cap_2
6
Comentário sobre o Exemplo 13 da seção 2.1. O autor questionou sobre quais as outras opções para A e B para que a terna (A,B,x → y) seja função, sendo a regra x → y dada implicitamente pela equação xy 2 = x - 1. Certo. O autor explicitou a regra, dada por y = ± r x - 1 x . Verifica-se que não há outra opção para definição do domínio A, uma vez que se consideram apenas funções de uma variável real a valores reais. Já para o contradomínio, há outra opção, a saber: B = {y ∈ R : y< 0} ; o que determina a função f : A → B dada por f (x)= - r x - 1 x . Esta é a única outra opção. Exercício 44. Não sei se entendi direito o que o autor quis dizer, mas vou apresentar uma prova de geometria analítica para esta questão. Inicialmente, prova-se a implicação direta. A Figura 0.0.1 ilustra as duas retas r e s. Figura 0.0.1. Diagrama esquemático ilustrativo das duas retas per- pendiculares r e s. Pode-se então deduzir a implicação direta. 1
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Minha interpretação do Guidorizzi
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Comentrio sobre o Exemplo 13 da seo 2.1.
O autor questionou sobre quais as outras opes para A e B para que a terna(A,B, x y) seja funo, sendo a regra x y dada implicitamente pela equaoxy2 = x 1.
Certo.O autor explicitou a regra, dada por
y = x 1x
.
Verifica-se que no h outra opo para definio do domnio A, uma vez que seconsideram apenas funes de uma varivel real a valores reais.
J para o contradomnio, h outra opo, a saber:
B = {y R : y < 0} ;o que determina a funo f : A B dada por
f (x) = x 1x
.
Esta a nica outra opo.
Exerccio 44.
No sei se entendi direito o que o autor quis dizer, mas vou apresentar umaprova de geometria analtica para esta questo.
Inicialmente, prova-se a implicao direta. A Figura 0.0.1 ilustra as duas retasr e s.
Figura 0.0.1. Diagrama esquemtico ilustrativo das duas retas per-pendiculares r e s.
Pode-se ento deduzir a implicao direta.1
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EXERCCIO 44. 2
Sendo ngulo externo do tringulo retngulo que contm , ento = + pi2.
Logo:
tan = tan( +
pi
2
)mr =
sin( + pi
2
)cos( + pi
2
)=
sin cos pi2
+ sin pi2
cos
cos cos pi2 sin sin pi
2
=0 + cos pi
2
0 sin= 1
sincos pi
2
= 1ms
.
J a implicao reversa requer mais cuidado.Eu optei por uma ttica um tanto diferente da usada pelos autores do livro
7 da coleo Fundamentos de Matemtica Elementar, porque achei que a deles um tanto circular. Eu acho que esta aqui mais adequada por ser independente dattica usada na implicao direta. A Figura 0.0.2 ilustra a modelagem do problema.
Figura 0.0.2. Diagrama esquemtico ilustrando o modelo usado.
Seja (0, a) a interseo da reta r com o eixo das abscissas e (0, b) a interseo dareta s. m o coeficiente angular de r e 1
mda reta s. A interseo das duas retas
pode ser determinada pela soluo das duas equaes das duas retas, a saber{yr = m (xr a)ys = (xsb)m .
O resultado x = am2+bm2+1
e y = (ab)mm2+1
.Se o tringulo ABC retngulo, ento deve valer o Teorema de Pitgoras. Se
assim for, AB2 = AC2 +BC2.Como AB = |a b|, ento se AC2 + BC2 = (a b)2, o tringulo retngulo, e
a implicao reversa confirmada.Vejamos se isto funciona:
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COMENTRIO SOBRE O EXEMPLO 4 DA SEO 2.2. 3
AC2
+BC2
=2 (a b)2m2
(m2 + 1)2+
(b am
2 + b
m2 + 1
)2+
(a am
2 + b
m2 + 1
)2=
2 (a b)2m2(m2 + 1)2
+
[b (m2 + 1) am2 + b
m2 + 1
]2+
[a (m2 + 1) am2 + b
m2 + 1
]2=
2 (a b)2m2 + [b (m2 + 1) am2 + b]2 + [a (m2 + 1) am2 + b]2(m2 + 1)2
= A+B + C,(0.0.1)
sendo
A =2 (a b)2m2
(m2 + 1)2,
B =a2m4 2abm4 + b2m4
(m2 + 1)2
e
C =a2 2ab+ b2
(m2 + 1)2.
A soma expressa na Equao 0.0.1 resulta em
A+B + C =a2m4 2abm4 + b2m4 + 2a2m2 4abm2 + 2b2m2 + a2 2ab+ b2
(m2 + 1)2
=(a2 2ab+ b2) (m4 + 2m2 + 1)
(m2 + 1)2
=(a b)2 (m2 + 1)2
(m2 + 1)2
= (a b)2 .Que exatamente o resultado pretendido. Logo, o tringulo ABC retngulo, epor conseguinte, as retas r e s so perpendiculares.
Comentrio sobre o Exemplo 4 da seo 2.2.
Foi solicitado provar que
sin2 x =1
2 1
2cos 2x.
bem simples.Seno vejamos:
cos 2x = cos2 x sin2 x cos 2x = (1 sin2 x) sin2 x cos 2x = 1 2 sin2 x2 sin2 x = 1 cos 2x sin2 x = 1
2 1
2cos 2x.
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EXERCCIO 2.2 (H) 4
Comentrio sobre o Exemplo 5 da seo 2.2.
No item (b), foi solicitada a verificao de que sin pi4
=22.
Ento, vejamos:
sin2 x+ cos2 x = 1
sin2(pi
4
)= 1 cos2 pi
4
sin(pi
4
)=
1(22
)2
=
1 2
4
=
4 2
4
=
2
4=
2
2.
Com relao a interpretao grfica a qual o autor se referiu, creio que suainteno fosse a de que o leitor posicionasse tais pontos no ciclo trigonomtrico.
As verificaes que ele solicitou so fceis. Inicialmente, calcula-se sin 2pi e cos 2piatravs das relaes iniciais do exemplo 4, e a seguir, aplica-se as relaes expressasno exemplo 2.
Exerccio 2.2 (h)
Este exerccio realmente complicado.Sem a ajuda do clculo, difcil conceber porque o grfico da funo x sin 1
x
conforme ilustrado na Figura 0.0.3. Eu tentei explicar na captao da figura.
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EXERCCIOS DA SEO 2.3 5
-4 -2 2 4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 0.0.3. Grfico da funo x sin 1x. A medida que x tende a 0, a
funo sin 1xfica oscilando loucamente entre -1 e 1, e por isto, ficar
se comportando desta forma, mas modulada pela funo f (x) = x.Conforme x vai aumentando, 1
xvai tendendo a zero, e neste caso, a
funo sin 1xvai se aproximando do prprio valor 1
x. Isto explicaria
porque ela tende a unidade com o aumento do valor de x. Com relaoa paridade, como as duas funes so mpares, o produto das duasser par, pois as duas sero positivas e negativas simultaneamente.
Exerccios da seo 2.3
Exerccio 3(a). fcil. Tanto que no quero fazer nunca mais.
sin 2x = 2 sin x cosx
sinx = 2 sin x2
cosx
2
=
2 sin x2cos x
2
cos2 x2
1cos2 x
2
=2 tan x
2
sec2 x2
=2 tan x
2
1 + tan2 x2
.
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EXERCCIOS DA SEO 2.3 6
Exerccios da seo 2.3
Exerccio 3(b). fcil. Tanto que no quero fazer nunca mais.
cos 2x = cos2 x sin2 x cosx = cos2 x
2 sin2 x
2
=
cos2 x2sin2 x
2
cos2 x2
1cos2 x
2
=1 sin2 x2
cos2 x2
sec2 x2
=1 tan2 x
2
1 + tan2 x2
.
Comentrio sobre o Exemplo 13 da seo 2.1.Exerccio 44.Comentrio sobre o Exemplo 4 da seo 2.2.Comentrio sobre o Exemplo 5 da seo 2.2.Exerccio 2.2 (h)Exerccios da seo 2.3Exerccios da seo 2.3
