Capacitores e Indutores
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1 CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA Dois elementos passivos que armazenam energia:Capacitores e Indutores INTRODUÇÃO CAPACITORES Armazenam energia através do campo elétrico (energia eletrostática) Modelo de elemento de circuito (variação da tensão). INDUTORES Armazenam energia através do campo magnético Modelo de elemento de circuito (variação da corrente) COMBINAÇÃO DE INDUTORES E CAPACITORES Combinação de elementos em série/paralelo. CIRCUITOS RC, RL, RLC e AMP-OP Circuitos integradores e diferenciadores Equações integro-diferenciais CAPACITORES Eletrolíticos e de estado sólido Cerâmicos Multiplacas cerâmico
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CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA
Dois elementos passivos quearmazenam energia:Capacitores e Indutores
INTRODUÇÃO
CAPACITORESArmazenam energia através do campo elétrico (energiaeletrostática) Modelo de elemento de circuito (variaçã o datensão).
INDUTORESArmazenam energia através do campo magnéticoModelo de elemento de circuito (variação da corrente)
COMBINAÇÃO DE INDUTORES E CAPACITORESCombinação de elementos em série/paralelo.
CIRCUITOS RC, RL, RLC e AMP-OPCircuitos integradores e diferenciadoresEquações integro-diferenciais
CAPACITORES
Eletrolíticos e de estado sólido
Cerâmicos
Multiplacas cerâmico
2
CAPACITORES
Axial Radial
Capacitores variáveis com dielétrico de arCourtesy of Johnson Manufacturing Co.
Testando dielétrico de um capacitor
Ohmímetro: identifica dielétrico deteriorado (capacitores de papel e eletrolítico)
Dielétrico rompido, qualidade de isolação diminui de modo que a resistência entre as placas se torna relativamente pequena.
3
Resumo:
CAPACITORES Capacitores típicos
Capacitor básico de placas paralelas
REPRESENTAÇÃO DO CIRCUITO
USO DA CONVENÇÃO PASSIVA
DE ELEMENTO
4
Normalmente os valores de capacitância são pequenosem geral Microfarad (µF). Usualmente, para circuitosintegrados, na ordem de nano e pico Farad (nF e pF).
d
AC
ε=
284
12
103141.610016.1
1085.855 mA
AF ×=⇒
××= −
−
TAMANHO PARA UM CAPACITOR AR (GAP-AR) EQUIVALENTE
gap in material ofconstant Dielectric ε
Distribuição das linhas de campo
Efeito de borda: reduz a capacitância
Sem efeito de borda: ideal - prática
Robert L. BoylestadIntroductory Circuit Analysis, 10ed.
Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
5
Ex.: Determinar a capacitância para cada caso.
FF
d
AC µµε
05,02
1,0 ===
FFxd
AC µµε
50)20(5,2 ===
FFxd
AC µµε
15)5(3 ===
FpFxd
AC µε
16,0)1000()8/1(
45 ===
Robert L. BoylestadIntroductory Circuit Analysis, 10ed.
Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458
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CAPACITORES
Circuito simples de carga com duas placas.
6
Lei básica para carga: )( CVfQ =Lei de Coulumb, capacitores lineares: CCVQ =
C é a CAPACITÂNCIA do dispositivo e tem unidadeem
voltage
charge
Um Farad(F) é a capacitância do dispositivo quepode armazenar um Coulomb de carga a cada Volt.
Volt
CoulombFarad =
EXEMPLO Tensão através de um capacitor de 2 microFarads “segura” 10mC de carga
VQC
VC 500010*1010*2
11 36
=== −−
Capacitância em Farads, carga em Coulombsresulta tensão em Volts Capacitores podem ser perigosos!!!
Representação linear p/ capacitor.
Michael Faraday
O capacitor é um elementopassivo, logo segue aconvenção passiva.
Capacitores somente armazenam e trocamEnergia eletrostática. Não criam energia.
Representação de circuito linear
)()( tdtdv
Cti =
7
Se a tensão varia a carga tembém varia, logo háum deslocamento de corrente através do capacitor
CC CVQ = Lei p/ capacitância
Pode-se expressar a tensão no capacitorem termos da corrente através do mesmo
QC
tVC
1)( = ∫
∞−
=t
C dxxiC
)(1
Lei p/ capacitância em termos da integral
dt
dVC
dt
dQi CC ==
… Ou pode-se expressar a correnteEm termos da tensão no capacitor
Lei da capacitância em termos da derivada
A implicação matemáticapara a integral, defineque...
ttVtV CC ∀+=− );()(
Tensão através do capacitor DEVEser contínua.
Implicação a partir da derivada??
0=⇒= CC iConstVComportamento DC ou estado inicial
Um capacitor inicialmente atua como um CIRCUITO ABERTO
CAPACITOR COMO ELEMENTO DE CIRCUITO
−
+
Cv
Ci
)()( tdt
dvCti c
C =
∫∞−
=t
CC dxxiC
tv )(1
)(
∫∫∫ +=∞−∞−
t
t
tt
0
0
∫ ∫∞−
+=0
0
)(1
)(1
)(t t
tCCC dxxi
Cdxxi
Ctv
∫+=t
t
CCC dxxiC
tvtv0
)(1
)()( 0
O fato da tensão ser definida através deuma integral tem importantes implicações...
RR
RR
Riv
vR
i
=
= 1
Lei de Ohm
)( Oc tv
elsewhereti 0)( =
CURRENT THE DETERMINE
FC µ5=
)()( tdtdv
Cti =
mAsV
Fi 20106
24][105 3
6 =
×××= −
−
mA60−
EXEMPLO
8
CAPACITOR COMO ELEMENTO ARMAZENADOR DE ENERGIA
)()()( titvtp CCC =Potência Instantânea
)()( tdt
dvCti c
C =
dt
dvtCvtp c
CC )()( =
C
tqdxxi
Ctv C
t
CC
)()(
1)( == ∫
∞−
)()(1
)( tdt
dqtq
Ctp C
CC =
Energia é a integral da potência
∫=2
1
)(),( 12
t
tCC dxxpttw
Se t1 é menos infinito, tem-se a“energia armazenada em t 2.”
Se os limites são ± ∞, tem-se a“energia total armazenada.”
= )(2
1)( 2 tv
dtd
Ctp CC
)(21
)(21
),( 12
22
12 tCvtCvttw CCC −=
= )(211
)( 2 tqdtd
Ctp cC
)(1
)(1
),( 12
22
12 tqC
tqC
ttw CCC −=
W−
+
Cv
Ci
Energia armazenada de 0 - 6 ms
][)24(*][10*521
)6,0( 226 VFwC−=
Carga armazenada em 3ms
)3()3( CC Cvq =
)0(21
)6(21
)6,0( 22CCC CvCvw −=
CVFqC µ60][12*][10*5)3( 6 == −
“Energia total armazenada?” ....
“Carga total armazenada?” ...
Carga em Coulombs,capacitância em Faradsentão a energia é dada em?
FC µ5=
EXEMPLO
9
VOLTAGETHE FIND .4 FC µ=
20 ≤≤ t
mst 42 ≤<][1082)( 3 Vttv −×+−=
0;)(1
)0()(0
>+= ∫ tdxxiC
vtvt
2;)(1
)2()(2
>+= ∫ tdxxiC
vtvt
V(0) = 0
POWER THE FIND .4 FC µ=
tti 3108)( −×=
mstttp 20,8)( 3 ≤≤=
mst 42 ≤<elsewheretp ,0)( =
V(0) = 0
10
elsewheretp ,0)( =
ENERGIA
mstttp 20,8)( 3 ≤≤=
mst 42 ≤<
EXTENSÃOCURRENT THE DETERMINE
FC µ2=)()( t
dtdv
Cti =
=
×××= −
−
sV
Fi 36
102
12102
×−××= −
−
sV
Fi 36
104
12102
11
Energia armazenada em um tempo t )(2
1)( 2 tCvtE C= =)240/1(E
−
2sin130*][10*2
2
1 226 πF J
Carga armazenada em um dado tempo )()( tCvtq CC = =)120/1(Cq 0])[sin(*][10*2 6 =− VC π C
Corrente através do capacitor )(tdt
dvCi C
C = =)120/1(Ci )cos(120*130*10*2 6 ππ−A
Potência elétrica no capacitor em um dado instante )()()( titvtp CCC =
Energia armazenada em um dado intervalo
W
)(21
)(21
),( 12
22
12 tCvtCvttw CC −= J
FC µ2=
)120(sin130)( ttv π=−
+)(tv
QUAIS VARIÁVEIS SÃO CALCULADAS?
PROBLEMA
−
+
Cv
Ci
C
FC µ2=
][0;0
0;)(
5.0
mAt
teti
t
C
<≥
=−
Corrente no capacitor
Tensão em determinado t
dxxiC
tvt
CC )(1
)( ∫∞−
= =)0(Cv ][0 V
Tensão em t quando a tensão em to<t é conhecida ∫+=t
t
CCC dxxiC
tvtv0
)(1
)()( 0
=)2(Cv ∫−+
2
0
5.01)0( dxe
Cv x
C
2
0
5.06 5.0
1
10*2
1
−= −−
xe ( ) 616
10*6321.015.0
1
10*2
1 =−= −− e V
Carga em um dado t )()( tCvtq CC = =)2(Cq 6321.0*2 C
Tensão em função do tempo dxxiC
tvt
CC )(1
)( ∫∞−
= 0;0)( ≤= ttvC ∫−+=
tx
CC dxeC
vtv0
5.01)0()(
<≥−
=−
0;0
0);1(10)(
5.06
t
tetv
t
C VPotência elétrica no capacitor )()()( titvtp CCC =
Energia armazenada no capacitor em t )(21
)( 2 tCvtw C=
W
J
Energia “total” armazenada no capacitor )(21 2 ∞= CT Cvw 6266 10)10(*10*2
21 == −
Tw J
EXEMPLO Corrente conhecida ...
12
PROBLEMA
sec)(mt
5 10
Calcular a tensão em função do tempo
Corrente é zero para t<0, tem-se:
⇒<< sec50 mt tsAts
At
msA
tiC ]/[10*310
103
515
)( 33
6−
−
−=== µ
][10*4
10*3)(0)0(
06
3
VxdxtVVt
CC ∫−
−=⇒= ][10*50];[
810*3 32
3
stVt −<<=
Em particular ][8
75][
8
)10*5(*10*3)5(
233
mVVmsVC ==−
][10)(105 Atimst C µ−=⇒<<
∫−
−−
−−+=⇒=
t
CC dxsAtVmVmsV310*5
66
3
]/)[10*10(10*4
1810*75
)(][875
)5(
( ) ][10*1010*5;][10*54
10
8
10*75)( 333
3
stVttVC−−−
−<<−−=Carga armazenada: 5ms
)()( tCVtq CC =
][8
10*75*][10*4)5(
36 VFmsq
−−=
][)2/75()5( nCmsq =
Energia total armazenada
2
2
1CCVE = ][
8
10*2510*4*5.0
236 JET
=
−−
Dados: corrente e capacitância
0;0)( ≤= ttVC
( )
>−
≤<−−
<<
≤
=
][10;8
25
][105;54
10
8
75
50;8
30;0
)(
2
mst
mstt
mstt
t
tVc][mV
Descrição formal dos pontos de um sinal
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CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES: CAPACITOR IDEALCARACTERÍSTICAS IMPORTANTES: CAPACITOR IDEAL
1. Só há fluxo de corrente através de um capacitor, se a tensão em seus terminais variar com o tempo. Capacitor é um circuito aberto para CC;
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um capacitor mesmo que a corrente através dele seja zero, como no caso em que a tensão em seus terminais é constante;
3. É impossível promover uma mudança finita na tensão nos terminais de um capacitor em um intervalo de tempo nulo, demandaria uma corrente infinita;
4. Capacitor não dissipa energia, somente armazena –modelo matemático do dispositivo (no caso real, o modelo tem uma resistência finita associada ao dielétrico a ao encapsulamento).
1. Só há fluxo de corrente através de um capacitor, se a tensão em seus terminais variar com o tempo. Capacitor é um circuito aberto para CC;
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um capacitor mesmo que a corrente através dele seja zero, como no caso em que a tensão em seus terminais é constante;
3. É impossível promover uma mudança finita na tensão nos terminais de um capacitor em um intervalo de tempo nulo, demandaria uma corrente infinita;
4. Capacitor não dissipa energia, somente armazena –modelo matemático do dispositivo (no caso real, o modelo tem uma resistência finita associada ao dielétrico a ao encapsulamento).
Linhas de fluxo podemextender além do Indutorcriando efeito indutivo“desgarrado”
Circuito representativopara um indutor
O fluxo variável com o tempocria um contator EMF, provocando a tensão nosterminais do dispositivo.
INDUTORES USO DA CONVENÇÃO PASSIVA
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IndutoresJoseph Henry
Tipos de indutores
Toroidal de potência
Montagem de superfície
Encapsulados
De filtro de alta corrente (24 µH a 60 A) Núcleo de ar
Filtro de alta corrente (40 µH a 5 A)
15
Tipo: De núcleo abertoValores Típicos:3 mH a 40 mHAplicações: Usado em filtros passa-baixa. Encontrado em circuitos de alto-falantes.
Tipo: ToroidalValores Típicos:1 mH a 30 mHAplicações: Usado em linhas de transmissão para filtrar transientes e reduzir interferências eletromagnéticas. Encontrado em muitos eletrodomésticos.
Tipo: CilíndricoValores Típicos:3 µH a 1 mHAplicações: Usado em linhas de transmissão de alta corrente.
Tipo: Linha de retardoValores Típicos:10 µH a 50 µHAplicações: Usado em receptores de televisão em cores para corrigir diferenças de tempo entre os sinais de cor e o sinal de branco e preto.
Tipo: Com derivaçõesValores Típicos:0,6 mH a 50 mHAplicações: Usado em filtros de linha, fontes de alimentação chaveadas, carregadores de baterias e outros equipamentos eletrônicos.
Tipo: De RFValores Típicos:10 µH a 50 µHAplicações: Usado em receptores de rádio e televisão e em circuitos de comunicação. Encontrados em circuitos de AM, FM e UHF.
Tipo: EncapsuladoValores Típicos:0,1 µH a 100 µHAplicações: Usado em uma grande variedade de circuitos com osciladores, filtros passa-baixa e outros.
Tipo: Para montagem em superfícieValores Típicos:0,01 µH a 100 µHAplicações: Encontrado em muitos circuitos eletrônicos que exigem componentes em miniatura para que sejam montados emplacas de circuito impresso com multicamadas.
Tipo: AjustávelValores Típicos:1 µH a 100 µHAplicações: Indutor variável usado em osciladores e outros circuitos de RF de transceptores e receptores de rádio e televisão.
RESUMO
UM FLUXO MAGNÉTICO VARIANTE NO TEMPOINDUZ UMA TENSÃO
dt
dvL
φ= Lei da indução
INDUTORES ARMAZENAM ENERGIA ELECTROMAGNETICA.PODEM SER ALIMENTADOS E ARMAZENAR ENERGIA NOCIRCUITO, MAS NÃO PODEM CRIAR ENERGIA.DEVEM RESPEITAR A CONVENÇÃO PASSIVA.
PARA UM INDUTOR LINAR O FLUXO ÉPROPORCIONAL A CORRENTE
⇒= LLiφdt
diLv L
L =FORMA DIFERENCIALDA LEI DA INDUÇÃO
A CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE, L, ÉCHAMADA DE INDUTÂNCIA DO COMPONENTE
INDUCTÂNCIA É MEDIDA EM UNIDADE DEhenry (H). DIMENSIONALMENTE
secAmp
VoltHENRY=
Seguindo o sinal da convenção passiva
16
dt
diLv L
L =Forma diferencial da Lei da Indução
∫∞−
=t
LL dxxvL
ti )(1
)(Forma Integral da Lei da Indução
00 ;)(1
)()(0
ttdxxvL
titit
t
LLL ≥+= ∫
Conseqüência direta da forma Integral ttiti LL ∀+=− );()( Corrente DEVE ser continua
Conseqüência direta da forma diferencial 0. =⇒= LL vConsti Comportamento DC
Potência e Energia armazenadas
)()()( titvtp LLL = W )()()( titdt
diLtp L
LL =
= )(2
1 2 tLidt
dL
)(2
1)(
2
1),( 1
22
212 tLitLittw LL −= Energia armazenada no intervalo
pode ser positiva ou negativa
)(21
)( 2 tLitw LL =“Energia armazenada em t”DEVE ser não-negativa. ELEMENTO PASSIVO!!!
∫
=2
1
)(2
1),( 2
12
t
tLL dxxLi
dtd
ttw J Corrente em Amps, Indutância em Henrysenergia em Joules
L=10mH. ENCONTRAR A TENSÃO
=××= −
−
sA
s
Am 10
102
10203
3
−=sA
m 10
)()( tdtdi
Ltv =
A DERIVADA DE UMA LINHA RETA É UMACONSTANTE
≤<−≤≤
=elsewhere
mstsA
mstsA
dtdi
0
42)/(10
20)/(10
mVVtvHL
sAtdtdi
10010100)(1010
)/(10)( 3
3=×=⇒
×=
= −
−
ENERGIA ARMAZENADA ENTRE 2 AND 4 ms
)2(21
)4(21
)2,4( 22LL LiLiw −=
233 )10*20(10*10*5.00)2,4( −−−=w J
O VALOR É NEGATIVO POR QUE OINDUTOR ESTA FORNECENDO ENERGIAPREVIAMENTE ARMAZENADA
EXEMPLO
17
2
)(Vv
2 )(st
L=0.1H, i(0)=2A. OBTER i(t), t>0
∫+=t
dxxvL
iti0
)(1
)0()(
20;2)(2)(0
≤<=⇒= ∫ ttdxxvxvt
stttiHL 20;202)(1.0 ≤≤+=⇒=
stititxv 2);2()(2;0)( >=⇒>=
Energia inicial armazenada no Indutor
== 2)2]([1.0*5.0)0( AHw ][2.0 J
“Energia total armazenada no indutor”
JAHw 2.88)42(*][1.0*5.0)( 2 ==∞
Energia armazenada entre 0 e 2 sec
)0(21
)2(21
)0,2( 22LL LiLiw −=
22 )2(*1.0*5.0)42(*1.0*5.0)0,2( −=w
][88)0,2( Jw =
CÁLCULOS DA ENERGIAPROBLEMA
22 )(st
)(Ai42
)(2
1)(
2
1),( 1
22
212 tLitLittw LL −= Energia armazenada no
Intervalo pode ser negativa ou positiva
OBTER A TENSÃO ATRAVÉS L, E A ENERGIAARMAZENADA (EM FUNÇÃO DO TEMPO)
)(tv
PARA ENERGIA ARMAZENADA NO INDUTOR
)(twL
NOTAR QUE A ENERGIA ARMAZENADAEM QUALQUER TIMPO É NÃO NEGATIVA-ELEMENTO PASSIVO-
EXEMPLO
18
EXEMPLO
VOLTAGETHE DETERMINE
mHL 10=)()( t
dtdi
Ltv =
mVv 100−=
××××= −
−−
sA
Hv 3
33
102
1020][1010
L=200mH
OBTER A CORRENTE
0)0(0;0)( =⇒<= ittv
0;)(1
)0()(0
>+= ∫ tdxxvL
itit
)(ti
)(ti
EXEMPLO
19
ENERGIA
POWER
)(ti
L=200mH
)(tp
)(tw
ENERGIA NUNCA É NEGATIVA.O DISPOSITIVO É PASSIVO
OBTER A POTÊNCIA
OBTER A ENERGIA
L=5mHOBTER A TENSÃO
)()( tdtdi
Ltv =
msmA
m1
20= )/(12
2010sAm
−−=
Vv
m
0
0
==
)/(34
100sAm
−−=
mVmstsAHv 10010);/(20)(105 3 =<≤××= −
mVv 50−=
mVv 50−=
20
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES: INDUTOR IDEALCARACTERÍSTICAS IMPORTANTES: INDUTOR IDEAL
1. Só há tensão nos terminais de um indutor, se a corrente através dele variar com o tempo. Indutor é um curto circuito para CC;
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um indutor mesmo que a tensão em seus terminais seja zero, como no caso em que a corrente através dele é constante;
3. É impossível promover uma mudança finita na corrente através de um indutor em um intervalo de tempo nulo, demandaria uma tensão infinita;
4. Indutor não dissipa energia, somente armazena – modelo matemático do dispositivo (no caso real, o modelo tem uma resistência finita em série - enrolamento).
1. Só há tensão nos terminais de um indutor, se a corrente através dele variar com o tempo. Indutor é um curto circuito para CC;
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um indutor mesmo que a tensão em seus terminais seja zero, como no caso em que a corrente através dele é constante;
3. É impossível promover uma mudança finita na corrente através de um indutor em um intervalo de tempo nulo, demandaria uma tensão infinita;
4. Indutor não dissipa energia, somente armazena – modelo matemático do dispositivo (no caso real, o modelo tem uma resistência finita em série - enrolamento).
ESPECIFICAÇÕES DO CAPACITOR
VALUESSTANDARD IN
RANGE ECAPACITANC mFCFp 50≈≈
VV 5003.6 −RATINGS CAPACITOR STANDARD
%20%,10%,5 ±±±TOLERANCE STANDARD
EXEMPLO
%20100 ±= nFC
DADA A FORMA DE ONDA DA TENSÃODETERMINAR A VARIAÇÃO NA CORRENTE
FORMA ONDA TENSÃO
)()( tdtdv
Cti =
nAs
VF 600
23
3)3(10100 9 −=
−−−× −
current Nominal
nA300
nA300
21
VALUESSTANDARD IN
RANGES INDUCTANCE mHLnH 1001 ≤≈≤≈
AmA 1≈−≈RATINGS INDUCTOR STANDARD
%10%,5 ±±TOLERANCE STANDARD
ESPECIFICAÇÃO DO INDUTOR
EXEMPLO
%10100 ±= HL µ
DADO A FORMA DE ONDA DA CORRENTEDETERMINAR A VARIAÇÃO NA TENSÃO
)()( tdtdi
Ltv =
FORMA DE ONDA CORRENTE
sµ
××××= −
−−
SA
Hv 6
36
1020
1020010100
vi
iv
LC
→→→
22
ELEMENTOS IDEAIS E PRÁTICOS
ELEMENTO IDEALMODELOS INCLUINDO RESISTÊNCIASDE FUGA - PRÁTICO
)(ti
−
+
)(tv
)()(
)( tdtdv
CR
tvti
leak
+=
MODELO DE “FUGA”CAPACITOR
)(ti
−
+
)(tv
)()()( tdtdi
LtiRtv leak +=
MODELO DE “FUGA”INDUTORES
−
+)(tv
−
+)(tv
)(ti )(ti
)()( tdtdv
Cti =
)()( tdtdi
Ltv =
CAPACITORES ASSOCIADOS EM SÉRIE
NOTAR A SIMILARIDADE COM A ASSOCIAÇÃOPARALELA DE RESISTORES.
21
21
CC
CCCs +
=
Combinação em sériecom dois capacitores
Fµ6 Fµ3 =SCFµ2
23
Fµ2
Fµ1
6123 ++=
SOMA ALGÉBRICA DAS TENSÕES INICIAIS
POLARIDADE É DETERMINADA PELA REFERÊNCIADE CADA TENSÃO
VVV 142 −−+=
EXEMPLO
DETERMINAR O CAPACITOREQUIVALENTE E A TENSÃOINICIAL
OU PODEMOS REDUZIR EM DOIS TERMOS
Fµ30
C
+- −
+V8
V12
MESMA CORRENTE. CONECTADOS PARA UM MESMO PERIODO DE TEMPO
MESMA CARGA EM AMBOS CAPACITORES
CVFQ µµ 240)8)(30( ==
−
+V4
EXEMPLO Dois capacitores descarregados são conectados como abaixo .Encontrar a capacitância desconhecida.
Fµ12
1C FIND
CVFQCVQ µµ 72)6)(12( ==⇒=
−
+V18
FVC
C µµ4
1872
1 ==
24
CAPACITORES ASSOCIADOS EM PARALELOS
)()( tdtdv
Cti kk =
)(ti
EXEMPLO
PC
EXTENSÃO
Fµ6
Fµ2
Fµ3
Fµ4
Fµ12
→eqC
Fµ4
Fµ3FCeq µ23=
25
F4 ARECAPACITORSALL µOBTER A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE
Fµ8
Fµ8
eqC Fµ8
Fµ8
Fµ4
Fµ1232
332
838 =+
PROBLEMA
SE TODOS OS CAPACITORES TEM O MESMO VALOR, C,DETERMINAR OS CAPACITORES EQUIVALENTES EM CADA CASO .PROBLEMAS
26
Todos capacitores iguaisa C=8 microFarads
EQC
______=ABC
Exemplos de interconecções
INDUTORES ASSOCIADOS EM SÉRIE
)()( tdtdi
Ltv kk =
)()( tdtdi
Ltv S=
EXEMPLO
=eqL H7
27
INDUTORES ASSOCIADOS EM PARALELO
)(ti
INDUCTORES COMBINAM SIMILARMENTE AOS RESISTORES
EXEMPLO
mH4 mH2
∑=
=N
jj titi
100 )()( AAAAti 1263)( 0 −=+−=
EXTENSÃO
mH2
mH2
NA DÚVIDA…REDESENHAR!
a
b
cd
mH4
mH2mH2
mH4
eqL
a
b
c
d
IDENTIFICAR OS NÓS
TROCAR OS NÓS EM CIRCUITOS FECHADOS
a
b
cd
CONNECTAR OS COMPONENTES AOS NÓS
mH6
mHmHmHmHLeq 4.42)4||6( =+=
TODOS OS INDUTORES IGUAIS A 4mH
28
TODOS INDUTORES SÃO 6mH
NÓS PODEM TER FORMAS COMPLICADAS.LEMBRAR DA DIFERENÇA ENTRE OLAYOUT FÍSICO E AS CONECÇÕESELÉTRICAS
6||6||6
a
b
c
a
b
c
SELECIONA-SE O LAYOUT
a
b
c
mH2
mH6
mH6
mH6
eqL
[ ] mHLeq 724
61448
66||)26(6 =+=++=
mHLeq 766=
L-C
29
CIRCUITOS COM AMPOP E RC
⇒∞=A
)(0 −+ −=⇒= vvAvR OO
O AMPOP IDEALO AMPOP IDEALO AMPOP IDEALO AMPOP IDEAL
⇒∞=iR∞=∞==⇒ ARR iO ,,0IDEAL
O INTEGRADOR – AMPOP e RC
0=+v
ASSUMINDO CONDIÇÕES IDEIAS
)(0
)(
_
_
∞==
∞== +
iRi
Avv
30
O DIFERENCIADOR – AMPOP e RC
1R
2i
1i
0=+v
−− =+ iiiv 21:KCL@CONDIÇÕES IDEAIS
)(0
)(
_
_
∞==
∞== +
iRi
Avv 02
1 =+Rv
i O
∫∞−
+=t
dxxiC
iRtv )(1
)( 11
111
KVL
)(2
1 Rv
i o−=o1 vof terms in i replace
)(111
111 t
dtdv
Cidtdi
CR =+
)(11211 t
dtdv
CRvdtdv
CR oo −=+
EXEMPLO
)(112 t
dtdv
CRvo −=
ATORDIFFERENTIIDEAL
FCkR µ2,1 12 =Ω= WITH ATORDIFFERENTIIDEAL TO INPUT
sV
m3105
10−×
=
sFCR 36312 102102101 −− ×=××Ω×=
sFVQ
F
QsV
sQV
AV
=×Ω⇒=
×===Ω
SL ANALYSIDIMENSIONA
31
EXEMPLO FCkR µ2.0,5 21 =Ω= WITH INTEGRATOR ANTO INPUT
∫−=t
ioo dxxvCR
vtv021
)(1
)0()(
INTEGRATOR
sFVQ
F
QsV
sQV
AV
=×Ω⇒=
×===Ω
SL ANALYSIDIMENSIONA
DISCHARGEDINITIALLY IS CAPACITOR
sCR 321 10−=
31 1020)(:1.00 −×=<< tvst ( )∫ ××==⇒ −
t
o sVtdxxvty0
31 1020)()( ( )sVy ××=⇒ −3102)1.0(
31 1020)(:2.01.0 −×−=<< tvst ( )∫ ×−×−×=+=⇒ −−
t
oo sVtdxxvyty1.0
331 )1.0(1020102)()1.0()(
)(1
)(21
tyCR
tv oo =
