CAPITULO 02...objetiva, visando desenvolver no aluno habilidade e rapidez na análise de circuitos....

Prof. SILVIO LO

LEIS EXE CIRCUI

CAPITULO 02

BO RODRIGUES

PERIMENTAIS TOS SIMPLES

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I

Professor Silvio Lobo Rodrigues 2

2.1 INTRODUÇÃO Destina-se o segundo capítulo ao estudo das leis de Kirchnoff e suas aplicações à teoria de circuitos; associação de resistores; divisor de tensão e corrente; associação de fontes ideais; transformação de fontes; fontes reais, teorema da máxima transferência de potência e transformação

Y∆ ↔∆ ↔∆ ↔∆ ↔ . Procuraremos desenvolver neste capítulo os assuntos acima referidos, de forma simples e objetiva, visando desenvolver no aluno habilidade e rapidez na análise de circuitos. As leis de Kirchnoff constituem o alicerce básico da teoria de circuitos. Este capítulo é, portanto, de grande importância, e os alunos devem dedicar-lhe atenção especial. 2.2 LEIS DE KIRCHNOFF

Antes de enunciarmos as leis de Kirchnoff alguns comentários e algumas definições se fazem necessários. Os elementos serão conectados por condutores elétricos ou cabos que possuem resistência nula, ou seja, condutores perfeitos. Uma rede constituída por elementos simples e fios conectores é chamada de rede de parâmetros concentrados. Um problema de análise mais difícil existe quando temos uma rede de parâmetros distribuídos, e que contêm, essencialmente, um número infinito de pequenos elementos cujo efeito vai desaparecendo lentamente. Um ponto onde dois ou mais elementos tem uma conexão comum é chamado nó. A figura 2.1 mostra um circuito contendo três nós.

Figura 2.1 – Circuito contendo 3 nós e 5 ramos. Um outro termo de uso freqüente é ramo. Podemos definir o ramo como sendo um caminho único contendo um elemento simples e que conecta um nó a outro nó qualquer. O circuito da figura 2.1 tem 5 ramos. Um loop é qualquer caminho fechado em um circuito. Um loop é dito independente se ele contiver um ramo que não pertença a qualquer outro loop.

.

.

. .

1

3

2

.

.

1

3

2

.




Um caminho com b ramos, n nós e l loops independente, irá satisfazer o teorema fundamental da topologia de circuitos.

(2.1) Na figura 2.1 temos 3 loops independentes apesar de identificarmos um total de 6 loops. Podemos agora enunciar a 1° Lei de Kirchnoff, que é chamada Lei das Correntes. “ A soma algébrica de todas as correntes entrando em qualquer nó é zero”.

Figura 2.2 – Circuito contendo 3 nós e 5 ramos. Outras maneiras de enunciar a lei das correntes seriam: “ A soma algébrica das correntes deixando um nó é zero” , ou ainda, “ A soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual a soma algébrica das correntes que saem do mesmo nó”.

Figura 2.3 – Correntes chegando e saindo de um nó.

b l n 1= + −= + −= + −= + −

iA+ iB+ iC=0

iC

iA

iA iB

iC

iD

iA + iB – iC – iD = 0 iC + iD – iA – iB = 0 iA + iB = iC + iD

iB




Uma expressão mais compacta:

(2.2) Por convenção vamos considerar as correntes que saem do nó com sinal (+) e as que entram com sinal (-). Enunciamos a seguir a 2ª lei de Kirchoff, a lei das voltagens. “A soma algébrica de todas as voltagens existentes em um caminho fechado ou loop é zero”.

Figura 2.4 – Lei de voltagem de Kirchoff.

Uma expressão mais compacta:

(2.3)

Exemplo: No circuito que segue vamos aplicar as leis de Kirchoff para determinar a voltagem v e a corrente i sobre o elemento X e calcular a potência absorvida pelo mesmo elemento.

Figura 2.5 – Exemplo de aplicação das leis de Kirchoff.

N

nn 1

i 0====

====∑∑∑∑

v3

+

+ +

- -

-

v1

v2

- +

X

.

.

.

.

2Ω

3Ω 4A 10V 3A

2A

v + -

1 3

4 2

i

5A

-v1 + v2 + v3 = 0 v1 = v2 + v3

N

nn 1

v 0====

====∑∑∑∑

i2Ω i3Ω




3i 12 2 3 11AΩΩΩΩ = + − == + − == + − == + − =

(((( )))) (((( ))))v-10+ 2×12 + 3×11 =0 ; v = -47V

aP 47 9 423W= − × = −= − × = −= − × = −= − × = −

Aplicando a lei das correntes no nó 4: Para determinarmos a voltagem v precisamos obter a corrente sobre os resistores de 2Ω e 3Ω e com isso aplicar a lei das voltagens ao circuito. Assim sendo, no nó 3: No nó 1:

Aplicando a lei das voltagens: A potência absorvida pelo elemento X:

Logo, o elemento X está fornecendo 423W. 2.3 APLICAÇÃO DA LEI DE KIRCHOFF A CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES Tomemos como exemplo o circuito abaixo e façamos uma análise do mesmo utilizando a lei de voltagens. Vamos determinar a corrente sobre os elementos, a tensão vx e a potência fornecida e absorvida pelos elementos do circuito.

Figura 2.6 – Aplicação da lei das tensões a circuito com uma malha e fonte dependente.

i 5 4 9A= + == + == + == + =

2i 5 4 3 12AΩΩΩΩ = + + == + + == + + == + + =

100Ω

i

5Ω

40V 300V

0,4 vX

- vX +




x x

x

-300 -0,4v 5i 40 v 0v 100i

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =====

xv 400V====

f300P 300 4 1200W= × == × == × == × =

xf0,4v xP 0,4v i 0,4 400 4 640W= ⋅ = × × == ⋅ = × × == ⋅ = × × == ⋅ = × × =

2a5P 5 i 5 16 80WΩΩΩΩ = ⋅ = × == ⋅ = × == ⋅ = × == ⋅ = × =

a40VP 40 4 160W= × == × == × == × =

2a100P 100 i 100 16 1600WΩΩΩΩ = ⋅ = × == ⋅ = × == ⋅ = × == ⋅ = × =

Aplicando a lei das tensões:

Resolvendo o sistema: Logo: A potência fornecida pela fonte de 300W:

A fonte 0,4vx está fornecendo potência:

A potência absorvida pelo resistor de 5Ω é: A fonte de 40V está absorvendo potência: A potência absorvida pelo resistor de 100Ω: Devemos agora verificar se a soma das potências fornecidas é igual a soma das potências absorvidas para comprovação do princípio de conservação de energia. Com isto fizemos uma análise completa do comportamento de cada um dos elementos do circuito e comprovamos que a potência fornecida é igual à potência consumida.

-260 40i 5i 100i 0260i 4A65

− + + =− + + =− + + =− + + =

= == == == =

f

a

P 1200 640 1840W

P 80 160 1600 1840W

= + == + == + == + =

= + + == + + == + + == + + =∑∑∑∑∑∑∑∑




Tomemos um novo exemplo para o qual faremos a mesma análise do exemplo anterior. O exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes dependentes.

Figura 2.7 – Aplicação da lei dos nós a um circuito com dois nós e fontes dependentes. Como se verifica, a voltagem v1 aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós. Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida ou consumida por cada um dos elementos. Na condutância de 5 :

Na condutância de 6 :

Na condutância de 10 : Potência fornecida pela fonte de 3mA:

1 1 1 1

1 1

1

5v 0,003 6v 20v 10v 0,013 021v 20v 0,010v 0,01V

− + − + + =− + − + + =− + − + + =− + − + + =− = −− = −− = −− = −

= −= −= −= −

(((( ))))5 1

22 4a5 1

i 5v 0,05A

P 5v 5 0,01 5 10 W−−−−

= = −= = −= = −= = −

= = × − = ×= = × − = ×= = × − = ×= = × − = ×

(((( ))))6 1

22 4a6 1

i 6v 0,06A

P 6v 6 0,01 6 10 W−−−−

= = −= = −= = −= = −

= = × − = ×= = × − = ×= = × − = ×= = × − = ×

(((( ))))10 1

22 3a10 1

i 10v 0,1A

P 10v 10 0,01 10 W−−−−

= = −= = −= = −= = −

= = × − == = × − == = × − == = × − =

-4 -4f 1 aP = 0,003v = -0,3 × 10 W ; P = 0,3 × 10 W

6 10 20v1 3mA + v1 -

5 13mA




Potência fornecida pela fonte de 13mA: Potência fornecida pela fonte dependente: Fazemos agora o balanço das potências: Verifica-se, pois o equilíbrio entre as potências fornecidas e absorvidas. 2.4 ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE E EM PARALELO Consideremos, inicialmente, a associação série de N resistores, mostrados na figura 2.8.

Figura 2.8 – Associação em série de resistores e CKT equivalente.

-4f 1P - 0,013v 1,3 10 W= = ×= = ×= = ×= = ×

(((( ))))22 -4f 1 1 1P 20v v 20v 20 0,01 20 10 W= × = = − = ×= × = = − = ×= × = = − = ×= × = = − = ×

4 4 4f

4 4 4 4 4a

P 1,3 10 20 10 21,3 10 W

P 5 10 6 10 10 10 0,3 10 21,3 10 W

− − −− − −− − −− − −

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −

= × + × = ×= × + × = ×= × + × = ×= × + × = ×

= × + × + × + × = ×= × + × + × + × = ×= × + × + × + × = ×= × + × + × + × = ×∑∑∑∑∑∑∑∑

. . .R1 R2 RN

v2 VN

vS

v1 + + + - - - i

(a)

(b)

Req vS

i




(((( ))))

s 1 2 N

s 1 2 N

s 1 2 N

v v v .......... vv R i R i ...... R iv R R ...... R i

= + + += + + += + + += + + += + + += + + += + + += + + +

= + + += + + += + + += + + +

Mostraremos que N resistores em série podem ser substituídos por um resistor equivalente. Da figura 2.8 podemos escrever: Logo, comparando das equações:

(2.4) Um circuito contendo N condutâncias em paralelo, como na figura 2.9 nos permite determinar o equivalente de várias resistências em paralelo.

Figura 2.9 – Associação paralela de condutâncias e CKT equivalente.

s eqv R i= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

eq 1 2 3 NR R R R .......... R= + + += + + += + + += + + +

. . .

. . .

(a)

(b)

iS v G1 G2 GN

i1 i2 iN +

-

iS

+

-

v Geq




(((( ))))

s 1 2 N

s 1 2 N

s 1 2 N

i i i .......... ii G v G v ...... G vi G G ...... G v

= + + += + + += + + += + + += + + += + + += + + += + + +

= + + += + + += + + += + + +

Aplicando a lei das correntes de Kirchoff: Do CKT equivalente: Comparando as equações:

(2.5) Em termos de resistências:

(2.6) Para o caso particular em que temos apenas dois resistores em paralelo como na figura 2.10, teremos:

Figura 2.10 – Paralelo de dois resistores.

(2.7)

s eqi G v= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

eq 1 2 3 NG G G G .......... G= + + += + + += + + += + + +

eq 1 2 3 N

eq

1 2 3 N

1 1 1 1 1..........R R R R R

1R1 1 1 1..........

R R R R

= + + += + + += + + += + + +

====

+ + ++ + ++ + ++ + +

1 2eq

1 2

1 2

R R1RR R1 1

R R

= == == == =++++

++++

R2 R1




Para 3 resistores em paralelo como na figura 2.11:

Figura 2.11 – Paralelo de três resistores.

(2.8)

Exemplo: Vamos determinar a Req para os circuitos da figura 2.12a e 2.12b.

Figura 2.12 – Exemplos de associação de resistores em série e paralelo.

1 2 3eq

1 2 2 3 1 3

1 2 3

R R R1RR R R R R R1 1 1

R R R

= == == == =+ ++ ++ ++ +

+ ++ ++ ++ +

R2 R3 R1

100Ω

.

.

100Ω

100Ω 100Ω

100Ω 100Ω

Req

. . . .

.

.

(a) (b)

.

. .

.

.

.

. Req

10Ω

25Ω

20Ω

80Ω

100Ω

30Ω

400Ω




Solução: Determinamos primeiramente a Req do CKT da figura 2.12a: Logo, Req = 50Ω Para o CKT da figura 2.12b: Inicialmente realizamos o paralelo dos resistores de 400Ω e 100Ω.

50Ω 100Ω 50Ω

Req

. . . . . .

Req

50Ω

100Ω

50Ω

. . . .

. .

100Ω 100Ω .

. . Req Req . .

50Ω

.

eq400 100 40000R ' 80400 100 500

××××= = = Ω= = = Ω= = = Ω= = = Ω++++




O CKT fica então: Logo Req = 90Ω

100 25100 // 25 20100 25

⋅⋅⋅⋅= = Ω= = Ω= = Ω= = Ω++++

10Ω

25Ω

20Ω 80Ω

30Ω 80Ω

100Ω

25Ω

100Ω

100Ω

10Ω

30Ω 80Ω

20Ω 10Ω

30Ω 80Ω

100Ω

10Ω

30Ω

50Ω

Req 90Ω




2.5 DIVISOR DE VOLTAGEM E DIVISOR DE CORRENTE Uma divisão de voltagem ocorre quando uma fonte de tensão dependente ou independente é conectada em série com dois ou mais resistores.

Figura 2.13 – Divisores de voltagem. Da figura 2.13a temos: Levando na 1ª equação: A voltagem sobre R2 é:

(2.9) A voltagem sobre R1 é:

(2.10) No circuito da figura 2.13b podemos escrever a tensão sobre R3:

(2.11)

(((( ))))1 2

22 2

2

v R R ivv R i i=R

= += += += +

= ∴= ∴= ∴= ∴

(((( )))) 21 2

2

vv R RR

= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅

22

1 2

Rv vR R

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅++++

11

1 2

Rv vR R

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅++++

33 A

1 2 3

Rv vR R R

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅+ ++ ++ ++ +

0

R1

R2

i

v

v1

v2

+

-

- +

R3

R2

R1

+vA

i

v3

(a) (b)




Uma divisão de corrente ocorre quando uma fonte de corrente em paralelo, com duas ou mais resistências.

Figura 2.14 – Divisores de corrente.

Da figura 2.14a:

A corrente sobre R1 é:

(2.12)

A corrente sobre R2 é:

(2.13)

1 2s 1 1

1 2

1 21 1 s

1 2

R Rv i ; v R iR R

R RR i i R R

⋅⋅⋅⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ ++++

21 s

1 2

Ri iR R

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅++++

12 s

1 2

Ri iR R

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅++++

R2 R1 R1 R2 R3 iS

i1 i2 i1 i2 i3

v v iS

+ +

- -

(a) (b)




Para o divisor de corrente da figura 2.14b: é a corrente sobre R1 (2.14) é a corrente sobre R2 (2.15) é a corrente sobre R3 (2.16) 2.6 ASSOCIAÇÃO DE FONTES IDEAIS 2.6.1 FONTES DE TENSÃO EM SÉRIE Duas ou mais fontes de tensão independentes colocadas em série podem ser substituídas por uma única fonte, cujo valor será a soma de todas as fontes.

Figura 2.15 – Ligação série de fontes de tensão.

(2.17)

2 31 s

1 2 2 3 1 3

1 32 s

1 2 2 3 1 3

1 23 s

1 2 2 3 1 3

R Ri iR R R R R R

R Ri iR R R R R R

R Ri iR R R R R R

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ + ++ ++ ++ +

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ + ++ ++ ++ +

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ + ++ ++ ++ +

eq 1 2 Nv v v ......... v= + + += + + += + + += + + +

...v1 v2 vN veq




2.6.2 FONTES DE TENSÃO EM PARALELO Não tem sentido a ligação em paralelo de duas ou mais fontes de tensão ideais uma vez que toda fonte de tensão mantém inalterada a sua tensão nominal, e a ligação em paralelo obrigaria a que todas as fontes tivessem a mesma tensão nominal.

Figura 2.16 – Ligação paralelo de fontes de tensão.

2.6.3 FONTES DE CORRENTE EM PARALELO Duas ou mais fontes de corrente colocadas em paralelo podem ser substituídas por uma única fonte de corrente cujo valor é igual à soma de todas as fontes.

Figura 2.17 – Ligação paralela de fontes de corrente.

(2.18)

eq 1 2 Ni i i ......... i= + + += + + += + + += + + +

...

...

v1 v2 vN

...

...

i1 i2 iN ieq




2.6.4 FONTES DE CORRENTE EM SÉRIE Da mesma forma que a ligação em paralelo de duas ou mais fontes de tensão não tem sentido a ligação em série de duas ou mais fontes de corrente, uma vez que toda fonte mantém a sua corrente nominal o que obrigaria a todas as fontes terem o mesmo valor nominal.

Figura 2.18 – Ligação série de fontes de corrente. 2.6.5 FONTE DE TENSÃO EM SÉRIE COM FONTE DE CORRENTE Qualquer que seja a fonte ideal de tensão colocada em série com uma fonte de corrente não vai alterar a intensidade da corrente de modo que, se não estamos interessados no cálculo da potência fornecida pelas fontes, a fonte de tensão pode ser suprimida.

Figura 2.19 – Ligação série de fontes de tensão e corrente.

...i1 i2 iN

i i v




2.6.6 FONTE DE TENSÃO EM PARALELO COM FONTE DE CORRENTE Qualquer que seja a fonte ideal de corrente colocada em paralelo com uma fonte de tensão não vai alterar a voltagem na ligação, de modo que se não estamos interessados no cálculo da potência fornecida pelas fontes, a fonte de corrente pode ser suprida.

Figura 2.20 – Ligação paralela entre fontes de tensão e corrente. 2.7 TRANSFORMAÇÕES DE FONTES Até o presente momento nosso estudo limitou-se ao emprego de fontes ideais. Vamos agora nos aproximar um pouco mais da realidade estudando o modelo e o comportamento de uma fonte real. Uma fonte real de tensão apresenta uma resistência interna que é representada em série com a fonte propriamente dita de modo que o valor da tensão em seus terminais é ligeiramente inferior ao valor nominal. Na figura 2.21a temos uma fonte real de tensão com valor nominal V, resistência interna rs e tensão disponível em seus terminais v.

Figura 2.21 – Fonte real de tensão.

v i v

V 12V

rs

v

iL 0,01

vL RL

(a) (b)

+ +

- -

vL(V)

12

9

6

3

0,02 0,04 0,06 RL

(c)




Na figura 2.21b temos uma bateria de 12V representada como uma fonte de tensão real com uma resistência interna de 0,01Ω ligada a uma carga RL. Na figura 2.21c podemos observar o comportamento dessa fonte real e verificar que o valor da tensão sobre a carga mais se aproxima de 12V à medida que aumenta a relação RL/rs. Para uma fonte de tensão real conforme a figura 2.22, temos:

Figura 2.22 – Fonte de tensão real ligada a uma carga RL.

(2.19)

(2.20) Uma fonte real de corrente apresenta uma resistência interna em paralelo com a fonte propriamente dita, geralmente de valor elevado, de modo que a corrente fornecida à carga RL é ligeiramente inferior ao valor nominal da fonte.

LL

s L

Ls L

Rv Vr R

Vir R

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅++++

====++++

V

rs

RL

iL +

-

vL

I rs rs RL I

vL

+

-

iL

i

(a) (b)

RL 3rs 2rs rs

0,5I

I

iL

(c)




Figura 2.23 – Fonte real de corrente. Na figura acima podemos observar o comportamento de uma fonte real de corrente, e notamos que a corrente sobre a carga diminui à medida que aumenta a relação RL/rs. Da figura 2.23b temos:

(2.21)

(2.22) Tanto as fontes reais de tensão como as de corrente fornecem quantidades de energia limitada. Vamos agora estabelecer a equivalência entre estas duas fontes reais. Duas fontes são equivalentes se produzirem as mesmas tensões e correntes a uma mesma carga ligada em seus terminais. Deve-se observar cuidadosamente que, embora fontes equivalentes forneçam as mesmas tensões, correntes e potências a cargas idênticas, as potências que as fontes ideais fornecem e as potências que as resistências internas absorvem podem ser diferentes.

Figura 2.24 – Fontes equivalentes.

Da figura 2.24a: (2.23)

Da figura 2.24b:

(2.24) Comparando as equações 2.22 e 2.23 chegamos a condição de equivalência entre as fontes.

(2.25)

s LL

s L

sL

s L

r Rv Ir R

ri Ir R

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅++++

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅++++

sv V r i= −= −= −= −

s sv r I r i= −= −= −= −

sV r I====

rs I

rs

V

i i

v v

+ +

- -




2.8 CONDIÇÃO DE MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA PARA UMA FONTE REAL Um dos problemas que seguidamente nos deparamos é a obtenção do valor da carga que absorve a máxima potência de uma fonte real. O valor desta carga pode ser obtido pela aplicação do teorema do valor máximo que estabelece que a primeira derivada igual a zero é um ponto de máximo. Logo, diferenciaremos a expressão da potência entregue à carga em relação a carga e fazemos:

(2.26) Para uma fonte real de tensão temos: Igualando a zero: Donde chegamos a condição de M.T.P.:

(2.27)

Logo, a potência máxima é:

(2.28) 2.9 TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO Na análise de circuitos ocorrem situações nas quais os resistores não estão nem em série e nem em paralelo. Um exemplo é o circuito da figura 2.25. Como se combinam os resistores R1 e R6 se eles não estão nem em série nem em paralelo?

L

L

dp 0dR

====

(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

22

L L L L 2s L

2 2 2s L L s LL

4L s L

Vp R i Rr R

r R V V R 2 r RdpdR r R

= ⋅ == ⋅ == ⋅ == ⋅ =++++

+ − ++ − ++ − ++ − +====

++++

(((( )))) (((( ))))2L s L s L2R r R r R+ = ++ = ++ = ++ = +

s Lr R====

2

LL

Vp4R

====




Figura 2.25 – Circuito em ponte. Muitos circuitos deste tipo podem ser simplificados utilizando-se circuitos equivalentes de três terminais. Estes circuitos são do tipo estrela (Y ou T) ou do tipo em delta (∇ ), ou pi (π) ou triângulo como se vê nas figuras 2.26 (a) e (b).

Figura 2.26 – a)Circuito estrela b)Circuito delta. Estes circuitos aparecem puramente nesta forma ou como parte de circuitos maiores, sendo utilizados em circuitos trifásicos, filtros e circuitos de reconhecimento. 2.9.1 CONVERSÃO DE TRIÂNGULO PARA ESTRELA Quando é mais conveniente trabalhar com o circuito em estrela no local em que o circuito contém uma configuração triângulo, encontram-se as resistências para o circuito estrela usando as equações de transformação obtendo-se as resistências equivalentes a partir da comparação dos circuitos vistos na figura 2.27.

. R4

R2 R3

R5 R6 - +

R1

vs

.

.

.

. R2

R3

R1

.

.

1

2 4

3 .

. .

1 3

2

Rb Ra

Rc

(a) (b)

4




Figura 2.27 – Sobreposição dos circuitos Y e ∆ para auxiliar na transformação de uma configuração para a outra.

Cada resistor no circuito Y é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do ∆ dividido pela soma dos três resistores do ∆.

(2.29)

(2.30)

(2.31)

2.9.2 CONVERSÃO DE ESTRELA PARA TRIÂNGULO Cada resistor no circuito ∆ é a soma de todos os possíveis produtos dos resistores de Y dois a dois, dividido pelo resistor oposto do circuito Y.

(2.32)

(2.33)

(2.34) Os circuitos em Y e ∆ são ditos balanceados quando R1 = R2 = R3 = RY e Ra = Rb = Rc = R∆.

b c1

a b c

a c2

a b c

a b3

a b c

R RRR R R

R RRR R R

R RRR R R

====+ ++ ++ ++ +

====+ ++ ++ ++ +

====+ ++ ++ ++ +

1 2 2 3 1 3a

1

1 2 2 3 1 3b

2

1 2 2 3 1 3c

3

R R R R R RRR

R R R R R RRR

R R R R R RRR

+ ++ ++ ++ +====

+ ++ ++ ++ +====

+ ++ ++ ++ +====

R1 .

R2

R3

Rc

Rb Ra

.

.

.




Com estas condições, as equações de conversão se reduzem a: ou (2.35) Note que na transformação não retiramos nem colocamos nada no circuito. Simplesmente substituímos circuitos de três terminais diferentes, mas matematicamente equivalentes, para criar um circuito no qual os resistores estejam em série ou em paralelo, permitindo calcular Req, se necessário. 3.0 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1- a) Começando com a fonte de corrente à direita faça repetidas transformações de fontes e associação de resistores para determinar a potência fornecida pela fonte de 24V. b) Qual a potência fornecida pela fonte 18A?

Solução: a)

YRR3

∆∆∆∆====

YR 3R∆∆∆∆ ====

6Ω 24V 18A 2Ω 3Ω

6Ω 4Ω 1Ω

6Ω 24V 36V

2Ω

3Ω

6Ω 4Ω 1Ω




f 24V

24 8i 8 0i 2AP 24 2 48W

− + + =− + + =− + + =− + + =====

= × == × == × == × =

6Ω 24V 12A 3Ω

6Ω 4Ω

3Ω

24V 24V

2Ω

3Ω

6Ω 4Ω

6Ω 24V 4A 3Ω

6Ω

24V

6Ω 2Ω

8V

i




b) Começando a simplificação pela fonte de 24V:

6Ω 4A 18A 2Ω 3Ω 6Ω

4Ω 1Ω

6Ω 8V 18A 2Ω

4Ω 2Ω 1Ω

18A 2Ω

1Ω

3Ω 8 A6

18A 2Ω

4Ω

4V

i i1 +

-

v




2- Uma bateria de automóvel é capaz de fornecer 20A à 12,3V e 50A à 12V.

a) Represente a bateria como fonte real. b) A que resistor a bateria fornecerá a máxima potência? c) Quanto é essa potência? d) Nessas condições, qual é a potência dissipada na resistência interna da bateria?

Solução: a) Dados: 20A à 12,3V 50A à 12V

f 18A

f 18A

8 76v 19 V6 3

76P v 18 18 456W3

P 456W

= × == × == × == × =

= × = × == × = × == × = × == × = × =

====

s

s

s

V r i vV 20r 12,3V 50r 12

= += += += += += += += += += += += +

18A 8Ω6

1A v

+

-

V

rs

RL

+

-

v

i




Então: b) Pelo teorema de M.T.P RL = rs. Logo, RL = 0,01Ω c) d) A potência dissipada em rs é a mesma que na carga,

LRP 3906, 25W====

3- Um circuito contém 4 nós, A,B,C e D. Há seis ramos, um ligando cada par de nós. Seja iAB a corrente dirigida do nó A para o nó B e através do elemento que liga A a B. Dados, então iAB = 16 mA e iDA = 39 mA, determine iAC, iBC e iBD se:

a) iCD = 23 mA b) iCD = -23 mA

s s

s

20r 12,3 50r 12r 0,01V 20 0,01 12,3 12,5V

+ = ++ = ++ = ++ = += Ω= Ω= Ω= Ω= × + == × + == × + == × + =

2LP R i====

12,5V

0,01Ω

12,5V

0,01Ω

0,01Ω

i




Solução:

a) Se iCD = 23 mA Pela lei dos nós. Nó A : DA AB AC ACi i i i 39 16 23mA= + → = − == + → = − == + → = − == + → = − = Nó C : BC AC CD AC BCi i i i 23 i+ = → = −+ = → = −+ = → = −+ = → = − (1) Nó B : AB BC BD BC BDi i i 16 i i= + → = += + → = += + → = += + → = + (2) Nó D : BD CD DA BDi i i i 39 23 16mA+ = → = − =+ = → = − =+ = → = − =+ = → = − = Na equação (2) BCi 16 16 0mA= − == − == − == − = Na equação (1) ACi 23 0 23mA= − == − == − == − =

c) Se iCD = -23 mA

Pela lei dos nós. Nó A : AC DA AB ACi i i i 39 16 23mA= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − = Nó D : DA BD CD BDi i i i 39 23 62mA= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =

iCD iAB=16mA

iAC

iBC

iDA=39mA

B

D

A C

iBD

4 nós 6 ramos




Nó B : AB BD BC BC AB BDi i i i i i= + → = −= + → = −= + → = −= + → = − BCi 16 62 46mA= − = −= − = −= − = −= − = − Nó C : AC BC CD AC CD BCi i i i i i 23 46+ = → = − = − ++ = → = − = − ++ = → = − = − ++ = → = − = − + ACi 23mA====

4- Uma bateria de 12V é conectada a uma carga de 5,5Ω por um fio cuja resistência é de 0,5Ω. Determine:

a) Pcarga . b) Pfio.

c) Rendimento = carga

carga fio

PP P

η =η =η =η =++++

Solução: a)

b) c)

12i 2A5,5 0,5

= == == == =++++

2cargaP 5,5 2 22W= × == × == × == × =

2fioP 0,5 2 2W= × == × == × == × =

22 22 0,9166722 2 24

91,67%

η = = =η = = =η = = =η = = =++++

η =η =η =η =

12V

0,5Ω

5,5Ω




5- O circuito da figura abaixo é utilizado para controlar a velocidade de um motor, de tal

maneira que o motor drena corrente de 5A, 3A, e 1A quando a chave esta nas posições ALTA, MÉDIA,e BAIXA, respectiva,ente o motor pode ser modelado como uma resistência de carga de 20mΩ. Determine as resistências de queda R1, R2 e R3.

Solução: a) Com a chave na posição ALTA.

b) Com a chave na posição MÉDIA. c) Com a chave na posição BAIXA.

(((( ))))3

3 3

6 5 0,01 R 0,021,2 0,03 R R 1,17

= + += + += + += + +

= + → = Ω= + → = Ω= + → = Ω= + → = Ω

(((( ))))2

2 2

6 3 0,01 R 1,17 0,022 R 1,20 R 0,8

= + + += + + += + + += + + +

= + → = Ω= + → = Ω= + → = Ω= + → = Ω

(((( ))))1

1 1

6 1 0,01 R 0,8 1,17 0,026 R 2 R 4

= + + + += + + + += + + + += + + + +

= + → = Ω= + → = Ω= + → = Ω= + → = Ω

6V

R1

R2

R3

MOTOR

BAIXA

MÉDIA ALTA

FUSÍVEL

10A 0,01Ω




6- Um modelo de amperímetro consiste de um amperímetro ideal em série com um resistor de

20Ω . Ele é conectado a uma fonte de corrente e a um resistor desconhecido RX como mostrado na figura abaixo. A medição do amperímetro é anotada. Quando o potenciômetro R é acionado e ajustado até que a leitura do amperímetro caia para a metade da leitura anterior, então o valor de R=65ΩΩΩΩ .Qual o valor de RX?

Solução:

Sem o potenciômetro toda a corrente I da fonte passa pelo amperímetro. Quando o potenciômetro R = 65ΩΩΩΩ é ligado apenas I/2 é medida no amperímetro. Isto significa

que a outra metade passa pelo potenciômetro. Como as correntes ficam iguais significa que as resistências em paralelo são iguais, Logo:

7- a) Calcular a corrente i do circuito da figura que se segue.

b) Um amperímetro com uma resistência interna de 1ΩΩΩΩ é inserido no circuito para medir i’ como mostrado abaixo. Qual o valor de i’? c) Calcule o percentual de erro introduzido pelo medidor.

X

X

20 R 65R 45

+ =+ =+ =+ == Ω= Ω= Ω= Ω

i i 100%i

′′′′−−−− ××××

R

RX

20Ω

A

I

Modelo do Amperímetro

.

.




Solução: a) b) c) 8- Calcule Req e I no circuito abaixo.

4 4i 0,1A16 40 // 60 16 24

= = == = == = == = =+ ++ ++ ++ +

4 4i 0,09756A16 1 40 // 60 41

′′′′ = = == = == = == = =+ ++ ++ ++ +

0,1 0,097561 100% 2,439%0,1

−−−− × =× =× =× =

4Ω

40Ω 60Ω 4V 4V

16Ω

40Ω 60Ω

1Ω A

i i’

16Ω

2Ω

12Ω

4Ω

5Ω

6Ω

8Ω

10Ω

2Ω

1Ω

3Ω

20V

I

Req

20V

4Ω

6Ω

8Ω

10Ω 8Ω

12Ω

4Ω

2Ω

3Ω I




Solução: Transformando de ∇ Y a parte inferior: Transformando de ∇ Y o triângulo central:

4Ω

6Ω 3Ω

12Ω 2Ω 8Ω

1,818Ω 1,4545Ω

3,636Ω

4Ω

6Ω 3Ω

12Ω

9,188Ω 3,4545Ω

3,636Ω

20V 20V

20V

4Ω 6Ω 3Ω

4,474Ω 1,682Ω

1,288Ω

3,636Ω




9- Para o circuito que segue determine o número de ramos, de nós e de loops independentes.

20i 1,632A12,25

= == == == =

20V 20V

4Ω 4Ω

10,474Ω 4,682Ω

4,924Ω 4,924Ω

3,2356Ω i

20V

i

Req=12,25Ω

10V

2Ω

3Ω

4Ω

5Ω

6Ω

5i

i

.

. .

.

.




Solução: n = 5 nós, b = 7 ramos e l = 3 loops independentes.

10- Determine de v1 a v4 no circuito abaixo: Solução: a) b) c) d)

b l n 1= + −= + −= + −= + −

1 1v 12 8 0 v 4V+ − = → = −+ − = → = −+ − = → = −+ − = → = −

2 2v 6 12 0 v 6V− + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −

4 4v 8 10 0 v 2V− + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −

3 3v 6 10 0 v 4V+ − = → =+ − = → =+ − = → =+ − = → =

6V 8V

10V

12V

+

+ +

+ +

+

+ + v1 v2

v3 v4

- -

-

- -

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CAPITULO 02...objetiva, visando desenvolver no aluno habilidade e rapidez na análise de circuitos....

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