Cap12 projecto(parte b)
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Moldagem do Ganho de Malha
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)
CONTROLOCONTROLO3º ano – 1º semestre – 2007/2008
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo 12 (Parte B) - Projecto por Moldagem p ( ) j p gdo Ganho de Malha
Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
o, A
ntón
io P
asco
alDezembro de 2001Revisão em Dezembro de 2004 e Dezembro de 2005
1/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
Moldagem do Ganho de Malha
Sistema de controlo por retroacção : esquema geral
G(s)K(s)
dyr e u
Controlador Sistema a controlar
G(s)_
K(s)
n
r – sinal de referência ( a seguir pela variável de saída y)
d – perturbação à saída do sistema a controlar
n – ruído no sensor
e – erro de seguimento
iá l d íd
o, A
ntón
io P
asco
al
y – variável de saída
u – variável de actuação
2/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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ro
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Moldagem do Ganho de Malha
OBJECTIVOS DO SISTEMA DE CONTROLO
)(sKi) O controlador deve estabilizar )(sG
ii) A saída y deve seguir com fidelidade o sinal de referência r.
iii) Deve atenuar-se a influência da perturbação d e do ruído n na saída yperturbação d e do ruído n na saída y.
iv) O sistema de controlo deve exibir )robustez face a variações de parâmetros no sistema a controlar.
o, A
ntón
io P
asco
al
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ro
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Moldagem do Ganho de MalhaQUANTIFIÇÃO DOS OBJECTIVOS DE CONTROLO
É possível avaliar de modo independente o efeito de cada i l
Sistema Linear Princípio da Sobreposição
1. Atenuação do efeito da perturbação d
d
sinal externo
(Reduzir o impacte de d em y )
G(s)_
K(s)
dye
)()()()()( sEsKsGsDsY +=
ye ;GKedy −=+=
)()()()()()()()()(
sYsKsGsDsEsKsGsDsY
−=+
o, A
ntón
io P
asco
al)())()()(( sDsKsGsY =+1
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)()()()(
)( sSsKsGsD
sY=
+=
11
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Moldagem do Ganho de Malha
ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO d
)()()()(
)( sSsKsGsD
sY=
+=
11
)(sSD(s) Y(s)
S(s) - FUNÇÃO DE SENSITIVIDADE
Possível Diagrama de Bode de S(s)
)( ωjS abaixo da ‘barreira’ de –x db para
0db
)( 1−dω
[ ]dωω ,0∈o,
Ant
ónio
Pas
coal
)( 1−radsωdω
-x db
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xdbjS −≤)( ω
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ATENUAÇÃO DE PERTURBAÇÕES SINUSOIDAIS
)( 1−radsω0
Banda de frequências de desempenho
Atenuação de pelo menos –x db
)(dω
menos x db
)(sSd y
d – sinais sinusoidais
Requisito de atenuação de d [ ]djS ωωω ,;)( 0∈
Limite superior a o,
Ant
ónio
Pas
coal
O limite superior –x db e a banda de frequências de desempenho [ ]dω,0 dependem do problema específico de controlo
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[ ]d
considerado.
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ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO d
O que acontece quando d não é sinusoidal?
d- modelizado como um processo estocástico estacionário com densidade espectral
)(ωdΦ
y - processo estocástico estacionário com densidade espectral
2)()()( ωωω jSdy Φ=Φo,
Ant
ónio
Pas
coal
ωωω djSd∫∞
Φ=2)()(Energia { }y2
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rod∫0
{ }y
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ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO d - Terminologia
)(ωdΦ
dω)( 1−radsω
Se 0)( ω>ωωΦSe dd ,0)( ω>ω≈ωΦ
conteúdo espectral de d está concentradona gama de frequências [ ]dω,0
Técnica para redução da energia associada a y:
Reduzir [ ]d,0 ,)j(S ω∈ωωo,
Ant
ónio
Pas
coal[ ]ddjS ωωεω ,,)( 0∈≤
C b j i d fi i í l d j i ã ε
8/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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roCabe ao projectista definir o nível de rejeição dε
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ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃOd – constrições ao ganho de malha
[ ]dd ,0,1)j(S ω∈ω<ε≤ω
djKjGε
ωω≤
+ )()(11
11)j(K)j(G1d
>ε
≥ωω+
11d
>>ε
Se 1d <<ε
)()()()( ωωωω jKjGjKjG ≅+1
atenuação do efeito da perturbação d
o, A
ntón
io P
asco
al
11)j(K)j(G dd
>>β=ε
≥ωω
[ ]ωω 0∈
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ro[ ]dωω ,0∈
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Moldagem do Ganho de Malha
ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃOd – constrições ao ganho de malha
11)j(K)j(G dd
>>β=ε
≥ωω
[ ]dωω ,0∈
jKjG βωω ≥)()(
0db
djKjG βωω ≥)()(dβ1020 log
0db
)( 1−radsωdωo,
Ant
ónio
Pas
coal
Barreira inferior ao ganho de malha )()( jKjG
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ro)()( ωω jKjG
moldável através do controlador K(s)
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2. SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r
G(s)K(s)r ye
_
GKey ;yre =−=
)()()()()( sEsKsGsRsE −=
GKere −=
)()())()(( sRsEsKsG =+1
)()( sSsE==
1
o, A
ntón
io P
asco
al
)()()()(
sSsKsGsR=
+=
1
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SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERENCIA r
r- modelizado como um processo estocástico estacionário com densidade espectral
)(ωrΦ
e - processo estocástico estacionário com densidade espectral
2)j(S)()( re ωωΦ=ωΦ
∞
o, A
ntón
io P
asco
alωωω djSr
2
0∫Φ= )()(Energia { }e2
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Moldagem do Ganho de Malha
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r
)(ωrΦ
rω)( 1−radsω
Se ;0)( >ΦSe rr ;0)( ω>ω≈ωΦ
conteúdo espectral de r está concentradona gama de frequências [ ]rω,0
Técnica para redução da energia associada ao erro de seguimento e:
Reduzir
[ ]r,0 ,)j(S ω∈ωω
o, A
ntón
io P
asco
al
[ ]rrjS ωωεω ,,)( 0∈≤
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Cabe ao projectista definir o nível de rejeição rεINSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008
Moldagem do Ganho de Malha
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r
[ ]rr ,0 ,1)j(S ω∈ω<ε≤ω
Constrição geométrica
)( ωjS abaixo da ‘barreira’ de db para [ ]rωω ,0∈
rε1020 log
0db
)( 1−radsωrω
rε1020 logo,
Ant
ónio
Pas
coal
rjS εω 1020 log)( ≤ db
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Moldagem do Ganho de Malha
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r- constrições ao ganho de malha
[ ]rr ,0,1)j(S ω∈ω<ε≤ω
1)j(K)j(G1
1r <ε≤
ωω+
11)j(K)j(G1r
>ε
≥ωω+
11r
>>ε
Se 1r <<ε
)()()()( ωωωω jKjGjKjG ≅+1
seguimento de sinais de referência r
o, A
ntón
io P
asco
al
11)j(K)j(G rr
>>β=ε
≥ωω
[ ]ωω 0∈
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ro[ ]rωω ,0∈
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SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r- constrições ao ganho de malha
11)j(K)j(G rr
>>β=ε
≥ωω
[ ]rωω ,0∈
rjKjG βωω ≥)()(
0db
rβ1020 log
0db
)( 1−radsωrωo,
Ant
ónio
Pas
coal
Barreira inferior ao ganho de malha )()( jKjG
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ro)()( ωω jKjG
moldável através do controlador K(s)
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3. REDUCAO DO IMPACTE DO RUÍDO DO SENSOR n NA SAÍDARUÍDO DO SENSOR n NA SAÍDA
G(s)K(s)ye u G(s)
_K(s)
n
)(GK )(, yneGKey +−==
GKyGKny −−=
)())()(( sYsKsG =+1)()()(
)())()((sNsKsG
sYsKsG−
=+1
o, A
ntón
io P
asco
al)()()(
)()()()( sT
sKsGsKsG
sNsY
−=+
−=1
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Moldagem do Ganho de Malha
REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n
n- modelizado como um processo estocástico estacionário com densidade espectral
)(ωnΦ
y - processo estocástico estacionário com densidade espectral
2)()()( ωωω jTny Φ=Φ
∞
o, A
ntón
io P
asco
alEnergia { }y2 ωωω djTn∫∞
Φ=0
2)()(
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Moldagem do Ganho de Malha
REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n (concentrado na alta frequência)RUÍDO n (concentrado na alta frequência)
)(n ωΦ
1nω
)( 1−radsω
210)(
2nω
Se 2n
1nn , ;0)( ω>ωω<ω≈ωΦ
conteúdo espectral de n está concentradona gama de frequências [ ]21, nn ωω
Técnica para redução da energia associada a y por influência do ruído n
Reduzir
[ ]2n
1n , ,)j(T ωω∈ωω
o, A
ntón
io P
asco
al
[ ]2n
1nn ,,1)j(T ωω∈ω<ε≤ω
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Cabe ao projectista definir o nível de rejeição nεINSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008
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REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n
[ ]2n
1nn ,,1)j(T ωω∈ω<ε≤ω [ ]
210db
)( 1−radsωnjT εω ≤)(
2nω
1nω
nε1020 logo,
Ant
ónio
Pas
coal
Barreira superior de
)( ωjTldá l t é d t l d K( )
20/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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romoldável através do controlador K(s)
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REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n - constrições ao ganho de malha
[ ]2n
1nn , ,1)j(T ωω∈ω<ε≤ω
n)j(K)j(G1)j(K)j(G
ε≤ωω+
ωω
Se 1n <<ε
)()()()(
ωωωω
jKjGjKjG
≅ )()()()(
ωωωω
jKjGjKjG
≅+1
Redução do impacte de n
o, A
ntón
io P
asco
al
1)j(K)j(G n <<ε≤ωω
[ ]21 ωωω∈
21/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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ro[ ], nn ωωω∈
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REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n - constrições ao ganho de malha
1)j(K)j(G n <<ε≤ωω
[ ]21[ ]21, nn ωωω∈
0db
1
2nω
1nω
)( 1−radsωnjKjG εωω ≤)()(
nε1020 logo,
Ant
ónio
Pas
coal
Barreira superior ao ganho de malha
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moldável atraves do controlador K(s))()( ωω jKjG
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LIMITES DO ACTUADOR
G(s)_
K(s)r ye u
)()(11
)()(
sKsGsRsE
+=
)()()(
)()(
sRsEsK
sRsU ==
)()()(
sKsGsK
+1
)(1
)()(1)()(
)()(
sGsKsGsKsG
sRsU
+=
Ad it
f.t.c.f.o,
Ant
ónio
Pas
coal
Admita-se que:
1<<ε≤ω p)j(G
ppara ω>ω O ganho do sistema a
23/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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ropp O ganho do sistema a controlar é menor do que um valor muito pequeno para w>wp
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Moldagem do Ganho de Malha
LIMITES DO ACTUADOR
Admita-se que:
1>>ωω )j(K)j(G
[ ]qp,ωω∈ω para
11 jGjKjG
jKjGjRjU
ωωωωω
ωω
+=
)()()()()(
)()(
111>>
ε=
ω≅
p)j(G
Sinais de actuação muito elevados, a menos que o ganho da f.t.c.a. tome valores pequenos para frequências
o, A
ntón
io P
asco
alpωω f
Regra de projecto: nunca tentar que a largura de banda do sistema em cadeia fechada se estenda muito para a região em
24/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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rop gque o ganho do sistema a controlar começa a ser menor do que 0dB.
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Moldagem do Ganho de Malha
LIMITES DO ACTUADOR
Técnica para limitar os sinais de actuação
1<<ε≤ωω l)j(K)j(G
1 >ω>ω k;k ppara
k,lεÉ tarefa do projectista seleccionar
o valor dos parâmetros
0db
)( 1−radsωε≤ωω )j(K)j(G
pkωo,
Ant
ónio
Pas
coal
lε≤ωω )j(K)j(G
lε1020 log
25/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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ro
Limite superior (“barreira”) no ganho de malhamoldado por escolha apropriada de K(s)
)()( ωω jKjG
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Moldagem do Ganho de Malha
Conjugação dos requisitos de desempenho (resposta a sinais externos)
Constrições ao Ganho de Malha
)()( ωω jKjG
dβ1020 log
2ω1ωrβ1020 log
dβ1020 log
kω0db
)( 1−radsω
nlog ε1020
nωnω
dω rω
pkω
nlog ε1020
Barreira inferior de b i f ê i
Barreira superior de l f ê i
lε1020 logo,
Ant
ónio
Pas
coal
baixa frequênciar, d
alta frequêncian, u
OBJECTIVO: Moldar (por escolha adequada de K(s))o ganho de malha de modo a ajustá-lo entre as
26/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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roo ganho de malha de modo a ajustá-lo entre as barreiras, preservando a estabilidade do sistema emmalha fechada
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Moldagem do Ganho de Malha
Moldagem do Ganho de Malha – exemplos de projecto
Exemplo 1
2
1s
. Sistema a controlar
s
G(s)
. Objectivos do sistema de controlo
dControlador Sistema a controlar
G(s)_
K(s)y
n
r e uo,
Ant
ónio
Pas
coal
Projectar K(s) de modo a estabilizar G(s) e a cumprir os objectivos seguintes:
27/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
©M
. Isa
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ibei
roos objectivos seguintes:
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
REQUISITOS A CUMPRIR
i) Aten ar de pelo menos 80db os sinais da pert rbação d nai) Atenuar de pelo menos –80db os sinais da perturbação d na gama de frequências
[ ] [ ] 11000 −= radsd .,,ω
ii) Seguir com erro menor ou igual a -40db os sinais de referência r na gama de frequências
[ ] [ ] 11 00 −=ω rads,, r
iii) Atenuar de pelo menos –20db os sinais de ruído n na gama de frequências
[ ] [ ] 13221 1010 −rads[ ] [ ] 132 10 10=ωω rads,, nn
iv) Erro estacionário de seguimento a parábolas
020)( ≤∞e
o, A
ntón
io P
asco
al
020.)( ≤∞pare
v) Margem de Fase 045≥ΦM
i) M d G h dbG 20+≥
28/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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rovi) Margem de Ganho dbGM 20+≥
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Expressao geométrica das condições i), ii), iii)
[ ]i) [ ] 1110080 −−∈−≤ radsdbjS ,,)( ωω
[ ] 1110080 −−∈+≥ radsdbjKjG )()( ωωω [ ]10080 ∈+≥ radsdbjKjG ,,)()( ωωω
ii) [ ] 11040 −∈−≤ radsdbjS ,,)( ωω
[ ] 11040 −∈+≥ radsdbjKjG ,,)()( ωωω
iii [ ] 132 101020 −∈−≤ radsdbjT ,,)( ωω
o, A
ntón
io P
asco
al
[ ] 132 101020 −∈−≤ radsdbjKjG ,,)()( ωωω
29/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
)()( ωω jKjG
Constrições ao Ganho de Malha
)()( ωω jKjG
db40+
db80+
0db
)( 1−radsω
310210
10. 1
db20−
i i f i d
o, A
ntón
io P
asco
al
Barreira inferior de baixa frequência
r, d
Barreira superior de alta frequência
n
30/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Expressão analítica da condição iv)
Erro estacionário de seguimento a parábolas
020.)( ≤∞pare
(realizável, porque G(s) tem dois pólos na origem)
)()()()(
sKsGsRsE
+=
1
na origem)
Seja
)()()(
sKsGssE
+=
112
3
Seja 10 == )(K~);s(K~K)s(K
o, A
ntón
io P
asco
al
0202
1
12
2
30
0
.KKs
slim
)s(sElim)(e
s
spar
≤=+
==∞
→
→
31/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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ro2s
100≥K
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Proposta de controlador simples:
1001 K;)s(K~);s(K~K)s(K 100 1 === K;)s(K);s(KK)s(K
Verificação das constrições do Ganho de Malha
Controlador Proporcional
Verificação das constrições do Ganho de Malha
db80+
100)()( ωω jKjG
0db310210
db40+ 2)()()(
ωωω
jjKjG =
)( 1−radsω
db20−
10. 1 10o,
Ant
ónio
Pas
coal
)( 1−radsω
)()( ωω jKjG0180−
Fase de 00=ΦM
32/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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As constrições do ganho de malha são satisfeitas, mas .. 00=ΦM !
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Necessidade de introduzir avanço de fase
045=Φ desMMargem de fase mínima desejada:
ε+Φ−Φ realM
desM
Avanço de fase necessário:
factor de segurança
margem defase real =0 graus
Factor de segurança = 0 graus ( a fase do ganho de malha não varia).
Avanço de fase necessário: 450
Uso de malha de avanço puroUso de malha de avanço puro
110 −=+
= radsz;z
zsK)s(Ko,
Ant
ónio
Pas
coal1 =ω K,)j(K
odb
090045
Fase de)( ωjK
33/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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ro
z z)( 1−radsω )( 1−radsω
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Verificação das constrições do ganho de malha
110100 −==+
== radsz;K;)zs()s(K~);s(K~K)s(K 10 100 ==== radsz;K;z
)s(K);s(KK)s(K
db80+ Novo
310210
db40+ )(~ ωjK
0db
)( 1−radsω
31010
10. 1
db20−
)()( ωω jKjGFase de 090−
o, A
ntón
io P
asco
al
)( 1−radsω
0180−
90−0135−
34/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
As constrições do ganho de malha são satisfeitas e .. 045=ΦM .
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Verificação final de estabilidade e Margem de Ganho
10100 )s(~ +10
101002
)s(s
)s(G)s(K~K)s(K)s(G +==
USO DO TEOREMA DE NYQUIST
Contorno de NyquistNúmero de pólos em
malha aberta no interior do contorno de Nyquist:
xx
yqP=0
Número de voltas em torno do ponto –1
N=0
o, A
ntón
io P
asco
al
x-1
E á l!
35/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
roEstável!Margem de Ganho é infinita!
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Moldagem do Ganho de Malha
Moldagem do Ganho de Malha – exemplos de projecto
Exemplo 2
11+s
. Sistema a controlar
1+s
G(s). Objectivos do sistema de controlo
dControlador Sistema a controlar
G(s)_
K(s)y
n
r e uo,
Ant
ónio
Pas
coal
Projectar K(s) de modo a estabilizar G(s) e a cumprir bj i i
36/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
roos objectivos seguintes:
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2
REQUISITOS A CUMPRIR
ii) Atenuar de pelo menos –40db os sinais de perturbação d na d f ê i
i) Erro estático de posição =0.
gama de frequências [ ] [ ] 1210,0,0 −−= radsdω
iii) S i i l 100db i i diii) Seguir com erro menor ou igual a -100db os sinais de referência r na gama de frequências
[ ] [ ] 1310,0,0 −−= radsrω
iv) Atenuar de pelo menos –40db os sinais de ruído n na gama de frequências
[ ] [ ] 13221 10,10, −= radsnn ωω
o, A
ntón
io P
asco
al
v) Margem de Fase 045≥ΦM
37/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
vi) Margem de Ganho dbGM 20+≥
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2
Expressao geométrica das condições ii), iii), iv)
[ ]ii) [ ] 1210,0,40)( −−∈−≤ radsdbjS ωω
[ ] 1210040)()( −−∈+≥ radsdbjKjG ωωω [ ]10,0,40)()( ∈+≥ radsdbjKjG ωωω
iii) [ ] 1310,0,100)( −−∈−≤ radsdbjS ωω
[ ] 1310,0,100)()( −−∈+≥ radsdbjKjG ωωω
iv) [ ] 132 10,10,40)( −∈−≤ radsdbjT ωω
o, A
ntón
io P
asco
al
[ ] 132 10,10,40)()( −∈−≤ radsdbjKjG ωωω
38/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2
Expressão analítica da condição i)
Erro estático de posiçãoErro estático de posição
0)( =∞escalãoe
10 == )(K~);s(K~sK)s(K
(1 integrador puro na malha directa)
Proposta de controlador simples:
0 >= K;sK)s(K
Controlador Integral
o, A
ntón
io P
asco
al
Ganho de Malha
Controlador Integral
39/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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. Isa
bel R
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ro
0 1
1>
+= K;
ssK)s(K)s(G
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Exemplo 2
Verificação das constrições do Ganho de Malha
100 =ωω K;)j(K)j(G+80db
+100db
310
+40db
0db
db40−
10
)( 1−radsω210310−
1 10210− 110−
0180−
)()( ωω jKjGFase de
)( 1−radsω210310−
1 10210− 110−
090−o,
Ant
ónio
Pas
coal
As constrições do ganho de malha são satisfeitas, mas ..
0180−
40/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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. Isa
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00=ΦM !
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Moldagem do Ganho de Malha
A barreira de alta freq ência não permite tili ar ma
Moldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2 A barreira de alta frequência não permite utilizar uma
malha de avanço adicional
utilizar 0 >>++
= pz,pszs
zp)s(K~
+80db
1113 10;10 −−−− == radszradspescolha possível
310
+40db
80db
)()( ωω jKjGNovo
0db
db40−
310
)( 1−radsω210310−
1 10210− 110−
)(~ ωjK
o, A
ntón
io P
asco
al)( 1−radsω210310−
1 10210− 110−
090− )()( ωω jKjGFase de
41/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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. Isa
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ro
0180−045=ΦM
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Exemplo 2
Verificação final de estabilidade e Margem de Ganho
31 1010100 −−+sk13 10
101010
)1(100)()(
~)()( −−+
++
==ss
sssGsK
sksKsG
o, A
ntón
io P
asco
al
42/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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. Isa
bel R
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ro
Margem de fase = 44º
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2
Verificação final de estabilidade e Margem de Ganho
31 1010100 −−+sk13 10
101010
)1(100)()(
~)()( −−+
++
==ss
sssGsK
sksKsG
USO DO TEOREMA DE NYQUIST
Contorno de NyquistNúmero de polos em
malha aberta no interior do contorno de Nyquist:
x
yqP=0
xx-p-z-1
Número de voltas em torno do ponto –1
N=0
o, A
ntón
io P
asco
al
x-1
E á l!
43/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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roEstável!Margem de Ganho é infinita!
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