Eduardo construu um caixa em forma de blocofetangular, sem tmpa, a part ir de uma foih retan.gulardecartol inaque media 33 cm por20 cn, recor-tando um quadrado em cda vrt ice do retngulo,conforme most a figua.

33 cm

Pronta caix,seu colega oninho pergantou qualera a medida do lado do quadrado recortado. Eduar-do respordeu: "Vou lh dar uma pista: a cax icacompletamente cheja se voc despejr um sco de1,05 l i tro (1050 cm3) de areia".

Como Toninho dever proceder para descobrir amedide do lado do quadrado?

Inicialmente, ele dever identi icrs dimenssda caixa, n qualx a medida do iado do quadrado.

0 volume de um bloco fetangulr (paraleleppedo) dedo por V = (compfimento) . (largura) (atrura),iso :

V = (33 - 2x) (20 2x) xV=4x3- 106x2 + 660x

Assim, a condio do problema :

4x3-106x,+660x=1050

e ovalordexprocurado uma soluo o quaao:

2x3 - 53x2 + 330x 52s = o

Essa equao um exemplo de equao algbri-c ou polinom1, objeto de estudo deste captulo.

Ao f inl do caphulo. podeemos concluir quex= 2,5 uma soluo dessa equ0, sto , Eduardocortou quadrados cujos lados medim 2,5 cm.

Definio[quaao poli . omialou lebrrc e toda equao

redutvel orha p(") = 0, em qu p(x) = anx" ++an rxn-1+.. . + arx + ao um pol inmio de greu n,n > 1, com coelcientes em C e a varivelx assu-me um vlor qualqur m C.

Vejmos lguns exemplos:. x3+4x2-x+1=0

. 1xa_r l2x=04

zlx' + J ' 5x + zr = lJ

33-2x

,o ri

33-2r

5b

RaizUm nmero complexo r raiz da equo poli-

nomial p(x) = 0, em que p(x) = anxn + an- rxn - 1++ ... + a1x + ao, qundo, substjtuindo x por r nequao e efetuando os clculos, obtemos:

P(r)="r"+a" 1rn 1+.. . + arr+a6= 0Em outres palavras, r e raiz de uma equao

p(x) = 0 se or raiz do polinmio p(x).

Conjunto soluoConjunlo soluo de uma equo polinomial

o conjunto de todas s rzs dss equ0.0uando o gru do polnmio for 1 ou 2, j sabe-

mos como encont:rr o conjunto soluo da equeo:basta resolver a equao de 19 ou de 29 grau, res-pectivamente.

Pr enconlrar as rezes dos polinmios de greu3 ou 4, existem frmulas resolutivas. No entanto,essas frmulas no so estudadas nos cursos deensino mdo.J pra os polinmiosde gru moque4, no exste uma frmula resolutiva que s pli.que a qualquer equa0.

Neste captulo conseguiremos, em alguns casos,encontrar as razes de um polnmo prtrde alBu-ma anfofmo prvi sobre ele. Pr tnto, vmosconhcr alguns teoremas jmportantes sobre asrazes de um polinmio.

i il;;;ffi;;;;;;;;;;,;; i, menos uma riz complexe. j

Admitiremos aquia vaidade desseteorema semdemonstra0.

Teorema dadecomposio

m polinmio de grau ,, n > 1, i

+ an- rxn- 1+

,.. + arx + ao(an + 0)

Enro, px) pode ser decomposto em nftores do 19 gru sob e orm:

p(x)=a" (x-1) (x-rr) . . . (x-r") iem que rr. 12,... , rn so as razes de p(x) e a"o coeicient dominante de p(x).Vejamos demonstro dess teoremComo p(x) um polinmio de grau n > 1, o FA

garante-nos que p(x) tem ao menos uma raiz com-plexe rt. Assim, p(rr) = 0 e, pelo teorem deD'Alembert, p(x) divisvel porx- 11. Ento:

P(x) = (x_t).q!(x) oem que qr(x) um polinmio de grau n - 1 e coe-ciente dominante on (pois o divisor x - r! tem coe-ficiente dominnte unitrio).

Temos:a) Se n = 1, ento q1(x) um polinmio de grau

1- 1 = 0, ou sja, q1(x) um polinmio constan-te, ddo porql(x) = an. Substituindo m O, vemp (x) = a"(x- rJ,e o teorema ca demonltrado.

b) Se n > 2, ento n- 1> 1.Assim, podemospli-car o TFA ao polinmio qr(x), sto e, q, (x) tem aomenos um raiz complexa 12. Assim, qr(r2) = 0 eq1(x) divsvelporx- rzl

q1(x) = (x- 2).q,(x) @em queq,(x) um polinmo degrau n -2 e coe-frc,ente dominante on. Sutstituindo @ em @,resulta:

p(x)-(x-rr) (x rr).qr(x) OS n = 2, qz(x) um polinmio de gra 0, ddo por9z(x) = a". oe @, segue que pr(x) = a"(x - rr) ''(x-12), e oteorema fca demonstrado.

i ' - - " ' : 'i Seja p(x) uj dado pori P(x, = ix"

Teorema Fundamentalda gebra (TFA)

587

c) Aplcando sucessivente n vezes oTFA, obtemos:p(x)=(x 11) (x rr) . . . . . (x r") q,(x)

em que q"(x) um polinmio de grau n n = 0,dado por q.(x) = a".

p(x) = a"(x rr) (x rr) .-' (x h)

Pode=en oslrrq.e.Lore 'ceaodao dendoq alo

" , do pod-ro. d decor, posr"o cle

pl / , er ' " o ' cJ 'u", ral?e5 e unicD /eno. o " coe u.r ooc po i -r ioc oe19grau,x 11,x 12,,x-r" ,umhtordep(x). :p(x) divisvel por cd um cle seLrs fatoTes,indivdu mente, e lambm porqualque produto desses atores-

em que on o coefcierte dominarte de p(x).

p(x)=a"(x 'z+x 2) (x-5)p(x) = a"(x3-4x2 - 7x + 10)

Esco hendo, por exemplo, an = 1, segue aequo x3 4xe - Zx + 10 = 0.

Esetvssemos escolhidooutro va orpra on?Caso t jvsseos escolhido an = 2,19ri6roa

em (*):p,,) 2x- l) G 2) (x s)

e a equao obtida 2(x 1) (x+2) (x-5)=0,que eqlrvale a (x 1) (x + 2) (x - 5) = 0.

0e falo, a equao an(x- 1) (x+2) (x 5)== 0 present como conjunto soluo S= {1,-2,5},Vn+0.du10 desses Etores_

tt,*rseqi'*c;ial d* t**remar.il c*rr*rulpu*ir*

Toda equao polnomialde grau n, n > 1,admite exatamente n azs complexas.

Astrs rzes do polinmio xl -4x2- 11x+ 30so2, 3e5.

Usando o teorema da decornposi0, essepolnmio pode se atordo como:

1(x-2) (x+3) (x s)

V"mos escreuer rr" "quao

lgbric de39 grau cujas razes sejam 1, 2 e 5.

Seja p(x) o polinrnio de grau 3 procurado.Usndo o teofema da decomposi0, podemosescTevera

p(x) = an(x 0.(x+2) (x- t f )

Como podemos encontraro conjunto soluoqa equacao v .ur ' - zY{ - 5/ - u, sabendo queuma ds rzes 4?

Seja p(x) o polinmio dado e 4, ra e 13 suasrazes. l jsando o teorema d decomposi0, po-dem0s escrever:

pG)=1(" 4).(1 :_(,Jq(x,

rs10 e:

p(") = (x +) .q(x)Acsrr . p , ) e divrs velpo / -4)eoquocie^-

te dessa diviso q(x). usando Briot-Ruffini,vem:1-82952t-4 13

Desse modo, s demais rzes so obtidsdeq(x)=0, isto,xz-4x+ 13=0 + x= 2 3iou x 2 l i e o conlunto so Jo d equoP(x) = o ,

S={4,2 3i ,2 + 3i}

EIJ'}

D!s das razes da equo 2x4 + 5x3 -- ,5x ' , UX | 4J

- U S0 J e 4. UU|S Sao S

outras d!as razes?Sej p(x) o polnmio dado e 3, 4, 13 e 14

suas razes.Podemos escrever o polinmio da seg!nte

orma:

p(x)=2(x+3) (x+4) (x r.) (x ro)q(x)

rslo e:

p(x) = 2(x + 3) (x + a) q(x)E pod-s resolver de duas formas. 0bservei

. Da fatoro de p(x), conclumos que p(x) div isve] por (x + 3) (x+4)=xz+?x+12.Efetundo essa dvis0, possvel o lrler q (x).

A constfuo dos gricos e o estudo ds vari-es das funes polinorniis de greu mlor que 2fo fzem parte dos objetvos desta coleo. En-tretanto, a nterpretao de um grflco de ume un-co po| | omilde R e R' 7 I torndcoec i ' pottantes em relao fun0. Vejmos um exemplo.

observe o gfico segunte, que representaparte do grfico d funop, crescente em R, denda por p(x) = xi + axz + bx + c, com d, b e ccoef ic ientes reais:

0 grflco de p(x) intecspta oexoxuma unlc vez, no ponto (2, 0)- lsso signce que x = 2 a nca raz rea do po inmio.

A interseo do grico de p(x) com o eixo gem (0,-4) fornece o valordo coeiciente independentecde equao,pois,qundox= 0, p(0) = 4,lsto ,0r + a 02+ b 0+c= 4:=c=-4.

'p(0=-113+a 12+b 1-4=-1a+b=2

'P(2)=0(2ralz)23+a 2?+h 2 4=OAa+?b= 4

Resolvendo o sistera, vem:a=-4 e b=6

Desse modo, p(x) = x3 - 4xz + 6x 4.Para ober as dernais razes, dvd mos p(x)

pox- 2:

X+ 5x3 -35x2- B]x+ 48lzf -\4x3 ,z4x?

Y^ srr': Bar- 48lgxr + 63x'+ 108x

x2 +?x+ 12

c(x)

.0As demais rzes vm de q (x) = 6, su 5.;. '

2x ' 9x+4=O + x=4oux=+/

Podemos usar os resultdos obtidos em divi-ses sucessivas, sto , dvidimos p(x) porx + 3 e, em seguida, dividlmos o quocienteobtido porx + 4l

Fazendo q(x) = 0, obtemos'

2x2-gx+4=0.+ x=4Da:xz 2x+2=O +x=1 io! x=1+l

1ou x=7

2132 16

5'tit)

lil.rl.l ij." '.- it " 1 , r' j

.1. . Encontre as razes de cada polinmio abalxo e,em seguida, escreva-o em sua forma fatomda:al x_-ox+l)b) 2x'?- 5x + 2c) x3t4x

. screvd uma equao algbrica de grau rni-mo, con coeficientes reais, cujas azes so:

c) 0,1,2e3b) 1-2ie1+2i d) -2,3- ie3+i

.: . Re

r j (U. EViosa-MG) O inteiro 2 niz do poin-mio p(x) = 4d 4x2 - l tx + k, em que & umconstante ea. Determine:a) o vaor de / 0.

0bsrve qulp(x) divisvel por (x r)..a condio q0) + 0 signiice que r no reiz deq(*).Desse modo, a mult ipJicidade da raiz r na equa-

o p(x) = 0 exatamnte igula m.

" ' . . . ; r . . . , : ' , . i " . : i : .1,5{-Wfli. ij, , A respeito da equao a seguir:

t ' (x+ 2)a (x,1), (x+6)=0determine:a) suas rzes e as espectivas multiplicidades;Dl seu gru;c) seu conjunto souo.

l! ; : (FGV SP) Sabendo que 3 raiz dupla dopoinmo P(x) =/ 3x1 -7x2 + 15x + 18,determine as outms razes.

591

n,

isto :

Mult ip l ic idadeqe uma rarz

Ao resolvermos a equo do 29 grau xz - 12x +- 36

- 0, encontramos dus ratzes iguis 6.

0 polinmio x2 - 12x + 36 pode ser fetoraco emx - 6) x - 6) - rx 6i2. Assim, podemos dir. qJex

-

6 e, a i oLpi our / dp -u.t 'n'

c;odoe 2 da equeo.Se um polinmio p(x) possuiform fatorade igual

a p(x) = (x + 4)3. (x - 1)2 (x + 5), ao resolvermos aequao p(x) = [,^6en1;6rne5

(x + 4) (x + 4) (x + 4) (x 1)(x- 1)(x+ s) = 0de ond:

x+4=0 + x = -4 (trs vezes): -4 raiz tr ipla(ou de mu{tpl icidede 3) oux 1=0 + x = 1 (duas vezes): 1 raiz dupla(ou de mukipl icidade 2) oux + 5 = 0 = x = -5 (uma vez): 5 raiz simples(ou de mult ipl icidade 1)Assm, as seis razes (observe que p(x)tem grau 6)

de equao p(x) = 0 so 4, 4, -4, 1, 1,-5.Eseuconjunto sol!o pode ser escrito: S = I 4, 1, -5J.

Definio0 nmero complexo r !m raiz de mulriplci.

cicde 'n n \. m -- 1) d quao plx) - 0 se

forma ftorda de p(x) : 'p(x) = (x- r ) . (x r) . . . . . ( , - d qG)

' p(x)=(x-r) ' .q(x) , com

Ii" seja a equaao ax3 19x2 + 28x + m = 0. De

J m. s,rbendo que 2 e r dupla de\a equ,iiolb) outr riz.

,$, rscr."u "-u

.q"uo agbrica de grau mni-mo, com coeficientes rcais, ta que:a) -3 seja raiz dupla e 5, raiz simpes;b) -2 seja raiz de multiplicidade 3;c) i, i, I e 2 sejm zes com mutiplicidde

2, 2, 1 e 1, respectivamente.

#$,o polinmio p(x) = 4l + l2f + x2 - 12x + 4 disve por x'? + 4x + 4. Quis so as razes (erespectivas multipcidades) da equaFo p(x) = 0?

' . Em cada caso, determine a multipcidade da raiz/n equao p(x) = 0:a) r =,t e p(x) =l- t0x1+24x2 + 32x-728b) r=-2 e p(x) = 1 - 2x3 - rsx'? - 4x + 20

P. respeito da equago:x5- 9*+ 140t' - 500t' + rL\- 625 = 0, m Rsabe-se que 5 raiz ipla. Obtenha:a) o valor de rj

". ^ .r , , . ,1-,. , , ,"".

*"?. A equaao tr- zsx + 250 = 0 apresenta m omoraiz dupa e -2m como raiz simples. Qua seuconjrnto soluo?

ff4 " O grflco da funo p: R * R definida porp(x) =13 + ar'?+bx + c, coml],, e c coecienteseais, est reprcsentado a seguir:

c.)

comPlexas0 teorem que vamos estudar nos foinece uma

informao importante respito do nmero derazes complexs no reais de uma equao polino-miel com coefcients reais.

Antes de demonstr-lo, vamos presentar algu'ms propriedades importntes a respto do corju-gado de um nmero complexo.

Sejarn os nmeros complexos rr -

oi e zz-=c+di e x R.

Temos:

t. zy+4= 7t+ i ,

De fto:zr+2,=(a+c)+(b+d) izr+4-=(a+c)-(b+d) izL+zz=a + c- b-di = (a-bi) + (c-di) = t1 + t2

0e ato:

Determine rx em funo de m.Determine m pa que p(x) admita raiz du-pla djferente de lQre condies n deve satisfaze pa quep(x) dmita trs razes reais e distintas?

x 21= x(a + bi) = x +xbi

x zr = xa -xbi

x 4=x(a bi)=1 l t

h

Razes

isto :

. . . -_-* l l l . i x=x I

Sabendo que p(x) divisvel por (x - 3 )2, deter-mine:a) os valores de a, e c; lVb) as razes da equao p(x) = 0, com as res-

pectivas multipicidades.

5" (Fuvest-SP) Suponha que o polinmio do3q grau p(x) = x3 + x'? + r + n, em que m e nso nmeros reais, seja divisve por x - l.

De fato, como x R, x= x+ 0i, de onde= x-0i,isto , i= x.Escreve^do z + bi n foma trgonomtica.z = p(cos 0 + i sen 0), podemos verificr que:

lz"=( i" IL_---_J

Pela Frmula de Moivre, temos:

592z" = p"[cos (n0) + isen (n0)]

1= p"lcos(n0) isen(n0)l @Pof outo ldo:

7=p(cos0 isen)2 = p[cos(-O) + isen ( 0)]

oe 0noe:(f" = p'[cos (-n0) + isen (-n0)](t)^ = p"[cos (n0) - isen (n0) ] @

romparando @ e @. segue que t= tz)'

TeoremaS um nmero complexo z = a

- bi, com

b -r 0, reiz d um equo com coefcien.tes reas, entoseu conjugado t= e -bitm-bm raiz dessa eguao.

Um polinmiotem coeicientes fis d|ni.te -3 e Z - 4icomo reiTes simples. oual o .ae-nor grau possvel desse polinmio?

Pelo teorem que acbmos dvr, s 7 + 4i raiz, seu conjugado 7 - 4itmbm raiz. oes.se modo, o polinmio tem grau mrnino igJa 313 "arzes em C1.

0unls zes reais tem o polinmio p(x) == xa 8x3 + 15x? + 80x - 250, se uma de sustzes4+3i?

Como a equao px) = 0 tem coeficie.tesreis. 4 - 3i tambm d raiz e prx' d drvisive por{x-4- 3; . rx-4 - 3 i -x2-Bx- 25.

Fmos a diviso:

0

As demais czes de p(x) ven de:x2- to-o-x =t{ e R

Logo, px) tem exatar*," Or". r1'1"..:::"

Vej'ros dero_s.o desse teo'emSej a equao p(x) = a"xn+n Lxn'+. . .+a1x+

ao -

0, com on, on r, . . . , o, oo coe'c:enes reais.Da hiptese, z raiz de equa0, isto , p(z) = 0

anzn+an rzn 1+,. .+ar 'z+ao=0

nzn+an lzn r+. . .+ar 'z+ao=0

Usando a propriedede l, podemos escrevr:; -------=:

-

anz +an rz '+. , ,+alz+aa=u

Del le l l , vem:an + an

-, F + .. . + arZ + a6 = o

E usando V:a"( f" +a"-r(7)"-1 +. . . + ar-+ao = 0

isto, p(a-0, o qumostr que 2 raiz d p(x) = 0. lll;:# fi;i.l;ii'rri-;ii-iir.i.r: lililii.{.l.. #*hservifJss

h, Se o nmero compLexo z= a + bi,b + 0, aiz co-r -ruhip icidade m d uma quaopolinomie, ento seu conjugado t = - bi,b + 0, tambm raz com m!lt ipl icidade mdessa equ0.

tF Essteorema nos garante qu, em um equ-o de coeficjentes reais, azes complexsno ea is sempre oco.em aos peres (e + bi ea bi). Dessa orma, uma equao de graumpar apresent o menos uma iz real.

,i:i:ji, Determine o menor grau que pode ter umaequao com coeficientes reais qlre admite:a) 2, -3 e 4 + i como rzes simpes;b) 3 como miz dpa e i - 2 como raiz tipla;c) irr2, i63 e i36 como razes com mutiplici-

dade 1, 1 e l, respectivamente.,i: ,' Escreva uma equao algbdca com coeficien-

tes reais e grau mnimo que admite:a) I - i como raiz com mltiplicidde 1;b) 4 e 3 + 2i como rafues simples;c) i como raiz dupla e 3 como raiz simples.

593

ili, Resolva a equao x3 9x2 + 52x - 102 = 0,sabendo que 3 + 5i urna de suas razes.

,ii:i A equaao x2 + mx + n = o, com fl e coefi-cientes reais, admite 5 2i como raiz. Determine os valores de m e n.

.i i=! o polinmio p(x) = xa + 4x3 + 3x'z + 10x + 50dmite -3 + i como raiz. Obtenha todas as razesda eqrao p(x) = 0.

:)i,. o poinmio x, - 6x + 25 diyide s(x) = 1 +- px'? + qr - r. :endo p.4 e r coeficiente. redi).Sabendo que s(x) no possui rizes ea$:a) detemine o intervao de ores queP pode

b) expresse/e4emfunodep.

. . . A re,pe lo de p{\r - x ' - bx: + cr - d.a.. re1eai\,5o dada( as seguinte\ informae\:. coeficiente dominante de p(x) unitro;. x = -5 raiz de p(x);. a soma das ralzes no reais de p(x) r.ale 8;. o produto de todas as sus razes vae -00.a) Determine a, b, c e d.b) D o conjunto solugo da equao p(x) = 0.

ilii. (Vunesp-Sl) Seja z = I + i um nmerc compexo.a)

.

nscreva z e d na forma trigonomrca._

b) Detemine o polnmio de coeficientes reais,de me1or glau, que tem z elz 2 conro razese coeficiente dominnte igua a I.

;il.'l O grfico seguinte epresenta a funo poinomial crerenle f: R

-

R definida por fx -- x ' + mr2 + n\ -p.em que m. l eP \ocoe-ficentes rcis.

Sabendo que uma das raizes de f(x) i, obte-nha o vaor de f(2).

:; lt (UF-MG) Sabendo que p(l + 2i): o, cacuetodas as razes do polinmio:

p(x)=xs+x4+13x2+5x

Relaes de Grardlgumas relaes entre os coeficientes de um

equao e sus rzes, conhecidas como relaesde Girard, constituern uma ferrament importantena resoluo de equaes quando conhecfiosalgurna infomao sobre guas rarzes. Vejemosquais so essas rels nas equaes de 29 e 39grus , part ir da, generel izemos par urn equa-o de gru r.

Equao de 29 grauSejmrre12 as razesde equao x2 + bx+c= 0,

com a + 0. Peloteorema da decompos o, temos:

axz+bx+c=a(x rr) (x rz)E da, vem:

x2+!x+ I = (x2 -xr , -xn + r , r , )

xz+9x+! = xz _ (r , + r , ) x + r , r ,

Da dentidde de polinmios, segue:

Equao de 39 grauSeje m 11, 12 e 13 as razes de equao ax3 + bx2 +

+ cx+ d =0, com + 0.emos:ax3 + bx2 + cx+ d = a(x- rJ(x-rr)(x r:)

f + Ax2 +9x+a=

=x3 (rt + r, + rr)x'z+ (rrrr + rrr, + rrr3)x qr2r3

tb

] . "

5S4

de cnde:

tr t?+t?\+tr \= ga

d

Sjmr,s et as razes da equao 2x3 4x2++X+3=0.

Para obter o valor das expresses a seguir,no necess'io co^Lecer s raizes da equao.Bast usr as felaes de Girard para uma equa-o de grau 3.

Ddos os coeficientes a = 2, b =-4, c = I ed = 3, rsolvemosla) r+s+t

r+ r1 " a. . . - '^r^ r_i (So.fad0(

produtos das rezes tomdas duas a duas)11 12 13+rt f2 14+,. .+rn 2rn 1Tn=

.ora do> p'od -los das a zes lords rrs

- . . . . r . ' t I l o (produlo dsn raiTes,/aj

Sendo r, s, , e u s razes d queo xa ++ 4x3 + 5x2-x + 2 = 0,vamos escreveras quatrorelaes de Cirard-

0s.oe' icien_es oe p/,

1= ma

Escrevemos s relaes de Glrerdl

i r^I tL+ tz+ t3=-i- \

43.1ruvest-Sf) O poduto de dus das razes dopolinmio p(x) = 2nr rr,.a + 4x+ 3 iSuaa l Determine:a) o valor de ,r; b1 as rarzes de p.

44.,{ equaao x3 - 30x2 + mx + n = 0 (m e,? socoecientes reais) dmite como razes ts t-meros inteiros pares e consecutivos

' a) Quais so as trs zes dess eqao?b) btenhaovalordemen.

45. Aeq.raaox3-3r.2+r-r+ 12=0 (mcoeficientereal) tem ds razes opostas. Determine:a) seu conjunto soluoib) o valor de at.

4$.r t n icamp-:Pr As trs rd /ec da equacaoxr - 3x'?+ 12x- q = 0, onde q um parmetroreal. formam uma p.ogre\\ io d-i lmeti\ , .a) Determine 4.b) Utilizando o vlor de 4 determndo no item

4, encontre as rzes (eais e compexas) .ieeqao.

4/" As razes da equao x3 + 7x2 + l4x + 8 = 0 soreais e esto em progresso geomtrica (PG.).Detennne seu conJunto sol4o,

4E.tmrelaao equaox2-x+ 2 =0,determieo vao; d soma:a) dos iversos das razes;b) dos quadrados das razes

49. A equaao xa 3x2 + px + q = 0 1p g 4 si. ...6-cientes reais) tem duas azes complexs 1toreais cuja soma -6 e cujo prcdulo 25. srarzes reai. desse polinmio sdo l ' que um, o dobrc da outla.a) Oblenh,r d' quao rdr/e. dr equ.ob) Determine p e 4.

5U, Aequ(o\ ' -p\ ' qx/+r | ( -0.emquep4, r e s so coefrcientes reais, admite nidadeimginria i como raiz simples e 2 como rarzdupla. Quais so os valores de p, 4, r e s ?

FX . O grfrco segointe representa a no t decres-centeemR.dadapor r r . -2f I prr-44\ 'q 'em que p e 4 so coeficientes reais:

Sbendo que o prodrto de tods as rzespolinmio , determine:

a) o conjunto soluo d equao f(x) = 0;b) o vaor de p.

SH. o grafico ao lado representa a funo polinomialR-Rdef in idaporf(x) = x+ - 4*: * ttot *+ nx + q, sendo r7r, p e 4coefcientes reais.Sabendo que todas asrzes de f(x) so reais, de

a) os valores de rr, n e q;b) a mutipicidade de cada raiz na equao

f(x) = 6'r :"1

. ue-pr, sejn' ' . * . ) e. \ , a5 rd zs da equaonr 6x']+ 3x- 1= 0. Determine o poinmioxr + af + bx + c, que tem rlzes xx2, x1x3 exrx., e indique o valor do Prodlto abc.

Si, (puc nt) seja p(x) o poinmio x3 + axz ++ bx + c. Sabendo que p(1) = 0, p(3) = 2 e asoma das razes igual a 7, ache o valor de c

esrerna dasrrcs rat0nal5

do

Seja a equao polnomielde coeficientsinteiros anxn + an ,xn 1 + .., + arx + ao = 0,

a^ + 0. Se o racional P,p Zeq Z*' 'q

(p e g primos entre si), raiz dess equao,ento p divisor de eo g divisor de an.

n97

Vejamos a demonstro do teoTem:^oL0m0 - e rtz da equao,temos:

/ " \ " /n\ - l : - l - " , l ; j . . . -a . : - o-0\Y/ YI4ult ipl icando ambos os membros por gn, vem:

anpn + n lpn rq + .. . + alpqn 1+ aoq" = 0 Olsolmos anpn e colocmos g ern evdncia

em @:."p"= q("".,d ,._*l:lq. ,jjII) @

^ E solanoo aoq'e coloc-do p em ev,dncia en

(1), temos:aoq' : -p lnpn-t-1 ro -2q-. . . a q ' ) O

JrComo todos os coelicie^ts oo, o,,..., on,p e q so

inteiros, segue que o e B so rteiros.Em@e@temos:

(^a"pn=-q.c = af =-ueZ @

l ' "I .oq"= p. , aol- . -ge Z @

As gualdades acime obtids rnostram que:: @ anp" divisvel por g. Como pn e g so pri-

mos entre s. , o. e div is ivel porg, is to e. g edivisbr de on;@ aoq divisrvel porp. Cono gn e p so primosentr si, oo divisvel porp, isto ,p divisorde do.

it ;l: a: i ;' .. ;-r' '-r

;.li i;i0 teorema das rzes racionis no prev a exis-tnc de razes recionis de !ma quao comcoefc. ene . nte .os. \o ceso deexistirem railesac onis, o teoem fornece todas s possibi l t-dades pre tais razes.

Vamos encont|r as razes de:2Xa - 3x3 + Zxz - 1Sx + 14 = 0

Como no dispomos d nenhuma informaosobr as razs dessa equa0, vamos pesquisarpossveis rzes raconais.

S equao p (x) = 0 tiver algum raiz racio.nal, ela ser da forrna i, en que p e D (14) eqq

D (2), sto , p [ t1, tz, 17, t14i eq

{11, t2}.Portanto, so "cendidatos,, a razesl

I t1+ L\ - t , + =1- =1+4,-2, +4, _/ ,

22+-,-- '+14,_141

Feamos as verifices:. ; p(1)=0 (obsevesomadoscoeficientes

dess equao). / , \

' P( 1)=36+0 p{ ' l=6,75+0;\ . . /pl-+l= 22,s + 0

' lP(2)=0 ;pC2) = 108 + 0; p(7) = 3 780 + 0

. p( 7) = 6 048 + 0:ol !\= sz.s + o,. \ , lJ

pl- ; j= s19,7s + 0' P(1a) = 68 796 # 0;p(-14) = 8s 680 + 0

Dess fofm, a equao tem duas razesracionais, 1 2, e p(x) divisvel por f(x) ==(x-1) (x-2)=x2,3x+Z.

0bserve que poderamos ter encerdo asverfices depois de encontrar dus razes,pois dividndo p(x) por (x) obtemos como quo-ciente um polinmio d 29 gru:

2)l -3x3 +2x?-ISx+!4/zxa +6x3 , 4x2

3f-2x2-ISx+143x3+9x2- 6x

-

,F-ryl$=?{+ ZIx - 14

!f

0De q(x) = Q, segqs6 65 ."Lu",

,z x'l - _

-z xt.,[ qz44

:=*

tr;lf,{,filif i*}t#l "fi I {.1 I {r #. lesquise as razes racionais da equao

2x3 +* 25x+12=0.: l '" . R.solvu a equa;o rr - r l4\ t 24 = 0.

li lt Resolva a equuao "a

+ x3 + 2x2 + 4x - I = 0.

' i i : l l t torrre que rodac ac ralTe' d equaox3 - 2x2 - 5x -t 6 = 0 so inteiras.

-t ' . ' Concidere a equao f 2\r - 7xr - 6\ l2 - 0a) Sabendo que ea s admite mzes reais, mos

tre que todas so iracjolais.b) Resolva a equao, sabendo que x'/ - 3 divi

de esse polinmio.

l'i!. Considerando a equao I 2x3 + 4x - 4 = 0:a) moste que ela no admite nenhuma raz

b) determine seu conjunto solo, sabendoquel+iumamiz.

ijx.. (UF-Ar) Detemine o valor de ft para que osnol inmio. f - r r

- v2

- 5y

-

ep=r +2x2+kradmitam em comum uma ra inteira de muti-plicidade 2.

ii il Obse.ve as frguras seguintes, em que esto in-dicadds ar dimenseq do cubo e do paraeeppedo: f

xqcubo 2

paraleleppedo

Determine os valores de x para os quais o vou-me do cubo excede o do paaleleppedo em 32unidades.

- ,8, . I

,5

. r !

I)eb) oc) 13

d) 4e) 20

Ylkik;, T.titrr,{:W, d e vesti bu I a res ffiffi4. (ur-,q.I,) sjam a, e c as razes da equaao

xr 4f -5x+8 =0.Asoma1 * * l , ig ' " r" ,

d)1

a) r7b)e.) 20

1. (Cefet-MG) Se o nmero I umadasrazesdopoli-.or io r ' - r + 5\ ' 5, en ro a ouf ia\ r"r /e. 'o:a) isuais

d) irracionais

2. ,L me'p-SP, Sbe 'e cue

e | .o rave. d eqJ(aox4- 3xr- 3x'] + ilx - 6 = 0. Ento a soma dos qu-&ados de todas as raizes vel

d) 15e) 12

3. (Puccanp sP) A Europa renascentista foi rica em ro-dos os sentidos: na teratura, na arte e n cincia NaMatemtica, em espcia n gebra, eques

"lg-bricas do tipo t' + 6{ = 20 foram destaque. Uma dasrazes dessa equao um nmero inteiro positivoLom reld\ io or ' ra< rLze.. e verddde que 'a) racionais de sinais contrrios.b) reais de mesno sinal.c) reais e iglais.

5. Unor( t Sabe+e que, equo x'- * l0xl4x'? 24x

- 16 = 0 admite a aiz -2 com mul

p,idade J. Ar demajr rdte. de.'d equdo .o nu

a) racionais e negavos.

c) inteiros e positivos.d) rcionaj. e rao inreio,.e) inteiros e d snan contrrios.

6. 'hme. RlrOpotrnmiop xr-C-5()- m m-R' divisivel por xr

- 9. Ento, som dos quadrados

de todas as azes de p(x) = 0 gu a:

5**

7. (Unicp-PE) Dada a equo 2x3 -

30x, + 10x-3 =0,cutas rares so rr, & e :q, ssinale y ou

-F:J) Ao meno( umd dd\ rarer e um numeo real.b) x,=x,ex, ,=-15c) xrx, +xrxr+xrxr=-1,5

.1l I t0

(Ucsa-BA) Se o nmero complexo I + 3i raiz daequao xr

- 4-\'z+ r(

- n = O, com m e /, eis, entao

aiz ea dess equao :

I .+. U.Llondrina-PR,Aequdol rOrr {+b 0.em que 4 e , so nneos reais, tem uma raiz iglal a3 + 2. Sobre essa equo, coero tumar:)

-3 + 2i tambm aiz da equao.b) A equao no possui azes eis.cl A equao poss uma raiz irraciona.d) O vao de

"

-37.

) Ovo de -s2.15.

' u. r Uber daia-ac) Con,rde,e a um nume,o r

teio positivo maior que 3 ep opoinmiodado porp(x) = 2x. + t' + 4. Decda se cada urna das afina-es sesir verddea (v) ou fals (.F).a) Pra todo

'1 impar, o polinmio p ten pelo me-nos uma raiz rea.b) Pra todo r par, p no tm razes reais.c) Enste

'r tal que o nmero cornplexo t, cn que

i, = - raiz do polinmio p.

d) A soma de tods ar raes do polinmio p igual

I8.

U. /Ul--PI\ Dddo o pol inomro p.xl -

x) xr -

2\ - 2.Assinae com V (vedadeio) ou F (falso) s aturna-

a) Todas as alzes so eais.b) Apes uIna a real.c) Todas as rzes so inreirs.d) p(x) disvel porx+ 1.

lU. Mckere SP,sept\r ' 4x ' - tb.( ' - \ m.17reai ,admite duas ralzes opostas, o vaor de ,?1 :

Y I xt lO. (Fdrc SP)OpoLinmiop= _1 o I

2x. I

a) -2

b) -

c)r

a)3

b) c=2c) b=3

d)2el 3

d) -4

e)4

d) b=4e) b=s

d)6e)

-e

c)2

11. tu"i,-ss) se I raiz dupa do polinmiof = xj - {' + bx + c, ento tem-se que:

a) trs raizes reis.b) um a de multiplicidde 2.c) nalhuma raiz real.d) ura nic raiz eal.e) uma aiz de nipcidade 3.

I . UCDB-\4S' \eid y.x e r . a. r re ' razes J" eq,ao polinomil 2x3 - 6x, - 32x + k = 0. Se as trsazes satisfzm a equao

-2xr - 2xr - xr = 0, entoo vaor de /r e o produro entre as azes valem, res-

a) -24 e 12

b) -r8 e-r0

c) -r2e6

d) 4e-8

IO, LF-L Prra dnaL, r. afirmaoe,.eguir ... .on-sdere que o conjunto universo ds equaes dada!sej O, conjunro dos Dmeros colnplqos. Cassfi-que como \-erdadeio (y) ou falso (_F) cada irem seguir:) equao ' 31 +4xr-4r+3x-1=0

admite aiz I com muttiplicidade 5.b) Se

-1 + i raiz da equao 3t' + 7x2 + k{ + 2 = 0,entoiiguala8.

c) Se a equao 4x3 + 12x, -

x + k = 0, em que t llma constante rea, ndmite duas razes opostas,o produto de suas razes a.

-4

2, lrUC-rn1 l"au u.qrrao 8xr 30x?+38x-10=0e considend que suas razes esto em prcgressoaritmtica, a menor de suas raizes :a)2

J, U((di BAr 5abe{e oue !es das -drle' da equao

f -

6f + 8xr + 6x+ k= 0, na qul & um nmeroeal, so termos consecutivos de um progresso arit-mtica de razo 2. Se a maior desss razs temmultipicidade 2, ento [ igua a:

; e);

u)+o)+

a) 9b)6c)3

600

d) Se as raizes da equao t' + 3x'? + k{ + t = 0 sonmeros inteios consecutivos, ento k + t = 4.

e) A equao (x+ 2)(1-x)(x + 3) = 0 equivalen-te eq4o xr + 4x']+ x 6=0

19. (U. r. viosa-uc) o nmero copexo i(ir = -1) uma dar razes do polinnio de coecientes inteiosp(x) = 2x3 + * + bx - r' A nica raiz rea desse

21. (ur-nN) nou. p"'tt"ulas se movimentam no panode acodo co1 s trajetias dads Peas hnesfft) = e g(t) = 2t + 1. Aps um deas cruza aorigem, o instante t em que eas se enconam tem o

, r+! lolz

o)2

-,2

-2poinmio :

")+ . )+ e)b! d) I

'56

I4

20. (Mekeuie-sP) Para que a equo xr + kx + 2 = 0adnita uma raiz re dup1a, o valor de t deve ser:

22. Or-uc) o g**o aa tuno p(x) = x3 + (a+ 3)x?sx + b contm os pontos ( 1, 0) e (2, 0) Assim

sendo, o ralor dep(0) :a)1b) 6c)

-1d) 6a)J

c) -4

b)2 d) 3e) -3

s0