cap5 diagramas bode EIII 2003 -...
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Octávio Páscoa Dias 81
Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III
4 – Resposta em Frequência4 – Resposta em Frequência
n As redes de interesse, para o estudo desenvolvido na disciplina, podemser modeladas como redes lineares de dois acessos (figura 4.1);
)(sT
)(sVi )(sVo
nA Função de Transfência, T(s), de uma rede é a razão entre a tensão de saída, Vo(s), e a tensão de entrada, Vi(s).
)()(
)(sVsV
sTi
O=
Figura 4.1 – Rede linear de dois acessos.
Funções de TransferênciaFunções de Transferência
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Funções de TransferênciaFunções de Transferência
n Uma vez obtida a função de transfência, T(s), a análise do comportamento da rede para as frequências físicas é feita com base nasubstituição de s por jω. A função de transferência, T(jω), que resultadaquela substituição, é em geral uma quantidade complexa, cuja amplitude, |T(ω)|, é a amplitude da resposta, ou transmissão, e o ângulo, α, é a faseΦ(ω), da resposta da rede. Em geral, para as redes de interesse para o presente estudo, a função de transferência pode ser expressa como a razãoentre dois polinómios,
01
1
01
1
.......................
)(bsbsasasa
sT nn
n
mm
mm
++++++
= −−
−−
isto é, )()(
)(sDsN
sT =
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n O grau, m, do polinómio numerador, N(s) é menor do que o grau, n, do polinómio denominador, D(s);
n Os coeficientes de N(s) e D(s) são números reais;n O grau, n, do polinómio denominador, D(s), representa a ordem da rede.
n Numa rede estável, isto é, uma rede que não gera sinais por si própria, ospólos têm a parte real negativa.
n Por intermédio da factorização dos polinómios, N(s) e D(s), a função de transferência, T(s), pode ser expressa por,
Funções de TransferênciaFunções de Transferência
)(......)()()(......)()(
)(21
21
n
mm pspsps
zszszsasT
−××−×−−××−×−
=
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onde,n am é uma constante multiplicativa;n z1, z2,...,zm, são os zeros da função de transferência ou zeros de transmissão;n p1, p2,...,pn, são os pólos da função de transferência ou modos naturais;
n A função de transferência fica completamente especificada porintermédio do conhecimento do valor da constante multiplicativa, e dalocalização dos seus pólos e zeros;n um zero imaginário puro produz um zero de transmissão em ω=ωZn zeros reais não produzem transmissão nula;n para s→∞, a função de transferência pode ser aproximada por,
Funções de Transferência (cont.)Funções de Transferência (cont.)
mnm
sa
sT −≅)(e assim, T(s) tem (n-m) zeros no ∞.
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Funções de Transferência (cont.)Funções de Transferência (cont.)
n A expressão geral da função de transferência das redes de 1ª ordem tem a forma,
e para o tipo HP, pode ser representada por,
que para o tipo LP, se expressa por,0
01)(ω+
+=
sasa
sT
0
0)(ω+
=s
asT
0
1)(ω+
=s
sasT
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Diagramas de BodeDiagramas de Bode
n Tendo em conta que, no domínio s função de transferência de uma redepode ser representada pela expressão,
∏
∏
=
=
−
−== n
ii
m
ii
ps
zsK
sDsNsT
1
1
)(
)(
)()()(
a qual, para as frequências físicas, s=jω, toma a forma,
∏
∏
=
=
−
−= n
ii
m
ii
pj
zjKjT
1
1
)(
)()(
ω
ωω
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)(Re)(Im
)(Re)(Im
)(1
1
1
1
i
in
ii
im
i pjpj
tgzjzj
tg−−
−−−
=Φ ∑∑=
−
=
−
ωω
ωω
ω
)(Re
)(Im)( 1
ω
ωω
jT
jTtg−=Φ
∑∑==
−−−+=n
iii
m
i
pjzjkG11
log20log20log20)( ωωω
)(log20)( ωω jTG =
e definindo ganho da rede, em dB, por intermédio da expressão,
obtém-se,
e da expressão da fase da rede,
Diagramas de BodeDiagramas de Bode
pode assim, concluir-se que,
com,
∏
∏
=
=
−
−= m
ii
n
ii
pj
zjKjT
1
1
)(
)()(
ω
ωω
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• O cálculo exacto da amplitude e da fase por intermédio destas expressões, revela-se um processo muito trabalhoso, que para a maioria dos casos pode ser evitado através da utilização do seu cálculo aproximado com base nos Diagramas de Bode. Os Diagramas de Bode constituem uma técnica simples para esboçar o comportamento aproximado da amplitude e da fase de uma rede, cuja informação se encontra contida na sua função de transferência T(s). O método foi desenvolvido por H. Bode, sendo particularmente útil para os casos em que os zeros e os pólos são reais.
• Na forma factorizada os polinómios do númerador, N(s), e do denominador, D(s), da função de transferência, T(s), da rede, podem ser construídos com base nos termos,• a) um termo constante k;• b) o factor s;• c) o factor (s+a).
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
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o problema de traçar o gráfico aproximado para a amplitude de, T(jω), isto é, os Diagramas de Bode para a amplitude e fase, reduz-se ao estudo da contribuição, para aqueles somatórios, dos termos elementares que formam a função de transferência.
∑∑==
−−−+=n
iii
m
i
pjzjkG11
log20log20log20)( ωωω
• Tendo em conta que,
e que,
)(Re
)(Im
)(Re
)(Im)(
1
1
1
1
i
in
ii
im
i pj
pjtg
zj
zjtg
−
−−
−
−=Φ ∑∑
=
−
=
−
ω
ω
ω
ωω
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
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a) o termo constante, k
A análise da contribuição deste factor é feita da mesma forma, quer ele faça parte do númerador ou do denominador da função transferência T(jω), uma vez que, se o termo constante figurar no denominador, pode facilmente ser transferido para o númerador.
• a amplitude de 20 log |k| é positiva se |k|>1 (figura 4.2);• a amplitude de 20 log |k| é negativa se |k|<1 (figura 4.3);• a fase de k é 0º se k>0 (figura 4.4);• a fase de k é 180º se k<0 (figura 4.5).
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
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Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
Figura 4.2 – Contribuição de |k|>1 para a amplitude de T(jω). Figura 4.3 – Contribuição de |k|<1 para a amplitude de T(jω).
klog20
1<k
]/[ sradω
)(ωG][dB
klog20
1>k
)(ωG
]/[ sradω
][dB
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Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
Figura 4.4 – Contribuição de k ≥ 0 para a fase de T(jω). Figura 4.5 – Contribuição de k < 0 para a fase de T(jω).
0>k
0 ]/[ sradω
)(ωΦ][º
0<k
)(ωΦ][º
]/[ sradω
180−
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b1) o factor, s, como pólo
comportamento do módulo(figura 4.6)
)(Re)(Im
)( 1
ωω
ωjTjT
tg −=Φ
0
1)( 1 ωω
jtg
−=Φ −
º90)()()( 1 −=Φ⇒−∞=Φ − ωω tgω
ωω log20
1log20)( −=−= jjT
dB
ωω
ωω
1)(;
1)(;
1)( jjT
jjT
ssT −===
comportamento da fase(figura 4.7)
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
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=×−=−
=−×−=−
0)0(201log20
20)1(201,0log20 oitavadBdécadadBms
sTjs
/6/201
)( −=−=⇒== ω
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
Figura 4.6 – Contribuição de s , como pólo, para a amplitude de T(jω). Figura 4.7 – Contribuição de s , como pólo, para a fase de T(jω).
décadadBm /20−=
01,0 ω 0ω ]/[ sradω
)(ωG][dB
]/[ sradω
)(ωΦ][º
0
90−
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)(Re)(Im
)( 1
ωω
ωjTjT
tg −=Φ
º90)()()( 1 +=Φ⇒+∞=Φ − ωω tg
ωω jjTssT == )(;)(
ωωω log20log20)( == jjTdB
0)( 1 ω
ωj
tg −=Φ
comportamento do módulo(figura 4.8)
comportamento da fase(figura 4.9)
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
b2) o factor, s, como zero
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=×=
−=−×=
0)0(201log20
20)1(201,0log20oitavadBdécadadBmssT
js/6/20)( ==⇒=
= ω
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
décadadBm /20=
)(ωG][dB
]/[ sradω01,0 ω0ω
)(ωΦ][º
]/[ sradω0
90
Figura 4.8 – Contribuição de s , como zero, para a amplitude de T(jω). Figura 4.9 – Contribuição de s , como zero, para a fase de T(jω).
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• Se o factor, (s+a), é um pólo então,
aa
jTdB
dBlog20
1)( −==ω
ajjT
assT
+=
+=
ωω 1)(;1)(
ajT
1)( ≈ω
ωω
ω log201
)( −==dB
dB jjT
ωω
jjT
1)( ≈
comportamento do módulo (figura 4.10)
c1) o factor, (s+a), como pólo
ω << a ω >> a
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
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décadadBm /20−=
alog20−
a ]/[ sradω
)(ωG][dB
a1,00
Figura 4.10 – Contribuição de (s+a), como pólo, para a amplitude de T(jω).
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
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)(Re)(Im
)( 1
ωω
ωjTjT
tg −=Φ
comportamento da fase (figura 4.11)
ajT
1)( ≈ω ω
ωj
jT1
)( ≈
0
1)( 1 ωω
jtg
−=Φ −
º90)()()( 1 −=Φ⇒−∞=Φ − ωω tg
atg
10
)( 1−=Φ ω
º0)()0()( 1 =Φ⇒=Φ − ωω tg
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
ω << a ω >> a
Octávio Páscoa Dias 100
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Figura 4.11 – Contribuição de (s+a), como pólo, para a fase de T(jω).
)(ωΦ][º
aa1,0 a100
45−
90−
]/[ sradω
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
Octávio Páscoa Dias 101
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• Se o factor (s+a) for um zero então,
ajTdBdB
log20)( == αω
ajjTassT +=+= ωω)(;)(
ajT ≈)( ω
ωωω log20)( ==dBdB
jjT
ωω jjT ≈)(
• comportamento do módulo (figura 4.12)
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
c2) o factor, (s+a), como zero
ω << a ω >> a
Octávio Páscoa Dias 102
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Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
décadadBm /20=
alog20
aa1,00
)(ωG][dB
]/[ sradω
Figura 4.12 – Contribuição de (s+a), como zero, para a amplitude de T(jω).
Octávio Páscoa Dias 103
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ωω jjT ≈)(
0)( 1 ωω j
tg−=Φ
º90)()()( 1 =Φ⇒+∞=Φ − ωω tg
ajT ≈)( ω
atg
0)( 1−=Φ ω
º0)()0()( 1 =Φ⇒=Φ − ωω tg
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
)(Re)(Im
)( 1
ωω
ωjTjT
tg −=Φ
comportamento da fase (figura 4.13)
ω << a ω >> a
Octávio Páscoa Dias 104
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décadam /º45=
aa1,0 a10 ]/[ sradω
)(ωΦ][º
90
45
0
Figura 4.13 – Contribuição de (s+a), como zero, para a fase de T(jω).
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
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• 1 pólo introduz uma redução do ganho com um declive de -20 dB/década;• 1 zero introduz um aumento do ganho com um declive de + 20 dB/década;• pólos duplos introduzem um declive no ganho de - 40 dB/década;• zeros duplos introduzem um declive no ganho de + 40 dB/década.
• 1 pólo introduz um desvio na fase com um declive de - 45º/década até aomáximo de -90º (com início em 0,1ω0 e fim em 10ω0);
• 1 zero introduz um desvio na fase com um declive de + 45º/década até aomáximo de +90º (com início em 0,1ω0 e fim em 10ω0);
• pólos duplos introduzem um declive no desvio da fase de - 90º/década atéao máximo de -180º (com início em 0,1ω0 e fim em 10ω0);
• zeros duplos introduzem um declive no desvio da fase de + 90º/década atéao máximo de +180º (com início em 0,1ω0 e fim em 10ω0.).
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
influência no módulo (resumo)
influência na fase (resumo)
Octávio Páscoa Dias 106
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n Exemplo 4.1Esboce o diagrama de Bode para a amplitude e para a fase de uma rede com a seguinte função de transferência,
5
5
2
28
528
101
101
101
101
10)(101
101
10)(ss
ssTss
ssT+
×+
××=⇒+
×+
××=
Resolução)10)(10(
10)( 52
8
++=
sss
sT
)10
1)(10
1(10)(
101
1
101
1101010)(
5252
528
sss
sTss
ssT++
=⇒+
×+
××××= −−
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
Para esboçar o comportamento da resposta da rede quanto à amplitude, éusual colocar-se, por conveniência, o factor (s+a) na forma (1+(s/a)).
Octávio Páscoa Dias 107
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comportamento do módulo
2101
1s
+
210
5101
1s
+
510
10
s
)10
1)(10
1(
10
52
sss
++
)(ωG][dB
]/[ sradω
60
20
20−
0
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
Octávio Páscoa Dias 108
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comportamento da fase
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
110− 010 110 210 310 410 510 610 710
)(ωΦ][º
]/[ sradω
2101
1s
+ 5101
1s
+
)10
1)(10
1(
10
52
sss
++
s90
45
90−
45−
0
Octávio Páscoa Dias 109
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n Exercício 4.1Mostre que a função de transferência T(s) da rede de 1ª ordem representada na figura 4.14, pode ser dada pela expressão,
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
)//(1
1
)(
21
1
RRCs
CRsT+
=
Figura 4.14 – Figura para p exercício 4.1.
Octávio Páscoa Dias 110
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n Exercício 4.2Um circuito de 1ª ordem, tem o ganho de 10 em dc, o ganho de 1 para s=∞ e o pólo em 10 kHz. Determine a sua função de transferência, T(s).
Solução:
Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)
4
5
102102
)(×+×+
=ππ
ss
sT
n Exercício 4.3Um amplificador de acoplamento directo tem o ganho 1000 em dc e a frequência de queda de 3 dB localizada em 100 kHz. Determine,
a) a função de transferência T(s);b) o produto ganho-largura de banda (GB).
Soluções:
a) ; b) 108 Hz
51021
1000)(
×+
=
πs
sT