Capacitor e Indutor

8/4/2019 Capacitor e Indutor

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Universidade Federal do Rio de Janeiro

Princpios de Instrumentao Biomdica

Mdulo 4

Faraday Lenz Henry

Weber Maxwell Oersted
http://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Faradayhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Lenzhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henryhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Eduard_Weberhttp://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwellhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_%C3%98rstedhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Lenzhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henryhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Eduard_Weberhttp://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwellhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_%C3%98rstedhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday


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Contedo

4 - Capacitores e Indutores..........................................................................................................1

4.1 - Capacitores.....................................................................................................................1

4.2 - Capacitor linear e invariante com o tempo....................................................................2

4.2.1 - Modelo Thvenin e Norton....................................................................................4

4.3 - Energia acumulada no capacitor....................................................................................5

4.4 - Associao de capacitores..............................................................................................6

4.4.1 - Associao Srie.....................................................................................................7

4.4.2 - Associao Paralela................................................................................................7

4.5 - Indutores.........................................................................................................................8

4.6 - Indutor linear e invariante..............................................................................................9

4.6.1 - Modelo de Thvenin e Norton..............................................................................11

4.7 - Indutor no linear.........................................................................................................12

4.8 - Energia armazenada no indutor....................................................................................12

4.9 - Associao de indutores...............................................................................................13

4.9.1 - Associao Srie...................................................................................................14

4.9.2 - Associao Paralela..............................................................................................144.10 - Lei dos ns e das malhas para equacionar circuitos RLC..........................................15

4.11 - Exerccios...................................................................................................................18


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4 Capacitores e Indutores

Capacitores e indutores so elementos passivos, como os resistores, porm ao invs dedissipar energia estes elementos so capazes de absorver e fornecer energia. Isto ocorre porque

a energia absorvida fica armazenada na forma de campo eltrico ou magntico. Capacitores e

indutores podem ser lineares ou no lineares, variantes ou invariantes e tambm podem ser

associados como as resistncias. A eles tambm se estendem todos os conceitos de anlise

considerados anteriormente.

4.1 Capacitores

Capacitores so elementos capazes de armazenar energia sob a forma de campo

eltrico. O smbolo do capacitor pode ser visto na figura abaixo. Alguns capacitores, por

motivos meramente construtivos, podem ser polarizados e, nestes casos, utiliza-se um smbolo

ligeiramente diferente onde uma das barras aparece curva ou na forma de um retngulo que

pode estar pintado.

Princpios de Instrumentao Biomdica COB 781 1


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Os capacitores so formados por duas superfcies condutoras separadas por um

isolante de tal forma que no h contato eltrico entre os dois terminais do capacitor. Estas

superfcies, entretanto ficam muito prximas uma da outra de forma que cargas eltricas que

se deslocam para uma das superfcies repelem cargas da outra superfcie permitindo a

circulao de corrente. Observe que a resistncia entre os dois terminais do capacitor infinita

porm h circulao de corrente e ela respeita a lei das correntes de Kirchhoff, mesmo assim

h uma diferena lquida de cargas entre os dois terminais do capacitor de forma que surge

sobre seus terminais uma diferena de tenso que permanece no capacitor depois que ele

desconectado do circuito. Esta caracterstica definida pela razo entre cargas no capacitor e

tenso sobre seus terminais chama-se capacitncia:

C=q t

v t, onde C a capacitncia (Farad F)

4.2 Capacitor linear e invariante com o tempo

Um capacitor linear e invariante no tempo definido como

q t=cv t

de tal forma que

dq t

dt=C

dv t

dt

e

i=Cdv

dt, (uma relao linear)

ou

v=1

C0

t

i t 'dt 'v 0 , (uma relao linear apenas se v 0=0 )



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Observa-se que a equao de v s pode ser obtida se for conhecido o valor de v 0 ,

ou seja, a condio inicial da integral e do capacitor. Por esta razo todas as equaes que

envolvam capacitor s podem ser resolvidas se, tanto o valor de C como de v 0 forem

conhecidos (mesmo que se utilize a equao com diferencial, como veremos mais a frente).

Alm disto para que os circuitos envolvendo capacitores sejam lineares necessrio

que v 0 seja nulo ou seja as condies iniciais sejam nulas. Esta situao chamada de

estado zero. Se v 0 no for nulo podemos representar o capacitor no linear por um modelo

que emprega um capacitor descarregado em srie com uma fonte de tenso conforme indicado

na figura abaixo. Observe que esta associao (capacitor-fonte) um equivalente ao capacitor

carregado.

Adicionalmente observa-se que a corrente no capacitor depende de uma derivada ao

passo que a tenso depende de uma integral. Isto significa que a corrente no capacitor pode

variar instantaneamente. J a tenso sobre o capacitor s pode variar instantaneamente se i(t)

for infinita como uma funo impulso. Alguns autores utilizam o termo inrcia de tenso para

indicar que a tenso no capacitor no pode variar instantaneamente. Destas observaes

decorre que, em circuitos de corrente contnua (CC) e chaveados (com ondas de tenso ou

corrente pulsadas), o capacitor ir se comportar como um curto circuito para transies

rpidas (como degraus e impulsos) e como circuito aberto para corrente contnua. Entre o

chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contnua constante h um perodo

transitrio onde o capacitor se carrega e no pode ser considerado como nenhuma das duas

situaes acima.

Exemplo: No circuito abaixo a chave ch1 fecha em t=0. Calcular a corrente e a tenso

no capacitor para t=0+ e t= .



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t=0+ , (capacitor um curto circuito)

vC1=0

iC1=v1

R1=10A

t= , (capacitor um circuito aberto)

iC1=0

vC1=v1

R1R2R2=7,5V

4.2.1 Modelo Thvenin e Norton

Conforme apresentado na seco anterior um modelo para capacitor carregado obtido

pela associao srie de um capacitor descarregado com uma fonte de tenso formando um

equivalente Thvenin. Naturalmente este modelo Thvenin pode ser transformado em um

modelo Norton equivalente como apresentado na figura abaixo

Para o equivalente Thvenin



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v=1

C idtvs

i=Cdvvsdt

=Cdvdt

Cdvsdt

Para o equivalente Norton

v=1

C iisdt=

1

C idt

1

C isdt

i=Cdv

dtis

Desta forma, para que as equaes de v e i sejam iguais nos dois modelos temos que

vs t=1

C

0

t

ist 'dt e

ist=Cdvs

dt

4.3 Energia acumulada no capacitor

A energia pode ser obtida pela integral da potncia ao longo do tempo. Num capacitor

a energia no dissipada mas sim armazenada na forma de campo eltrico. Assim sendo a

energia armazenada em um capacitor igual a energia fornecida a ele por uma fonte.

w t0, t=t0

t

v t 'i t 'dt '

w t0, t=q t0

q t

v q1dq1 (rea entre o eixo q e a curva)

w t=0

q t

v q1dq1 .



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Para um capacitor linear invariante

w t=0

q tq1

Cdq1

w t=1

2

q2t

C

w t=1

2Cv2

Um capacitor passivo aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a

zero. Assim um capacitor linear invariante passivo se sua capacitncia no negativa e ativo

se sua capacitncia negativa.

4.4 Associao de capacitores

Capacitores ligados em srie ou paralelo podem ser substitudos por um capacitor

equivalente tal que a relao entre v e i nos terminais da associao seja igual a relao entre v

e i no equivalente.



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4.4.1 Associao Srie

Pela LTK e LCK

v=vC1vC2

v=1

C1

itdt1

C2

i tdt

v= 1C1

1

C2 i tdt

v=1

CEQ i tdt

onde1

CEQ= 1C1

1

C2 .

Genericamente1

CEQ= 1Cn

4.4.2 Associao Paralela

Utilizando a LTK e a LCK



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i=iC1iC2

i=C1dv

dt

C2dv

dt

i=C1C

2

dv

dt

i=CEQdv

dt

onde CEQ=C1C2

Genericamente CEQ=Cn

4.5 Indutores

Indutores so elementos armazenadores de energia na forma de campo magntico. O

smbolo do indutor apresentado na figura abaixo. Algumas vezes o smbolo do indutor

apresenta alguma marcao como um circulo prximo a um de seus terminais ou vem

acompanhado de outro indutor. Estes smbolos pertencem a indutores acoplados que sero

estudados separadamente em outros captulos.



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O indutor formado por um fio enrolado de tal forma a concentrar o campo magntico

produzido quando o condutor percorrido por corrente eltrica. O resultado que a corrente

que percorre o indutor torna-se dependente do fluxo magntico gerado. A caracterstica de

indutncia dada pela razo entre fluxo magntico e corrente

L=t

i t

onde fluxo magntico (weber W) e L indutncia (Henry H).

4.6 Indutor linear e invariante

O indutor linear e invariante apresenta a seguinte caracterstica

t=Li t .

Pela lei da induo de Faraday temos que

v t=d

dt.

Esta lei, associada aos sentidos estabelecidos para corrente e tenso esto em acordo

com a lei de Lenz que estabelece que a fora eletromotriz induzida por uma variao de fluxo

tem polaridade tal que se ope causa desta variao. Supondo que a corrente aumente, a



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derivada do fluxo e a tenso sobre o indutor tambm aumentaro. Neste caso a polaridade da

tenso tal que tende a impedir novos aumentos da corrente.

Utilizando as duas relaes acima possvel determinar uma forma mais til para

caracterizar o indutor em termos de tenso e corrente em seus terminais.

v t=Ldi t

dt(uma relao linear)

ou

i t= 1L

0

t

v t 'dt 'i 0 (uma relao linear apenas se i 0=0 )

Assim como ocorre com o capacitor o indutor tambm s pode ser perfeitamente

caracterizado se conhecermos sua indutncia L e a condio inicial i 0 , ou seja, a corrente

que circulava por ele antes da anlise comear. O indutor tambm s pode ser considerado

linear se a sua condio inicial for nula e caso no seja, pode ser modelado por um indutor

descarregado em paralelo com uma fonte de corrente, como mostrado na figura abaixo.

Observa-se que a corrente no indutor obtida por uma integral e que a tenso obtida

por uma derivada. Isto significa que a tenso no indutor pode mudar instantaneamente ao

passo que a corrente s pode mudar instantaneamente se a tenso sobre o indutor assumir

valores infinitos (funo impulso). Alguns autores denominam este efeito de inrcia de

corrente. Tambm resulta, desta observao, que em circuitos de corrente contnua ou

pulsados o indutor se comporta como um circuito aberto para transies rpidas (degraus e

impulsos) e como um curto circuito para corrente contnua (quando no h mais variaes de

tenso ou corrente). Entre o chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contnua



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constante h um perodo transitrio onde o indutor se carrega e no pode ser considerado

como nenhuma das situaes acima.

Exemplo: Calcular as tenses e correntes no indutor para t=0+ e t= .

Parat=

0+

vL1=v1=10V

iL1=0A

Para t=

vL1=0V

iL1=v1

R1

=10A

4.6.1 Modelo de Thvenin e Norton

O modelo que representa o indutor carregado, apresentado acima, semelhante ao

modelo de Norton o que significa que ele tambm poderia ser representado por um modelo

Thvenin equivalente. Os dois modelos esto apresentados na figura abaixo



14/27

Para que ambos os modelos sejam equivalentes necessrio que

vs t=Ldist

dt

e

ist=1

L

0

t

vst 'dt '

4.7 Indutor no linear

Muitos indutores fsicos tm caracterstica no linear. Somente para uma faixa de

valores de corrente em torno da origem o indutor linear, para correntes de valor mais

elevado o fluxo satura (apresenta pouca variao para uma mesma variao de corrente).

Biologicamente este efeito tambm pode ocorrer com elementos que se comportam como

resistncia ou capacitncia. Um dos efeitos no lineares mais comuns se chama histerese e

apresentada no grfico da figura abaixo. Quando a corrente aumenta o fluxo aumenta por uma

curva 1 porm quando a corrente diminui o fluxo diminui por uma curva 2 diferente da

primeira. Este comportamento ilustrado na figura abaixo.

4.8 Energia armazenada no indutor

A energia pode ser obtida pela integral da potncia ao longo do tempo. O indutor, da

mesma forma que o capacitor capaz de armazenar energia ao invs de dissip-la. Esta



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energia fica armazenada no campo magntico criado entorno do indutor. Assim sendo a

energia armazenada em um indutor igual a energia fornecida a ele por uma fonte.

w t0, t=t0

t

v t 'it 'dt '

w t0, t=t

0

t

i 1d1 (rea entre o eixo e a curva)

w t=0

t

i 1d1

A rea entre as duas curvas 1 e 2 no grfico da histerese representa perda de

energia gasta para magnetizar o indutor. Quando maior a curva de histerese maior as perdas

no indutor.

Para um indutor linear e invariante

w t=0

t

1Ld1

w t=1

22t

L

w t=1

2Li

2t

Um indutor passivo aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a zero.

Assim um indutor linear invariante passivo se sua indutncia no negativa e ativo se sua

indutncia negativa.

4.9 Associao de indutores

Indutores ligados em srie ou em paralelo tambm podem ser substitudos por um

indutor equivalente do ponto de vista da tenso e da corrente nos terminais da associao.



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4.9.1 Associao Srie

Usando a LTK e LCK

v=vL1vL2

vL=L1di

dtL2

di

dt

v=L1L2di

dt

v=LEQdi

dt

onde

LEQ=L1L2 .

Genericamente LEQ=Ln

4.9.2 Associao Paralela

Usando a LCK e a LTK



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i=iL1iL2

i=1

L1 v tdt

1

L2 v tdt

i= 1L11

L2 v tdt

i=1

LEQv tdt

onde

1

LEQ=

1

L1

1

L2

Genericamente1

LEQ= 1Ln

4.10 Lei dos ns e das malhas para equacionar circuitos RLC

As leis de Kirchhoff so vlidas para circuitos com capacitores, indutores e resistores

que incluam fontes dependentes ou no. Por esta razo as sistematizaes apresentadas para a

LCK e LTK tambm so vlidas.

No circuito abaixo iremos equacionar as tenses ns.

para o n A (na fonte de corrente)



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C1dvA

dt

vA

R1

1

L1 vAvBdtI0=I1

para o n B (no resistor R2)

1

L1

vBvAdtI0vB

R2

=0

a condio inicial do problema

vA0=V0

Com estas equaes j temos o sistema de equaes diferenciais que resolvem o

problema. Se a soluo particular a tenso sobre o resistor R2 ento podemos obter esta

equao somando as duas equaes

C1dvA

dt

vA

R1

vB

R2=I1

e a tenso vA pode ser obtida derivando a segunda equao duas vezes

1

L1

vB1

L1

vA1

R2

dvB

dt=0

assim

vA=vBL1

R2

dvB

dt

dvA

dt=

dvB

dt

L1

R2

d2 vB

dt2

substituindo vA temos

L1C1d

2vB

dt2R2C1L1R1

dvB

dt1R1R2vB=R2I1

as condies iniciais so



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vA0=V0=R2I1

e

dvB 0

dt=

R2

L1[vA0vB0]=

R2

L1[V0R2I1]

O mtodo de anlise de malhas tambm pode ser utilizado. Neste caso a fonte de

corrente em paralela com um resistor pode ser substituda pelo seu equivalente Thevenin.

para a primeira malha

R1i1V0 1C1

0

t

i1i 2dt '=V1

para a segunda malha

L1

diL2

dtR2i 2V0

1

C1

0

t

i 2i1dt '=0

a condio inicial do problema

i20=I0

As equaes acima garantem o sistema capaz de resolver o problema. Se estivermos

interessados em uma resposta particular como a tenso sobre R2 ento podemos manipular as

equaes para obter a resposta desejada. Para isso podemos somar as duas equaes acima

R1i

1L

1

di2

dt

R2i

2=V1



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i1=L1R1

di2

dt

R2

R1i2

V1

R1

Derivando a segunda equao obtemos

L1d

2i2

dt2R2

di2

dt

i2

C1

i1

C1=0

e substituindo i1

L1C1d

2i 2

dt2

R2C1

L1

R1

di2

dt

1

R2

R1

i2=

V1

R1

i20=I0

di2 0

dt=

1

L1V0R2I0

L1C1d

2v2

dt2

R2C1

L1

R1

dv2

dt

1

R2

R1

v2=R2I1

v20=R2I0

dv20

dt=

R2

L1

V0

R2I

0

4.11 Exerccios

1) Os circuitos das figuras abaixo esto operando em regime permanente, quando em

t=0s, a chave S1 fecha. Determinar as correntes e tenses nos capacitores e indutores para os

instantes imediatamente antes e depois do fechamento da chave e para tempo infinito: i L(0),

iL(0+), iC(0

), iC(0+), iL(), iC(), vC(0

), vC(0+), vC(), vL(0

), vL(0+), vL(), diL(0

)/dt, diL(0+)/dt,

dvC(0)/dt, dvC(0

+)/dt.

a) ConsidereIs1(t) uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.



21/27

Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:

vC1 0-=0V , iC10

-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C1

vC1 0+=vC10

- , iC10

+=Is1

G1

G1

G1 ,

dvC10+

dt

=i C10

+

C1

vC1 =Is1R1 , iC1=0A

b)

Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:

iL10-=0A , vL10

-=0V ,

diL10-

dt=

vL10-

L1

iL10+

=0A , vL10+

=I1R1 ,diL10

+

dt =vL1 0

+

L1

iL1=I1 , vL1=0V .

c) Considere V1(t) uma fonte constante e o capacitor descarregado.



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23/27

iL10+=

V1

R1, vL10

+=0V ,diL10

+

dt=

vL1 0+

L1

iL1=V1R

1

, vL1=0V .

vC1 0-=V1 , iC10

-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C1

vC1 0+=V1 , iC10

+=V1

R2

,dvC10

+

dt=

i C10+

C1

vC1 =0V , iC1=0A .

e) V1(t) uma fonte constante e independente

Fazendo um Thvenin sem incluirC1 nem o ramo deR2.

Em circuito aberto: vCA=v2=R3i1=R3V12v2

R1, logo vCA=

R3V1

R12R

3

Em curto circuito: iCC=I=i1=V1VB1

R11

=V1

R1

.

VTH=vCA , RTH=vCA

ICC

vC1 0-=VTH , iC10

-=0A ,dvC10

+

dt=

i C10+

C1



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vC1 0+=VTH , iC10

+ =VTH

R2

,dvC10

+

dt=

iC10+

C1

vC1 =VTH

RTHR2R

2 , iC1=0A .

f) V1t=ut

Como Vot=vC1t , iC1 ser determinado da direita para a esquerda.

vC1 0-=0V , iC10

-=0A , dvC10+

dt

=iC10

+

C1

vC1 0+=0V , iC10

+=iR2=V1

R2

,dvC10

+

dt=

iC10+

C1

vC1 =V1

R2

R1 , iC1=0A .

g) V1t=ut



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vC1 0-=0V , iC10

-=0A ,dvC10

+

dt=

iC10+

C1

vC1 0+=0V , iC10

+ =V1

R1

,dvC10+

dt=

i C10+

C1

vC1 =V1 , iC1=0A .

2) Determine iL1(), iL1(0+), vC1(), vC1(0

+)

Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:

iL10+=0A , iL1=I1

vC2 0+=0V , vC2 =I1R2 .

3) Para o circuito abaixo determine vC(0), vC(0

+), iC(0), iC(0

+), vC(), iC().

Calculando o Thvenin do circuito sem o capacitor:

RTH=R1R2 //R3 onde // indica em paralelo com



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VTHt=I1I2

G1GSERIEGSERIER3

onde G SERIE= G2G3

G2G

3

vC0-=VTH0

- , iC0-=0A

vC0+ =VTH0

- , iC0+=

VTH0+VTH0

-

RTH

vC=VTH0+

, iC=0A .

4) Supondo v1(t) e i1(t) fontes independentes e iguais a um degrau unitrio de tenso e

corrente respectivamente, determine a tenso sobre a fonte i1(t) e as expresses para vL2(t) e

iv(t).

vL2=L2t

v i1v1vL2vR2=0

v i1=u tL2t i1R2

iv i1iL1iC1=0

iv=i11

Lu tdtCt



27/27

5) Na figura abaixo o circuito se apresenta em regime permanente (todas as tenses e

correntes so constantes) quando, em t=0 a chave S1 troca de posio. Calcule iL1(0), iL1(0

+),

iC1(0), iC1(0

+), iL1(), iC1(), vC1(0), vC1(0

+), vC1(), vL1(0), vL1(0

+), vL1(), diL1(0)/dt,

diL1(0+)/dt, dvC1(0

)/dt, dvC1(0+)/dt.

Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:

iL10-=

V2

R1R

2

, vL10-=0V ,

diL10-

dt=

vL10-

L1

iL10+=

V2

R1R2, vL10

+=0V ,diL10

+

dt=

vL1 0+

L1

iL1=V1

R1R

2

, vL1=0V .

vC1 0-=

V2

R1R2R2 , iC10

-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C1

vC1 0+= V2

R1R

2

R2 , iC10+=V1vC1 0

+

R1

iL1 0+ , dvC10

+

dt

=i C10+

C1

vC1 =V1

R1R2R2 , iC1=0A .

Capacitor e Indutor

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