasEstado Geral de TensõesCoeficiente de SegurançaExercícios Resolvidos Exercícios Propostos
Cap. 1
Conceito de TensãoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• O principal objectivo do estudo da Mecânica dos Materiais é providenciar ao futuro engenheiro dos meios para analisar e projectar estruturas e elementos estruturais.
• Tanto a Análise como o Projecto de um elemento estrutural envolve a determinação de tensões e deformações. Este capítulo diz respeito ao conceito de tensão.
Cap. 1
Revisão de EstáticaMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• A estrutura está projectada para suportar uma carga de 30 kN
• Determine as forças actuantes em cada uma das barras e as reacções nos apoios
• A estrutura consiste em duas barras unidas por pinos (ligações sem transmissão de momentos)
Cap. 1
Diagrama de Corpo LivreMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• Faz-se o diagrama de corpo livre e colocam-se as forças e reacções actuantes na estrutura
• Ay e Cy não se conseguem determinar através das equações propostas
( ) ( )( )
kN30
0kN300
kN40
0
kN40
m8.0kN30m6.00
=+
=−+==
−=−=
+==
=
−==
∑
∑
∑
yy
yyy
xx
xxx
x
xC
CA
CAF
AC
CAF
A
AM
• Condições de equilibrio no plano:
Cap. 1
Reacções nos apoiosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• De forma semelhante à estrutura, cada elemento estrutural deve estar em equilibrio
• Resultados:40 kN 40 kN 30 kNx x yA C C= → = ← = ↑
NOTA: As forças de reacção são normais às barras
( )0
m8.00
=
−==∑
y
yB
A
AM
• Fazendo o diagrama de corpo livre para a barra inferior:
kN30=yC
Substituindo nas equações de equilibrio da estrutura
Cap. 1
Método vectorialMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• As barras estão sujeitas a apenas duas forças aplicadas nas extremidades
kN50kN403kN30
54
0
==
==
=∑
BCAB
BCAB
B
FF
FF
F!
• As ligações também devem satisfazer as condições de equilibrio estático. Pode ser expresso, vectorialmente pelo seguinte triângulo de forças:
• Para que haja equilibrio, as forças devem ser paralelas, ter a mesma direcção e sentidos opostos
Cap. 1
Análise de tensõesMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• Conclusão: a resistência do membro BC é adequada
MPa 165adm =σ
• A partir das propriedades do material da barra (aço). A tensão admissivel é
Consegue a estrutura resistir a uma força de 30 kN?
MPa159m10314N1050
26-
3=
××==
AP
BCσ
• Em qualquer secção do membro BC, a força interna é de 50 kN, pelo que a tensão será
dBC = 20 mm
• Da análise estáticaFAB = 40 kN (compressão) FBC = 50 kN (tracção)
Cap. 1
ProjectoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• O projecto de novas estruturas requer a selecção dos materiais apropriados e das dimensões adequadas para satisfazer os requisitos estruturais de funcionamento
• Por razões baseadas no custo, peso, disponibilidade, etc, a escolha é feita por forma a que a barra superior seja de alumínio(σadm= 100 MPa). Qual o diâmetro apropriado para a barra?
( ) mm2.25m1052.2m10500444
m10500Pa10100N1050
226
2
266
3
=×=×==
=
×=××===
−−
−
ππ
π
σσ
Ad
dA
PAAP
admadm
• Uma barra de alumínio de 26 mm de diâmetro, ou mais (se for necessário), é adequada.
Cap. 1
Tipos de Esforços no EspaçoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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Cap. 1
xy
z
Fx
FzFy
Mfx
Mfy Mfz
Carga Axial: Tensão NormalMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• A tensão normal, num ponto particular da secção, pode não ser igual à tensão média, mas a resultante da distribuição das tensões é.
∫∫ ===A
média dAdFAP σσ
• A resultante das forças internas, para um corpo carregado axialmente, é normal à secção recta perpendicular do corpo.
AP
AF
médiaA=
∆∆=
→∆σσ
0lim
• A intensidade dessa força nessa secção é definida como tensão normal.
• A distribuição precisa da tensão é estaticamente indeterminada, i.e., não pode ser determinada somente através da estática.
Cap. 1
Cargas concêntricas e excêntricasMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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a • Se uma barra for carregada com excentricidade, a resultante da tensão resulta de uma carga axial e de um momento.
• A distribuição das tensões em carregamentos excêntricos não é uniforme ou simétrica.
• Uma distribuição uniforme da tensão na secção pressupõe que a linha de acção da resultante das forças internas passa no centro geométrico da secção.
• Uma distribuição uniforme de tensão só é possivel se as cargas concentradas, aplicadas nas extremidades das barras, passarem pelo centro geométrico das secções. A isto chamamos de cargas concêntricas.
Cap. 1
Tensões de CorteMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• As forças P e P’ estão aplicadas transversalmente ao membro AB.
AP=médiaτ
• A correspondente tensão de corte média é dada por,
• A resultante da distribuição dos esforços transversos internos é definida como força de corte, P.
• As forças internas correspondentes actuam no plano de secção C e são chamadas de tensões tangenciais (ou tensões de corte)
• A distribuição da tensão de corte varia de zero nas superfícies até um máximo, que é maior que o valor médio.
• A distribuição da tensão de corte não se pode assumir como sendo uniforme.
Cap. 1
Tensões de Corte: ExemplosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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AF
AP ==médiaτ
Corte Simples
AF
AP
2média ==τ
Corte Duplo
Cap. 1
Tensões em LigaçõesMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• Parafusos, cavilhas e rebites originam tensões nos elementos com que estão em contacto (tensões de contacto).
dtP
AP ==esσ
• A correspondente tensão de contacto (ou esmagamento) é dada por,
• A força resultante na superfície da placa, P, é igual, de sentido oposto, à força exercida no pino, F.
Cap. 1
Análise de Tensões e Exemplo de ProjectoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• Determinar as tensões nos membros e nas ligações da estrutura da figura.
• Devem considerar-se as tensões normais máximas em AB e BC, e as tensões de corte e de contacto em cada ligação
• Da análise estática:FAB = 40 kN (compressão) FBC = 50 kN (tracção)
Cap. 1
Planta da barra AB
Alçado principal
Planta da barra BC
Alçado Lateral direito
Ext. plana
Ext. plana
Tensões Normais em VeiosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• A barra está sujeita a tracção com uma força axial de 50 kN.
• A barra AB está sujeita a compressão, com uma força axial de 40 kN e uma tensão normal de –26.7 MPa.
( )( )
MPa167m10300
1050m10300mm25mm40mm20
26
3
)(,
26
=××==
×=−=
−
−
NAP
A
tiranteBCσ
• Na extremidade da barra (tirante), a menor secção recta é onde se encontra o pino. Aí, a secção resistente é,
• Numa qualquer secção da barra (secção recta circular, A = 314x10-6m2) a tensão normal média é σBC = +159 MPa.
Cap. 1
Ext. plana
Tensões de Corte em PinosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• A secção recta dos pinos em A, B, e C, é
262
2 m104912mm25 −×=
== ππrA
MPa102m10491N1050
26
3
, =××== −A
PmédiaCτ
• A força do pino em C é igual à força exercida pela barra BC,
• O pino, em A está sujeito ao corte em duas secções, com a força exercida pela barra AB,
MPa7.40m10491
kN2026, =
×== −A
PmédiaAτ
Cap. 1
Tensões de Corte em PinosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• Considerando as forças e secções no pino B, por forma a encontrar a maior tensão de corte, temos,
(maior) kN25kN15
==
G
E
PP
MPa9.50m10491
kN2526, =
×== −A
PGmédiaBτ
• A correspondente tensão média de corte é dada por,
Cap. 1
Pino B
Tensões em PinosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• Para determinar a tensão de contacto em A, no membroAB, temos t = 30 mm e d = 25 mm,
( )( ) MPa3.53mm25mm30
kN40 ===tdP
bσ
• Para determinar a tensão de contacto em A no apoio (chapa), temos t = 2(25 mm) = 50 mm e d = 25 mm,
( )( ) MPa0.32mm25mm50
kN40 ===tdP
bσ
Cap. 1
Tensões em Corpos Sujeitos a Duas ForçasMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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a • Vamos agora verificar que tanto esforços axiais como transaversos produzem tanto tensões normais como tensões de corte, em planos diferentes do plano perpendicular aos eixos dos membros.
• Forças axiais resultam apenas em tensões axiais, no plano perpendicular ao da aplicação da força
• Forças transversais, em parafusos ou pinos, resultam apenas em tensões de corte, no plano perpendicular ao eixo dos pinos ou parafusos.
Cap. 1
Tensões num Plano OblíquoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• Seja uma secção que faça um ângulo θ com o palno vertical e normal ao eixo da peça
θθθ
θτ
θθ
θσ
θ
θ
cossin
cos
sin
cos
cos
cos
00
2
00
AP
AP
AV
AP
AP
AF
===
===
• A tensão média, normal e tangencial, no plano oblíquo, são
θθ sincos PVPF ==
• Decompondo P nas componentes normal e tangencial à secção oblíqua,
• Das condições de equilibrio, as forças distribuídas na secção têm que ser iguais à força P.
Cap. 1
Tensões MáximasMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• A tensão máxima normal ocorre no plano perpendicular ao eixo do membro,
00
max =′= τσAP
• A máxima tensão de corte ocorre num plano que faz + 45o em relação ao eixo do membro,
0 0
sin 45 cos 452max
P PA A
τ σ ′= = =
θθτθσ cossincos0
2
0 AP
AP ==
• As tensões normais e de corte, num plano oblíquo, são dadas por:
Cap. 1
Carregamento axial
Tensões para θ=0
Tensões para θ=45º
Tensões para θ=-45º
Estado Geral de TensãoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• Um corpo, sujeito a um carregamento genérico é seccionado num plano que passa por Q
• Para que exista equilíbrio, iguais tensões internas têm que existir na outra secção.
AV
AV
AF
xz
Axz
xy
Axy
x
Ax
∆∆=
∆∆
=
∆∆=
→∆→∆
→∆
limlim
lim
00
0
ττ
σ
• A distribuição das tensões internas podem ser definidas por,
Cap. 1
Estado Geral de TensãoMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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• As tensões são definidas em planos paralelos aos eixos x, y e z. No equilibrio, tensões iguais e opostas exercem-se nos planos escondidos.
• Conclui-se que são apenas necessários 6 componentes de tensão para definir um estado completo de tensão.
• A combinação de forças geradas pelas tensões tem que satisfazer as condições de equilibrio:
0
0
===
===
∑∑∑
∑∑∑
zyx
zyx
MMM
FFF
( ) ( )yxxy
yxxyz aAaAM
ττ
ττ
=
∆−∆==∑ 0
zyyzzyyz ττττ == emente,semelhante
• Considerando os momentos no eixo z:
Cap. 1
Coeficiente de SegurançaMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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admissivel Tensãocedência de Tensão
segurança deFactor
admissivel
cedência ==
=
σσn
n
Os membros estruturais devem ser projectados por forma a que as tensões máximas atingidas sejam inferiores à tensão de cedência do material
Considerações sobre o factor de segurança:
• Incerteza nas propriedades dos materiais • Incerteza nas cargas• Incerteza na análise• Deterioração e manutenção• Importância do membro na integridade da
estrutura• Nível de risco envolvido• Influência no funcionamento da máquina• Fadiga• Etc.
Cap. 1
Problemas ResolvidosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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Cap. 1Determine as tensões normais a meio de cada secção
Determine a força P para que ocorra uma mesma tensão normal a meio de cada secção.
ParA
P
ABAB
622 10*4,42
15*3000030000 −=−=−==
ππσ
Troço AB
ParA
PBC
BC6
22
'
10*7,3525*
70000)4000030000( −=−=−−==ππ
σ
Troço BC
Troço AB
2)15(πσ P
AF
AB
ABAB
−==
Troço BC
2)25(40000
πσ −−== P
AF
BC
BCBC
22 )25(40000
)15( ππσσ −−=−⇒= PP
BCBC NP 22500=⇒
Problemas ResolvidosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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Cap. 1
450 mm450 mm
A carga axial P é suportada pela coluna de perfil em I, cuja área da secção recta é de 8580 mm^2. A mesma carga deve ser suportada por uma fundação de cimento, de 450*450 mm. Sabendo que a tensão média na viga não deve ultrapassar 130 MPa, e que a tensão na fundação não deve ultrapassar 10 MPa, determine a máxima carga P
Coluna
KNPPAcP 4,1115
8580130 =⇒=⇔=σ
Fundação
KNPPAfP 2025
450*45010 =⇒=⇔=σ
A máxima carga permitida é definida pelo elemento que cede primeiro, logo
KNP 4,1115max =
Problemas ResolvidosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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Cap. 1
No seguinte guindaste portuário, a barra CD tem uma secção recta uniforme de 50*150 mm. Para as cargas apresentadas determine a tensão normal desenvolvida a meio da mesma barra.
)/10(80000080000 2smgNKgW ===
15 325
RAy
W
Fcd RAx
KNFWFM CDCDA 3,1493028*15*0 =⇒=−⇔=∑MPa
AF
CD
CDCD 1,199
150*501493300 ===σ
Problemas ResolvidosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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Cap. 1Uma carga P é aplicada numa barra de aço. Esta é, por sua vez, suportada por um prato de alumínio, no qual foi feito um furo de 12 mm de diâmetro. Sabendo que a máxima tensão de corte admissível é de 180 MPa para o aço, e de 70 MPa para o alumínio, determine a máxima carga P que pode ser aplicada na barra. A máxima tensão normal admissível para o aço é de 360 MPa
Barra
Corte
Tracção2)6(*
360
πσ
=
=
AMPaAdm
KNAP 71,40* == σ
KNAP 9,67* ==τ)(10*6**2
1802mmA
MPaadm
πτ
=
=
Prato
)(8*20**2
702mmA
MPaadm
πτ
=
=
KNAP 4,70* ==τ
Problemas ResolvidosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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Cap. 1Os componentes de madeira da figura, estão colados nas zonas de contacto. Sabendo que a distância entre os elementos principais é de 6 mm, e que a tensão de corte máxima da cola é de 2,5 MPa, determine o comprimento L, de colagem, necessário, para a carga aplicada. Utilize um coeficiente de segurança de 2,75. Sabendo ainda que a tensão normal admissível da madeira é de 30 MPa, determine a espessura mínima das tábuas.
Colagem
( ) )(125*2
6*216000
2mmLA
NFAF
−=
=
=τ
mmLLA
F
MPa
adm
adm
8,146125*
2)6(2
160009091,0
9091,075,25,2
=⇔−
=⇔=
==
τ
τ
Tábua
301600030 4,26(6)125*
adm MPaF e mmA e
σ
σ
=
= ⇔ = ⇔ =
Problemas PropostosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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Cap. 11. Na figura, x = 2 m, y = 1 m, e F = 1 kN. Os membros AC e BC têm 3 cm de diâmetro. Qual a tensão normal no membro BC?
R: 0.707 MPa.
A coluna circular de 5m de altura suporta uma carga de 200 KN. É sabido que estas colunas cedem devido a tensões de corte a 45º. Qual o mínimo diâmetro da coluna para que a tensão não ultrapasse300 MPa?
O pino da figura tem 10 mm de diâmetro. Para uma força de 500 N qual a tensãomédia de corte no pino?
O pino na figura tem 10 mm de diâmetro.Sendo t1=5 mm e t2 = 15 mm determine atensão de contacto no apoio, para F=150 N.
R: 20.6 mm
R: 3.18 MPa. R: 3.0 MPa.
Problemas PropostosMecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)
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Cap. 1
R: 52.7 MPa. R: 1.5 MPa.
R: 0.144 MPa.
A viga S610*149 (área=18970 mm2) suporta umacarga de 1 MN. Qual a tensão normal na barra?
O elemento estrutural na figura tem 10 mm de espessura, e o pino tem 10 mm de diâmetro.Qual a tensão no pino quando X=0.25 m e Y= 1m ?
Duas placas estão coladas como mostra a figura. As placas têm 60 mm de largura e10 mm de espessura. Quais as tensões de corte nas zonas coladas quando é aplicada uma força de 200 N?