Cap6 Notas Aulas Valente

PAVF

c

1999 136

M�etodos com indica�c~ao interativa

� Caracter��sticas dos m�etodos interativos

� M�etodo de Geo�rion, Dyer e Feinberg

� Programa�c~ao por metas interativa

� M�etodo STEM

PAVF

c

1999 137

Caracter��sticas dos m�etodos interativos

� Informa�c~oes sobre preferencias s~ao passadas ao analis-

ta durante a solu�c~ao de problema

� Preferencias (trade-o�s impl��citos e/ou expl��citos) fa-

zem papel de coe�cientes de certos problemas escala-

res a serem resolvidos pelo analista

Estrutura hier�arquica

PSfrag replacements

u(x

0

) � u(x)

8x 2 ?

Fim

An�alise

Decis~ao

S

N

An�alise local

Trade-o�s

Problema escalar

Obt�em-se x

0

2

PAVF

c

1999 138

M�etodo de Geo�rion, Dyer e Feinberg

Caracter��sticas

� M�etodo de dire�c~oes fact��veis baseado no algoritmo de

Frank-Wolfe

� Requer informa�c~oes locais na forma de trade-o�s im-

pl��citos e expl��citos (taxas marginais de substitui�c~ao)

� Destinado a problemas convexos

Formula�c~ao do problema

minimizar

x2

u(f(x))

� R

n

: conjunto convexo

f = (f

1

; f

2

; : : : ; f

m

) : fun�c~oes convexas sobre

u : Y ! R : fun�c~ao convexa crescente sobre Y

� u n~ao precisa ser explicitamente conhecida; apenas

informa�c~oes locais s~ao necess�arias

� Assume-se que u �e diferenci�avel, de forma a ser poss��vel

obter taxas marginais de substitui�c~ao

� As exigencias de convexidade est~ao ligadas �a utiliza�c~ao

do algoritmo de Frank-Wolfe

PAVF

c

1999 139


Algoritmo de Frank-Wolfe

1: Determine uma solu�c~ao inicial x

0

2 ; fa�ca k = 0

2: Obtenha a dire�c~ao de busca d

k

resolvendo

minimizar

�2

r

x

u(f(x

k

))

T

�

Seja �

k

uma solu�cao do problema; fa�ca d

k

:= �

k

� x

k

3: Determine o passo �otimo t

k

resolvendo o problema de

busca unidimensional

minimizar

0��1

u(f(x

k

+ �d

k

))

4: Calcule x

k+1

= x

k

+�

k

d

k

; se kx

k+1

� x

k

k < �, � > 0

su�cientemente pequeno, pare. Caso contr�ario, fa�ca

k := k + 1 e volte ao passo 2

� Usa informa�c~oes de gradiente; busca unidimensional res-

trita a [0; 1]; exelentes propriedades de convergencia

� No m�etodo GDF, os passos 2,3 e 4 s~ao executados com

o aux��lio do decisor

PAVF

c

1999 140


Interpreta�c~ao

PSfrag replacements

0 x

1

x

2

x

0

x

1

x

2

�

0

�

1

d

0

d

1

g

0

g

1

Passo 2 - C�alculo do gradiente

Pela regra da cadeia,

r

x

u(f(x)) =

"

df

dx

#

T

du

df

=

m

X

i=1

@u

@f

i

rf

i

(x)

"

df

dx

#

T

=

h

rf

1

(x) j rf

2

(x) j � � � j rf

m

(x)

i

PAVF

c

1999 141


� Suponha que x

k

n~ao �e solu�c~ao do problema multiobjetivo

e que @u=@f

k

1

> 0 (s.p.g.). Ent~ao o c�alculo da dire�c~ao d

k

pode ser feito atrav�es do problema equivalente

minimizar

�2

m

X

i=1

�

k

i

rf

i

(x

k

)

T

�

onde �

k

i

:=

@u=@f

k

i

@u=@f

k

1

; i = 1; 2; : : : ;m s~ao as taxas margi-

nais de substitui�c~ao do decisor no ponto x = x

k

Passo 3 - C�alculo do passo �otimo

O passo �otimo �e indicado pelo decisor ao comparar o

comportamento de f(x

k

+�d

k

) como fun�c~ao de � 2 [0; 1]

atrav�es de tabelas ou gr�a�cos

PSfrag replacements

�

0 1�

k

f

1

f

2

f

3

PAVF

c

1999 142


Passo 4 - Crit�erio de parada

Como u �e convexa e diferenci�avel, para quaisquer f =

f(x) e f

k

= f(x

k

), onde x; x

k

2 ,

u(f)� u(f

k

) �

"

du

df

#

T

(f � f

k

)

Portanto,

u(f

k�1

)� u(f

k

) �

"

du

df

k

#

T

(f

k�1

� f

k

)

�

@u

@f

k

1

[1 �

k

2

� � � �

k

m

](f

k�1

� f

k

)

� A varia�c~ao�

k

:= u(f

k

)�u(f

k�1

) em utilidade �e limitada

superiormente por (@u=@f

k

1

)[1 �

k

2

� � � �

k

m

](f

k

� f

k�1

). A

raz~ao

�

k

�

k�1

=

[1 �

k

2

� � � �

k

m

](f

k

� f

k�1

)

[1 �

k�1

2

� � � �

k�1

m

](f

k�1

� f

k�2

)

mede a varia�c~ao relativa em utilidade entre itera�c~oes su-

cessivas. Um crit�erio de parada razo�avel seria

�

k

�

1

=

[1 �

k

2

� � � �

k

m

](f

k

� f

k�1

)

[1 �

1

2

� � � �

1

m

](f

1

� f

0

)

< �; � > 0

PAVF

c

1999 143


Exemplo - Dieta multiobjetivo (Hwang & Masud, 1979)

minimizar

x

(f

1

(x); f

2

(x); f

3

(x))

s.a g

1

(x) � 5000

g

2

(x) � 12:5

g

3

(x) = 2500

g

4

(x) = 63

x � x � x

� Custo

f

1

(x) = 0:225x

1

+2:2x

2

+0:8x

3

+0:1x

4

+0:05x

5

+0:26x

6

� Colesterol

f

2

(x) = 10x

1

+ 20x

2

+ 120x

3

� Carboidrato

f

3

(x) = 24x

1

+ 27x

2

+ 15x

4

+ 1:1x

5

+ 52x

6

� Vitamina A

g

1

(x) = 720x

1

+ 107x

2

+ 7080x

3

+ 134x

5

+ 1000x

6

� Ferro

g

2

(x) = 0:2x

1

+10:1x

2

+13:2x

3

+0:75x

4

+0:15x

5

+1:2x

6

� Calorias

g

3

(x) = 344x

1

+460x

2

+1040x

3

+75x

4

+17:4x

5

+240x

6

� Proteinas

g

4

(x) = 18x

1

+ 151x

2

+ 78x

3

+ 2:5x

4

+ 0:2x

5

+ 4x

6

� x

1

= leite (pints); x

2

= carne (libras); x

3

= ovos (d�uzias); x

4

=

p~ao (on�cas); x

5

= legumes (on�cas); x

6

= suco de laranja (pints)

� x = 0; x = (6; 1; 0:25; 10; 10; 4)

PAVF

c

1999 144


Solu�c~ao pelo m�etodo GDF

1: Ponto inicial fact��vel

x

0

= (3; 0:5; 0:15; 5; 5; 3); f(x

0

) = (3:43; 58; 322)

2: C�alculo da dire�c~ao de busca

minimizar

�2

3

X

i=1

�

0

i

rf

i

(x

0

)

T

�

De�nindo f

1

como referencia, pede-se ao decisor que

indique �

1

; �

2

; �

3

tais que

(3:43; 58; 322)� (3:43 + �

1

; 58� �

2

; 322)

(3:43; 58; 322)� (3:43 + �

1

; 58; 322� �

3

)

Assumindo �

1

= 0:5; �

2

= 20; � = 30,

�

0

1

= 1; �

0

2

=

�

1

�

2

= 0:025; �

0

3

=

�

1

�

3

= 0:017

A solu�c~ao do problema linear fornece

d

0

= (2:12; 0:16; 0:1;�5:0; 5:0;�3:0)

PAVF

c

1999 145


3: Determina�c~ao do passo �otimo

Pede-se ao decisor que analise a tabela abaixo e escolha

o melhor passo

� 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

f

1

(x

0

+ �d

0

) 3.43 3.40 3.34 3.35 3.33 3.31

f

2

(x

0

+ �d

0

) 58.0 65.3 72.6 79.8 87.1 94.4

f

3

(x

0

+ �d

0

) 322.0 287.9 253.9 219.8 185.8 151.8

Assuma que �

0

= 0:6

4: Atualiza�c~ao

Obt�em-se

x

1

= x

0

+ �

0

d

0

= (4:27; 0:60; 0:21; 2:0; 8:0; 1:2)

f(x

1

) = (3:35; 79:8; 219:8)

� O algoritmo GDF evolui de maneira similar at�e que algum

crit�erio de convergencia seja satisfeito

� Di�culdades: estimativas de taxas de substitui�c~ao, tama-

nhos de passo, ...

� Vantagens: simplicidade e fortes propriedades de con-

vergencia derivadas do m�etodo de Frank-Wolfe

PAVF

c

1999 146

Programa�c~ao por metas interativa

Formula�c~ao n~ao-interativa

minlex

x;d

+

;d

�

f�

1

(d

+

; d

�

);�

2

(d

+

; d

�

); : : : ;�

k

(d

+

; d

�

)g

s.a f

i

(x)� d

+

i

+ d

�

i

= t

i

; i = 1; 2; : : : ;m

d

+

i

� 0; d

�

i

� 0; d

+

i

� d

�

i

= 0; i = 1; 2; : : : ;m

x 2

Vers~ao interativa

� Preferencias n~ao-decrescentes em rela�c~ao a cada ob-

jetivo

� Minimiza�c~ao de d

�

i

n~ao faz sentido se se deseja mini-

mizar f

i

� A minimiza�c~ao lexicogr�a�ca �e substitu��da por

minimizar

x;d

+

;d

�

m

X

i=1

w

i

d

+

i

s.a f

i

(x)� d

+

i

+ d

�

i

= t

i

; i = 1; 2; : : : ;m

d

+

i

� 0; d

�

i

� 0; d

+

i

� d

�

i

= 0; i = 1; 2; : : : ;m

x 2

onde w

i

� 0 �e a pondera�c~ao de cada desvio i

PAVF

c

1999 147


Observa�c~oes

� Formula�c~ao unilateral (one-sided) de programa�c~ao por

metas (apenas um tipo de desvio �e considerado)

� Note que

d

+

i

= f

i

(x) + d

�

i

� t

i

e o objetivo assume a forma equivalente

minimizar

m

X

i=1

w

i

(f

i

(x) + d

�

i

)

que �e equivalente a

minimizar u(f(x))

no sentido de que u �e aditiva e linear, e que @u=@f

i

=

0 se f

i

� t

i

� M�etodo GDF, com o c�alculo da dire�c~ao representado

pelo problema de programa�c~ao por metas com ponde-

ra�c~oes

PAVF

c

1999 148


Exemplo - Dieta multiobjetivo

1: Ponto inicial fact��vel

x

0

= (3; 0:5; 0:15; 5; 5; 3); f(x

0

) = (3:43; 58; 322)

2: C�alculo das pondera�c~oes

As pondera�c~oes representam as taxas de substitui�c~ao do

decisor. Assumindo �

1

= 0:5; �

2

= 20; � = 30,

w

0

1

= 1; w

0

2

=

�

1

�

2

= 0:025; w

0

3

=

�

1

�

3

= 0:017

2: Problema de programa�c~ao por metas

minimizar

x;d

+

;d

�

1d

+

1

+ 0:025d

+

2

+ 0:017d

+

3

s.a f

1

(x)� d

+

1

+ d

�

1

= 2:2

f

2

(x)� d

+

2

+ d

�

2

= 17

f

3

(x)� d

+

3

+ d

�

3

= 150

d

+

i

� 0; d

�

i

� 0; d

+

i

� d

�

i

= 0; i = 1; 2; : : : ;m

x 2

� Solu�c~ao:

d

+

= (1:11; 77:44; 1:77) e x = (5:12; 0:66; 0:25; 0; 10; 0),

igual a �

0

obtida pelo m�etodo GDF

PAVF

c

1999 149


Justi�cativa

No caso de objetivos lineares,

m

X

i=1

w

i

(f

i

(x) + d

�

i

) =

m

X

i=1

w

i

(rf

i

(x

0

)

T

x+ d

�

i

)

com x fazendo o papel de �. Como sempre d

+

i

> 0; 8 i

(metas menores que valores ut�opicos), tem-se d

�

i

= 0; 8 i

e o objetivo �e o mesmo do m�etodo GDF 2

� A dire�c~ao de busca �e portanto

d

0

= �

0

� x

0

= (2:12; 0:16; 0:1;�5; 5;�3)

e todos os demais passos s~ao iguais aos do m�etodo GDF

PAVF

c

1999 150

M�etodo STEM

Caracter��sticas

� Dirigido para problemas multiobjetivos lineares

� Requer informa�c~oes locais na forma de trade-o�s im-

pl��citos

� Trabalha no sentido de obter solu�c~oes satisfat�orias

Formula�c~ao

minimizar

x2

f(x)

f(x) = (f

1

(x); f

2

(x); : : : ; f

m

(x))

f

i

(x) =

n

X

j=1

c

ij

x

j

; i = 1; 2; : : : ;m; f(x) = Cx

:= fx 2 R

n

: Ax = b; x � 0g; A 2 R

p�n

; b 2 R

p

Valores ut�opicos e pessimistas

Para i = 1; 2; : : : ;m, calcula-se

y

i

= f

i

(x

i

); x

i

= arg min

x2

f

i

(x)

y

i

= max

1�j�m

ff

i

(x

j

)g

PAVF

c

1999 151

M�etodo STEM

Pondera�c~oes

O m�etodo baseia-se na pondera�c~ao de desvios em re-

la�c~ao aos valores ut�opicos. Para i = 1; 2; : : : ;m, calcula-se

�

i

:=

0

@

y

i

� y

i

y

i

1

A

0

@

n

X

j=1

c

ij

1

A

�1=2

; se y

i

< 0

�

i

:=

0

@

y

i

� y

i

y

i

1

A

0

@

n

X

j=1

c

ij

1

A

�1=2

; se y

i

� 0

w

i

:=

�

i

m

X

j=1

�

i

; w

i

� 0;

m

X

i=1

w

i

= 1

� Se o valor de f

i

sobre n~ao difere muito de y

i

, ent~ao

f

i

�e pouco sens��vel a pondera�c~oes; uma pequena pon-

dera�c~ao w

i

para f

i

�e su�ciente

� Quanto maior a varia�c~ao de f

i

sobre , maior ser�a o

valor de w

i

� O segundo termo de �

i

normaliza os valores assumidos

pelas fun�c~oes objetivos

� Diferentes solu�c~oes obtidas a partir de diferentes pon-

dera�c~oes podem ser comparadas

PAVF

c

1999 152

M�etodo STEM

Algoritmo STEM (STEp Method)

1: Determine y

i

; y

i

; �

i

; i = 1; 2; : : : ;m; determine uma

solu�c~ao inicial x

0

2 ; fa�ca k = 0

2: Para i = 1; 2; : : : ;m, o decisor compara f

i

(x

k

) com y

i

e de�ne

S(x

k

) := conjunto dos objetivos satisfat�orios

I(x

k

) := conjunto dos objetivos insatisfat�orios

S(x

k

) [ I(x

k

) := f1; 2; : : : ;mg

3: Se I(x

k

) = ;, o problema foi resolvido. Caso contr�ario,

o decisor fornece quantidades �f

k

i

; i 2 S(x

k

) de maneira

a de�nir

k+1

:=

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

k

f

i

(x) � f

i

(x

k

) + �f

k

i

; i 2 S(x

k

)

f

i

(x) � f

i

(x

k

); 8 i 2 I(x

k

)

4: Fa�ca �

i

= 0; i 2 S(x

k

), calcule w

i

; i = 1; 2; : : : ;m,

resolva o problema abaixo, fa�ca k := k + 1 e volte para 2

minimizar

x;�

�

s.a � � w

i

(f

i

(x)� y

i

); i = 1; 2; : : : ;m

x 2

k+1

; � 2 R

PAVF

c

1999 153

M�etodo STEM

Observa�c~oes

� O passo 2 involve apenas compara�c~oes ordinais entre

f

i

(x

k

) e y

i

; i = 1; 2; : : : ;m

� No passo 3, o decisor deve relaxar um ou mais ob-

jetivos satisfat�orios para tentar melhorar um ou mais

objetivos insatisfat�orios

� A informa�c~ao cardinal �f

k

i

�e a quantidade m�axima de

relaxa�c~ao para i 2 S(x

k

)

� No passo 4 minimiza-se o m�aximo desvio ponderado

entre f

i

(x) e y

i

sobre

k+1

� Note que w

i

= 0 (pois �

i

= 0) para todos os objeti-

vos satisfat�orios relaxados, permitindo a melhoria dos

insatisfat�orios

Exemplo

minimizar

x2

f(x)

f(x) = (f

1

(x); f

2

(x))

f

1

(x) = �0:4x

1

� 0:3x

2

; f

2

(x) = �x

1

:= fx : x

1

+ x

2

� 400; 2x

1

+ x

2

� 500; x

1

; x

2

� 0g

� Solu�c~oes ut�opicas e pessimistas

y

1

= �130; y

2

= �250

y

1

= �100; y

2

= �100

PAVF

c

1999 154

M�etodo STEM

Exemplo (cont.)

� Pondera�c~oes

�

1

=

�130� (�100)

�130

�

(�0:4)

2

+ (�0:3)

2

�

�1=2

= 0:46

�

2

=

�250� (�100)

�250

�

(1)

2

+ (0)

2

�

�1=2

= 0:60

� Obt�em-se inicialmente w

1

= 0:43; w

2

= 0:56

� Em seguida, resolve-se o problema (

0

= )

minimizar

x;�

�

s.a � � 0:43(f

1

(x) + 130)

� � 0:56(f

2

(x) + 250)

x 2

0

; � 2 R

PAVF

c

1999 155

M�etodo STEM

Exemplo (cont.)

� Obt�em-se x

0

= (230; 40); f(x

0

) = (�104;�230)

� Suponha que ao comparar (�104;�230) com (�130;�250)

o decisor de�na S(x

0

) = f2g; I(x

0

) = f1g e �f

0

2

= 30

� A nova regi~ao fact��vel �e

1

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0

f

2

(x) � �200

f

1

(x) � �104

� Faz-se w

1

= 1; w

2

= 0 e resolve-se

minimizar

x;�

�

s.a � � (f

1

(x) + 130)

x 2

1

; � 2 R

� Obt�em-se x

1

= (200; 100); f(x

1

) = (�110;�200);

repete-se o processo at�e que I(x

k

) = ; para algum k

Cap6 Notas Aulas Valente

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