Cap3 - Sistema Por Unidade

III - 1

Capítulo 3

SISTEMA POR UNIDADE

1. OBJETIVO

Este capítulo tem por objetivo apresentar a “ferramenta” sistema por uni-

dade ou sistema pu muito utilizada nos estudos envolvendo sistemas elétricos

de potência.

O estudo do sistema por unidade será complementado durante os capítu-

los posteriores, na apresentação das modelagens de cada um dos componen-

tes dos sistemas elétricos de potência com vistas a realização dos estudos de

fluxo de carga e curto circuito.

2. INTRODUÇÃO

Nos estudos em sistemas elétricos é usual o emprego do sistema por u-

nidade ou sistema pu. Usando o sistema pu, as grandezas e dados técnicos

não são expressos nos seus valores absolutos e sim como uma fração de

grandezas escolhidas como referência, denominados valores base.

Examinando de forma superficial o que foi dito no parágrafo anterior, o

sistema pu pode parecer simplesmente um método indireto de exprimir uma

grandeza, contudo, será demonstrado, a seguir, que ele introduz uma série de

simplificações nos cálculos envolvendo sistemas elétricos que operam em dife-

rentes níveis de tensão.

Outro fato relevante aplicação do sistema pu em sistemas elétricos está

no fato de permitir uma avaliação dos valores calculados ou obtidos para pa-

râmetros e grandezas dos diversos componentes do sistema elétrico. Este fato

Capítulo 3 - Sistema Por Unidade

III - 2

permite identificar valores irreais calculados, além tornar possível estimar valo-

res para grandezas ou variáveis desconhecidas.

Escolhendo os valores nominais de um dado componente como base, as

suas grandezas e variáveis não variam numa faixa muito larga, mesmo para

uma ampla faixa de valores nominais. Nos sistemas elétricos, por exemplo, a

corrente de excitação de um transformador usualmente está entre 0,01 e 0,08

pu para uma larga faixa de valores nominais de potência.

De tal forma que, quando obtemos para a corrente de excitação de um

transformador de 50 KVA o valor 0,04 pu é relativamente simples identificar se

este valor é coerente com os valores nominais do transformador ou não. Situa-

ção distinta se dá quando obtemos o valor de corrente de excitação de 5,41 A

para o mesmo transformador de 50 kVA. O valor de 5,41 A não possibilita de

imediato reconhecer se tratar de um valor coerente ou não.

Concluindo é possível afirmar que a utilização do sistema pu facilita a

verificação e a identificação de algum engano na determinação de um do valor

de uma grandeza. Quando essas grandezas são expressas em pu e não nas

suas unidades originais, elas usualmente variam em faixas estreitas mesmo

para componentes com valores nominais muito diferentes.

3. DEFINIÇÃO

O valor por unidade, ou valor pu de uma dada grandeza, é definido como

a relação entre o valor dessa grandeza (denominado valor real) numa dada

unidade e o valor base da mesma grandeza, escolhido como referência, na

mesma unidade, ou seja:

base Valor real Valor PU em Valor = [1]

Uma forma alternativa de se exprimir as grandezas de um sistema elétri-

co é o valor percentual, isto é:

100 PUem Valor% em Valor ×= [2]

Os valores expressos em pu têm vantagens sobre os valores expressos

em percentuais porque o produto ou quociente de duas grandezas expressas


III - 3

em pu resulta em outra grandeza também em pu. Já o produto ou quociente de

duas grandezas expressas em por cento, deve ser dividida ou multiplicada por

100 para produzir o resultado final.

EXEMPLO 1: Obtenha as grandezas abaixo em pu e em percentual, assumindo como base os valores especificados.

a) V1 = 126 kV, assumindo como valor base 120 kV.

pu 1,05 120126 V1 ==

%1051001,05V1 =×=

b) I1 = 10 A, assumindo como valor base 50 A.

pu 0,25010I1 ==

%201000,2I1 =×=

4. SISTEMA PU PARA REDES EM REGIME PERMANENTE SE-NOIDAL

Uma rede é dita em regime permanente senoidal quando todas as ten-

sões e correntes em qualquer ponto desta rede são funções senoidais ou se-

nóides. Sendo senóides, essas tensões e correntes podem ser representadas

por fasores.

Será demonstrado que tanto para redes monofásicas como para as trifá-

sicas em regime permanente senoidal, é suficiente definir apenas duas dessas

grandezas como grandezas base, para que todos os demais valores base fi-

quem perfeitamente definidos a partir das relações entre elas.

Para uma rede monofásica em regime permanente senoidal vamos es-

colher duas grandezas quaisquer como base: a tensão base VBASE e a potência

base SBASE. Os demais valores base para as grandezas dessa rede podem ser

calculadas pelas seguintes equações:


III - 4

A corrente base (IBASE) pela equação:

Base

BaseBase

VS= I [3]

a impedância base (ZBASE) pela seguinte equação:

Base

2Base

Base

Base

Base

Base

BaseBase

SV =

VSV =

IV = Z

BASE

2BASE

BASE SV = Z [4]

Finalmente, a admitância base (YBase) é calculada pela seguinte equa-

ção:

2BASE

BASE

BASE

BASE

BASEBASE V

SVI

Z1 Y ===

2Base

BaseBase

VS Y = [5]

Numa rede trifásica em regime permanente senoidal existem duas for-

mas distintas de se definir valores base para empregar-se o sistema pu, uma a

partir da definição de valores monofásicos como base e outra definindo valores

trifásicos como base.

Definindo para uma rede trifásica em regime permanente senoidal como

a tensão base uma tensão fase-terra VBase e a potência aparente base uma

potência monofásica ou por fase SBase, podemos calcular a corrente base pe-

la seguinte expressão:

FN

1

Base

Base Base

VS

VS I φ

== [6]

e a impedância base (ZBase) pela seguinte equação :


III - 5

Base

2Base

Base

Base

Base

Base

BaseBase

SV =

VSV =

IV = Z

φ=

1

2FN

Base

2Base

BaseS

VSV = Z [7]

Similarmente a admitância base (YBase) pode ser obtida a partir da se-

guinte equação:

2Base

Base

Base

Base

BaseBase

VS

VI

Z1 Y ===

2

FN

12

Base

BaseBase

VS

VS Y φ

== [8]

De forma alternativa, os valores base para uma rede trifásica em regime

permanente senoidal podem ser escolhidos a partir de valores trifásicos. Defi-

nindo a tensão base VBase como uma tensão de linha V3φ e a potência apa-

rente base SBase como a potência trifásica S3φ. Podemos calcular a corrente

base pela seguinte expressão:

FF

3

Base

Base Base

.V3S

.V3S I φ

== [9]

A impedância base (ZBase) em ohms por fase é calculada pela seguinte

equação:

3φ

3φ

3φ

3φ

3φ

Base

BaseBase

V3S 3

V = I 3

V IV= Z =

3φ

23φ

BaseSV = Z [10]


III - 6

e a admitância base (YBase) é calculada por :

23

3

3

3

BaseBase

VS

VI

Z1 Y

φ

φ

φ

φ=== [11]

É interessante notar que os valores por unidade das grandezas por fase

são iguais aos valores por unidade das grandezas trifásicas de linha em um

determinado ponto do sistema, quando tomamos como base os respectivos

valores nominais monofásicos e trifásicos das grandezas consideradas. Sendo

assim, o valor por unidade da potência aparente trifásica é igual ao valor por

unidade da potência aparente monofásica em um determinado ponto do siste-

ma, quando tomamos como base o valor da potência aparente nominal mono-

fásica e trifásica. Dessa forma, os módulos das grandezas de linha e de fase

em pu são:

fpu1

f

1

f

3pu V

VV

V3V3

VVV ====

φφφ [12]

fpu1

f

1

f

3pu S

SS

S3S3

SSS ====

φφφ [13]

fpu13

pu III

III ===

φφ [14]

pu13

pu ZZZ

ZZZ ===

φφ [15]

É importante destacar que, como os valores base são escalares, o sis-

tema pu não impõe qualquer restrição às fases, isto é, as grandezas em pu têm

o mesmo ângulo que os valores reais.

Portanto no caso de uma impedância, temos


III - 7

jXRZ += [16]

BaseBaseBaseBasepu

ZjX

ZR

ZjXR

ZZZ +=

+== [17]

Como, Zpu = Rpu + jXpu , concluímos que:

BaseBaseBase ZXR == [18]

Logo, para o sistema pu o valor base da impedância é único valendo

tanto para uma resistência como para uma reatância.

Procedendo de forma similar, para a potência, temos

jQPS += [19]

pupuBaseBaseBaseBase

pu jQPS

jQS

PS

jQPS

SS +=+=+

== [20]

Como, Spu = Ppu + jQpu concluímos que

BaseBaseBase QPS == [21]

Portanto, para o sistema pu, o valor base de potência é o mesmo para a

potência ativa, reativa e aparente.

Analisando as expressões [7] e [10], é importante destacar que embora

ambas equações para a impedância base possam parecer similares, elas são

distintas, pois a primeira expressão relaciona valores bases monofásicos com

tensão de fase e potência de fase, enquanto que a segunda é válida para valo-

res bases trifásicos com tensão de linha e potência total trifásica.


III - 8

Exemplo 2: Para um sistema elétrico conhecido, adotando-se como valores

base 50 MVA e 200 Ω, determine as grandezas a seguir em pu: a)

200 A, b) 80 mho, c) (20 + 40)j MVA, d) 65 MW, e) 40 MVAR, f) 50

Ω.

Solução: Cálculo da tensão base:

SVZ

base

2base

base =

kV100101002001050 SZ V 36basebasebase =×=××=×=

Cálculo da corrente base:

A68,288101003

1050V3

SI3

6

base

basebase =

××

×==

Cálculo da admitância base:

mho 05,0200

1Z

1Ybase

base ===

Obtendo as grandezas dadas em pu:

a) Corrente I = 200 A em pu

pu 69,068,288

200Ipu ==

b) Admitância Y = 80 mho em pu

pu 1600 05,0

80Ypu ==


III - 9

b) Potência aparente S = (20+40j) MVA em pu

pu )8,0j4,0(50

40j20 Spu +=+

=

b) Potência ativa P = 65 MW em pu

pu 3,15065Ppu ==

b) Potência reativa Q = 40 MVAR em pu

pu 8,05040Qpu ==

b) Impedância Z = 50 Ω em pu

pu 25,020050Zpu ==

5. EQUAÇÃO DE MUDANÇA DE BASE

Usualmente, os valores de impedância dos equipamentos elétricos são

expressos em pu usando como valores base os seus próprios valores nomi-

nais. Nos sistemas elétricos, a existência de diferentes circuitos com compo-

nentes e equipamentos de diferentes valores nominais, exige a definição de um

conjunto de valores base comum para todo o sistema elétrico.

A escolha de um conjunto de valores base comum para o sistema elétri-

co cria a necessidade de se expressar as impedâncias dos equipamentos em

pu neste novo conjunto de valores base através de expressões que realizem a

mudança de base.

De maneira genérica, o problema de mudança de base pode assim ser

descrito: Conhecida a impedância de um componente em pu numa base antiga

ZpuBA, associada aos valores de tensão VBA e potência SBA, podemos determi-


III - 10

nar a impedância deste componente ZpuBN associados aos valores de base no-

va de tensão VBN e potência SBN.

Na base antiga, tem-se:

BA

ComponentepuBA

ZZZ = [22]

BApuBAComponente ZZZ ×= [23]

Na base nova, tem-se

BN

ComponentepuBN

ZZZ =

[24]

BNpuBNComponente ZZZ ×= [25]

Igualando-se as equações [23] e [25], obtém-se

BNpuBNBApuBA ZZZZ ×=× [26]

BN

2BN

puBNBA

2BA

puBASVZ

SVZ =

[27]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

BA

BN2

BN

BApuBApuBN

SS

VVZZ

[28]

Na prática, costuma-se usar a equação [28] para mudar a impedância em

por unidade de uma base antiga para uma impedância em por unidade em uma

base nova.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

BaseVelha

nova Base2

nova Base

velho Basevelho punovo pu

SS

VVZZ [29]


III - 11

Exemplo 3: A impedância de um dado componente é de 0,25 por unidade

baseado nos dados de placa deste componente que são 13,8 kV,

50 MVA. Obtenha a impedância em pu deste componente nas

bases de 13,2 kV, 100 MVA.

Solução:

Os valores base antigos (BA) são:

⎩⎨⎧

==

MVA 50 SkV 18 V

BA

BA

Os valores base novos (BN) são:

⎩⎨⎧

==

MVA 100 SkV 20 V

BN

BN

Usando a expressão de mudança de base (equação [29]):

pu 0,54613,213,8 .

50100. 0,25 Z

VV.

SS.ZZ

2

BN

2

BN

BA

BA

BNBABN

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

6. SISTEMA PU PARA SISTEMAS ELÉTRICOS COM TRANS-FORMADORES DE POTÊNCIA

A principal vantagem de se empregar o sistema pu na solução de pro-

blemas de análise de sistema de potência está na possibilidade de se evitar

referir grandezas de um lado para outro de um transformador quando se utiliza

o circuito equivalente em pu de um transformador real.

Os transformadores ideais são transformadores que não apresentam

perdas, assim as resistências dos enrolamentos e as perdas no núcleo não

existem. Da mesma forma a permeabilidade do núcleo é infinita e o fluxo de

dispersão é desprezível, acarretando uma corrente de excitação nula.


III - 12

Para um transformador ideal, ao qual é aplicada uma tensão v1 ao enro-

lamento primário com N1 espiras, nenhuma corrente necessitará circular no

primário para estabelecer o fluxo ϕ no mesmo, pois a permeabilidade do núcleo

é infinita. A variação do fluxo confinado no núcleo gera uma tensão induzida e1

que é igual a tensão aplicada v1, uma vez que resistência do enrolamento é

desprezível.

dtdNe 11ϕ

=

Assim

dtdNev 111ϕ

=≅ [30]

Desde que nenhuma dispersão ocorre no núcleo de um transformador i-

deal, o mesmo fluxo estará concatenado com as N2 espiras do enrolamento

secundário, produzindo neste uma tensão induzida e2, igual à tensão nos ter-

minais do secundário v2, dada por

dtdNev 222ϕ

=≅ [31]

Dividindo a equação [30] pela equação [31] obtemos a seguinte equação

para o transformador ideal:

2

1

2

1

2

1

2

1

NN

dtdN

dtdN

ee

vv

=ϕ

ϕ

=≅

2

1

2

1

2

1

NN

ee

vv

=≅ [32]

Assim um transformador ideal transforma as tensões na relação dire-

ta do número de espiras dos respectivos enrolamentos.


III - 13

Como um transformador ideal não tem perdas, a potência instantânea en-

tregue no enrolamento primário é igual a potência instantânea que entregue a

carga no enrolamento secundário.

2211 i.ei.e =

2

1

1

2

2

1

NN

ii

ee

== [33]

Figura 1 – Transformador ideal em carga

Considere agora o transformador ideal operando em regime permanente

senoidal como pode ser visto na Figura 2, a equação [32] pode ser reescrita

para os fasores V1, E1, V2 e E2.

2

1

2

1

2

1

NN

EE

VV

=≅ [34]

Figura 2 - Transformador ideal em vazio em regime permanente senoidal

Na Figura 3 está apresentado o transformador ideal com uma carga co-

nectada nos seus terminais do enrolamento secundário, solicitando uma cor-


III - 14

rente I2 , estabelecendo uma fmm N2.I2. Esta fmm produzira um fluxo ϕ2 que se

oporá ao fluxo existente no núcleo. Assim o fluxo líquido no núcleo diminuíra de

valor e, com ele, também a tensão induzida E1, perturbando o equilíbrio pre-

sente no circuito primário. Uma corrente será, então, originada neste enrola-

mento com o objetivo de restaurar o fluxo no núcleo ao seu valor original e,

deste modo, elevar a tensão induzida E1 até a equiparação com a tensão apli-

cada.

Este é o modo pelo qual o primário toma conhecimento da presença de

corrente no secundário. Logo, o valor da corrente no primário devera ser tal

que anule o efeito da corrente no secundário, ou seja, deverá produzir uma

fmm igual a aquela estabelecida no secundário

2211 ININ •• = [35]

Figura 3 - Transformador ideal em carga

A fmm líquida agindo no núcleo é, portanto, nula, de acordo com a supo-

sição de que a corrente de excitação ideal é nula. Logo, da equação [33], de-

duz–se que

2

1

2

1

NN

II= [36]

Assim, um transformador ideal transforma as correntes na razão inversa

do número de espiras nos respectivos enrolamentos. O transformador ideal não

exibe perdas, nem tampouco requer potência reativa para magnetização do

seu núcleo, portanto a potência de entrada no seu enrolamento primário é


III - 15

transferida integralmente para o secundário. Se as relações de tensão e de

corrente obtidas anteriormente são combinadas, temos que:

2211 IVIV •• = [37]

Conclui-se que, num transformador ideal, a potência no primário iguala-se

à potência no secundário.

O circuito equivalente do transformador real apresentado na figura 4 é ob-

tido a partir do modelo definido para o transformador ideal acrescentando-se ao

mesmo, os efeitos da resistência e da dispersão dos enrolamentos, bem como

as exigências de potência requerida para magnetizar o núcleo.

Figura 4 - Circuito equivalente de um transformador real

O circuito equivalente dos transformadores reais apresentado na Figura 4,

tem os seguintes parâmetros:

R1 - resistência do enrolamento primário

R2 - resistência do enrolamento secundário

X1 - reatância de dispersão do enrolamento primário

X2 - reatância de dispersão do enrolamento secundário

Bm - susceptância de magnetização

Gp – condutância de perdas no núcleo.

Na Figura 4 estão também indicados as seguintes grandezas: I1 - corrente

do enrolamento primário , I2 - corrente do enrolamento secundário, I0 - corren-

te de excitação , V1 - tensão aplicada ao terminais do enrolamento primário e

V2 - tensão aplicada nos terminais do secundário.


III - 16

A presença dos transformadores nos sistemas elétricos de potência exige

nos estudos e cálculos usando os valores das grandezas nas suas respectivas

unidades a necessidade de se referir correntes e tensões para o enrolamento

primário ou secundário conforme seja conveniente.

A utilização do sistema por unidade evita esse trabalho de se referir gran-

dezas, desde que a escolha dos valores base dos dois enrolamentos seja feita

seguindo as seguintes regras:

a) A potência base em VA deve ser a mesma para os dois enrolamentos do

transformador de potência, isto é:

2B1B SS = [38]

SB1 - Potência base do enrolamento ou circuito primário.

SB2 - Potência base do enrolamento ou circuito secundário.

b) Todos os enrolamentos do transformador devem ter a mesma base de força

magnetomotriz, assim:

2B21B1 ININ •• = [39]

IB1 - Corrente de base no circuito primário

IB2 - Corrente de base no circuito secundário

Da equação [37] temos:

12B

1B

NN

II 2

= [40]

A equação [36], nos diz que:

2B1B SS = [41]

2B2B1B1B IV3 IV3 •••• = [42]

Portanto:

2

1

1B

2B

2B

1B

NN

II

VV

== [43]


III - 17

Escolhendo os valores base a partir das especificações anteriores para o

transformador ideal, podemos exprimir a corrente no enrolamento primário em

pu, pela seguinte equação:

2B

2

2B

2

11

1

2B2

1

B1

1pu1

II

ININ

NIN

IIII ====

•

•

[44]

Mas como:

2B

2pu2

III = [45]

Concluímos que, as correntes primárias e secundárias em pu são iguais.

pu2pu1 II = [46]

Procedendo de maneira similar, para a tensão no enrolamento primário do

trafo ideal, obtemos:

B2

2

2B2

1

22

1

2B2

1

1

B1

11pu

VE

V.NN

E.NN

V.NN

EVEE ==== [47]

Mas como:

B2

22pu

VEE = [48]

Concluímos que, as tensões primárias e secundárias em pu são iguais.

pu2pu1 EE = [49]

Para as impedâncias, temos que:

B1

2B1

1

B1

11pu

SVZ

ZZZ == [50]


III - 18

B2

2B2

2

B2

22pu

SVZ

ZZ Z == [51]

Referindo Z1 para o lado de BT, usando a relação de transformação, tem-

se

1

2

B1

B22 Z

VV Z ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= [52]

Substituindo na equação [49], tem-se

1pu

B2

2B1

1

B2

2B2

12

B1

B22pu Z

SVZ

SVZ

VV Z ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= [53]

Tpu2pupu1Tpu ZZZZ === [54]

Examinando as equações [44], [47] e [52] verifica-se que a necessidade

de se referir impedâncias deixa de existir pois em pu o transformador ideal

passa a ter uma relação de transformação de 1:1 tornando dispensável sua

representação no circuito equivalente do transformador real.

Figura 5 - Circuito equivalente do trafo em pu

A Figura 5 apresenta o circuito equivalente em pu para o trafo real. É u-

sual se desprezar a corrente de excitação e o próprio ramo de magnetização


III - 19

no circuito equivalente do transformador real pois esta corrente é da ordem de

1 a 2 % da corrente nominal como está apresentado na Figura 6.

Figura 6 - Circuito Equivalente de um Transformador em pu

Do circuito equivalente em pu apresentado na Figura 6 para o transfor-

mador real, desprezando-se o ramo de magnetização, temos:

pu RRR 21qe += [55]

puXXX 21eq += [56]

Figura 7 - Circuito transformador em pu sem o ramo de magnetização

Finalmente, para transformadores de potência de alguns MVA em diante,

as resistências dos enrolamentos são muito pequenas quando comparadas

com as reatâncias de curto circuito, sendo também aceitável se adotar para

transformadores nessas condições se utilizar o circuito equivalente apresenta-

do na Figura 8.


III - 20

Figura 8 - Circuito equivalente reduzido em pu

A Tabela 1 apresenta valores típicos da impedância de curto circuito de

transformador de dois enrolamentos separados.

Tabela 1 - Valores típicos de impedância de curto-circuito

POTÊNCIA NOMINAL (KVA) IMPEDÂNCIA(%)

P < 630 4,0

630 < P < 1250 5,0

1250 < P < 3150 6,0

3150 < P < 6300 7,0

6300 < P < 12500 8,0

12500 < P < 25000 10,0

25000 < P < 200000 12,8

Exemplo 4: Para um transformador trifásico de 2 MVA de 69/230 kV, 5%, de-

termine a impedância no lado de AT e no lado de BT.

Solução

a) Impedância do transformador pelo lado de baixa tensão

( )Ω=

××

×=×= 03,11910210690,05 ZZ Z 6

23

baseBTTpuBT


III - 21

b) Impedância do transformador pelo lado de alta tensão

( )Ω=

××

×=⇒×= 132310210230,05 Z ZZZ 6

23

ATbaseATTpuAT

7. VANTAGENS DO SISTEMA PU

Em problemas envolvendo sistemas elétricos, a utilização dos valores por

unidade produz inúmeras vantagens. As mais significativas vantagens do mé-

todo por unidade estão apresentadas a seguir.

• A simplificação dos cálculos, especialmente para sistemas complexos, for-

mados por muitos transformadores, pois não haverá necessidade de pro-

mover a transferência de impedâncias de um lado para outro desses trans-

formadores, fato que, no cálculo tradicional, torna o procedimento enfado-

nho e sujeito a erros;

• As impedâncias dos transformadores e máquinas elétricas do mesmo tipo e

de valores nominais de tensão e potência muito diferentes, situam-se numa

faixa relativamente estreita, embora seus valores ôhmicos sejam grande-

mente diferentes, permitindo verificar se não foi cometido algum engano nos

parâmetros de um dado equipamento, como também estimar valores razoa-

velmente corretos quando não se conhece os parâmetros de um dado equi-

pamento;

• Num transformador de potência, o valor da impedância em pu no lado de

baixa ou de alta tensão é a mesma, independente dela ter sido obtida a par-

tir dos valores ôhmicos referidos ao lado de alta ou a partir dos valores refe-

ridos ao lado de baixa tensão. Conseqüentemente, apresenta-se um só va-

lor na placa do transformador para a impedância em pu ou percentual, evi-

tando apresentar dois valores em ohms.


III - 22

8. BIBLIOGRAFIA

[1] Elgerd, Olle L.. Introdução a Teoria de Sistemas de Energia Elétrica. Primei-

ra Edição, Editora McGraw-Hill, 1976.

[2] Stevenson Junior, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de Potência

Segunda Edição, Editora McGraw-Hill, 1986.

[3] Ramos, D. S. & Dias, E. M. Sistemas Elétricos de Potência: Regime Perma-

nente. Rio de Janeiro, Editora Guanabara Dois, 1982 volumes 1 e 2.

[4] Robba, E. J.; Schmidt, H. P.; Kagan, N; Baroni, C. C. Introdução a Sistemas

Elétricos de Potência. Segunda Edição. Editora Edgard Blucher Ltda,1996

[5] El-Hawary, M. E. Electrical Power Systems. Piscataway, IEEE Press, 1995.

[6] Stagg, G. H. & EL-Abiad, A. 1-1. Computer Methods in Power System Anal-

ysis. New York, McGraw-Hill, 1968.

[7] Monticelli, A. Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica. São Paulo, Edi-

tora Edgar Blücher, 1983.

[8] Fitzgerald, A. E.; Kingsley,C,; Umans, Stephen. Máquinas Elétricas Sexta

Edição 2006. Editora Bookman.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Para o sistema elétrico da Figura 9, cujos dados estão expressos na Tabela 5,

obtenha o diagrama de impedâncias com todas as impedâncias em pu na base

comum de 100 MVA e 13,8 kV na barra 1. Determine a tensão na barra 1 e a

corrente em cada trecho do sistema elétrico para a condição de carga dada.

Figura 9 – Sistema elétrico


III - 23

Tabela 2 N0 COMPONENTE parâmetros 1 trafo trifÁsico -t1 50 MVA, 230 kV / 13,8 kV, 5% YNd12 linha de transmissão lt1 j200 ohms 3 trafo trifÁsico -t2 40 MVA, 230 kV / 69 kV, 6% YNd1

4 carga 30 MVA em 68 KV com fAtor de potência nominal de 0,82 Indutivo

Solução:

O sistema elétrico da Figura 9 apresenta três circuitos como pode ser visto na

Figura 10.

T1

LT1

T2

CIRCUITO 1 CIRCUITO 2 CIRCUITO 3

Figura 10 – Circuitos do sistema elétrico

Para eliminar os transformadores ideais existentes na modelagem dos trans-

formadores de potência T1 e T2, os valores base escolhidos devem ser os se-

guintes:

KV ,09623069.VV

KV 230,013,8230.VV

KV 13,8V

MVA 100 S S S

B2B3

B1B2

B1

3BB21B

==

==

=

===

Colocando todas as impedâncias dos componentes do sistema elétrico da Fi-

gura 9 em pu na base comum do sistema elétrico:


III - 24

pu 5 j0,1 40

100.06,0j2

VV.

SSZ Z

pu j0,378

100230200j

SVZ

ZZ Z

pu j0,1 50

100.05,0j2

VV.

SSZ Z

BN

BA

BA

BNT2BA.T2BN

2

2B

2B2

LT1

B2

LT1T1BN

BN

BA

BA

BNT1BA.T1BN

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Escolhendo a tensão na barra de carga como referência, a corrente e a tensão

na barra de carga em pu na base comum do sistema elétrico são obtidas pelas

seguintes equações:

0C

0CC

04CARGA

92,34 3044,0I

92,34)FParccos(I 3044,0

6968

10030

I

pu 0 0,9855 6968 V V

−∠=

−=−=∠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

∠===

A tensão na barra 1 em pu na base comum é calculada pela seguinte equação:

pu 8,15 1,1061 ).IZZ(Z V V 0CT2LT1T1CARGA1 ∠=+++=

Figura 11 – Diagrama de Impedâncias


III - 25

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Quais são as vantagens de empregar o sistema por unidade para análise de

sistemas elétricos?

2. Explique porque, quando se escolhe valores base para duas grandezas

quaisquer de uma rede em regime permanente senoidal, todos os valores

base das demais grandezas ficam também estabelecidos.

3. Conceitue transformador ideal e demonstre como se obtém a sua relação

de transformação.sistema elétrico? Demonstre as equações do transfor-

mador ideal.

4. O que significa no transformador ideal, não existir fluxo disperso nos enro-

lamentos? O que significa no transformador ideal, não existir perdas no nú-

cleo?

5. Demonstre porque quando empregamos o sistema por unidade na modela-

gem de transformadores de potência, o transformador ideal pode ser elimi-

nado.

6. Deduza a expressão para obter uma impedância em pu numa base nova

(SBN, VBN) conhecendo-se o valor em pu desta impedância numa base ante-

rior (SBA, VBA).

7. Deduza a expressão para obter uma corrente em pu numa base nova (SBN,

VBN) conhecendo-se o valor em pu desta corrente numa base anterior ((SBA,

VBA)).

8. Forneça as grandezas a seguir em pu nas bases trifásicas de 10 MVA e

100Ω : a) 120A, b)95 mho, c)(10+j20)MVA, d)(6+5j)A, e)34 MW, f)23 MVAR.


III - 26

9. Um circuito trifásico em regime permanente tem definidos os valores base

de admitância base de 20 mho e corrente base de 10A. Determine os de-

mais valores base.

10. Explique porque a utilização do sistema pu facilita os cálculos envolvendo o

projeto dos sistemas elétricos.

11. Explique porque utilizar o sistema pu em cálculos envolvendo sistemas elé-

tricos é importante na depuração de possíveis erros.

12. Explique porque os valores base de potência ativa, reativa e aparente de-

vem ser iguais.

13. Explique porque os valores base de impedância, reatância e resistência

devem ser iguais.

14. Deduza a expressão para obter uma admitância em pu numa base nova

(SBN, VBN) conhecendo-se o valor em pu desta admitância numa base ante-

rior (SBA, VBA).

15. Explique como se emprega o sistema por unidade para transformadores de

potência de três enrolamentos.

16. Explique como se emprega o sistema por unidade para auto-

transformadores de potência.

17. Obtenha valores típicos de impedância de transformador em pu em função

da potência do transformador.

18. Explique porque quando se trabalha em por unidade independendo do sis-

tema elétrico ser trifásico ou monofásico, podemos obter a corrente em por

unidade pela seguinte equação:

PU

PUPU V

SI =


III - 27

19. Quando se trabalha em pu a impedância base é um valor expresso em

ohms por fase ou entre fases?

20. Explique como devem ser escolhidos os valores base de quatro circuitos

conectados através de um transformador de potência de quatro

enrolamentos.

21. Explique quais são as diferenças entre obter a impedância em pu num

circuito monofásico e num circuito trifásico. Detalhe as diferenças no

caso do circuito trifásico se as impedâncias estiverem conectadas em

estrela ou se elas estiverem conectadas em triângulo.

22. Obtenha os valores em por unidade das impedâncias Zab = (3+j5)Ω , Zbc

= j4Ω e Zac = (2+j3)Ω da Figura 12. Assuma corrente base de 10A e

tensão base de 8V.

Zab Zca

Zbc

Figura 12

23. A impedância de um transformador de potência tem nos seus dados de

placa um valor de 5%. Quais são os valores base desse valor expresso

em percentual?

24. Apresente valores típicos em pu para a corrente de excitação de um

transformador de potência.

25. Apresente valores típicos em pu para as perdas em vazio e no cobre

nominais de um transformador de potência.


III - 28

26. A reatância síncrona de um motor síncrono é de j.0,9 pu. O motor

síncrono é de 2 MW; 6,6 kV; rendimento nominal de 91%, fator de

potência nominal de 89%, 60 Hz. Obtenha esta reatância na potência

base de 4 MVA e 6,7 kV.

27. Considere o sistema elétrico apresentado na Figura 13, com os dados

dos principais componentes apresentados na Tabela 1, admita o motor

operando absorvendo 4 MVA na tensão de 14 KV com fator de potência

de 0,83 indutivo. Pede-se determinar a corrente na fase a da linha de

transmissão, a corrente IAB no triângulo do transformador T3 e a tensão

fase-terra e fase-fase na baixa tensão de T1.

T1

LT1

T3G1 M1

Figura 13

Tabela 3 – Dados dos componentes

N0 COMPONENTE parâmetros 1 GERADOR SÍNCRONO - G1 8 MVA, 13.8 kV, Xs = 0.9 pu 2 TRAFO TRIFÁSICO -T1 10 MVA, 69 kV / 14 kV, 4% YNd13 LINHA DE TRANSMISSÃO LT1 j47,6 ohms 4 TRAFO TRIFÁSICO -T3 10 MVA, 69 kV / 13,8 kV, 5% YNd1

5 MOTOR SÍNCRONO - M1 6 MW, 14 KV, rend. nom. - 0,91, FP nominal -0,92 ind,.Xs = 1.2 pu

28. Considere o sistema elétrico apresentado na Figura 14, com os dados da

Tabela 4, alimentando uma carga de 8 MVA , com fator de potência de

0.85 indutivo na tensão de 13 kV. Pede-se obter a corrente nos terminais

do gerador G1 e a tensão na alta tensão do trafo T2. Determine a

potência gerada pelo gerador G1 para atender a carga. Determine

também os MVAR de banco capacitor necessário para corrigir o fator de

potência da carga para 0.92, admitindo a carga constante.


III - 29

T1

LT1

T2G1

Figura 14


N0 COMPONENTE parâmetros 1 GERADOR SÍNCRONO - G1 15 MVA, 13.8 kV, Xs = 0.9 pu2 TRAFO TRIFÁSICO -T1 15 MVA, 70 kV / 14 kV, 5% YNd113 LINHA DE TRANSMISSÃO LT1 J50 ohms 4 TRAFO TRIFÁSICO –T2 10 MVA, 69 kV / 13,8 kV, 5% YNd1

29. Obtenha a corrente IAB no interior do triângulo do transformador T2 do

sistema elétrico da Figura 15 admitindo que os dois motores operam na

tensão nominal, absorvendo cada um 6 MW com fator de potência 0,87

indutivo. Os dados dos componentes desse sistema elétrico estão

apresentados na Tabela 5.

1 2 3

4

T1 T2

LT1G1

M1

M2

Figura 15


N0 COMPONENTE parâmetros 1 GER. SÍNCRONO G1 20 MVA, 13.8 kV, Xs = 0.98 pu 2 TRAFO TRIFÁSICO T1 24 MVA, 232 kV / 14 kV, 5% YNd1 3 LINHA DE TRAN. LT1 J240 ohms 4 TRAFO TRIFÁSICO T2 20 MVA, 230 kV / 6,6 kV, 5% YNd1 5 MOT. SÍNCRONO - M1 8 MW, 6,5 KV,rend.nom. - 0,9, FPnom - 0,88 ind,.Xs = 1.25 MOT. SÍNCRONO – M2 8 MW, 6,5 KV,rend.nom. - 0,92, FPnom - 0,85 ind,.Xs = 1.0


III - 30

30. O sistema elétrico da Figura 16 opera em regime permanente considere

conhecidas as tensões internas das máquinas síncronas apresentadas

na Tabela 6. Os dados dos componentes desse sistema elétrico estão

apresentados na Tabela 7. Pede-se obter os fluxos de potência ativa e

reativa em cada ramo bem como as respectivas perdas ativas e ”reati-

vas”.

T0 LT1

LT2 LT3

T1M1G1

M2

T2

21 3 4

5

6

Figura 16

Tabela 6 – Tensões internas das máquinas

Componente tensão fase g1 1,05 00 m1 0,95 - 5,60 m2 0,98 - 4,30


N0 COMPONENTE parâmetros 1 GERADOR SÍNCRONO - G1 40 MVA, 13.8 kV, Xs = 0.9 pu2 TRAFO TRIFÁSICO –T0 50 MVA, 230 kV / 14 kV, 5% YND113 LINHA DE TRANSMISSÃO LT1 J250 ohms 4 LINHA DE TRANSMISSÃO LT2 J450 ohms 5 LINHA DE TRANSMISSÃO LT2 J300 ohms 6 MOTOR SÍNCRONO - M1 15 MW,10 kV, Xs = 0.94 pu, fpnom=0,86, rend.nom.=0,917 TRAfO TRIFÁSICO –T1 20 MVA, 242 kV / 10 kV, 6% YNd18 MOTOR SÍNCRONO – M2 10 MW, 6,6 kV, Xs = 0.9 pu, fpnom =0,82, rend.nom = 0,99 TRAfO TRIFÁSICO –T2 15 MVA, 230 kV / 6,6 kV, 7% YNd1

Cap3 - Sistema Por Unidade

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