Capacitores

O que são e para que servem?→dispositivo para armazenar carga elétrica

⇒ armazena energia no campo elétrico EEx. 1) Gerar alta corrente em ∆t pequeno: “flash” para fotografia

Esquema básico de um capacitor

um par de objetos condutores (PLACAS) onde se possa colocar cargas iguais e

de sinais opostos

V é uniforme em cada placa comV+ e V− tal que ∆V= V+ − V−

(usualmente escreve-se V= V+ − V− )

+q -q

+++++++

+

+++

V+V-

2) fusão do deutério (LNL-Berkeley): pulso de corrente de 2 ms com 100 kW

3) lasers pulsados: pulsos de 3ns com 500 Terawatts (Tera=1012)

4) estabilização de corrente, dispositivos de memória, eletrônica em geral.

Capacitores

Foi visto: o potencial elétrico dos objetos varia linearmente com suas cargas

Do ponto de vista prático, as placas têm formas “simples”→ os capacitores mais simétricos são os mais importantes

→ é propriedade das placas, i.e., independe de q e V

Unidade no SI faraday, símbolo F:

V ∝ q ⇒ V = C-1 q q = C V

em que C é a capacitância do capacitor (definição!)

voltcoulombfaraday = V

CF ; =

ou

→ a carga total de um capacitor é nula (+ q em uma placa e – q na outra)

→ diz-se que “um capacitor tem uma carga q”.

Capacitores

Ø Capacitor de placas paralelas

importância: exploração teórica de vários fenômenos no eletromagnetismo

Exemplos de capacitores

→ símbolo

→ separação: distância d (<< as dimensões das placas).

q

-q

d

Cálculo detalhado de E: é complicado! -as linhas de campo se curvam nas bordas

−

+ + + + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − − − − −

→ duas placas iguais, planas e paralelas (forma qualquer);

⇒ efeito de borda

Capacitores

importância: exploração teórica de vários fenômenos no eletromagnetismo

Exemplos de capacitores

→ símbolo

→ separação: distância d (<< as dimensões das placas).

q

-q

d

Cálculo detalhado de E: é complicado! -as linhas de campo se curvam nas bordas

→ duas placas iguais, planas e paralelas (forma qualquer);

⇒ efeito de bordaMas . . . longe das bordas E ˜ homogêneo(linhas de força //; espaçamento uniforme)

+ + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − − − −

Ø Capacitor de placas paralelas

Capacitores Exemplos de capacitores

Quando d << as dimensões das placas (desprezam-se efeitos de bordas)

⇒ { homogêneo dentro do capacitor = E;

nulo fora do capacitor= 0.E é

Q: Como encontrar E? R: Lei de Gauss.

Ø Capacitor de placas paralelas

Capacitores Exemplos de capacitores

Quando d << as dimensões das placas (desprezam-se efeitos de bordas)

⇒ { homogêneo dentro do capacitor = E;

nulo fora do capacitor= 0.E é

E

S1superfície gaussiana: cilindro (ou outra)

{ bases // às placas e área ∆A;

lateral ⊥ às placas

Ø Capacitor de placas paralelas

com

∴ ΦE = 0 em S1

→ base externa E = 0 (fora do capacitor);→ base interna E = 0 (dentro do condutor).

Superfície S1

⇒ toda a carga está na superfície interna das placas!

Capacitores Exemplos de capacitores

Quando d << as dimensões das placas (desprezam-se efeitos de bordas)

⇒ { homogêneo dentro do capacitor = E;

nulo fora do capacitor= 0.E é

Superfície S2 :

E

S1 S2

Lei de Gauss →

oE

εσ

=⇒

(σ = densidade superficial de cargas)

superfície gaussiana: cilindro (ou outra)

{ bases // às placas e área ∆A;

lateral ⊥ às placas

Ø Capacitor de placas paralelas

com

∴ ΦE = 0 em S1

→ base externa E = 0;→ base interna E = 0.

Superfície S1

⇒ toda a carga está na superfície interna das placas!

oe ?As

?AE =

Capacitores Exemplos de capacitores

Sendo A a área da placa tem-se

E

logo

⇒ V = E d

σ = q / A

o

qEAε

=

Q: Qual a diferença de potencial entre as placas?

o

( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r

r

r E r rR: (e o sinal??)

o

dV q

Aε=∴

Como q = C V, a capacitância serádA

C oε=

Ø Capacitor de placas paralelas

Sol – A capacitância do capacitor pode ser expressa como dr

C2

oπε=

dr

Vq

o

2πε=

Vqd

roπε

=

Exerc ex. 4.2 – Um capacitor de placas circulares paralelas tem carga q quando tensão entre as placas é V. Sabendo-se que a separação entre as placas é d,qual é o seu raio?

Como C = q / V, então

Então, o raio r das placas será

Capacitores Exemplos de capacitores

Capacitores

Ø Capacitor cilíndricoExemplos de capacitores

→ dois cilindros coaxiais de altura h e raios a e b, sendo a < b.

Considere-se uma carga q no capacitor

q-q

a

b

Q: O que se pode dizer sobre E?

R: Tem que ser radial! & constante a uma mesma distância do eixo

Q: Como encontrar E? R: Lei de Gauss.

Aqui também, longe das bordas E ˜ homogêneo (desprezar efeito das bordas)∴ E ≠ 0 apenas entre os dois cilindros

Capacitores

Ø Capacitor cilíndricoExemplos de capacitores

→ dois cilindros coaxiais de altura h e raios a e bSuperfície gaussiana:

um cilindro de altura h, e raio r com a < r < b.

Aplicando a lei de Gauss

12

2o o

q qE rh E a r b

h rπ

ε πε= ⇒ = ≤ ≤

( ) ln2 2

b b

o oa a

q dr q bV E r dr

h r h aπε πε = = = ∫ ∫

2ln( / )o

hC

b aπε=

A diferença de potencial entre as placas do capacitor será

E a capacitância do capacitor vale, então,

∫S E.dA =

οεsq

{h{ r

Capacitores

Ø Capacitor esféricoExemplos de capacitores

→ duas cascas esféricas concêntricas, de raios a e b

Superfície gaussiana: → uma esfera de raio r com a < r < b.Aplicando a lei de Gauss

A diferença de potencial entre as placas do capacitor será

∫S E.dA =

οεsq

Considere-se uma carga q no capacitor

Q: O que se pode dizer sobre E? R: Tem que ser radial ! & constante a uma mesma distância do eixo

(Obs. Aqui não tem efeito de bordas!)

224

4o o

q qE r E a r b

rπ

ε πε= ⇒ = ≤ ≤

2

1 14 4

b

o oa

q dr qV

r a bπε πε = = − ∫

A capacitância do capacitor ( C= q/V ) seráab

abe4pC o −

=esf

Um caso limite: esfera exterior tem raio infinito ⇒ lim4 4o ob

abC ab a

πε πε→∞

= =−

Capacitores

Ø Capacitância de um objeto: imagina-se o objeto no centro de uma casca esférica infinita; a capacitância do objeto é a do par objeto-casca!

Exemplos de capacitores

1 F (um faraday) é “muuuito”!Ex. uma esfera metálica com raio de 1,0 cm tem

Unidades comuns para medir capacitância: pF = 10–12 F, µF = 10–6 F.

12 14 3,14 8,85 10 F×m 0,010m 1,1pFC − −= × × × × =

Uma esfera com C = 1 F, tem raio a

912 1

1F 1F 9 10 m4 4 3,14 8,85 10 F mo

aπε − −= = = ×

× × × ⋅˜ 20 d Terra-Lua !!!

Capacitores

A energia potencial de um capacitor fica armazenada no campo E

→ exige-se trabalho para colocar carga no capacitor(“tirar” cargas de uma placa e “levar” para a outra)

Energia em um capacitor

1dW V dq C q dq−′ ′ ′ ′= =

= trabalho para deslocar dq’ quando o potencial é V’ =C−1 q’

∴2

1

0 2

q qU C q dq

C− ′ ′= =∫ ou, como q =CV, →

Outra maneira: densidade de energia

P. ex. p/ capacitor de placas paralelas:

→ 212 oU E dε= ∫ V

⇒o

qE

Aε=

2

21 12 2o

o o

q dU Ad qA A

εε ε

= =

Usando C = εo A / d , tem-se

212

U CV=

221 Eu oε=

221 1

2 2q

U CVC

= = equação geral!

U = εoE2 Ad

Sol – Tem-se

Exerc ex. 4.5 – Calcular a energia acumulada em capacitor esférico fazendo-se o cálculo da energia do campo elétrico.

e E = 0 fora do intervalo a ≤ r ≤ b

Usando-se

Capacitores

224

4o o

q qE r E a r b

rπ

ε πε= ⇒ = ≤ ≤

Energia em um capacitor

212 oU E dε= ∫ V2

21 Eu oε= →

O valor da energia é o resultado da integral de U2 2

22 2

1 142 4 2 4

b b

oo oa a

q q drU r drr r

ε ππε πε

= =

∫ ∫

2 21 1 1 12 4 2 4o o

q q b qU

a b abπε πε− = − =

abb a

epC o −= 4esférico

⇒

Foi encontrado logo,21

2q

UC

=

Capacitores Energia em um capacitor

Q: Pode-se aumentar E indefinidamente?

R: Se E é muuuito grande ⇒ descargas elétricas! !

(o meio passa a conduzir eletricidade!)

→ Rigidez dielétrica de um meio é o valor do campo elétrico acima do qual ocorre descarga elétrica no referido meio

Para o ar a rigidez dielétrica é 3 kV/mm.

⇒ densidade máxima de energia eletrostática que se pode acumular no ar éu = ½ 8,85x10−12 x 9x1012 J/m3 = 40 J/m3

Capacitores Associação de capacitores { representa capacitor;

representa bateria (linha maior +)símbolos

Ø Capacitores em paralelon capacitores C1, C2, C3,..Cn ligados em paralelo

V

q1

-q1

q2

-q2 -q3

q3+

-

⇒ todos os capacitores com mesmo V (mesma voltagem ou ddp).V1 = V2 = V3 = . . . Vn

∴ carga total nas placas = SOMA das cargas de cada capacitorqtotal = q1 + q2 + q3 + . . . + qn = C1V1 + C2V2 + C3V3+ . . . + CnVn

= (C1 + C2 + C3 + . . .+ Cn) V.

tem-se capacitância equivalente

Como qtotal / V = Ctotal = C

Cparalelo = C1 + C2 + C3 + . . .+ Cn

Capacitores Associação de capacitoresØ Capacitores em série

e tem-se capacitância equivalente

Como Vi= q / Ci

V

C1

C2

C3

V1

V2

V3

q

q

q

-q

-q

-q

1 21 2

nn

q q qV V V V

C C C= + +⋅ ⋅ ⋅ = + +⋅⋅ ⋅ =

Cq

nCCCC1111

21série⋅⋅⋅++=

n capacitores C1, C2, C3,..Cn ligados em série.

Todos os capacitores têm a mesma carga q eVtotal = V1 + V2 + V3+ . . . + Vn = V

Capacitores Ø Arranjos mais gerais de capacitores

1) Identificar os tipos de ligações: série e paralelo;

→ C1 e C2 estão em paraleloC1,2 = C1 + C2

→ C1,2 e C3 estão em série

32132,1total

11111CCCCCC

++

=+=

V

C3 V3

C2C1 V1V1

q1 q2

q3

-q1 -q2

-q3

1 2 3

1 2 3

( )C C CC

C C C+

=+ +

→ C1,2 e C3 estão em paraleloCtotal = C1,2 + C3

→ C1 e C2 estão em série

C3 V3

q1

q1

-q1

-q1

V

C1

C2

V1

V2

q3

-q3

212,1

111CCC

+= 21

212,1 CC

CCC

+=

⇒

Ctotal = + C321

21

CCCC

+

2) calcular, em cada parte, a capacitância equivalente.

Ctotal =

Exerc. 4.4 – Um capacitor cilíndrico com altura h = 6,0 cm tem capacitância C = 1,6 pF. Qual é a razão b/a entre os raios dos cilindros? (R: 8,0)

Capacitores

2ln( / )o

hCb a

πε=

Exerc. 4.5 - Um capacitor cilíndrico possui as seguintes características: comprimento h = 10 cm, raio da placa interna a = 1,0 cm e raio da placa externa b = 2,0 cm. Calcule (A) a sua capacitância e (B) o valor do campo em pontos eqüidistantes das duas placas, quando o capacitor tem carga

q = 10 µC . ( R: (A) C = 8,0 pF, (B) E = 1,2 x 106 V/m)

Eqüidistante:

a

b

r

r = (a + b) /22

ln( / )oh

Cb a

πε=(A)

(B)rhpe

qE

o

12

=

Exerc. 4.7 – Calcule a densidade de energia de um capacitor de placas paralelas cujas placas tenham área de 40 cm2 e separação de 5,0 mm, se a tensão entre as placas é de 60 V. (R: 0,64 mJ/m3)

Capacitores

Prob. 2 – (A) Calcule a capacitância de uma esfera metálica de 10 cm de raio. (B) Calcule a energia de seu campo se a esfera está a um potencial de 100 V em relação ao infinito. ( R: (A) 11 pF. (B) 55 nJ).

221 Eu oε= V = E dProcedimento 1:

Procedimento 2:d

AC oε

=212

U CV=d AU

VolumeUu ==

⇒ Não usa A !!

lim4 4o ob

abC ab a

πε πε→∞

= =−

(A) Capacitância de um objeto

(B) 212

U CV=