Cap10_Sec5_conicas

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Capítulo 10Equações

Paramétricas e Coordenadas Polares


10.5Seções Cônicas

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES

Nesta seção, nós aprenderemos:Como deduzir

equações-padrão

para

seções

cônicas.


SEÇÕES CÔNICAS

Daremos

as definições

geométricas

de

parábolas, elipses

e hipérboles

e

deduziremos

suas

equações-padrão.


Elas

são

chamadas

seções cônicas, ou cônicas, porque

resultam

da

intersecção

de um cone com um plano,

SEÇÕES CÔNICAS


PARÁBOLA

Uma

parábola é

o conjunto

de pontos

em um plano

cujas

distâncias

a um ponto

fixo

F

(denominado

foco) e a uma

reta

fixa (chamada

diretriz) são

iguais.


VÉRTICE

Observe que

o ponto

na

metade

do caminho entre o foco

e a diretriz

está

na

parábola; ele

é

conhecido

como

vértice.


EIXO

A reta

que

passa

pelo

foco

e é

perpendicular

à

diretriz

é

intitulada

eixo da

parábola.


PARÁBOLAS

No século

XVI, Galileu

mostrou

que

a trajetória

de um projétil

atirado

no ar

com um

certo

ângulo

em

relação

ao

solo é

uma parábola.

Desde essa época, os formatos parabólicos têmsido usados para desenhar faróis de carro, telescópios refletores e pontes suspensas.

Veja o Problema 18 no Volume I, para se lembrarda propriedade de reflexão das parábolas que as torna tão úteis.


Obteremos

uma

equação

particularmente simples para

uma

parábola

se colocarmos

o

vértice

na

origem

O e sua

diretriz

paralela ao

eixo

x.

PARÁBOLAS


Se o foco

for o ponto

(0, p), então

a diretriz

tem a equação

y = –p.

A figura ilustra o caso onde p > 0.

PARÁBOLAS


Se P(x, y) for um ponto

qualquer

naparábola, então

a distância

de P até

o foco

é

A distância de P até a diretriz |y + p|

2 2( )PF x y p= + −

PARÁBOLAS


A propriedade

de definição

de uma

parábola

é

que

essas

distâncias

são

iguais:

2 2( )x y p y p+ − = +

PARÁBOLAS


Obtemos

uma

equação

equivalente

elevando

ao

quadrado

e simplificando:

22 2 2

2 2 2 2 2

2

( ) ( )

2 24

x y p y p y p

x y py p y py px py

+ − = + = +

+ − + = + +

=

PARÁBOLAS


Uma

equação

da

parábola

com foco

(0, p) e

diretriz

y =

–p é:

x2

= 4py

PARÁBOLAS Equação 1


Se escrevermos

a =

1/(4p), então

a equação-padrão

de uma

parábola

(1) torna-

se y

= ax2.

A concavidade é para cima se p > 0 e para baixose p < 0.

PARÁBOLAS


O gráfico

é

simétrico

em

relação

ao

eixo

y

porque

(1) não

muda

quando

x é

trocado

por

-x.

PARÁBOLAS


Se trocarmos

x e y em

(1), obteremos

y2

= 4px

que

é

uma

equação

da

parábola

com foco

(p, 0) e diretriz

x = -p.



Trocar

x e y significa

refletir

em

relação

à reta

diagonal y =

x.



A concavidade

da

parábola

é

para

a direita se p >

0 e para

a esquerda

se p <

0.

Em ambos os casos, o gráfico é simétrico emrelação ao eixo x, que é o eixo da parábola.

PARÁBOLAS


Encontre

o foco

e a diretriz

da

parábola

y2

+ 10x =

0 e esboce

o gráfico.

Se escrevermos a equação como y2 = –10x e a compararmos com a Equação 2 veremos que4p = -10;

Assim p = –(5/2).

PARÁBOLAS EXEMPLO 1


Então, o foco

é

(p, 0) = (–5/2, 0) e a diretriz

é

x

= (5/2).

PARÁBOLAS EXEMPLO 1


ELIPSES

Uma

elipse é

o conjunto

de pontos

em

um plano

cuja

soma das distâncias

a dois

pontos

fixos

F1

e F2

é

uma

constante.

Esses dois pontos são chamados focos.


ELIPSES

Uma

das Leis de Kepler

é

que

as órbitas

dos planetas

no sistema

solar são

elipses

com o

Sol em

um dos focos.


Para obter

a equação

mais

simples para

uma elipse, colocamos

os

focos

no eixo

x nos

pontos

(-c, 0) e (c, 0), de modo

que

a origem esteja

na

metade

do caminho

entre os

focos.

ELIPSES


Seja

2a >

0 a soma das distâncias

de um ponto

na

elipse

até

os

focos.

Então

P(x, y) é

um ponto

na

elipse

quando

|PF1

| + |PF2

| = 2a

ELIPSES


Isto

é,

ou

2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + + − + =

2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y− + = − + +

ELIPSES


Elevando

ao

quadrado

ambos os

lados, temos:

que

se torna

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 4 4 ( )

2

x cx c y a a x c y

x cx c y

− + + = − + +

+ + + +

2 2 2( )a x c y a cx+ + = +

ELIPSES


Elevamos

ao

quadrado

novamente:

que

se torna

2 2 2 2 4 2 2 2( 2 ) 2a x cx c y a a cx c x+ + + = + +

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a c x a y a a c− + = −

ELIPSES


A partir

do triângulo

F1

F2

P, vemos

que

2c < 2a, assim

c <

a e, portanto, a²

-

c² > 0.

Por conveniência, seja b² = a² - c².

ELIPSES


Então, a equação

da

elipse

torna-se

b2x2

+ a2y2

= a2b2

ou, se ambos os

lados

forem

divididos

por a2b2,

Como b2 = a2 – c2 < a2, segue que b < a.

2 2

2 2 1x ya b

+ =

ELIPSES Equação 3


As intersecções

com o eixo

x são

encontradas

fazendo-se y = 0.

Então, x2/a2 = 1, ou x2 = a2.

Assim, x = ±a.

ELIPSES


VÉRTICES E EIXO MAIOR

Os pontos

correspondentes

(a, 0) e (-a, 0) são

chamados

vértices da

elipse, e o

segmento

de reta

que

une

os

vértices

é

dito eixo maior.


Para encontrar

as intersecções

com o eixo

y fazemos

x =

0 e obtemos

y2

= b2.

Ou seja, y = ± b.

A Equação 3 não

muda

se x for trocado

por x ou

y for trocado

por

y, logo, é

simétrica

em

relação

a ambos os

eixos.

ELIPSES


Observe que, se os

focos

coincidirem, então

c =

0, portanto, a =

b e a elipse

torna-

se um círculo

com raio

r =

a =

b.

Resumimos

essa

discussão

a seguir.

ELIPSES


A elipse

tem focos

(±c, 0), onde

c2

= a2

–

b2, e

vértices

(±a, 0).

2 2

2 2 1 0x y a ba b

+ = ≥ >

ELIPSES Equação 4


Se os

focos

de uma

elipse

estiverem

localizados

no eixo

y em

(0, ±c), então

podemos

encontrar

sua

equação

trocando

x

e y em

(4).

ELIPSES


A elipse

tem focos

(0, ±c), onde

c2

= a2

–

b2, e vértices

(0, ±a).

2 2

2 2 1 0x y a bb a

+ = ≥ >

ELIPSES Obs. 5


ELIPSES EXEMPLO 2

Esboce

o gráfico

de 9x2

+ 16y2

= 144 e

localize os

focos.

Dividindo ambos os lados da equação por 144:

A equação

está

agora na

forma padrão

para uma

elipse.

2

116 9x y2

+ =


E assim, temos:

a2

= 16, b2

= 9, a = 4, b = 3

As intersecções com o eixo x são ±4.

As intersecções com o eixo y são ±3.

Além

disso, c2

= a2

–

b2

= 7, portanto

c

=

e os

focos

são

(±

, 0).7

7

ELIPSES EXEMPLO 2


Veja

o gráfico.

ELIPSES EXEMPLO 2


ELIPSES EXEMPLO 3

Encontre

uma

equação

para

a elipse

com focos

(0, ±2) e vértices

(0, ±3).

Usando a notação de (5), temos c = 2 e a = 3.

Então, obtemos b2 = a2 – c2 = 9 – 4 = 5, logo, umaequação para a elipse é

Outra

forma de escrevê-la é

9x²

+

5y²

=

45.

2

15 9x y2

+ =


Como as parábolas, as elipses

têm

uma

propriedade

de reflexão

interessante, com

consequências

práticas.

Se uma

fonte

de luz

— ou

som

— for colocada

em

um foco

de uma

superfície

com secções

transversais

elípticas, então

toda

luz

— ou

som

— é

refletida

da

superfície

para

o outro

foco.

ELIPSES


LITOTRIPSIA

Esse

princípio

é

usado

em

litotripsia, um

tratamento

para

pedras

nos

rins.

Um refletor com secção transversal elíptica é

colocado de maneira que a pedra no rim está em

um foco.


Ondas sonoras de alta intensidade geradas no outro foco são refletidas para a pedra e a destroemsem causar dano ao tecido vizinho.

O paciente não sofre o trauma de uma cirurgia e se recupera em poucos dias.

LITOTRIPSIA


HIPÉRBOLES

Uma

hipérbole é

o conjunto

de todos

os pontos

em

um plano

cuja

diferença

entre as

distâncias

a dois

pontos

fixos

F1

e F2

(os focos) é

uma

constante.


As hipérboles

ocorrem

frequentemente

como gráficos

de equações

em:

Química (Lei de Boyle),

Física (Lei de Ohm),

Biologia,

Economia (curvas de demanda e de oferta).

HIPÉRBOLES


Uma

aplicação

particularmente

importante de hipérboles

é

encontrada

nos

sistemas

de

navegação

desenvolvidos

nas

I e II Guerras Mundiais.

Veja o exercício 51.

HIPÉRBOLES


Observe que

a definição

de uma

hipérbole

é similar àquela

de uma

elipse.

A única mudança é que a soma das distânciastorna-se uma diferença das distâncias.

De fato, a dedução

da

equação

de uma hipérbole

é

também

similar àquela

dada

anteriormente

para

uma

elipse.

HIPÉRBOLES


Veremos

no Exercício

52 que

quando

os

focos

estão

no eixo

x em

(±c, 0) e a

diferença

das distâncias

for |PF1

| –

|PF2

| =

±2a, então

a equação

da

hipérbole

é

onde

c2

= a2

+ b2.

2 2

2 2 1x ya b

− =

HIPÉRBOLES Equação 6


Observe que:

As intersecções com o eixo x são novamente ±a.

Os pontos (a, 0) and (–a, 0) são os vértices dahipérbole.

HIPÉRBOLES


Mas, se colocarmos

x =

0 na

Equação 6,teremos

y2

= –b2,

que é impossível;

dessa forma, não existe intersecção com o eixo y.

A hipérbole é simétrica em relação a ambos oseixos.

HIPÉRBOLES


Para analisar

a hipérbole

um pouco

mais, olhamos

a Equação 6 e obtemos

Isso mostra que x2 ≥ a2.

Então, |x| =√x2 ≥ a.

2 2

2 21 1x ya b

= + ≥

HIPÉRBOLES


RAMOS

Portanto, temos

x ≥

a ou

x ≤

–a

Isso significa que a hipérbole consiste em duaspartes, chamadas ramos.


ASSÍNTOTAS

Ao

desenhar

uma

hipérbole, tenha

em

mente que

é

útil

desenhar

primeiro

suas

assíntotas, que

são

as retas

y =

(b/a)x e y =

–(b/a)x.


Ambos os

ramos

da

hipérbole

se aproximam das assíntotas, isto

é, eles

chegam

arbitrariamente

próximos

delas.

Veja o Exercício 69 da Seção 4.5, no Volume I, onde émostrado que estasretas são assíntotas oblíquas.

ASSÍNTOTAS


A hipérbole

tem focos

(±c, 0), onde

c2

= a2

+ b2, vértices

(±a, 0), e assíntotas y =

±(b/a)x.

2 2

2 2 1x ya b

− =



Se os

focos

de uma

hipérbole

estiverem

no eixo

y, então, trocando

os

papéis

de x e y,

obtemos

a seguinte

informação.

HIPÉRBOLES


A hipérbole

tem focos

(0, ±c), onde

c2

= a2

+ b2,

vértices

(0, ±a), e assíntotas y =

±(a/b)x.

2 2

2 2 1y xa b

− =



Veja

a ilustração

da

equação

8.

HIPÉRBOLES


Encontre

os

focos

e as assíntotas da

hipérbole

9x2

– 16y2

= 144

e esboce

seu

gráfico.

HIPÉRBOLES EXEMPLO 4


Se dividirmos

ambos os

lados

da

equação por

144, teremos

que é da forma dada em (7) com a = 4 e b = 3.



Como c2

= 16 + 9 = 25, os

focos

são

(±5, 0).

As assíntotas são

as retas

y

= ¾

x

e y

= –

¾

x.



Encontre

os

focos

e a equação

da

hipérbole com vértices

(0, ±1) e assíntota

y =

2x.

A partir de (8) e da informação dada, vemosque a = 1 e a/b = 2

Então, b = a/2 = ½ e c2 = a2 + b2 = (5/4).

Os focos são (0, ±√5/2) e a equação dahipérbole é y2 – 4x2 = 1



CÔNICAS TRANSLADADAS

Como discutido

no Apêndice

C, no Volume I,

transladamos

as cônicas

tomando

as

equações-

padrão

(1), (2), (4), (5), (7) e (8)

e trocando

x e y por

x –

h e y –

k.


Encontre

uma

equação

para

a elipse

com

focos

(2, –2), (4, –2), e vértices

(1, –2),

(5, –2).

CÔNICAS TRANSLADADAS EXEMPLO 6


O eixo maior é o segmento de reta que une osvértices (1, –2), (5, –2), e tem comprimento 4; assim a = 2.

A distância entre os focos é 2, e assim, c = 1.

Então, b2 = a2 – c2 = 3.



Como o centro

da

elipse

é

(3, -2) ,

trocamos

x e y em

(4) por

x -

3 e y +

2 para

obter

como

a equação

da

elipse.

2 2( 3) ( 2) 14 3

x y− ++ =



Esboce

a cônica

9x2

– 4y2

– 72x +

8y +

176 = 0

e encontre

seus

focos.



Completamos

os

quadrados

como

a seguir:

2 2

2 2

2 2

2 2

4( 2 ) 9( 8 ) 1764( 2 1) 9( 8 16) 176 4 144

4( 1) 9( 4) 36( 1) ( 4) 1

9 4

y y x xy y x x

y xy x

− − − =

− + − − + = + −

− − − =

− −− =



Isso

está

na

forma de (8), exceto

que

x e y

estão

trocados

por

x -

4 e y -

1.

Então, a2

= 9, b2

= 4, and c2

= 13.



A hipérbole

está

deslocada

quatro

unidades

para

a direita

e uma

unidade

para

cima.



Os focos

são

(4, 1+√13) e (4, 1 –

√13)

e os

vértices

são

(4, 4) e

(4, –2) .

As assíntotas são

y

– 1 = ±3/2(x

– 4).


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