Volum A

Um fabricante de leite condensado deseja comerei lizur Ht 11

oduto em embalagens cilíndricas de volume V. Det rmin 11

nensões dessa embalagem para que seja gasto um mínimo de.terial em sua fabricação (ou seja, a superfície da lata deve rrrima). '

O professor perguntou ao aluno qual seria o volume geradoa rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um.seus lados. O aluno respondeu corretamente, calculando o vo-oe de um cilindro. Em seguida o professor traçou a diagonal do:ângulo e perguntou ao aluno quais seriam os volumes geradosoQS dois triângulos formados. O aluno então dividiu a respostazerior por dois. 'Está certo isso?

C pítulo 12

E

Superfícies, e Sólidos deRevolução'

12.1 IntroduçãoConsideremos em um plano, uma reta E chamada eixo e uma li-nha l, simples, que não corta esse eixo. Imagine que essa linha"gire" em torno do eixo, ou seja, cada ponto L descreva uma cir-cunferência em um plano perpendicular a E e com centro sobreE.

E

Figura 12.1

Cada ponto P E Lpercorre então uma circunferência cujo raioé a sua distância ao eixo e a reunião de todas essas circunferênciasé chamada uma superfície de revolução. Se a linha L for fechadaou se seus dois extremos pertencerem ao eixo, a superfície derevolução delimita um sólido chamado sólido de revolução. (Vejafigura 12.2)

276 Superffcles 9 Sólido d R volUÇ o

E

l

Figura 12.2

Neste capítulo, vamos estudar superfície e sólidos de revolu-ção tendo como objetivo principal a demonstração do Teorema dePappus, que permite calcular as áreas das superfícies e osvolumesdos sólidos de revolução. Mas, para isso, precisaremos introduzirnovos conceitos e demonstrar resultados preliminares.

E

...•... ---- ....

E E

r>;oFigura 12.3

A M t m ti d n In M di ,V lum 2 277

Repare que a rotação de um retângulo em torno de um eixoque contém um de seus lados produz um cilindro, a rotação deum triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um doscatetos produz um cone e a rotação de uma semi-circunferênciaem torno de um eixo que contém o diâmetro produz uma esfera.(Veja figura 12.3)

E

U

12.2 Centros de GravidadeTodosnós temos uma noção intuitiva do que seja o centro de gravi-dade (oubaricentro) de uma figura plana. Esse ponto é tal que se fi-xarmos nele um fio,a figura pendurada por ele ficará em equilíbriindiferente. Em particular, se a figura estiver em um plano hori-zontal, depois de pendurada permanecerá horizontal.

G

Figura 12.4

Podemos encontrar o baricentro de uma figura F por um pro-cesso prático que é o seguinte. Primeiro penduramos a figura porum ponto P1 de seu bordo e traçamos sobre F a reta vertical quecontém esse ponto, ou seja, a reta que contém o fio. Depois, pen-duramos a figura por um outro ponto P2 de seu bordo e traçamostambém sobre F a reta vertical que contém P2. A interseção daduas retas é o baricentro de F.

F

Fig. 12.5 - G é o baricentro da figura F.

Vamos agora observar que, quando desenhamos uma lillhuplana fechada simples (ou seja, sem auto-interseções), O t( 1'1110 "fI_

278 up rfl I v lu '" M di ,y, lum 2 278lido d

gura" pode se referir em geral tanto ao conjunto de pontos dessa li-nha, quanto ao conjunto dos pontos interiores. Apalavra triângulopor exemplo, tanto pode se referir à união dos três lados quanto àregião interior. Naturalmente que para a determinação do centrode gravidade é preciso saber que conjunto estamos considerando.Abaixo mostramos dois desenhos aparentemente iguais (fig. 12.6).Entretanto, no primeiro a figura consiste no conjunto dos .pontosinteriores à linha desenhada e no segundo afigura consiste apenasnos pontos da própria linha. Para dar umaidéia máisconcreta aoque dissemos, imagine que no primeiro caso a figura foi recortadade uma chapa de madeira e no segundo caso, a figura foi feita ape-nas com arame. Os centros de gravidade dessas figuras são G1 eG2.

•

Figura 12.6

Vamos tratar agora de mostrar comose determina o centro degravidade de figuras simples. Mas, para isso, devemos estabelecer-comoaxiomas as proposições seguintes:1) O centro de gravidade de um segmento é o seu ponto médio.2) Se uma figura possui um eixo de simetria então o seu centro degravidade pertence a esse eixo.

Como conseqüência, se uma figura possui um centro de sime--tria (interseção de dois eixos de simetria), então esse ponto é o seucentro de gravidade.

12.3 Um Exemplo da FísicaConsideremos uma barra reta (sem massa), tendo em suas xt«midades massas m 1e m2 . Essa barra, pendurada por um fiopr oem um certo ponto Gficouem equilíbrio indiferente (fig. 12.7). li~!lI

relação a um plano horizontal n, as duas massas possuem altur 1

Yl e Y2, respectivamente. Pergunta-se a que altura está o pontoG.

II

I

II

I

I

:1hI

I

I

II

I

I

:-yIn--------~----------~------~---

Figura 12.7

Para responder a essa pergunta, devemos recordar um outroconceito da Física: o de energia potencial. Sabe-se que a energiapotencial de uma massa pontual m que está em equilíbrio acima deum plano horizontal de referência e a uma distância h dele, é dadapela expressão mg h, onde 9 é a aceleração da gravidade. Sabe-seainda, que a energia potencial de um sistema formado por váriaspartículas é a soma das energias de cada uma. Assim, tomando-seo exemplo da barra com suas duas massas, podemos escrever:

(rn., + m2)gy = mj gYl + m2 gY2

ou seja,mlYl +m2Y2Y= m.j +m2

Observe que a altura do centro de gravidade do sistema formado pelas duas massas é a média das alturas, ponder da poIas massas. Em um sistema formado por diversas ma flH pon

• Sup rUe I ólldo d R voluç A M t m ti d n In M di I V lu

.ais, podemos aplicar a mesma idéia desse exemplo para deter-inar a posição do centro de gravidade, calculando essa média.nderada em relação a duas retas não paralelas. Em particu-r, se considerarmos um sistema de coordenadas e um conjuntopartículas de massas ml:,"m2,"" mn, localizadas nos pontos

I, 1}1),(X2,1}2),... , (xn, 1}n), respectivamente, o centro de gravi-de desse conjunto será o ponto (x,1}) onde:

mlxl + m2X2 + ... + mnXnx= eml +m2+ +mn

mfYl + m21}2+ + mn1}n1}=ml +m2+···+mn

:.4 Centro de Gravidade de uma Poligonalnsideremos uma linha poligonal formada por segmentos conse-:;ivos e1, e2, ... ,en, de comprimentos a 1, a2, ... , am, respectiva-ente. Para justificar a definição que daremos, vamos imaginare os lados dessa poligonal sejam varetas feitas do mesmo mate-I e com mesma seção reta (seção perpendicular a cada vareta).eta forma, a massa de cada vareta é proporcional ao seu com-..mento, ou seja, ffik = C . ak, para 1:::;b::;n. Como o centro deavidade de cada vareta é o seu ponto médio, as noções que mos-mos no exemplo anterior permitem aceitar a seguinte definição:

finição. Se uma poligonal P é formada por segmentos conse-.ivos e1, e2, ... , en, de comprimentos al, a2, ... , an, respectiva-.nte, e sendo (Xk,1}k) o ponto médio do segmento ek, o centro de:vidade de P éo ponto G = (x,1}) onde:

alxl + a2X2 + ... + anXnx= eal + a2 + + an

al1}l + a21}2 + + an1}n1}= .al+a2+ .. ·+an

Para fixar as idéias, vamos mostrar um exemplo onde calcula-"10S a posição do centro de gravidade do bordo de um triângulo.

Exemplo. Determinar a posição do centro de gravidad do bordode um triângulo cujos lados medem 30cm, 30cm e 36cm.

Solução. Seja ABC o triângulo em questão com AB = AC = 30 eBC = 36. Vamos apoiá-lo em uma reta X que contém BC.

A

x

Figura 12.8

Como o triângulo é isósceles então o centro de gravidade pro-curado está em seu eixo de simetria, ou seja, ele pertence à alturarelativa ao lado BC. Logo, para determinar sua posição, bastadeterminar a que distância ele está da reta X. A altura relativaa BC divide o triângulo dado em dois triângulos retângulos comhipotenusa igual a 30 e um cateto igual a 18. Pelo Teorema dePitágoras, concluímos que distância de A à reta X mede 24 e, con-seqüentemente, as distâncias dos pontos médios de ABe AC à r tuXvalem 12. De acordo com nossa definição, a distância do entrode gravidade desse triângulo ABC à reta Xé:

= 30 . 12 + 30 . 12 + 36 . O = 7 51} 30 + 30 + 36 ' .

Todos sabemos que a distância do baricentro d m t.ri 111 IIlua um lado é igual a um terço da altura relativa a •H( lndo. I jCl li,

a distância do baricentro de ABC à reta X ' iguul 11 ',1/ \Entretanto nossos cálculos mostraram que su diHt. IH'.,

Onde está o erro?

82 up rtfol ólldo d R voluç o

Na realidade, não há erro nenhum. Neste exemplo, o triân-~lo é apenas a reunião dos três lados, ou seja, aqui a palavra::riângulo refere-se a uma linha poligonal fechada formada por três.egmentos e o centro de gravidade dessa figura está mesmo a 7,5:m de distância do lado BC. O que ocorre é que o baricentro doriângulo que conhecemos, interseção de suas medianas, é o centroe gravidade de sua superfície.

.2.5 Área Lateral de um Tronco de Cone-onsideremos em um plano uma reta E e um segmento AB comoeostra a figura abaixo.

A' I----==----...•AR

Figura 12.9

O segmento AB quando gira em torno do eixo E forma a su--fície lateral de um tronco de cone. Observando a figura 6.9, seo ponto de interseção da reta AB com E, o tronco de cone é a

erença entre o cone de raio AA I e altura CAI e o cone de raio- e altura CB/. Vamos então determinar a área lateral desse:lCO de cone pela diferença das áreas laterais dos dois cones.Sejam Re r as distâncias de A e B ao eixo E, respectivamente.

:1 AB = g, a geratriz do tronco de cone e seja BC = m, a geratrizone menor. Como os triângulos CBBI e CAA I são semelhantes,

A M t m tio do nino M dlo, Y, lu

temos:R r R-r

9

m+g m 9ou seja, (R - r)m = rg. Do capítulo anterior, sabemos qulateral de um cone é igual a nRg onde R é o raio de sua bassua geratriz. Logo, a área lateral do tronco de cone é:

A = nR(m + g) -nrm= nRm + nRg - nrm= nRg + n(R - r)m= nRg + nrg= n(R + r)g

E

B1------4l

r

A

x

R

Figura 12.10

Finalmente, sendo x a distância do ponto médio de AB ao eixoE então x = R; r e portanto a área lateral do tronco de cone tomaa forma:

(R+r)A=2n -2- 9

A 71' g.

04 Sup rffol 8 Sólido d R volU9 o

Teorema de Pappus. Se uma linha plana gira em torno de-n eixo de seu plano, a área da superfície gerada é igual ao com-rimento dessa linha multiplicado pelo comprimento da circun-rência descrita pelo seu baricentro.

Em outras palavras, se uma linha plana tem comprimento Lse x é a distância do baricentro dessa linha a um eixo E, o 1ºeorema de Pappus afirma que a área da superfície de revoluçãoae gerada pela rotação da linha em torno de E vale Zrrxl.. Ainda,-tamos usando aqui a palavra baricentro significando o centro de.avidade.

E

l

Figura 12.11

Vamos fazer a demonstração para uma linha poligonal."Consideremos então como na figura a seguir, uma poligonal.na cujos lados têm comprimentos U1,U2,... , Un e cujos pontosdios distam xj ,X2, ... ,Xn de E, respectivamente. Seja ainda

= Ul + U2+ ... + Un'

A M t m ti d nino M dlo, Volum 2 28

E

Figura 12.12

A rotação de cada segmento em torno de E, gera a superfícielateral de um tronco de cone e portanto, a área da superfície derevolução gerada pela poligonal é a soma das áreas de todos ostroncos. Temos então para a área da superfície gerada pela poli-gonal:

A = 2nxl Ul + 2nx2u2 + ... + 2nxnun

A = 2n(xl Ul + X2U2+ ... + xnun)

Entretanto, se x é a distância do centro de gravidade da poli-gonal ao eixo E então:

'.xl, = U1Xl + U2X2+ ... + UnXn.

Portanto, a área da superfície de revolução gerada pela rotução da poligonal em torno do eixo é:

A = Zrrxl..

Nota. A demonstração do caso geral não será fi it uqui pu «1\

volve elementos de Cálculo. Entretanto, a maior paru do '11I 1 111 11

foi mostrada. O passo final consiste em definir o .omprhn nto I

~B Sup rflcl ólldo d R volU9 o

ma curva pelo limite do comprimento de poligonais cujos vérticesstão sobre a curva e tais que a distância entre dois consecutivos~torna arbitrariamente pequena. Mas, cremos que os resulta-os alcançados nesse texto, sejam suficientes para as aplicaçõesa escola secundária e o leitor interessado poderá encontrar aemonstraçãó completa nos livros de Cálculo.

~.6 Centro de Gravidade de um Polígonoamos agora considerar polígonos como a região do plano limi-da por uma linha poligonal fechada. Estaremos a seguir, nos-eparando para determinar a posição do centro de gravidade daperfície das figuras planas.

Em primeiro lugar, vamos entender porque o ponto de inter-;;ão das medianas de um triângulo é o centro de gravidade de;a superfície.

Imagine um triângulo ABe recortado de uma chapa de ma-ira e pendurado pelo vértice A. Porque a reta vertical que passar A, passa também no ponto médio de B'C?

A

B

c

Figura 12.13

Para responder, imagine o triângulo ABe cortado por retas.alelas a Be em fatias muito finas. Cada fatia é "quase" um

AMtmtl d

segmento e, portanto só fica equilibrada s pendur d 1 P lu li

ponto médio. Logo,a reta vertical que contém A passa p 10 pun t.()

médios de todas as fatias e, em particular, pelo ponto m dio IBe. Ora, se o centro de gravidade da superfície de um triân ulopertence a uma mediana, então (repetindo-se a experiência) 1o ponto de interseção das três medianas. Concluímos então qu oponto de interseção das medianas de um triângulo é o centro dgravidade de sua superfície.

Para determinar a posição do centro de gravidade da super-fície de um polígono, vamos imaginá-lo, por exemplo, divididoem triângulos T1, T1,..• ,Tn, com áreas A1, A1, ... ,An, respecti-vamente (fig. 12.14). Consideremos um sistema de coordenadasno plano do polígono e seja (Xk,1Jk) o baricentro do triângulo Tk.Apelando novamente para o raciocínio físico de considerar a figurarecortada em uma chapa uniforme de espessura constante, temosque a massa de cada triângulo é proporcional à sua área, ou seja, amassa rnj, do triângulo Tk é igual a c .Ak para uma certa constantec (que depende do material). Podemos então imaginar o polígonotransformado em um conjunto de partículas, cada uma delas nobaricentro de um triângulo e com massa proporcional à sua área.Em outras palavras, estamos imaginando que toda a massa de umtriângulo esteja concentrada no seu baricentro.

y

lIk

--------

~88 Suparflcl e Sólido d Revoluç o

Essas considerações permitem aceitar a definição seguinte.

:Jefinição. Se um polígono P está dividido em figuras

le áreas Al,A2,'" ,An, respectivamente, e sendo (Xk,lIk) o bari-entro da figura Tk, o centro de gravidade da superfície de P é o-onto G = [x,li), tal que:

A1Xl + A2X2+ ... + Anxnx= e

Al +A2 + +AnAllll + AiY2 + + Anlln

li = --~--------------~. Al + A2 + ... + An

Para fixar essa idéia, vamos, no exemplo a seguir, determinarposição do centro de gravidade da superfície de um trapézio.

..xemplo. Determine a posição do centro de gravidade da su-srfície do trapézio ABCD onde A = D = 90°, AB' 10, CD = 4 eD=6.

olução. Consideremos em um sistema de coordenadas,

A = (0,0), B = (10,0), C = (4,6) e D = (0,6),

mo na figura a seguir.y

D C

32

A 2 E 6 B X

Figura 12.15

A M t m ti d nino M di ,V lu

Dividamos o trapézio em duas figuras: um r tângulo I) Ium triângulo retângulo CEB. As áreas dessas figura [ o A 1 I Ie A2 = 18, respectivamente. O baricentro do retângulo () pont.o(2,3) e o baricentro do triângulo é o ponto (6,2).

Se G = (x,li) é o centro de gravidade da superfície de AH I)temos:

24·2+ 18·6x = 24 + 18

24·3+ 18·2li = 24 + 18

267187

e

12.7 A Rotação de um RetânguloObservemos agora o que acontece quando giramos um retânguloem torno de um eixo de seu plano e paralelo a um dos lados.

A figura a seguir mostra um retângulo de base a e altura b,e um eixo E, paralelo a um lado do retângulo e distando d do ladomais próximo. Seja ainda, S = ab, a sua área.

E

d

b- - - -x

Figura 12.16

A rotação dess r tângulo em torno d produz um ólido drevolução qu a dif r nç ntr d i. ilindros: O maior, 'OJl) rnioa I d 011,111"1I b, ( o nu nor '0111 mio d ( IIILul'Il h. () volunu d( (

v = 2nxS

J.e x é a distância do centro do retângulo ao eixo.\

Teorema de Pappus. Se uma figura plana gira em torno deeixo de seu plano, o volume gerado é igual à área dessa figura

ltiplicado pelo comprimento da circunferência descrita pelo seu-icentro.

Em outras palavras, se uma figura plana tem área S e se x éistância do baricentro dessa figura a um eixo E, o 2º Teorema?appus afirma que o volume do sólido de revolução gerado pelaação dessa figura em torno de E vale 2nxS.

___ r:-" _

E s

A Mat m tlc do nino M dlo, V lu~ Superfícies e Sólidos de Revolução

v = n(a + d)l d -ndlb

= nal b + 2n adb

= nab(a + 2d)

= 2nC~ + d)SObserve que x = ~+ d é a distância do centro desse retângulo

eixo. Concluímos então que se um retângulo de área S gira em"node um eixo paralelo a um de seus lados e que não o atravessa,olume gerado é

Vamos mostrar uma demonstração no caso em qu n fi 111' I C

um polígono retangular, ou seja, um polígono que é a r uni ro devários retângulos justapostos, e o eixo é paralelo a um lado d HHe

retângulos.Consideremos então o polígono retangular P, dividido em r -

tângulos Rj , Rl, ... , Rn, de áreas Al, Al,.··, An, respectivament .Seja S = A 1 + Al + ... + An a área de P e seja Xk a distância docentro do retângulo Rk ao eixo E, que é paralelo a um lado desseretângulos e não atravessa nenhum deles.

Ep

r--l----f-

lido é, portanto,

-

x

Figura 12.18

O volume do sólido gerado pela rotação de P em torno de E é asoma dos volumes gerados pela rotação de cada um dos retângulos.A partir do que concluímos no item anterior, teremos para essevolume a expressão: \;

V = 2nxlAl + 2nxlAl + ... + 2nxnAn

V = 2n(xlAl + xlAl + ... + xnAn).

Entretanto, se x é a distância do centro de gravidade da su-perfície do polígono P ao eixo E então:

xlAl + xlAl + ... + xnAnx=

Al +A2+···+An

ou s ja,Figura 12.17

2 Superfícies e Sólidos de Revolução

Portanto, o volume do sólido de revolução gerado pela rotação• polígono retangular P em torno do eixo é:

v =2nxS.

ota. A demonstração se completa com um passo a mais. De-dmos a área de uma figura plana F como o número real cujasroximações por falta são as áreas dos polígonos retangularesntidos em F. Desta forma, ovolume do sólido gerado pela rotaçãoF em torno de um eixo é o número real cujas aproximações porta são os volumes gerados pelos polígonos retangulares contidosI F.

Figura 12.19

emplos.J volume do cone

Podemos calcular facilmente o volume de um cone de revolu-como aplicação do Teorema de Pappus.Um cone de revolução é obtido pela rotação de um triângulo

ângulo em torno de um eixo que contém um dos catetos. A figura.ixo, mostra um triângulo retângulo ABC com catetos AB = RC = h e o eixo E que contém AC.

A Matemática do Enllno Médio, Volum

cE

Figura 12.20

o baricentro de ABC é o ponto G, situado sobre a medianaAM e tal que

2CG = 3CM.

Se x é a distância de G ao eixo, então

1 R Rx=-'-=-

2 2 3'

Como a área de ABC éS = Rh

2 )

o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de ABC emtorno de E, será igual a:

V=2nxS =2n~. Rh _ nr2h3 2 - ---3-

ou seja, a terça parte do produto da área da base pela altura.2) A área e o volume do toro

Um toro ó o sólido gorado pela rotação do um ctrculo om t.OI'l\O

do um eixo do HOU p11l110.

-4 Sup rf(cl. ólldo d R voluç o

E

0-

Figura 12.21

Uma câmara de ar de automóvel é um toro. Com os teoremas~Pappus, podemos calcular facilmente a área de borracha dessa.mara e o volume de ar que existe dentro dela (veja exercício 4este capítulo). ...

~.8 o Volume e a Área da Esferana calcular a área e o volume da esfera como aplicação dos Teo-:mas de Pappus, precisamos de um resultado preliminar.

A figura abaixo, mostra uma reta E e um segmento AB noesmo plano.

E

Figura 12.22

n In M di ,V lu

Seja AB = a , s j x a distância do ponto m dio d AB i\ (t.Il I I

seja h o comprimento da projeção de AB sobre E e, finalm nt.c e 1"z o comprimento do segmento da mediatriz de AB compr ndi 10entre AB e E. Esse segmento será chamado de apótema d AH..Por uma elementar semelhança de triângulos, temos

h x, ou seja, ux = zh.a z

Esta simples relação nos permitirá obter facilmente a área desfera como aplicação do 1º Teorema de Pappus.

12.9 A Área da Esfera .A superfície da esfera pode ser obtida através da rotação de umasemi-circunferência em torno de um eixo que contém seu diâmetro.Consideremos então uma semi-eircunferência de raio Re um eixo Eque contém seu diâmetro AB. Dividimos a semi-circunferência emn partes iguais para formar uma linha poligonal regular inscritanela.

Figura 12.23

Os lados €l, €z, ... , €n, dessa poligonal têm comprimento u (seja hk o comprimento da projeção do lado €k sobre E. omn 11

poligonál é regular, todos os lados têm mesmo apótema z.Calculemos então a distância x do centro de gravid d( de

i Superfrol Sólido d R voluç o

-ligonal ao eixo. Sendo Xk a distância do ponto médio de €k aoxo e levando em conta a relação ux = zh que demonstramosateriormente, temos:

ax, + aX2+ ... + aXnx = ---------

a+a+···+azh, + zh2 + ... + zhn

na= -=-2R.

naQuando o número de lados da poligonal aumenta, então na

Ilde para ocomprimento da semi-circunferência (nR) e oapótematende para R. Concluímos então que a distância do centro deavidade de uma semi-circunferência ao seu diâmetro é:-

R 2R'x= -2R=-·nR n

Pelo 1º Teorema de Pappus, quando a semi-circunferência giran torno de seu diâmetro, a área da superfície gerada é:

A= Zrrxl,= 2n2RnR = 4nR2.n

~.10 O Volume da Esferana encontrar o volume da esfera como aplicação de Teorema deappus, consideremos, como no caso anterior, uma semi-circun-rência de raio R e diâmetro AB, e uma reta E que contém esse:âmetro. Dividimos a semi-circunferência em n partes iguaisrmando a poligonal regular inscrita, e unimos todos os vértices• centro o.

Temos então um polígono P, inscrito no semi-círculo e dividido(l. triângulos isósceles T" T2, ... , Tn, todos iguais, com base a etura z. Cada um desses triângulos têm área

A= az2

distânci d baric ntro do triângul k o ix23Xk,

onde Xk é, comono item anterior, a distância do ponto médio de ubase ao eixo. Vamos então determinar a distância x do baricentrodesse polígono ao eixo E.

E E

o

Figura 12.24

2 (az + + az )3 "Ix, ... "IXn

A+···+A1(zh, + ... + zhn)

nA

A~x, + ... + A~xnx = ---'''--------~-A+···+A

1(ax, + ... + axn)nA

Z2(h, + ... + hn) z22R_ 3 - __ o

nA 3 nAQuando n cresce, nA que é a área do polígono P, tende para

n R2/2, a área do semi-círculo, e o apótema z tende a R. Temosentão que a distância do centro de gravidade de um semi-círculoao eixo é:

R22R 4Rx "---=-.3 7tR2 3n

2

98 Superffcles e Sólidos de Revoluçao

Pelo 2º Teorema de Pappus, o volume da esfera é:

4R 7tR2 4 3V = 27txS = 27t31t 2 = 37tR .

.Jota. A maior parte do material deste capítulo pode ser exces-iva para a prática em sala de aula nas escolas do segundo grau.:ntretanto, as noções intuitivas de centro de gravidade de figuras-lanas são importantes e úteis, e os teoremas de Pappus podem ser.presentados sem uma demonstração formal. O professor pode,-or exemplo mostrar um pedaço de uma mangueira de borracha_ue,estendida, é um cilindro. Nessa situação, a área lateral e oolume dessa mangueira podem ser calculados facilmente. Se, emeguida as extremidades da mangueira são unidas para formar.m toro, os alunos podem compreender que agora a altura do ci-.ndro tomou a forma de uma circunferência. É claro que nessa:peração, a parte interna do toro ficou um pouco comprimida e aarte externa um pouco dilatada, mas é bastante razoável aceitarue a altura da mangueira tenha se transformado no comprimentoa circunferência que contém os centros das bases.

~xercícios

Calcule a área e a superfície do sólido de revolução geradoela rotação de um triângulo equilátero de lado 1 em torno de um.ixo(de seu plano) que contém um vértice e é perpendicular a umado.

Calcule a área e o volume de um toro sabendo que as circun-srências interna e externa têm diâmetros 10cm e 16cm.

Um triângulo retângulo de catetos b e c gira em torno de umâxo de seu plano que contém o vértice do ângulo reto. Determinemaior volume que pode ser gerado.

Considere em um sistema de coordenadas e o polígono con-exo P cujos vértices são (0,0), (0,6), (8,6), (8,4), (12,4) e (12,0).letermine as coordenadas do centro de gravidade:

nslno M'dlo, Volum

a) do bordo do P,b) da superfície de P.

5. Um plano secante a uma esfera divide sua superfície 011\

duas regiões chamadas calotas. Mostre que a área de uma culotnesférica é dada por 27t Rh onde R é o raio da esfera e h é a altu rnda calota.

6. Um astronauta em sua nave espacial consegue observar emcerto momento exatamente 1/6 da superfície da Terra. Determinea que distância ele está da superfície do nosso planeta.

Considere o raio da Terra igual a 6400km.

7. Encontre uma construção com régua e compasso para o centrode gravidade da superfície de um trapézio.

\;

2ül) A MIlIIlIlIlh.h;1I cio tlllslllQ Mc\cllll, Vul"IIlc

Soluções:

1. O perímetro do triângulo é igual a 3 e a área é 1.

Como a distância do centro do triângulo ao eixo é x = ~ temos:

, 1A = 27r . - . 3 = 37r2

v = 27r . ~ . J3 J32 4 = 47r

2. O toro é formado pela rotação de um círculo de raio 1,5cm em tOl"1I0d,um eixo distante 5cm dele.

e

5

8

rr> L - 2 3 - 3 S - (3)2 - 9n - 5 3 - 13 L .remos - 7r2"- 7r, - tt 2" - LI e x - + 2"- 2' ogo,

13A = 27r . 2 .37r= 397r2cm2,

13 97r 117 2 3V = 27r . - . - = -7r cm2 4 4

3. Devemos ter a maior distância possível do bnri(;()III,J'OM eixo.

a mediana relativa fi, I, i pOt.OIlIIHlt dOVQRor I)(lrpOlld 1<:\lI/l,I' ao (lixo,

IIHIIIIII ':.0, IiUIICItI'''.II'' ""'hl"l dll Ifuvulcccno (lU

A distância do baricentro ao eixo é 2/3 do comprimento da mediana quo,por sua vez, é igual a metade da hipotenusa. Portanto, x = ~.!Jb2 + ..

../ú2 + c2. Daí, o volume máximo é:

bc 1v' nbc . /V = 27r-· - b2 + c2 = _y b2 + c2.2 3 3

, A figura é a seguinte:

l'

8

l2 46

4

7"

IL)

6 . O + 8 . 4 + 2 . 8 + 4 . 10 + 4 . 12 + 12 . 6 52x = . = _ ~ 5 78

36 9 '

6 . 3 + 8 . 6 + 2 . 5 + 4 . 4 + 4· 2 + 12 . O 25'I) = . = - ~ 2 78. 36 9 '

G = (52 25)1 9 ' 9 .

a figura nos dois rctân!!'lllos como mostra a fi/.!'lIl'/t, 1,01110/1:

1/8·I/I.lG'IQ 11 r: r:'I" "'" - - - = - = i) ). , WI 1)' •

u li ,:I I Ili .•,111

270 1\ M 11111 IIe Ilu 11 lnn M 11111, Vuhlltl

(li 11)G2 = 2 I ~ •

5. Seguindo o processo descrito no item 12.9, onsidcrcm s um ar AIJ

com o ponto A no pólo norte e B qualquer sobre a circunferência. 11-

. sidere ainda uma poligonal regular inscrita em AB com n segmentos d(comprimento a e, sejam ainda h1, ba, ... ,hn, as projeções desses segment H

no eixo.

I

A distância do centro de gravidade desta poligonal ao eixo é

zh1 + zh2 + ... + zhn zhx= na na

Se L é o comprimento do arco AB, fazendo n -t oo ficamos com x = /I/!

Logo, a área da calota gerada pela rotação do arco AB é:

RhA = 21fxL = 21fTL = 21fRh.

6. O astronauta vê uma calota do nosso planeta. A figura a seguir m HI""

a situação.

B

'71"fllllu 1'1

)01110 \, 1,I'tlll, ti I 1'/11111,/1, " 11"1I1t1 tL J /u da ~\I' '<1. Ia. T 'na, (, m s 27r Rl» =J . ~7r n", 011 í1( jn, 11 ~. Portanto, a distância do centro à corda BC(di uu 1:1' da bW-l <1/1, calota) é OD = 2:-. No triângulo retângulo BOA,1" IIl-S OB2 = OA· D, ou seja, R2 = (d + R) 2:, o que fornece d = !f =

a' OOkm .

7. , ja ABCD o nosso trapézio com bases AB e CD. Seja E o ponto denícrseção das retas AD e BC.

E

A'-----'------=>..BM

Se M éo ponto médio de AM então EM corta CD no seu ponto médioN I S baricentros dos triângulos EAB e EDC estão sobre EM. Logo, o[unic ntro do trapézio também está sobre essa reta. Concluímos então que:

I( baricentro de um trapézio está sobre o segmento que une os pontoss das bases" .

J m isso, basta determinar a sua distância à base maior. Sejam a e bb) as bases do trapézio e seja h sua altura. Dividamos então o trapézio

111 IIIIl paralelogramo e um triângulo como mostra a figura a seguir.

[LZ~b a-b

~ a ~

ÂH ItI'Ca.· da duas partes são SI = bh e S2I C'\ III,!' d trap ~i à as rnai r

(a-;b)h A distância do

111/ •. I fI.- !!l!::. . !l., :!

(11 I11 "I

11

'27'

que, após simplificação, dá

(a + 2ú)hu= 3(a+b)'

, . t P 1 gamos a base maior de umUma construção possível e a segum e. ro on .. to igual à base menor e prolongamos a base menor (no sentidocompnmen

oposto) de um comprimento igual à base maior. O segmento que une ast . ento que une os pontot . .dades desses prolongamentos cor a o segm

ex remI , . emosmédios das bases em G. Este ponto é o baricentro do trapézic como vera seguir.

~'Q" 0/2 M

A semelhança dos triângulos GM Q e GN P fornece

b+~ _~!>..+a-h-y2

Fazendo as contas encontramos exatamente

(a + 2b)hy= 3(a+b)'

)L M i :~

apítulo J: metria Analítica Plan

j xercícios:

1. A reta r contém os pontos (4,2) e (7,3).

a) Determine k para o ponto (16, k) pertença a r.

b) Verifique se o ponto (1997,666) está acima ou abaixo de r.

2. Encontre a equação da reta que contém os pontos (a, O) e (O, b).

't. Sejam A = (a, a') e B = (b, b'). Determine o ponto P, interior ao1ogmento AB, tal que d(A, P) = :3 . d(A, B).

. Prove que as medianas de um triângulo concorrem em um ponto, quelivide cada uma delas na razão 1/3.

. ABCD é um paralelogramo. Se A = (a, a'), B = (b, b') e C = (c, c'),11'1. irrnine D.

, Prove que um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se os11I1,0smédios de suas diagonais coincidem.

I I rove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de umingulo é paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual a metade

~I'rove que o segmento que une os pontos médios dos lados opostos não

I,LI ilos de um trapézio é igual a semi-soma das bases.

Prove que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer sãot.I(: 'I;; de um paralelogramo.

IIr ve que a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igualIlIa Ias quadrados de suas diagonais.

/)nl.erJllin n qunçãJlnlll.()~ (1,:1) o (13, I).

11Ivar gO()lllél.ric d s p ntos que qui listam