A Íiouía a seguií nos mostrâ um plano ô 'um pontãV toÍa dã o e uma supeÍt icie poliqo-

nal P conÌada em d

A Íioura qeometíica constituída portodosos seam;ntoa que tém uma extíemidade no

oonto"v e aoutÍa num ponto da superlÍcie polr-

ãonal P denomina-se Piràmide

A oirámide é, pois um sólido delimitâdoooÍ Íacês Dlanas; sua base é um poligono e;uas Íaces latêrais são triângulos

ELEMENTOS

Numa pirâmide, convém destacâí os se_guintes elemenlos:

t . ,. :

. ì

241

. A basê é um polígono.

. As pirâmides são designadâs de acordo com o número de lados dos polígonos da basê.

Pirâmide triangularPirâmide quadrangular

-Pirâmidê pentagonal -Pirâmide hexagonal

Assim, têmos:

pirâmide triangular(base é um triângulo)

. A distância h do ponto V vérticepirâmide.

a basê é um triânguloa base é um quaddláteroa base é um pentágonoa base é um hexágono. e assim por diante

t

piíâmidê hêxagonal(basê é um hexágono)

da pirâmide, âo plano da base chama-sê altura da

PIRAMIDE RETA E PIRAMIDE REGULAR

do vértice cai no ceôtÍo da base.Uma pirâmide se diz aeta quando â projêção ortogonal do vértice cai noA piíâmide é regular quando for reta e sua base for um polígono rêgular.

Numa pirâmide regular, convém destacâr:. O polígono da base é regular q portanto, ins.

critívei numa circunferéncia de Íaio OA = r,chamado raio da base.

. O apótema do polígono regular da base é cha-mado aoólema da base e sua medida será in-dicadapor m.

. As aÍêstas laterais sãocongruêntese suame-didâ será indicada por a.

. A.s faces laterais são triângulos isósceles con-oruêntês.

apóleína da base (m)

. A âl lurade uma face lateral(é a alturâ rêlativa â base de um tr iãngulo isósceles)é cha-mada apótoma da pirâmidê ê sua mêdida será indicada por g.

l-

282

Vejamos alguns exemplos.

í9 êxemploi Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede g cm. Sabendo-seque aalturada pirâmidê é3cm, calculaí a área taterate a área totatdessa pirâmide.

Resolução: Desenhando a pirâmide, têmos:

D"d*{i==1"#t

Como a base é ìrm quadrado, temos:

m = Z - m = ã - m = 4cm

. Cálculo do âpótema da piíâmide (g)Como o

^VON4 é retângulq apticando pitágoras, temos:

92 =h2 +m2 -02=32+

42-92=25-9=Scm

. Cálculo da área lateral (S?)

^ I d - F.Âsr* = =?" - s,," = :z - sro"" = 20 cm,sr=4 stu"u + sr = 4 . 20 + sr = 80 cm,

. Cálcuto da área total (Sr)Sr = So + So + Sr = 64 + 80 = Sr = 144cm2

Resposta: q = 80 cm'?e Sr = 144 cm2

29 exomplo: Numapirâmide triangular regular a aresta da basê mede 6 dm e a aresta laleral,8 dm. Calcular:

t

a) o apótema da pirâmide.b) o apótema da base.c) a altura da pirâmide.d) a árêa total da pirâmidê.

Resoluaão: Seja a pirâmide da Íigurâ:

82=

M :om B

b) Do ^VAB,

temosr t

medianas e V' lv l ={ t 'o=v'v =+ +vv = | -0"3

V' lV=\6dm\'

6. di"l \ I \ lU" \cJ Do aW lú.lemos: \N/

Besposta:

284

O

92+32=64=g'?+9g = !55om

O centro V' do tr iângulo eqüilátero é ponto de encontro das âlturas e das

qì)

qlr \\=/

1,6s1'?=n'?+68; 'z55=h2+3h'? = .v6th = 2\.[3 dm

V' r5dm rvl

rhÊ ^ 6 3í3o) soase = 7: -

so"* = I

56"." = 916 dm'z

^ r .o ^ 6 '55or-e=

2- = otace =

2

Sr""e -

s\85 dm'?

Sr = Suu"" + 3Siace = q = 9\5 + 9\65Sr = I (\ ,9 +."65)dm'?

a) J55 dm b) \6 dm c) 2alrs dm d) I (\,€ + .165) dm'?

M 3dm

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

Considere a pirâmide quadrangular regular in-dicada na figura.

V

ó \uma pirãmide recular d€ base quadrâda. aárea da ba(e e lô cm: e a al tDra mede 8 (m.CalcüleaáreaÌareral eaárearolal da piúmide

7 Numâ pirâmide quadrancular Íegular, a soinadetoctas as suas areslas mede 176 cm. sabendoque a arena laterdlè iguaì a a da aresta da

basg calcule: ta) a medjda da alÌura da pirâmideb) a área Ìotal dâ pirâmide.

8 O apóÌema de uma pirâmide regular é igual aosemlperimeÌro da bâs€, e esta é um quadradoinscrito num circülo de 8 metros de raio. Cal,cule â área total da pirâmide

9 UÍna piÉmide quadrangular regulaf tem Ìodasas aresÌas iguais, s.-ndo a área da base igual aÌ6 cln'. Qual é a sua âltura?

)pn Í igura no"mo*ra um cubodearesÌa iguata/ \ r cm, romdncto-\e iomo ba.e o quadrado

AB( D e coÍno !érrice o ponto V (centro da fa-ce AB'C'D' do cubo), obrém-se umapirâmide.Qual é a área roral dessa pirâmide?

O sólido da lìgura é composio de um pâralele-pípedo rerângulq dedimensôes40 cm, 16 cme 16 cm, e duas pirâmides quadmngulares Íe-gulares iguais de altum 15 cm, exrernas ao pa-ralelepípedo e com as bases respectivamenrecoìncident€s com as faces quadradas do pam-leÌepipedo.

Í

1 rtõ-B

Calcule:

a) a medida do apótema da base.b) a medida do apótema da pjrâmìde.c) a medida da areÍa lareml.d) a área totãl da pirâmide.

2 Numa pir.âmide regular de bâse Ìriangular aaresta da base mede 2\3 cm e a altura medc4 cm. Calcule:

a) o âpóaema da base.b) o apótema da pirâmide.c) a aresta lateral.d) a área lateral.e) a área lotal da pirâmide.

3 Con! idere a pi Íâmide he{agonat Íe8utar indi-cada na figura.

t lD

BC

Calcuìe:

a) o apótema da base.b) o apótema da piÍâmide.c) a aresta lateral,cl) â área total da pirâmide

4 \uma pi Ìr imidc 'e8ulârde

base quadrângula,.â medida do per imetroda baçeË40cm. Saber, .do que a altura da pirâmide é 12 cm. calcule aárea lateÍal dessa pirâmide

5 Calculea áreâ laÌemlde uma pirâmide lr iangu-lar reguÌar, cu.ja âresta lateral mede ll cm e oapótema dâ pirâmide mede 12 cm. Calcule a área da superÍ ic ie roral do (ot ido.

245

TETRAEDRO

O sólido que possuì, no total, quatro tacêsé chamado têtraedío O tetrâedro é. pois. umâ pi-râmide dê basê triangular

Quando todas as facês do tetraedrotr iângulos êqüiláteros, ele se diz rêgulaí

Altura do lelraedro regularNo tetraedro regulâr da Íigura, temos:

. O âpótema lateraldo letÍaêdro é a altura de um

tíiàngulo eqüiláteÍo. ou seia, g = Ì: .. O ponto H, sendo o centro de um trìângulo eqüi-

látero, éo baricentro(ponto deencontrodas mê_dianas) desse triângulo, ou seja:

MH =- is

HB =ãs

2a'[6

LOgO:

Consideíando o triângulo retângulo DHI\4 e aplìcando Pitágoras, têmos:/r \^

s' = h '+ l+ s l ' - h ' = s ' - Ì i s 'ì ' /

t ' '=*s '

comog = $, temos:n'=

. - ,1 t r '

286

I

r. - all

. Ár€a lotaldo lelraedro rcgular

A área total do tetraedro regular é igual a quatro vezes a área de uma face.Sê a face é um triângulo êqüilátero de lado a, temosl

sr =4 s,a.ê=s,=+..a".

t tExomplo:

Resoluçâo: at

b)51 =atr6*q=12,\5Sr = 14416 cm2

Fesposta. a) 4\6 cm b) 14416 cm,

A aresta de um telraedro regular mêde 12 cm. Calculaí:a) a medida da âltura do tetraêdrob) â área total do tetraedro

. 12\,6

h = 416 cm

h=+

I A aresta de um lerraedro regular mede l5 cm.Calcule a medida h da altura.

Z C alcule a aresLâ de um relr aedro regular de al-

3 Qual e â área Ioraldo telraedro regular de areita l0 em?

4Num rermedro reaular, a alura mede h -= 2f6cm. Calcule a área total d€sse tetraedro.

5A area.tolal de um Letraedro regulaÍ é25V3 cm'. Calcule a medidâ h dâ altüÉ.

I saDenoo que o apotemade um tíraectro regL-lar mede 4r5 cm, calcute:

a./. cm

a) a medida da aresta do tetmedrob) a área úotal do tetÉedro.

7 A soma das medidas de todas as arestas de urÌÌterraedro regxla; é 72 cm. Calcule a medjdâ rrda altura desse tetraedÍo

Í

m7

VOLUME DE UMA PIRAMIDE

A figura ao lado nos mosÌrâ um prisma re-

Vamos decompor o prisma em três pirâmi-des, @, @e @, seccionando.osegundo os pla-nos DBC ê DEC:

Desta manêira. obtemos as seguintes f igurasl

Considerando-se a decomposição do prisma, temos:

. Pirâmide O é equivalênte à piíâmide @, pois:'1 e 2 têm bases congruentes (^ ABC = a DED.1 e 2 têm a mesma allura (a do prisma).

. Pirâmide @ é equivalente à pirâmide @, pois:2e3têm bases congruentes (A CEF = À BCE, poiscadaum dêssês tr iângulos é a meta-de do retângulo BCEF).2 e 3 têm a mesma altura (em relaçáo às bases consideradas, a alturae adistância doponto D ao retângulo BCEF).

2AA

I

c

. Pirâmide O é êquivalente à pirâmidê @, pela propíiêdâde transit iva.

Daí, podemos dizeí que:

Designando por:V' = volume do prÍsma tr iangular dado.Vj = volume da piíâmide OìV2 = volume da piíâmide@l podemos indicar: V1 = V2 = V3V3 = volume da pirâmide (91Logo:Vj+V2+V3=V'-3V=V'

u- lulvolume da piíá'nide =

d do volume do

Como o volume do pÍismâ é dado pelo produto da área da basêpodemos dizeí quê:

tt

l

pflsma)pela medida da altura,

ovolumede uma pirâmide qualquer é iguala um terço do produlo da área da basepela mêdida da altura, ou sêja:

Vejamos alguns exemplos.

19 exemplo: A base de uma pirâmide é um quâdrado de aresta 3 cm. Sabendo_sê que a alturada pirâmide mede 10 cm, calculaí o volume dessa pirâmide.

Resolução: seja a piíâmide da tigura:

Dados: 3cm10 cmt ; -

comoV = + Sb.h, temos:

. Cálcuro da área da base íSorA base e um quadÍaoo: rogo: Sô=( Sò =3' - SÒ - gcrr

. Cálculo do volume (V)

v=l s- h-v=l 9 io v=3ocm'J

Respostaj O volume da pi íâmìde é 30 cm3.

r:llir:::,*::,,.iTodo prisma tr iangular pode serdecomposto em três pirâmidês tí iângulâres equi-valenÌes.

249

2? exêmplo: Numa pirâmide hexâqonâl regular, a aresta da base mede, = 2 cm. Sabendo-sêque a área lateral dâ pirâmide é 30 cm', calcular o volume da pirâmide

Resolução: Seja a pirâmide da Íigura:

o"o*, [!, =rrïi,,

t

. Cálculo da área de uma facê (S,Como a base é hexagonal, â pirâmide tem seis faces lâÌêrais:

s,=ã =sÍ= Ë - sr = bcm2. Cálculo do apótêma da pirâmide (g)

Sr""" = ? -5='2u- -g=5cm

. Cálculo do apóÌêma da base (m)A base é um hexágono íegular; logo:

t,n t,l1r= ' ï =

^==ï - m =r6cm

. Cálculo da altura da piíâmidê (h)

92 = h2 + m2 -

52 = h2 + (\r3)' = h'? = 25 - 3 = h'? = 22 - h ='t22 cn

. Cálculo da área da base (Sb)Como a base é um hexágono regulaí, a sua área é iguala seis vezes a áreado triângulo eqüilátero de aresta I = 2 cm.

^2.. t . lãsb=6 -44" ' -sô=6. - ; " .S"= 6í3cm,

. Cálculo do volume da pirâmide (V), 6J

"9, =V=2166cmrv= 3 5b.n=v=3

Fesposlâ. o volume da pirâmide é 2\66 cm3.

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Abasede uma pirâmide de 5 cmdealÌumé umquâdrado de í-3 cm de Ìado. Calculeovolumeda pìrâmìde

2 Nurnapirâmided€ basequadrada, aalturâúede 8. m e o \olume è 200 cm'. ( . r ìcule a medi-da Í da aresta da base.

290

r '

3 oual éo volume de umâ pirámide regular qua-

dransular, cuja ba'e esrá in\cÍila nÌrmacìrcun-

leréni ia de raio4cm ecuja al lurâ mede ó cm'

iúÃÚre*e,n,mquaa,aaoinscr iro f - ív2 )

4 tPUC-SP) Delerminforolumede uma pi Íãm'-

de hexagonal rcgxlar' cuja aÍe\ld Ialeral Iem

l0 meo raio daorcunfelènciacircun'cnlâa oa

s€ m€de 6 m.

5 A área lateÍal de uma pirâmjde Ìtgular hexago-

naìé72cm'z. Sabendo queâdresta da b^ase me-

de i = 4 cm, calcule o volume da prÍamroe

ó j\che o volume de ìnna piÉmide hexagonal re--

"riui. ."t.na. q* o pèrimetro da base mede

;4 \ I cme oapólema da piràmide mede lo cm

7 Calcule o volum€ de um tetÍaedro regÌrÌar de

8 A f isura abaìxo mo"lm_no\ uma pi ìámide cu

iâ b;,e é um Lri;nguìo rel;n8ü lo de calel o' ô rm

e 8 cm. ,q. are"ra VA é perpendicuìaÍ ao pÌaío

da base. CalcÌrle o volLrme da pirámidc'

| 2 consialer€ um cubo de aresta igual a 3 cm e.se_

iam \4NPQc\4 N PQ duas lacesopo\ lasoe(_

".

cuUo. Ìomunao como ba\e o quâdrado

úN|PQ ecomoténice o ponÍo M pod€mo'ob-

rer a pinimide N'l'VNPQ Calculeovoiume oe(-

sa PìÍâmide

l3 Numi pi'âmide hexaeonal regulaÍ a areía dâ

barr mede 6 cm e a áIed lateral lbvel cm

Ache o volume da Pirâmide'

l4 (Mack-SP) U'na piúmide, cuja base éumqua'àradode lado 2a, rem o me\mo voìumeque rrm

pi i .ma, cuja ua'ee umquadrado de ladoa Df

iermine a raz:ro en're a' aìrura' dâ pi Í ;midce

do prjsma

| 5 Um sótdo de madeira dë densidade 0,65. g/cml

e lormado de u m prisÌn a heraSonal Íegular e dc

um" pi 'zmìderetsular. (onrormeindica a l rgula'

t.-

9 A base de um t€traedro reguìaÍ tem uma.ârea

de 3ú cm2. Calcule o voiume do letra€drc'\Xo 'otume

de um rcrraedro resular c 144\ 2 'r'/'\alcule â aresta do tettãedro

ll Uma pedm preciosa tem a forma de Lrm octae

alro regulâr de aresta 8 mm, conlorme rnorcâ a

figuÍa.

SJbendo qre d rre r JJ hd'e d pì 'mr c oc

l.ó.i i '11,r,"" ,r. p'' 'mr e re rn cm e a: ì-' ' . r r dd pr 'àìrrJt mede ìn drn drcule â mar!d

tò. \Ln' 'p, I m depo'rro de r ' ( :ô rcrn d ÍÚÍr ' r

. lê t r ,nd Dirdmioe de bd'c ' lJaJrJdi

Jonr leF

t,cr oJJr bai \o en quc luJ: ' r ' dÍe ' la ' m oem

" i , r I meuo' . L n 'e ' r 'o errher e*e ôet" '

' l 'o ' ìx .**Jo net io" ' ' r rp '^ dc t r ìL io um

uue.L. ì , ' Rì r0u0 po' m< f l "ubrco P o'rro

üue fu ' l , RS F0 nU pr Í ìe l Ío i ' rbh o \ r ì r ' l r r r

ônal deve custar R$ 50.00 por metÍo cub,rco

Calcule â {lúântidâde de cadâ tipo de (açao a

ì . . , , a, , ,

'. ', l'

CalcuÌe o volÌìme d€ssa Pedra291

TRONCO DE PIRAMIDE

Quando sê interceptam todas asarestas latêraisde uma pirâmide porum plano paraleloàs bases, obtém.se uma secção poligonal AB'C'D'Ê'F denominada secção tÍanswrsal dâ pi-râmide.

t ,

O plano P sêpâra a pirâmide em dois sólidos, uma pirâmidê VAB'C'D'E F e outroAB'C'D'E'FABCDEF denominado tronco dê oiÍâmidê.

Num tronco de piíâmide, temos:

. as bases do tronco são â bâse da piÍâmi-de e â secção;

. âs faces laterais são trapézios;

. a distância entre as basês do troncochama.sealtura do koncoe sua medidaéexpressa por k.

1

Quando a pirâmide original é regular, o Ìronco de pirâmide se diz aegulaÍ. Nêssê caso:

. as basês são polígonos regulares sêmêlhantes;

. as Íaces laterais sáo lrapézìos isóscelês;

. a altura de um desses tíapézios é chamada apólêma do tronco.

Exemplo: Á"s bases de um tronco de pirâmide regular sáo quadrados de lados 2 cm e8 cm,respeclivamentê. A ârèsta lateraldo tronco medê 5 cm. Calcule a alt u ta, a âtea ta-teral e a área total do lronco.

Resoluçâo:

Dados:

Cálculo da área lateíal do tronco {S"lInicìâlmente, devêmos calcular a altura da fâce laleral:

í , = e"t\ t ' = 2cm{a = 5cm

52=Í2+32Í.=25-9

h

292

Vamos calcular, a seguir, a área da face lateral:ii.iltgrllll1tiãlilrl

Sr = i €+2) 4-S,=20cm' ,# :"

OComo a base é quadrângula( temos quatro taces laterais e a área lateral será:Sr = 4.Sr + Sr = 4 20 = Sr = 80 cm'z

. Cálculo da áíea total do Ìronco (süVamos indicar: B = áíea da base maior ou da base da pirâmide.

b = áreâ da base menor ou da sêcçâo.

EntãoiB= i2 -B =82 = B =64cm'?

b=l '2 =b=22 èb= 4 cm2

Daír St = B + b + 51 + q = 64 + 4 + 80 = Sì = 148cm2. Cálculo da altura do tronco (k)

t

-t_

:f{, .li 8'.rr\

uEv

ConsideÍando o triângulo retânSuio l\,1'Pl\r, temos: lyN,l

Aplicando o têoíema de Pitágoras, temos42 = 32 + k2 = k2 = 16 - I -

k2 = 7 t k = l?cm.

A altuía do tronco é !7 cm, sua área lateral é 80 cm'? e sua área total é 148 cm2.

ï

Resposta:

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

ì Deleímine a área lareÍdle a area tolal do l roÍ ,co de piÍâmide regülar dado lla figum abaixo.

3 Uú tronco de pirâmide qúadrangülar regularpossui área da superfície lâteml de 480 cm2 e osper imctro\ da. ba.e. Íre,lem. recpectitamenlel0 . m e r0 (m. Dcrcrmire " medìda do apóre-

4 o sóljdo da fisuraé formado por umtronco depirâmidc regular quâclrangular sobrcposlo a um

LK

Sâbendo que AB = l8 cm, El = l0 cm, IJ == 6cm, câÌcuÌe a área da superfíci€ totaldessesólido.

16m

2 Um tronco de pirâmide regular tem como ba'

'e. Í iàLnguìo.eqüilálero\ delado.4 cm e I2 cm,respecl j \amenre. A arc' ta ìaleíal do l ron(o me-de 6 cm. Calcule a área lateml e a área iotal do

I

293

PROPRIEDADES

Considêremos o tronco de pirâmide íepresentado pela f igura seguinte:

=-FF -- ._,

. B = área da base maior

. D = ârea da basê menor

. h = altura da pirâmide VABCDh . d : altura da piíâmide VAB-IC,D'. t

. k = altura do tronco.

. V' = volume da piÍâmide menor.

. V -

volume da pirâmide maior.

Como as bases das duas pirâmides são paralelas, utÍ l izando semelhança de tr iângulos,Iemos:

r

1: propriedade: ÀVN4A'

2? propriedade: ÁVAB'

Ávg'c'

ÁVC'D'

AVAD'

EntAo:

/ A'B' Ì,= lÀB/

/d Ì ,= \Fl '

- rv,le = ffi- avBc = +g, ^vcD - €s

- avAD = +#

_d-h

_d-h

dh

dT

3: propriedade: Se o polÍgono AB,C,D,é semelhante ao poligono ABCq temos:

b

b

T=\Fi -

294

Vêiâmos alguns exemPlos.19 exemplo: uma piràmide, que têm porbase um quadradode lado4cm, tem 10 cm de altura.' A quedistância do vértice dove passar um plalo paralelo às basês, de modo que

a sêcção transversal tenha uma área de 4 cm'?Resolução: Seja a figura:

,0", ,",*, lB == 1u"*,

I

Utiìizando'se â 3? propriedâde, vem:

_d210.

d2=25d = 5Cm

Resposta. 5 cm

29 exemolo: A base de uma pìrâmide regular é um triângulo de 8 cm de lado A âltuía da pirâmi-' deédê 10 cm. Calcular a mêdidada arêsta da base mênorquando seccionamos

a pirâmìde por um plano parâlêlo à base ê distândo 4 cm de seu vérticeResolução: Da figurâ. temos:

| = 3,2 cm

bd24E

= h, -16

fdf4T=l i -E=10

Resposta: 3,2cm

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I A base de um tetmedro é üm triângnlo cujos lados medem 20 cm,24 cm e 32 cm. Aumâ dis-tância de 3 cm do vénice passa um plaúo pa raleìo à base. Sabendo que a âl tum do lel laedroé4cm, calcule â' medidas do' ìado. da secçào

2 Sejauma pirâmide de 8 cm de alturae qu€ temcomo base um quadrado d€ 5 cm de lado QuaÌéa área da \ecçào rran'ver'alÍeitaa6cm do !eltic€ dâ pirâúide?

l.

Ì

Ì

295

3 A área da base de um teúaedro é 24 cm2 e a aÌtum do t€traedro é 4 cm. A que distância do vértrc€ deve passar um plâno paralelo à base pâíaque a área dâ secçào seja 15 cmr?

oaie oe uma ptramìde tem area

2r)cm.{ ì do \ef l ice. corta-sed pirâmrdepor um plano paralelo à base. DereÌmjne  áreacla secçào.

5 Considereumapirâmidedealtura g cm evolu-me 108 cmJ. Um plano paralelo à base dessapirâmide corta-a, determìnando umtronco depiiâmide de âltura I cm. Calcule o volume dessclronco de pirâmide.

ó Seja uma pirâmidena qual ìrma secçâo é fejtaâ 2 cm da bâse. Sabendo que a áreâ da secção

e rgual a -9 daaieadabd(eLalculeadr(ráncid

da secção ao vérÌice da pirâmide.

7 Uma pirâmide rcgulâÍ rem ahüra de 4 cm. Aque distância do vértice devemos traçaÍ um pla-no pdraleìoàbase, de modoqueeledir ida a Dirâmide em dois sólidos de vòtumes iguais?

8 Dadâ uma piÌámide, uma secçâo feita a I cmoa bâse tem uma ãrea igual d ; da a,ea daba'e Calculdr â medrda h da ajr ura da pidmide

9 tMaud SP) A alru ra h de umâ pi Íâmide e di \ i -dida em I pâfles iguais por dois ptano\ secan-re! pardlelold ba\e Sendo BaáÌeada ba\e, derermine o volumedo t .onco I imiradopeta5duassecçoes paralelas, em função de B e h.

r

área dâ base mâior.área dâ base menor.âltuíâ da pirâmide VABCDaltura da pirâmide VAB'C'Dialtura do tronco.volumê do tronco.

Pela figura, podêmos observar que:. volume do tíonco = (votume da pirâmide vABcD) (votume da pirâmide vAB,c,D). volume da pirâmide VAaCO =

J . S. r,

. volume da pirâmide VAB'C'D' =

EnlAo:

ÍB.h-b (h kI= b) .h + b.k l

Como o volume deve ser dado em função dos elementos B, b e k do Ìíonco da pirâmidê,vamos calcularh êm funçáodesses elementos. ltâra issq usaremos a píopriedade dã sêcçãórransversat:

*n.o=l .o

*nr-u=*"n+orr , r r=*

h .12 h /h Lr2 .,GY = " - :

= t lL-J. ' r \ ! - n-Knh.rrhzíBh

(h-k)

'I

VOLUME DO TRONCO DE PIRÃMIDE

Consideremos o tronco de pirâmide íêpresenlado pela figura seguinte:

iI1k

c

F

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Substituindo na Íórmulâ do volume, temos:

v=+t(B-01 "uS

+o.tr

u = + r* ,ra -S;$ + o.r,rObsêrva"se que:

(B - b) _ {B b) r/aB + !6) .{€----õJ(!E + \b )-trg - ,b =

t'e- 'oiliBlìõt = --É=- = r\b + \ul

Daí, temos: v=J[, l t r . (16+\6) rk.b]

V=t- tk.B+k vB vb+k.bl

t t

Exemplo:

Besoluçâo:

E dado um tronco dê pirâm ide cujas bases são quadrados de lados Í = 16 me Í ' = 6 m. A alÌura dê umâ Íace lateral do tronco mede 13 m. Calcular o volu-mê oesse tronco.

f r = romDados: l f '=6m

lf = 13m

. Cálculo da altura do tronco (k)

6mi- l

; .4. i . - - '

132 = k2 + 52 - k, = 169 - 25 - k2 = i44

- k = 12m

. Cálculo do volumê (V)B=12 +B=162

- B =256m2

b=(f ' ) , =b=6, =b=36m2

v= I {B+,G.b+b)-v- iz (256 + ' ls2ro + se1v=4.388V = 1 552 m3

, +8+

Fesposta. O volume do tronco é 1 552 m'.

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EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM

I Ar bâses de um tÍonco depiÍâmidetèm área de25 mze ló m2, respecri!âmenÌe, Sabendo qÌtea altura do tronco é 20 m, calcule o voÌume do

2 (Fuvest-sP) Na figuÍa abaüo:F

a.) ABCDeEFCH sào trapézios de lados 2.8.5e5.

b) As bases estão em planos paÉlelos cuja dis-tância é 3.

c) As retas AE, BF, CG e DH são pâralelas.

Calcule o volume do sólido.

3 As bases de um tronco de pirâmide são triân-sulos eo üláteÍos de lados 4 cm e 8 cm. A al t u -; do rronco é 2VJ cm. Calcule o volume do

4 A cesta de roupas indicada na figura tem a for-ma de um Íonco de pirâmide quadmnguÌar. Asar€stas das bases medem 48 cm e 30 cm.

Sabendo-se que a altum da cesta mede 50 cm,qual o volume de Íoupa que ela comporta?

EXERCíCIOS DE FIXACÃO

5 Qual éo volume de um Ìronco de pirãmide dealÌura6 cm, seassuas bases sào quadrados de

ó As bases de um üonco de piÍâmide são quadrâ-dosde lados 3 cmeó cm. Quanlomedem aal-tuÍa e a aresta lateral desse troncq sabendo-seoue o volum€ do tronco é 105 cm'?

. ]7 Um engenheiro está projeLando uma sapata

(I)ane de um al icerce, de concreÌo em foÍma detronco de pirâmide regular, com as dimensòesindicadas na figura.

Sabendo que em I mr de concreto gastam-se,aproximadamente I saco\ decrmento. delerÍu-n€ quantos sacos serão gastos para iazer essasapata.

8 Um tronco de piÍâmide de bases quadÍadâs tem21 000 cmr de volume. A altumdotmnco me-de 30 cÍi e o lado do quadmdo da base maior,40 cm. Deter mine o lado do quadrado da base

9 É dada umâ piúmide cuja área da ba'e é B ecuja âl tum é h. Seccionando+e e*â pirámidepor um plano paralelo à basq obtém-se umrronco de pirámide no qual a base menor temáÍea b e a altura mede t. Sabendo que B -- 4be h - 3k, calculeo volume do tronco em fun_çãodeBedeh.

l0 Ara"ãoentreasáreâs&sbasesbeBdeumtron-

co de Diràmide Je base' oa'alelas é -

. Se a

altura do tronco é 1, calcule o volume V em fun-çào da área B da base maior.

t

4l I Uma pirâmide regular de base quadÉda temahura 20 cm, Sabe-se oue !ua área laletaìe.cede de 6(ff cm'] a área da base Calcule aaresta da base,

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412 { base de uma pirámide è um qüadrado inçcritonumcírculode raio 4 cm. Calcule a áÍeatoÌal da pìÉmidg sabendo queaaresaa lale-Él é o dobro da aresta da base

t -

413 Considere uma piniLrnide regularde bà5equa-drada. Sabendo que o lado da ba.e mede12 cme a altüra da pirAmide mede 8 cm, cal-cule:

â) a área da base.b) a área Ìateral.c) a área total.

414 A ba"e de uma piúrnjde é uma das laces deumcubodeare\Laa. Sendo a areçra laLeral dapnâmide iSual à diagonal do cubo e supondoque a pirâmide e o cubo €stão em semi-espaçosopostos em relação ao plano da base da piÌzì-midq calcule, em função de 4 a área total dosólido formado pela ünião da pirâmide com

41 5 A base de uÌÌÌa pnâmide tiiânguÌaÍ regulaÌ estáinscritâ num cínulo de 12 cm de diâmetro.Sâbe'se que a medida da âresta laÌeral é o triplodâ medida da aÌ€sta da bâse. Determine â

'iÌeadâ bâse e a área total da pirâmide.

4l ó e figura ane.ra representa uma pirâmide de al-tura 6 cm e que tem como base um triângüloretângulo de câtetos 6 cm e 8 cm. Sabendo quea arcsta VA da piúmide éperpendicular às ba-

420 o sólido da fislra é formado poÍ duas pirâ-mides quadrangulares Íegülar.s desig[ais, ten-do a base em comum,

! lj . t

a) a área da base.b) a área lateral.c) a área total.

41 7 A ar€sta de urn tetraedro reguÌar mede 2 cm-Calcul€:

a) a medida dâ altura do teiraedro.b) a área total do tetraedro

41 8 Numa pirâmide regular he{agonal, a aresta dabase tem 12 cm e a aresta laieraÌ tem 20 cm.Calcule o volum€ da pirâmide

41 9 Uma pirâmide resulâr, de base qLìãdÍâda, temarcsta da base 8 cm e apótema da pirâmide 5cm, Derermine, em cm', o volume deç'a pìrá-mide.

Sabendo que a aÌesÍa da base mede 6 dm, câl-cule â área da supefície total desse sólido

421 Qual é o volume d€ uma pirâmide he,tagonalregular dealtura9íJcm, cuj a aÍesta da bâseé4cm?

422 Numa pnâmide resular, a área total é 120 cm'ze a área lateml é igual a cinco vezes a área dabase. Câlcule o volume d€ssa piÌâmide, sabendo que â altura mede 9 cm.

423 Numa pirâmide de base quadmala, a aÍestâ dabase, a aÌtum da püâmide e o volume formâm,nessa ordem, uma PG. Se a arcsta da base me-de úcm, caìcute â medida da altura.

424 e area _rordl de um lerÍaedÍo regular é36í3 cm'- QuaÌ é o volume dess€ t€traedrc?

425 O sólìdo da figura é formado por um cübo dearerrd I2 cm edua" pinimjder reguìare. iguajs.tendo respectivament€ por base duas facesopostas do cubo.

Sabendo que a distância entre os vértìcesdaspiÍâmides é de 32 cm, calcule o voìume dessesóÌido.

42ó ryunesp) Considere uma pirâmide de alturap eum cubode ar€stac, Se as basesdessesdorssólidos sâo congruentes e se eles têm o mes-mo !olumc. derermine a íaráo enlÍe p e c

299

427 (Mauá SP) No tetraedro, ADB, ADC e BDCsão lriângubs retângulos.S.Ìbendo que as est$ dâ fâce oposta aorfledro tri retâììgulo são 10. Ì0e 5V2, caÌcuÌeo reu voÌume.

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'',) / ,

'/ ..;'o \' . - - \

: - - - - - - :. 5\2

428 Uma pirârnide tem 20 cm de ahum e sua basc1cm 2.10 cmr deárca. Quâl será a área de umasecçào feila a 5 cm do \éÍice da pirâmide?

429 Câtcule a altura de uma pirâmide, sabendoqueumasecçâq fei laa4cmdabasq tem uma

área isuaÌ a a da área da base.-1

+JU q qd.e de umd piúmide é um quadrado de16 cm de lado e lem ,1i2 cm de ahura. QLìale d ; -ea de u.n" 'e. \ io 'e i r" a 2 .m dedr.rân-cia do \€rtice?

431 seia -ma piràmioe na qua. a area da bâse e)00 rm . Umd.ecçáo iei .d a 5 cm do \ef l iceÌemuma área de 50 cmr. CalcuÌe a medida daalÌura da pirâmide.

432 (IIA-SP) UnÌa pirâmide rem o volumeV = 15 dm'e sua altura med€ 32 dm. Peloponto A dessa areía lateEl, à dislância de,l dm do véúice da pirâmide, conduz'se omplano paúlelo à bâse (dapirâmide). Calculeo volume do lronco de pirâmide obÌido.

433 Um tronco de pirânide hexagonaì regular temo apólema medindo l8 cm e o perimetro dabaee maioÍ igual aotriplodo perimetro da ba-\e menor. Calcule a altum do tÍonco, saben-do que  base menor lem 54 úcm']de área-

434 Uma pirâmide regular de basequadradatemâresta debase6 cm ealtura l2cm. AumadÌs-lância de 4 cm do vérrice, secciona-se essa pi-râmidecomum planoparaleloàbase Calcu-le a arcstada secçâq o apóÌema, a aresla late-râ1, a área lareral e a áreâ totaÌ do tronco depirâmide assim obtido.

435 As bases deum tronco de pirâmide são rriân-guloseqüiláteros delâdos2cme8cm, resp€c-ÌivamenÌe A alturâ do tronco mede ú cm.'Calcule o volume.

43ó Considere o tronco de pirâmide indicado nalìguÍa.

10c

t16 cnì

CaÌcule:

a) a área laleral do trorco.b) â área total do tronco.c) o volume do tronco.

.rJ/ U lronco de Ì ì 'âmtde regular he\agonalìndt-cado na figuratem arestâ lateral5 cm e áreasdas bases 54íicm'ze 6 r'5cm'?. Calcule o scu

438 lIre,Sr; es aresras laterais de uma piÌâmid€regular de 12 faces laterais têm comprim€ntoi. O raio do círculo circunscrito ao poligono

-tida base deía D;úmide mede = ,. Calcu

le o volume d€sta pirâmid€.

439 A área lateral de uma pirâmide regnlar qua-drangular é igual ao dobÍo da área da base,Calcule o volume dessa pirâmide, sabendo queo lado do polígono da base m€de 6 m.

44{, o sólido indi,rado na figuraé formado por umtrcnco de pirâmide rcgular qüadrangular comaúíemade20 cm e ârestas das bases de 50 cme 30 cm, e um cubo com uma face coinciden-te com â base menoÍ do tÍonco,

t

a) Calcule a área da sup€Ìfíci€sólido

b) DeteÍmjne o volume dessey'j = l,?

300

Ì

total desse

sólido. Uset: