Cap24

LISTA 1 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 18deNovembrode2002, as12:09p.m.

ExercıciosResolvidosdeTeoria Eletromagnetica

JasonAlfr edoCarlson Gallas

ProfessorTitular deFısicaTeorica

Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica

MateriaparaaPRIMEIRA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.

Estae outraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallasclicando-seem‘ENSINO’

Conteudo

1 CampoEletrico – [Capıtulo 24,pagina32] 21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

1.2.1 Linhasdecampoeletrico . . . . 2

1.2.2 O campo eletrico criado porumacargapuntiforme . . . . . 3

1.2.3 O campocriadopor um dipoloeletrico . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 O campocriadopor umalinhadecargas . . . . . . . . . . . . 7

1.2.5 O campoeletricocriadoporumdiscocarregado . . . . . . . . . 9

1.2.6 Carga puntiforme num campoeletrico . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.7 Um dipolonumcampoeletrico. 12

Comentarios/Sugestoese Erros:favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br

(lista1.tex)

http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina1


1 Campo Eletrico – [Capıtulo 24,pagina32]

1.1 Questoes

Q 24-2. Usamosumacargatestepositivaparaestudaros camposeletricos. Poderıamoster usadoumacarganegativa?Porque?� Nao.Tal usoseriaextremamenteanti-naturaleincon-venientepois,paracomecar, terıamoso � e � apontan-doemdirecoesdiferentes.�

Tecnicamente,poderıamosusarcargasnegativassim.Mas isto nosobrigariaa reformularvariosconceitoseferramentasutilizadasnaeletrostatica.

Q 24-3.

As linhasde forca deum campoeletriconuncasecru-zam.Porque?� Seaslinhasdeforca pudessemsecruzar, nospontosdecruzamentoterıamosduastangentesdiferentes, umaparacadalinha quesecruza. Em outraspalavras,emtal pontodo espaço terıamosdoisvaloresdiferentesdocampoeletrico,o queeabsurdo.

Q 24-5.

Umacargapuntiforme� demassa� e colocadaemre-pousonumcamponaouniforme. Sera queelaseguira,necessariamente,a linha deforca quepassapelopontoemquefoi abandonada?� Nao.A forcaeletricasemprecoincidiracomadirecaotangentea linhadeforca.A forca eletrica,emcadapontoondeseencontraa car-ga,e dadapor �� , onde � e o vetorcampoeletriconopontoondeseencontraa carga. Comoa cargapartedorepouso,a direcaodesuaaceleraçaoinicial e dadapeladirecaodocampoeletriconopontoinicial. Seo campoeletricofor uniforme(ouradial),atrajetoriadacargade-vecoincidircomadirecaodalinhadeforca. Entretanto,paraum campoeletrico nao uniforme (nem radial), atrajetoria dacarganaoprecisacoincidir necessariamen-te coma direcaoda linha de forca. Semprecoincidira,porem,comadirecaotangentea linhadeforca.

Q 24-20.

Um dipoloeletricoe colocadoemrepousoemumcam-poeletricouniforme,comonosmostraaFigura24-17a,pg.30,sendosoltoa seguir. Discutaseumovimento.� Sematrito,nasituacaoinicial mostradanaFigura24-17a, o movimentodo dipolo eletrico sera periodico eoscilatorio emtornodoeixo eemtornodaposicaodealinhamentode � com � .

Q 24-3extra.

Umabolacarregadapositivamenteestasuspensaporumlongofio deseda.Desejamosdeterminar� numpontosituadono mesmoplanohorizontaldabola. Paraisso,colocamosumacargade prova positiva � � nestepontoe medimos�� . A razao �� sera menor, igual oumaiordoque � nopontoemquestao?� Quandoa carga de prova e colocadano ponto emquestao,elarepelea bolaqueatingeo equilıbrio numaposicao em que o fio de suspensao fica numadirecaoligeiramenteafastadada vertical. Portanto,a distanciaentreo centroda esferae a cargade prova passaa sermaiorquedoqueadistanciaantesdoequilıbrio. Dondeseconclui queo campoeletrico no pontoconsiderado(antesde colocara carga de prova) e maior do que ovalor �� medidopormeiodareferidacargadeprova.

1.2 ProblemaseExercıcios

1.2.1 Linhas decampoeletrico

E 24-3.

Trescargasestaodispostasnumtrianguloequilatero,co-mo mostraa Fig. 24-22. Esboceaslinhasde forca de-vidasascargas �� e �� e, a partir delas,determinea direcaoe o sentidoda forca queatuasobre�� , devi-do a presença dasoutrasduascargas.(Sugestao: VejaaFig. 24-5)� Chamando-sede de �� e �� asforcasna carga ��devidasascargas�� e �� , respectivamente,podemosverque,emmodulo, � �� poisasdistanciasbemco-moo produtodascargas(emmodulo)saoosmesmos.�� !



As componentesverticaisde � � e � � secancelam.Ascomponenteshorizontaissereforcam,apontandodaes-querdaparaa direita.Portantoa forca resultantee hori-zontalcommoduloiguala� � � �#"%$'&)( * �+� �,"%$-&�( *.�/� �� !E 24-5.

Esbocequalitativamenteaslinhasdocampoeletricopa-raumdiscocircularfino,deraio 0 , uniformementecar-regado. (Sugestao: Considerecomocasoslimites pon-tos muito proximosao disco,ondeo campoeletrico eperpendiculara superfıcie,e pontosmuito afastadosdodisco,ondeo campoeletrico e igual ao de umacargapuntiforme.)� Empontosmuitoproximosdasuperfıciedodisco,pa-radistanciasmuitomenoresdoqueo raio 0 dodisco,aslinhasdeforcasaosemelhantesaslinhasdeforcadeumplanoinfinito comumadistribuicaodecargasuniforme.Comoa cargatotal � do discoe finita, a umadistanciamuito grandedo disco,as linhasde forca tendema seconfundircom as linhasde forca de umacarga punti-forme � . Nafiguraabaixo,esboc¸amosapenasaslinhasdeforca dapartesuperiordodiscoe consideramosumadistribuicaodecargaspositivas.

1.2.2 O campoeletrico criado por uma carga pun-tif orme

E 24-7.

Qualdevesero modulodeumacargapuntiformeesco-lhidademodoa criarumcampoeletricode 1 ! N/C empontosa 1 m dedistancia?� Da definicao de campoeletrico, Eq. 24-3, sabemosque � � �2�4365 (87 �%9 �;: . Portanto,� � 3<5 (87 � : �=9 � � 1 ! 1>1�?@1ACB �D� � ! 1>1'1 nC!E 24-9.

� Comoa magnitudedo campoeletricoproduzidoporumacargapuntiforme� e � � �>�4365 (FE � 9 �;: , temosque� � 5 (FE � 9 � �� 36 ! G : 3IH ! :J ! K?@1A'L� G4! M ?@1A B �N� C !E 24-10.

Duascargaspuntiformesdemodulos� �O� H ! P?21; BFQ Ce � ��/R ! G ?@1A BTS C estaoseparadasporumadistanciade 1UH cm. (a) Qualo modulodocampoeletricoqueca-dacargaproduznolocaldaoutra?(b) Queforcaeletricaatuasobrecadaumadelas?� (a) O modulodocamposobrecadacargaediferente,poiso valordacargae diferenteemcadaponto.� �O�/� � �9 � � 3 J ! V?@1A L : H ! V?@1A BFQ36 ! 1UH : �� 1 ! H G ?@1A'W N/C X� ��/� � �9 � � 3 J ! V?@1A L : R !YG ?@1A BFS36 ! 1UH : �� !YG * ?@1A W N/C !(b) O modulodaforca sobrecadacargaeo mesmo.Pe-la*-Z

lei de Newton (acao e reacao): ��D� � � ��[� e,portanto,��D� � ��\� � �;� �� 3 R !YG ?@1A4BFS : 3]1 ! H G ?@1A W :� 1 ! K?@1ACB � N !Note quecomonao sabemosos sinaisdascargas,naopodemosdeterminaro sentidodosvetores.

E 24-11.

Duas cargas iguais e de sinais opostos(de moduloH ! ^?.1; BTQ C) saomantidasa umadistanciade 1 G cmumada outra. (a) Quaissao o modulo, a direcao e osentidodeE no pontosituadoa meiadistanciaentreascargas?(b) Queforca (modulo,direcaoe sentido)atua-ria sobreumeletroncolocadonesseponto?� (a) Como o modulo dascargase o mesmo,estan-do elas igualmentedistantesdo ponto em questao, omodulodocampodevido acadacargaeo mesmo.� �O� � �_� � �36`4��H : �



� 3 J ?@1A L : H ! V?@1A BTQ3I ! 1 G �>H : �� * ! HK?a1; W N/C !Portanto,o campototal e��bFcDd � � � �.� �� HC3 * ! HK?@1; W : � MC! 5V?a1; W N/C Xnadirecaodacarganegativa �� .(b) Comoo eletrontemcarganegativa,a forcasobreeletemsentidoopostoaodocampo.O modulodaforca e� � � eletron� bTc]d� � eletron 36�e�)�+�� :� 3]1 ! M ?a1; B � L : 3 Mf! 5g?@1A W N, :� 1 ! h?@1ACB �]i N

nosentidodacargapositiva.

E 24-12.� Comoa cargaesta uniformementedistribuidanaes-fera,o campoeletriconasuperfıcie e o mesmoquequeterıamossea carga estivessetodano centro. Isto e, amagnitudedocampoe� � �5 (FE � 0 � Xonde� eamagnitudedacargatotale 0 eo raiodaesfe-ra.A magnitudedacargatotal e j�k , demodoque� � j�k5 (FE � 0 �� 3 J ?a1; L : 3 J 5 : 3]1 ! M ?a1; B � L :Mf! M 5h?@1A B � W� * ! mlK?a1; �[� N/C !P 24-17.� Desenhesobreuma linha retadois pontos, � � e �;� ,

separadosporumadistancia , com � � aesquerdade �;� .Parapontosentreasduascargasoscamposeletricosin-dividuaisapontamnamesmadirecaonaopodendo,por-tanto,cancelarem-se.A carga �A� temmaiormagnitudeque �;� , demodoqueum pontoondeo camposejanulodeveestarmaispertode �U� doquede �A� . Portanto,deveestarlocalizadoadireitade �;� , digamosemponto n .Escolhendo� � comoa origemdo sistemadecoordena-das,chamede o adistanciade � � ateo ponto n , o ponto

ondeo campoanula-se.Comestasvariaveis,a magni-tudetotal docampoeletricoem n e dadapor� � 15 (FE � p � �o � � � �3<oq�r` : �4s Xonde� � e � � representamasmagnitudesdascargas.Paraqueo camposeanule,devemoster� �o � � � �3<ot�@` : � !A raiz fısica (das duas raızes possıveis) e obtidaconsiderando-sea raiz quadradapositivade ambosla-dosdaequac¸aoacima.Isto fornece-nosu � �o � u � �3<oq�r` : !Resolvendoagoraparao obtemoso �wv u � �u �A�x� u �U�4y ` � v u 5-� �u 5'� � � u � � y `� v HH��z1 y `� H�`� HC3I !YG cm:� 1A' cm!O ponto n esta a G cma direitade �U� .P 24-21.

Determineo modulo, a direcao e o sentidodo campoeletriconoponto n daFig. 24-30.

� A somadoscamposdevidosasduascargas �� e nu-la poisno ponto n oscampostemmoduloscoinciden-tesporemsentidosopostos.Assimsendo,o campore-sultanteem n deve-seunicae exclusivamentea carga��H>� , perpendicularadiagonalquepassapelasduascar-gas �� , apontadopara‘fora’ dacarga ��H>� . O modulodocampoe� �/� H��3 Z { �� : � �/� 5'� � � 1(87 � � � !



P 24-22

Qualo modulo,a direcaoe o sentidodo campoeletricono centrodo quadradodaFig. 24-31,sabendoque � �1 ! V?@1A BFS C e � G cm.

� Escolhamosumsistemadecoordenadasnoqualo ei-xo o passepelascargas�� e ��H�� , eo eixo | passepelascargas� e H�� .No centro do quadrado,os camposproduzidospelascargas negativas estao ambossobreo eixo o , e ca-da um delesapontado centroem direcao a carga quelhe da origem. Comocadacarga estaa umadistancia` � u H>�>H � � u H do centro,o campolıquidoresul-tantedevidosasduascargasnegativase��} � 15 (FE � p H>� � �>H � � � H-��H s� 15 (FE � � � ��H� 3 J ?@1A L : 1 ! h?@1A S36 ! G : � ��H� l ! 1 J ?a1;�~ N/C !Nocentrodoquadrado,oscamposproduzidospelascar-gaspositivasestaoambossobreo eixo | , apontandodocentroparafora, afastando-seda carga quelhe da ori-gem.O campolıquidoproduzidonocentropelascargaspositivase �� 15 (FE � p H�� H � � � H'�>H s� 15 (FE � � � ��H� l ! 1 J ?a1; ~ N/C !Portanto,a magnitudedocampoe� � � � �} �+� ��

� � HC3�l ! 1 J ?a1; ~ : �� 1 ! -H2?@1A W N/C !O anguloquetal campofazcomo eixodos o e� � ��>� B � � �� }� ��>� B � 3D1 :� 5 G c !Tal anguloapontado centrodo quadradoparacima,di-rigido parao centrodo ladosuperiordoquadrado.

1.2.3 O campocriado por um dipolo eletrico

E 24-23.

Determineo momentodedipoloeletricoconstituıdoporum eletrone um protonseparadospor umadistanciade5 ! * nm.� O modulodacargadasduaspartıculase � � 1 ! M ?1; B � L C. Portanto,temosaqui um belo exemplo deexercıcio demultiplicacao:� � ��` � 3D1 ! M ?@1A4B � L : 3<5 ! * ?@1ACB L :� MC! R>R ?a1; B � S C m !E 24-25

Na Fig. 24-8,suponhaqueambasascargassejamposi-tivas.Mostreque � noponto n , considerando�2��` , edadopor: � � 15 (87 � H�� 8!� Usandoo princıpio desuperposic¸aoe doistermosdaexpansao3]1��o : B �e� 1O��H�oK� * o i �@5>of~x� !A! ! Xvalidaquando� o��4��1 , obtemos� � 15 (87 � p �3I�=�r`m�>H : � � �36��.`4��H : �4s� 15 (87 � �� p\� 1O� `H�� B � � � 1�� `H��,� B � s� 15 (87 � �� p v 1O�rHf3D� `H�� : � !A! ! y� v 1O�rHf3 `H�� : � !A! ! y s� 15 (87 � H�� 8!



E 24-26.

Calculeo campoeletrico (modulo, direcao e sentido)devido a um dipolo eletricoemum ponto n localizadoa umadistancia ��` sobrea mediatrizdo segmentoqueuneascargas(Figura24-32).Expressesuarespostaemtermosdemomentodedipolop.

� Obtem-seocampo � resultantenoponton somando-sevetorialmente � � �� B !A magnitudedosvetoresedadapor:� �.� � B �� 9 � �.` � ��5 !As somadas componentessobrea mediatrizse can-celamenquantoascomponentesperpendicularesa elasomam-se.Portanto,chamando-se

�o anguloentreo

eixododipoloea direcaode �� (oude � B ), segue� � H>� �V"%$-& � Xonde,dafigura, " $'& � � `m�>H� 9 � �+` � ��5 !Comistosegue� � H � �9 � �+` � ��5 `4��H� 9 � �+` � �U5� � ��`3<9 � �.` � ��5 : i�� 3<9 � : i\�N� ��`� 1��+` � �4365>9 � :�� i\�� !Como o problemanos diz que 9��_` , podemosdes-prezaro termo ` � �4365>9 �A: no ultimo denominadoracima,obtendoparao modulodocampoo valor� �/� ��`9 i !Em termosdo momentode dipolo � �x� � ��` , umavezque � e � temsentidosopostos,temos� � � � �9 i�!

O vetor � apontaparabaixo.

24-27�Quadrupoloeletrico. A figura abaixomostraum qua-drupoloeletricotıpico.

Ele e constituıdopordoisdipoloscujosefeitosempon-tos externosnao chegam a se anular completamente.Mostrequeo valor de � no eixo do quadrupolo,parapontosaumadistancia� doseucentro(supor�2��` ), edadopor: � � * �5 (87 � � ~ Xonde�g3 � H>��` �;: echamadodemomentodequadrupolodadistribuicaodecargas.� A distanciaentreo ponto n easduascargaspositivassao dadaspor 3I�g��` : e 36�V�/` : . A distanciaentre ne ascargasnegativassao iguaisa � . De acordocomoprincıpio desuperposic¸ao,encontramos:� � �5 (87 � p 136�=�r` : � � 136�e�+` : � � H�� 4s� �5 (87 � � � p 13D1O�r`m�� : � � 13]1��.`4�� : � ��H sExpandindoem serie comofeito no livro-texto, paraocasododipolo [verApendiceG],3]1��o : B �e� 1O��H�oK� * o i �@5>of~x� !A! ! Xvalidaquando� o��4��1 , obtemos� � �5 (87 � � � p\� 1�� H>`� � * ` �� ! !A! �� 1O� H�`� � * ` �� ! !A! � ��H s X



deondeseconcluique,considerando-seostermosateasegundaordem,inclusive,temos� � �5 (87 �A� � p M ` �� s � * �5 (87 �A� ~ Xondeo momentode quadrupoloe definidocomo � �H��` � !Em contrastecom a derivacao apresentadano livro-texto, observe que aqui foi necessario usarmoso ter-mo quadratico na expansao em serie, uma vez que acontribuicaodevidaaotermolineareranula.

1.2.4 O campocriado por uma linha decargas

P 24-30.

Um eletrontemseumovimentorestritoaoeixo do aneldecargasderaio 0 discutidonasecao24-6.Mostrequea forca eletrostaticasobreo eletronpodefaze-looscilaratravesdo centrodo anel,comumafrequenciaangulardadapor: ¡ �£¢ k;�5 (87 � �¤0 i !� Como visto no livro-texto, a magnitudedo campoeletriconum pontolocalizadosobreo eixo deum anelhomogeneamentecarregado,a umadistancia � do cen-tro doanel,e dadopor (Eq.24-19):� � ��5 (87 �>3I0 � �.� � : i�� Xonde � e a cargasobreo anele 0 e o raiodoanel.Paraquepossahaver oscilacao a carga � sobreo aneldevesernecessariamentepositiva. Paraumacarga � po-sitiva, o campoapontaparacima na partesuperiordoanele parabaixo na parteinferior do anel. Se tomar-mosa direcaoparacimacomosendoadirecaopositiva,entaoa forca queatuanumeletronsobreo eixo doanele dadapor� � ��k�� kU��5 (87 � 3I0 � �.� � : i\�� Xonde k representaamagnitudedacargadoeletron.Paraoscilacoesdepequenaamplitude,paraasquaisva-le ��¥¦0 , podemosdesprezar� no denominadordaexpressaodaforca,obtendoentao,nestaaproximac¸ao,� � � kU�5 (87 � 0 i �2§£��¨P� !Desta expressao reconhecemosser a forca sobre oeletronumaforca restauradora: elapuxao eletronem

direcao ao pontode equilıbrio � � . Al em disto, amagnitudeda forca e proporcionala � , com umacon-tantedeproporcionalidade � kU�>�4365 (87 � 0 iA: , comoseo eletron estivesseconectadoa uma mola. Ao longodo eixo, portanto,o eletron move-senum movimentoharmonico simples,com umafrequenciaangulardadapor (revejao Cap.14,casonecessario)¡ � ¢ ¨� �©¢ kU�5 (87 � �¤0 i Xonde� representaa massadoeletron.

P 24-32.

Uma barrafina de vidro e encurvadana forma de umsemicırculo de raio 9 . Uma carga �� esta distribuıdauniformementeaolongodametadesuperior, eumacar-ga �� , distribuıdauniformementeaolongodametadeinferior, comomostraa Fig. 24-35.Determineo campoeletricoE noponto n , o centrodosemicırculo.

� Paraa metadesuperior:`-� � �� `-�9 � ��ª `�«9 �onde ª � �2�C3IH ( 9��5 : � H>� �C3 ( 9 : e `�« � 9�` � . Portan-to `'� � �� H>�( 9 9�` �9 � � H � �( 9 � ` � !O modulodacomponente� �} docampototal e,portan-to, � �} �¬ `'� �} � ¬ `'� � "%$'& �� H � �( 9 � ¬+® �� "%$-& � ` �� H � �( 9 � p sen

� s ® �� H � �( 9 ��!http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7


Analogamente,� �� ¬¯`'� �� ¬°`-� � sen�� H � �( 9 � ¬ ® �� sen

� ` �� H � �( 9 � p � " $'& � s ® �N�� H � �( 9 ��!Usandoargumentosdesimetria: Usandoasimetriadoproblemavemosfacilmentequeascomponenteshori-zontaiscancelam-seenquantoqueasverticaisreforcam-se. Assim sendo,o modulo do campototal e simples-mente � � H�� =� 5 � �( 9 �como vetorcorrespondenteapontandoparabaixo.Usando‘f orca-bruta’: Podemosobtero mesmoresul-tadosemusarasimetriafazendooscalculos.Mastemosque trabalharbem mais (perdermais tempoduranteaprova!!). Vejaso:Tendoencontradoque ��} � �� N±O²®�³�´ , vemosqueomodulodocampo�� devido ascargaspositivasedadopor �� } � �.�� u H H � �( 9 �formando�O5 G c como eixodos o .Paraa metadeinferior o calculoe semelhante.O resul-tadofinal e � � B � � � �� u H H � �( 9 ��!O campo � B forma com o eixo dos o um angulode� 3 J c �.5 G c : � �=1 * G c .Portanto,o modulodocampototal � � � � � � B apon-taparabaixoe temmagnitudedadapor� � � � �� +� �B� u H�� u H�� B� u H v u H H � �( 9 � y� 5 � �( 9 ��!Conclusao: Terminamaisrapido(e com menoserro!)quemestiver familiarizadocoma exploracaodassime-trias. Isto requertreino...

P 24-35.

NaFig. 24-38,umabarranao-condutora“semi-infinita”possuiumacargaporunidadedecomprimento,devalorconstanteª . Mostrequeo campoeletrico no ponto nformaum angulode 5 G c coma barrae queesteanguloe independentedadistancia0 .

� Considereumsegmentoinfinitesimal `>o dabarra,lo-calizadoa umadistancia o a partir da extremidadees-querdada barra,como indicadona figura acima. Talsegmentocontem uma carga `'� � ª `>o e esta a umadistancia 9 do ponto n . A magnitudedo campoque `-�produznoponto n e dadapor`-� � 15 (87 � ª `'o9 �°!Chamando-sede

�o anguloentre 0 e 9 , a componente

horizontalo docampoe dadapor`'� }2� � 15 (87 � ª `>o9 � sen� X

enquantoquea componentevertical | e`-�� 15 (87 � ª `>o9 � " $'& � !Os sinaisnegativos em ambasexpressoes indicam ossentidosnegativosdeambasascomponentesemrelacaoaopontodeorigem,escolhidocomosendoaextremida-deesquerdadabarra.Vamos usar aqui o angulo

�como variavel de

integracao.Paratanto,dafigura,vemosque"%$'& � � 0 9 X sen� � o 9 X o � 0 ��>� � X

e,portanto,que`'o � 0 &]µ;" � � ` � � 0 1" $'& � � ` � !http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina8


Oslimitesdeintegracaovaode ate ( ��H . Portanto��} � ¬+® �� `-��} � � ª5 (87 � 0 ¬+® �� sen� ` �� ª5 (87 � 0 " $'& �,¶¶¶ ® �� ª5 (87 � 0 X

e,analogamente,� ��¬ ® �� `'� �·� � ª5 (87 � 0 ¬ ® �� " $'& � ` �� ª5 (87 � 0 sen� ¶¶¶ ® �� ª5 (87 � 0 !

Destesresultadosvemosque ��} � �� , sempre,qual-querquesejao valor de 0 . Al emdisto,comoasduascomponentestem a mesmamagnitude,o camporesul-tante � fazum angulode 5 G c como eixo negativo doso , paratodososvaloresde 0 .

1.2.5 O campoeletrico criado por um discocarre-gado

P 24-38.

A quedistancia,aolongodoeixocentraldeumdiscodeplasticoderaio 0 , uniformementecarregado,o modulodocampoeletricoe igual ametadedoseuvalornocen-tro dasuperfıciedodisco?� A magnitudedo campoeletrico num pontosituadosobreo eixo de um discouniformementecarregado,aumadistancia � acimado centrodo disco, e dadopor(Eq.24-27) � � ¸H 7 � p 1x� �u 0 � �+� � s Xonde0 e o raiododiscoe ¸ asuadensidadesuperficialde carga. No centrodo disco( � � ) a magnitudedocampoe ��¹ � ¸ �C3IH 7 � : .O problemapedeparadeterminaro valor de � tal quetenhamos�K�� ¹�� 1U��H , ouseja,tal que1O� �u 0 � �+� � � 1H Xou,equivalentemente, �u 0 � �+� � � 1H !

Destaexpressao obtemos� � � 0 � ��5q�º� � �U5 , isto e� ��» 0 � u * .Observequeexistemduassolucoespossıveis:uma‘aci-ma’, outra‘abaixo’ doplanododiscodeplastico.

1.2.6 Cargapuntif orme num campoeletrico

E 24-39.

Um eletron e solto a partir do repouso,num campoeletricouniformedemodulo H ! t?z1A ~ N/C. Calculeasuaacelerac¸ao(ignoreagravidade).� O modulodetal acelerac¸aoe fornecidopelasegundalei deNewton: � �� * !YG 1�?@1A � W m/s

� !E 24-43.

Um conjunto de nuvens carregadasproduz um cam-po eletrico no ar proximo a superfıcie da Terra. Umapartıculadecarga ��H ! V?@1A B L C, colocadanestecam-po, fica sujeitaa umaforca eletrostaticade

* ! q?+1A BF¼N apontandoparabaixo. (a) Qual o modulo do cam-po eletrico? (b) Qual o modulo, a direcao e o sentidoda forca eletrostaticaexercidasobreum protoncoloca-do nestecampo?(c) Quala forca gravitacionalsobreoproton?(d) Quala razaoentrea forca eletricae a forcagravitacional,nessecaso?� (a) Usandoa Eq.24-3obtemosparao modulode � :� � � � � * ! V?@1A BT¼ NH ! V?a1; B L C

� 1 G ' N/C !A forca apontaparabaixoe a cargae negativa. Logo,ocampoapontadebaixoparacima.(b) O modulodaforca eletrostetica �¾½ exercidasobreoprotone ��½ � �� H ! 5'h?@1ACB � ¼ N !Comoo protontemcargapositiva,a forcasobreeleteraamesmadirecaodocampo:debaixoparacima.

(c) A forca gravitacionalexercidasobreo protone��¿ � �tÀ � 3D1 ! M lK?a1;4B � Q : 3 J ! R :� 1 ! M 5V?@1A B � ¼ N Xhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina9


apontandodecimaparabaixo.

(d) A razaoentreasmagnitudesdasforcaseletricaegra-vitacionale �¾½� ¿ � 1 ! 5 M ?a1; �D� !Portanto,vemosque o peso � ¿ do proton pode sercompletamenteignoradoem comparaçao com a forcaeletrostaticaexercidasobreo proton.

E 24-45.

(a) Qual e a aceleraçao de um eletron num campoeletrico uniformede 1 ! 5Á?Â1; ¼ N/C? (b) Quantotem-po leva parao eletron,partindodo repouso,atingir umdecimodavelocidadedaluz? (c) Quedistanciaeleper-corre?Suponhavalidaa mecanicaNewtoniana.� (a) Usandoa lei deNewton obtemosparao modulodaaceleraçao: � �� ½ � kU�� ½ � 3]1 ! M ?a1; B � L : 3D1 ! 5g?@1A ¼ :J ! 1=?a1; B i\�� H ! 5 M ?@1A � Q m/s� !(b) Partindo-sedo repouso(i.e. com Ã�� ) e usandoaequaçao Ã � Ã � � -Ä obtemosfacilmentequeÄ ��Å �41A � * ?a1; S �41AH ! 5 M ?@1A � Q� ! 1UH>H2?a1; B L s!(c) A distanciapercorridae` � 1H -Ä � � 1H 3IH ! 5 M ?@1A � Q : 36 ! 1UH>HK?@1A4B L : �� 1 ! R * ?a1; B i m !E 24-46.

Uma armade defesaque esta sendoconsideradope-la Iniciativa de DefesaEstrategica(“GuerranasEstre-las”) usafeixesde partıculas. Por exemplo,um feixede protons,atingindoum mıssil inimigo, poderiainu-tiliz a-lo. Tais feixes podemser produzidosem “ca-nhoes”,utilizando-secamposeletricosparaaceleraraspartıculascarregadas. (a) Queaceleraçao sofreriaumprotonseo campoeletriconocanhaofossede H ! e?q1A ~N/C. (b) Quevelocidadeo protonatingiriaseo campoatuasseduranteumadistanciade 1 cm?� (a) Usandoasegundalei deNewtonencontramos:

� �� kU�� 1 ! J HK?@1A �D� m/s� !

(b) UsandoaEq.15doCap.2, encontramos:Ã �º� H 36og�aoÆ� : � 1 J M km/s!�E precisolembrar-sedasformulasaprendidasnocur-

sodeMecanicaClassica(FısicaI).

E 24-47.

Um eletroncom umavelocidadeescalarde G4! Ç?Â1A Scm/s entranum campoeletrico de modulo 1 ! @?�1A iN/C, movendo-separalelamenteao campono sentidoqueretardaseumovimento.(a) Quedistanciao eletronpercorrera no campoantesde alcancar (momentanea-mente)o repouso?(b) Quantotempolevara paraisso?(c) Se,em vez disso,a regiaodo camposeestendessesomentepor R mm (distanciamuito pequenaparapa-rar o eletron),quefracao daenergia cineticainicial doeletronseriaperdidanessaregiao?� (a) Primeiro,calculemosa aceleraçaodo eletronde-vidaaocampo: � kU�� ½ � 3D1 ! M ?@1A B � L : 3D1 ! V?@1A i :J ! 1=?@1A B i[�� 1 ! l M ?a1; � ~ m/s� !Portanto,usandoo fato que Ã � � Ã �� /H 3<o��o � : edefinindo � oq�@o � temos,paraadistanciaviajada:` � Ã ��H � 3 G4! V?a1; ¼ :]�HO3D1 ! l M ?a1; � ~ : � l ! 1UHK?a1;4B � m !(b) Usandoo fatoque Ã � Ã � � 'Ä e que Ã � , temosÄ � Ã � � G4! h?a1; ¼1 ! l M ?a1; � ~ � H R ! 5-2?@1ACB L s!(c) Bastadeterminara velocidadedo eletronquandoocampoterminar. Paratanto,usamosÃ � � Ã �� /H 4È ,onde È ��R ?a1; B i m e aextensaodocampo.Ã � � Ã �� +H 4È� 3 GC! V?@1A'¼ : � �rHO3]1 ! l M ?@1A � ~ : 3 R ?@1A4B i :� H>H ! HK?@1A �D� m/s� !Portanto,a fracaodaenergiacineticaperdidaedadapor� � � ��q� � Ã � �aÃ ��Ã �� H'H ! He�rH GH G � �� ! 1>1UHouseja,perde 1>1 ! H'É dasuaenergiacinetica.



Sevocegostade trabalharmais,podecalcularasener-giasexplicitamentee determinaro mesmopercentual.A energiacinetica � perdidaedadapor�Ê� 1H �Ç½\Ã � � 1H 3 J ! 1=?a1;4B i\� : 3IH'H ! Hh?a1; �]� :� 1 ! f1�?@1ACB � Q J!A energiacineticainicial �q� era� � � 1H � ½ Ã �� 1H 3 J ! 1=?a1; B i[� : 3 GC! V?@1A ¼ : �� 1 ! 1 * R ?a1;4B � Q J!E 24-49.

Na experienciadeMilikan, umagotaderaio 1 ! M 5eË m ededensidade ! R G 1 g/cmi ficasuspensanacamarainfe-rior quandoo campoeletricoaplicadotemmoduloiguala 1 ! J H�?¤1A W N/C. Determineacargadagotaemtermosde k .� Para a gota estarem equilıbrio e necessario que aforca gravitacional (peso)estejacontrabalançadapelaforca eletrostaticaassociadaao campoeletrico, ou se-ja, eprecisoter-se �tÀ � �� , onde� eamassadagota,� e a carga sobrea gotae � e a magnitudedo campoeletricono quala gotaesta imersa.A massada gotaedadapor � �ÍÌrÎt� 365 ( � * : 9 i Î , onde9 e seuraio e Îe a suadensidadedemassa.Comisto tudo,temos� � �^À�� 5 ( 9 i Î À* �� 5 ( 3D1 ! M 5h?@1A BT¼ m:]i 3 R G 1 kg/mi : 3 J ! R m/s�A:* 3D1 ! J H ?@1A W N/C:� R ! h?@1A B � L C Xe,portanto,Ï � � k � R ! 'H M ?a1; B � L C1 ! M ?@1A B � L C

� G Xouseja,� � G k .P 24-54.

Duasgrandesplacasdecobre,paralelas,estaoseparadaspor G cmeentreelasexisteumcampoeletricouniformecomoe mostradona Fig. 24-39. Um eletron e libera-do daplacanegativa aomesmotempoqueum protone

liberadodaplacapositiva. Desprezea forca queexisteentreaspartıculase determinea distanciadecadaumadelasate a placapositiva no momentoemqueelaspas-samumapelaoutra. (naoe precisoconhecero modulodo campoeletricopararesolver esteproblema.Issolhecausaalgumasurpresa?)� A aceleraçaodoprotone >Ð � kU�K�U� Ð eaaceleraçaodo eletrone ½ � ��k;�h�U�Ç½ , onde � e a magnitudedocampoeletrico e � Ð e �¤½ representamas massasdoprotone doeletron,respectivamente.Consideremosa origem de referenciacomo sendonaposicao inicial do proton na placaa esquerda.Assimsendo,a coordenadado protonnuminstanteÄ qualquere dadapor o Ð � >ÐUÄ � ��H enquantoque a coordenadado eletron e oT½ �ÒÑ � ½ Ä � ��H . As partıculas pas-samuma pela outra quandosuascoordenadascoinci-dem, o Ð � o ½ , ou seja,quando Ð Ä � ��H �ÓÑ � ½ Ä � �>H .IstoocorrequandoÄ � � H Ñ �43 Ð � ½ : , quenosforneceo Ð � Ð �Ð � ½ Ñ� kU�K�� Ðk;�h�U� Ð �.kU�K��¤½ Ñ� � ½�¤½��.� Ð Ñ� J ! 1'1�?@1A B i[�J ! 1>1�?a1; B i\� �/1 ! M l2?@1A B � Q 3I ! G m:� H ! l ?@1ACB W m� H ! l ?@1A B i cm!Portanto,enquantoo eletronpercorreos G cm entreasplacas,o protonmal conseguiumover-se!

P 24-55.� (a) Suponhaqueo pendulofaca um angulo�

comavertical. Desenhado-seo diagramadeforcastemos�tÀparabaixo, a tensao no fio, fazendoum angulo

�para

a esquerdado vetor �� , queapontaparacima ja queacargae positiva.Consideremoso anguloassimdefinidocomosendopo-sitivo. Entaoo torquesobrea esferaemtornodo pontoondeo fio estaamarradoaplacasuperioreÔ � � 36�tÀK�@�� : « sen

� !Se �^À.ÕÓ�� , entaoo torquee um torquerestaurador:eletendeaempurraro pendulodevoltaasuaposicaodeequilıbrio.



Sea amplitudedeoscilacao e pequena,sen�

podesersubstituidopor

�emradianos,sendoentaoo torqueda-

dopor Ô � � 36�tÀK�@�� : « � !O torquee proporcionalao deslocamentoangulare opendulomove-senum movimentoharmonico simples.Suafrequenciaangulare¡ �£� 3<�^À2�r�� : «;��ÖfXonde Ö e o momentode inerciarotacionaldo pendulo.Comoparaumpendulosimplessabemosque Ö � �t« � ,segueque ¡ � ¢ 3<�^À2�@�� : «�^« �� ¢ À2�@��h�U�«e o perıodoe× � H (¡ � H ()Ø «À2�r��K�U� !Quando �� ÕÙ�^À o torque nao e restauradore opendulonaooscila.

(b) A forca do campoeletricoesta agoraparabaixoe otorquesobreo penduloeÔ � � 3<�^À��.�� : « �seo deslocamentofor pequeno.O perıododeoscilacaoe × � H ( Ø «À��z��K�U� !P 24-56.

NaFig.24-41,umcampoeletrico � , demodulo H�?g1A iN/C, apontandoparacima, e estabelecidoentreduasplacashorizontais,carregando-sea placainferior posi-tivamentee a placasuperiornegativamente.As placastem comprimentoÑÚ� 1; cm e separaçao ` � H cm.Um eletrone, entao,lancadoentreasplacasa partir daextremidadeesquerdada placainferior. A velocidadeinicial tem um modulode M ?+1; ¼ m/s. (a) Atingira oeletronumadasplacas?(b) Sendoassim,qualdelase aquedistanciahorizontala partir daextremidadeesquer-da?

� Considerea origem comosendoo pontoemqueoeletrone projetadoparao interior do campo.Seja >o oeixohorizontale >| o eixoverticalindicadonaFig.???-36. Oriente �o daesquerdaparaa direitae >| debaixoparacima, comoa cargado eletrone negativa, a forcaeletricaesta orientadade cima parabaixo (no sentidoopostoaosentidodo campoeletrico). A aceleraçaodoeletrone dadapor � �� k;�� * !YG 1 * ?@1A � ~ m/s

� !Parasaberseo eletronatingeou nao a placasuperior,devemoscalcularinicialmenteo tempo Ä necessario pa-ra queeleatingaa altura | � ! -H m daplacasuperior.Podemosescreveraseguinterelacao:| � 36Ã�� sen

� : Ä � -Ä �H !Temos:Ã � sen

� � 3 MC! V?@1; ¼ : m/s sen5 G � � 5 ! H�5 * ?1; BFS m/s.Substituindoosvaloresadequadosnarelacaoanteriore resolvendoa equaçaodo segundograuem Ä ,encontramos:Ä � � Mf! 5mH�h?a1; B L s e Ä � � 1 ! l'lU5V?@1A BFS s!O menorvalor de Ä e o quenosinteressa(o outro cor-respondeaotrechodescendentedatrajetoria). Nestein-tervalodetempoÄ � o eletronsedeslocouumadistanciao dadaporo � 3<Ã ��" $'& � : Ä �Û� 3<5 ! H�5 * ?a1;>¼ : 3 Mf! 5mH�h?a1;4B L :� ! 'H'l>H m !� H ! l�H cm!Como H ! l>H��Ü1A cm, concluimosque: (a) o eletronatingea placasuperior, e, (b) numpontosituadoa H ! l>Hcmdaextremidadeesquerdadaplacasuperior.

1.2.7 Um dipolo num campoeletrico

P 24-60.

Determine a frequencia de oscilacao de um dipoloeletrico,demomentodedipolo � e momentodeinerciaÖ , parapequenasamplitudesdeoscilacao,emtornodesuaposicaodeequilıbrio, numcampoeletricouniformedemodulo � .� A magnitudedo torquequeatuano dipolo eletricoedadapor Ô � � � sen

�, onde� e a magnitudedo mo-

mentode dipolo, � e a magnitudedo campoeletrico



e�

e o anguloentreo momentode dipolo e o campoeletrico.O torquee sempre‘restaurador’:elesempretendeagi-rar o momentodedipolo emdirecaoaocampoeletrico.Se�

e positivo o torquee negativo e vice-versa: Ô �� sen�.

Quandoa amplitudedo movimento e pequena,pode-mos substituir sen

�por

�em radianos. Nestecaso,Ô � � � � � . Como a magnitudedo torque e pro-

porcional ao angulo de rotacao, o dipolo oscila nummovimentoharmonicosimples,demodoanalogoa um

pendulodetorsaocomconstantedetorsao Ý � � � . Afrequenciaangulare dadapor¡ � � Ý Ö � � �Ö Xonde Ö e o momentode inercia rotacionaldo dipolo.Portanto,a frequenciadeoscilacaoeÞ � ¡H ( � 1H ( ¢ � �Ö !


Cap24

Documents

Transcript of Cap24