Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1....

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1 Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fração Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um número m dessas partes. A fração é representada por em que n indica em quantas partes o todo foi dividido e m indica quantas são as partes de interesse. Exemplo: 1 4 = 0,25 Neste caso, temos 1 parte de interesse nas 4 partes disponíveis, o que equivale a 0,25. Tipos de fração: Fração própria: É a fração cujo numerador é menor que o denominador. Exemplos: 2 4 , 3 7 , 9 11 Fração imprópria: É a fração em que o numerador é maior que o denominador. Exemplos: 3 2 , 9 4 , 7 3 Fração equivalente: São frações que representam a mesma quantidade. Exemplos: 1 2 , 2 4 , 4 8 , 8 16 Operações com frações: Soma e subtração: Frações que têm os mesmos denominadores, basta somar ou subtrair os numeradores. Exemplos: 1) 1 4 + 3 4 = 4 4 =1 2) 3 8 + 4 8 = 7 8

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Capítulo 1: Fração e Potenciação

1.1. Fração

Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De

início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um

número m dessas partes.

A fração é representada por 𝑚

𝑛 em que n indica em quantas partes o

todo foi dividido e m indica quantas são as partes de interesse.

Exemplo: 1

4= 0,25

Neste caso, temos 1 parte de interesse nas 4 partes disponíveis, o que

equivale a 0,25.

Tipos de fração:

Fração própria: É a fração cujo numerador é menor que o denominador.

Exemplos: 2

4,

3

7,

9

11…

Fração imprópria: É a fração em que o numerador é maior que o

denominador.

Exemplos: 3

2,

9

4,

7

3…

Fração equivalente: São frações que representam a mesma quantidade.

Exemplos: 1

2,

2

4,

4

8,

8

16…

Operações com frações:

Soma e subtração:

Frações que têm os mesmos denominadores, basta somar ou subtrair

os numeradores.

Exemplos: 1) 1

4+

3

4=

4

4= 1

2) 3

8+

4

8=

7

8

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Frações em que os denominadores são diferentes reduzem-se as

frações a um mesmo denominador, utilizando mínimo múltiplo comum

(M.M.C.).

Exemplos: 1) 3

4+

2

5=

(3∗5)+(2∗4)

20=

23

20

2) 4

8+

3

4=

(4∗4)+(3∗8)

32=

16+24

32=

40

32

Produto:

Na multiplicação de frações, o numerador é o produto dos

numeradores e o denominador é o produto dos denominadores.

Exemplos: 1) 4

3∗

3

5=

12

15

2) 7

3∗

2

3=

14

9

Divisão:

Já na divisão de duas frações, obtém-se outra fração multiplicando a

primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplos: 1)

2

34

5

=2

3∗

5

4=

10

12

2)

5

43

8

=5

4∗

8

3=

10

3

1.2. Potenciação

Potenciação significa multiplicar fatores iguais (números envolvidos

em uma multiplicação). Ou seja, elevar um número ou expressão a um

expoente. Como exemplo:

Expoente

𝑎𝑛 = a.a.a.a ... a. Potência

Base

Em que a será multiplicado n vezes. O expoente (n) é a quantidade de

vezes que a base (a) se repete e a potência é o resultado do produto.

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Exemplos:

1) 43 = 4.4.4 = 64

2) −(5)2 = -25

3) −52 = −25

4) 14 = 1.1.1.1 = 1

5) 2650 = 1

Propriedades da potenciação:

1. 𝒂𝒎+ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏

Exemplos:

1. 32 + 33= 35

2. 92 + 96 = 98

3. 199 + 11 = 1100

2. 𝒂𝒎

𝒂𝒏= 𝒂𝒎−𝒏

Exemplos:

1. 46

44= 42 = 16

2. 33

31= 32 = 9

3. 211

2= 210 = 1048

3.(𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎∗𝒏

Exemplos:

1. (4𝑥)7 = 47∗𝑥

2. (33)2 = 33∗2 = 36

3. (22)2 = 24 = 16

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4. √𝒂𝒏𝒎 = 𝒂

𝒏

𝒎

Exemplos:

1. √𝑥2

= 𝑥1

2

2. √363 = 3

6

3 = 32 = 9

3. √264 = 2

6

4 = 23

2 = √232

𝟓. (𝒎

𝒏)

𝒂=

𝒎𝒂

𝒏𝒂

Exemplos:

1. (2

3)

2=

22

32=

4

9

2. (1

2)

10=

110

210=

1

1048

3. (3

9)

3=

33

93=

27

81

6. (𝒎 ∗ 𝒏)𝒂 = 𝒎𝒂 ∗ 𝒏𝒂

Exemplos:

1. (2 ∗ 5)2 = 22 ∗ 52 = 4 ∗ 25 = 100

2. (3 ∗ 7)3 = 33 ∗ 73 = 27 ∗ 343 = 6561

3. (25 ∗ 16)1

2 = 251

2 ∗ 161

2 = 5 ∗ 4 = 20

7. 𝒂−𝟏 =𝟏

𝒂 com a ≠ 0

Exemplos:

1. 2−2 =1

22=

1

4

2. 3−3 =1

33=

1

27

3. 2−10 =1

210=

1

1048

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Capítulo 2: Radiciação e Fatoração

2.1. Radiciação

Radiciação é o processo inverso da potenciação, uma vez que elevar

um número a um expoente, e o resultado dessa operação for elevado ao

inverso do mesmo expoente, voltará ao número inicial, como mostrado no

exemplo abaixo.

Exemplo:

23 = 8 √83

= 2

Na raiz √𝑎𝑛

= x, tem-se:

O número n chamado de índice;

O número a chamado radicando;

O número x chamado de raiz;

O símbolo √ chamado de radical.

2.1.1. Propriedades da radiciação:

1. √𝒂𝒎𝒏= 𝒂

𝒎

𝒏 (Obs.: já foi vista em Potenciação)

2. √𝒂𝒏𝒏= 𝒂

𝒏

𝒏 = 𝒂𝟏 = 𝟏

Exemplos: 1) √433= 4

3

3 = 4

2) √𝑦44= 𝑦

4

4 = 𝑦

3) √33𝑥𝑥= 33

𝑥

𝑥 = 33

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3. √𝒂

𝒃

𝒏=

√𝒂𝒏

√𝒃𝒏

Exemplos: 1) √𝑥

𝑦

3=

√𝑥3

√𝑦3

2) √4

9

2=

√42

√92 = 2

3

3) √81

16

4=

√814

√164 = 3

2

4. ( √𝒂𝒏 )𝒎

= (𝒂𝟏

𝒏)𝒎

= 𝒂𝟏

𝒏 .

𝒎

𝟏 = 𝒂𝒎

𝒏 = √𝒂𝒎𝒏

Exemplos: 1) (√22

)2

= 2

2) (√7)3

= 73

2

3) (√34

)6

= 36

4 = 33

2

5. √ √𝒂𝒏𝒎= √𝒂𝒎 . 𝒏

Exemplos: 1) √√6432

= √646

= 2

2)√√𝑥43= √𝑥12

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3) √√8122

= √814

= 3

2.1.2. Operação com radicais

Adição e subtração:

Quando há radicais iguais, pode-se reduzir os radicais a um único

radical somando, ou subtraindo, os fatores externos dos mesmos, pode-se

dizer que estamos colocando em evidencia os radicais que aparecem em

todos os termos da soma.

Exemplos: 1) 3√2 + 4√2 = ( 4 + 3)√2 = 7√2

2) 𝑥 √𝑦3 + 𝑧 √𝑦3 = (𝑥 + 𝑧) √𝑦3

3) 13√3 − 2√3 = (13 − 2)√3 = 11√3

4) 14√5 − 7√5 = (14 − 7)√5 = 7√5

Multiplicação:

A multiplicação de radicais envolve 3 casos básicos, abaixo será

mostrado cada um deles:

1º caso: Radicais tem raízes exatas.

Quando isso ocorrer, basta extrair as raízes e multiplicar os

resultados.

Exemplos:

1) √25 ∗ √643

= 4 ∗ 5 = 20

2) √814

∗ √83

= 3 ∗ 2 = 6

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2º caso: Raiz tem o mesmo índice.

Deve-se conservar o índice e multiplicar os radicais.

Exemplos:

1) √23

∗ √73

= √143

2) √204

∗ √34

∗ √44

= √20 ∗ 3 ∗ 44

= √2404

3º caso: Radicais tem índices diferentes.

Nesse caso, o melhor a se fazer é transformar os radicais em

potencias fracionarias. Feito isso transformar os expoentes.

Exemplos:

1) √𝑎2 ∗ √𝑏3

= 𝑎1

2 ∗ 𝑏1

3 = 𝑎3

6 ∗ 𝑏2

6 = √𝑎36∗ √𝑏26

= √𝑎3𝑏26

2) √43

∗ √104

= 41

3 ∗ 101

4 = 44

12 ∗ 103

12 = √4412∗ √10312

Divisão:

Assim como a multiplicação, a divisão de radicais envolve 3 casos

básicos.

1º caso: Radicais tem raízes exatas.

Do mesmo jeito da multiplicação, basta extrair a raiz e dividimos os

resultados.

Exemplos:

1) √81

√83 =9

2

2) √273

√164 = 3

2

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2º caso: Radicais tem o mesmo índice.

Deve-se conservar os indicies e dividir os radicais.

Exemplos:

1) √123

√33 = √12

3

3= √4

3

2) √𝑥4𝑦3

√𝑥3 = √𝑥4𝑦

𝑥

3= √𝑦𝑥33

= 𝑥 √𝑦3

3º caso: Radicais com índices diferentes

O modo mais fácil de resolver, assim como em multiplicação é

transformar em potencias fracionarias, efetuar as operações com fração e

volta para forma radical.

Exemplos:

1) √23

√24 =2

13

214

= 21

3−

1

4 = 21

12 = √212

2)√𝑥34

√𝑥5 =𝑥

34

𝑥15

= 𝑥3

4−

1

5 = 𝑥11

20 = √𝑥1120

2.1.3. Racionalização de denominadores

Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional,

significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional.

Para realizar está operação, basta multiplicar os dois termos da fração por

um número conveniente. Há três casos para realização dessa operação.

1º caso: Denominador com índice quadrático

Exemplos:

1) 3

√4=

3

√4∗

√4

√4=

3√4

(√3)2 =

3√4

4

2) 5

√x=

5

√x∗

√x

√x=

5√x

(√x)2=

5√x

x

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2º caso: Denominador com índice maior que dois.

Exemplos:

1) 𝑦

√𝑥3 =𝑦

√𝑥3 ∗√𝑥23

√𝑥23 =𝑦 √𝑥23

√𝑥1∗𝑥23 =𝑦 √𝑥23

√𝑥33 =𝑦 √𝑥23

𝑥

2) 4

√24 =4

√24 ∗√234

√234 =4 √234

√21234 =4 √234

√244 =4 √234

2= 2√234

3º caso: Tem-se no denominador soma ou subtração de radicais.

Exemplos:

1) 3

√4−√5=

3

√4−√5∗

√4+√5

√4+√5=

3(√4+√5)

(√4)2

−(√5)2 =

3(√4+√5)

4−5=

3(√4+√5)

−1

2) 8

√6+√3=

8

√6+√3∗

√6−√3

√6−√3=

8(√6−√3)

(√6)2

−(√3)2 =

8(√6−√3)

6−3=

8(√6−√3)

3

2.1.4. Fatoração

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou

mais expressões, chamadas fatores. Em outras palavras, isto significa

escrevê-las na forma de um produto de expressões mais simples.

Exemplo:

𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑦)

Tipos de fatoração:

1. Fator Comum: Quando o termo apresenta fatores em comum.

Exemplo: 1) 4𝑥 + 𝑥𝑦 + 3𝑥 = 𝑥(4 + 𝑦 + 3)

2) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏)

2. Agrupamento: Consiste em aplicar duas vezes o fator comum em

alguns polinômio.

Exemplo: 1) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏)

Posteriormente, aplicar fator comum novamente, logo:

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𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = (𝑥 + 𝑦) ∗ (𝑎 + 𝑏)

2) 3𝑥 + 𝑦2 + 𝑦𝑥 + 3𝑦 = 𝑥(3 + 𝑦) + 𝑦(3 + 𝑦)

𝑥(3 + 𝑦) + 𝑦(3 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) ∗ (3 + 𝑦)

3. Diferença de quadrados: transformam-se as expressões em produtos da

soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada

quadrado.

Exemplo: 1) 𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦) ∗ (𝑥 − 𝑦)

2) 32 − 𝑎2 = (3 − 𝑎) ∗ (3 + 𝑎)

4. Trinômio quadrado perfeito: Se diz trinômio quadrado perfeito

quando: Dois dos seus termos são quadrados perfeitos e o outro termo é

igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos.

Exemplo:

que é igual ao segundo termo da equação inicial.

5. Trinômio do 2º grau: Acha-se as raízes do trinômio para poder fatorar.

Exemplo: Suponha-se que a e b são raízes do trinômio 𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑; logo a

forma fatorada se da por (𝑥 + 𝑎) ∗ (𝑥 + 𝑏)

6. Soma e diferença de Cubos: A soma de dois cubos é igual ao produto

do fator 𝑎 + 𝑏 pelo fator 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2.

Exemplo: 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏) ∗ (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

A diferença entre dois cubos é igual ao produto do fator 𝑎 − 𝑏 pelo fator

𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2.

Exemplo: 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏) ∗ (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

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Capítulo 3: Produtos notáveis e Frações Algébricas

3.1. Produtos notáveis

3.1.1. Quadrado da soma de dois termos: O quadrado da soma de dois

termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do

primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo: (a + b)2 = (a + b) ∗ (a + b)

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

3.1.2. Quadrado da diferença de dois termos: O quadrado da diferença

entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o

produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos: (a − b)2 = (a − b) ∗ (a − b)

(a − b)2 = a2 − ab − ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

3.1.3. Produto da soma pela diferença de dois termos: O produto da

soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos

o quadrado do segundo termo.

Exemplo: (a − b) ∗ (a + b) = a2 − b2

3.1.4. Cubo da soma de dois termos: O cubo do primeiro termo mais três

vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes

o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do

segundo termo.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

3.1.5. Cubo da diferença de dois termos: O cubo do primeiro termo

menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo

mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo

menos o cubo do segundo termo.

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

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3.2. Frações Algébricas

O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo

das frações numéricas, admitindo-se que no denominador haja, pelo menos,

uma incógnita e sempre o denominador seja diferente de zero.

Para realizar a adição e subtração, precisamos encontrar o mínimo

múltiplo comum entre os denominadores. Mas para realizar a multiplicação

e a divisão de frações algébricas, o processo é mais simples.

Exemplos: 1) 𝑎

1+

𝑏

𝑎2=

𝑎∗𝑎2+𝑏

𝑎2=

𝑎3+𝑏

𝑎2

2) 𝑎

𝑥+

2𝑎

𝑥2=

𝑎∗𝑥+2𝑎

𝑥2=

𝑎𝑥+2𝑎

𝑥2=

𝑎(𝑥+2)

𝑥

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Lista de Exercícios - Frações

1. Efetue as seguintes operações com frações:

a) 1

7+

1

3

b) 3

4−

2

3

c) 14

8+

3

9

d)

3

44

3

e) 5

3∗

9

25

g) 2

9+

4

7−

3

4

e)

3

49

12

+6

7

h) 4 +1

3

i) 3

5+ 4 +

3

7

j) 4

7+ 14

k) 15 −34

4

l) 20

10+

34

2

m) 23

3− 7

n) 18

2+ 1

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Lista de Exercícios - Exponenciação

1. Resolva os exercícios seguintes com base nas propriedades da

exponenciação.

a) 6−2 j) −2−2

b) −42 k) −3−3

c) (7 ∗ 4 )−3 l) (4

3)

−2

d) 66

6−4 m) 1−57

e) 5−4 ∗ 53 n) 166

f) 10480 o) −1−17

g) 017 p) (−4

3)

−3

h) 880 q) 5−1/3

i) 1−1000 r) 15−3

2. Simplifique as expressões abaixo:

a) 𝑥−3.𝑥16.𝑦−3

𝑥12.𝑦−6

b) 26

42

c) (4−3.34.5−2)

4−2.32

d) −𝑎−10.𝑏5

𝑎−9.𝑏4

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3. Se x = −(−2)2−√16

(−3+7)0−2 qual o valor de 𝑥−1 ?

4. Qual a metade de 212 + 3. 210 ?

5. Qual o resultado de 920 + 920 + 920?

6. Qual o resultado do quociente de 5050 por 2525?

7. Simplifique as expressões abaixo:

a) (2𝑛.4)

√83 .23𝑛+1

b) 4𝑛 . 2𝑛−1

4𝑛+1

c) 25𝑛+2.√100

5𝑛+1

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Lista de Exercícios - Fatoração

1. Fatore:

a) 3𝑥2 + 9𝑥 + 15𝑥

b) 𝑥2 + 2𝑥2 − 𝑥

c) 13𝑥 + 26𝑥

d) 14𝑥3𝑎2𝑐 + 7𝑎3𝑐2

e) 2𝑎3 + 4𝑏2 + 4𝑎2 + 2𝑏3

f) 5𝑎3 + 𝑐𝑎3 + 5𝑐4 + 𝑎𝑐4

g) 𝑥2 − 16

h) 𝑥2 − 81

i) 9𝑥2 − 49

j) 1 − 36𝑥2

h) 16𝑥4 − 9𝑥2

k) 𝑥2 − 10𝑥 + 25

l) 16𝑥2 + 24𝑥 + 9𝑥𝑦2

m) 1000𝑥3 − 1500𝑥2 + 750𝑥 − 125

n) 𝑘6 − 3𝑡𝑘4 + 3𝑘2𝑡2 − 𝑡3

o) 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎 + 𝑏

p) 𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 𝑏2 + 3𝑎 − 6𝑏

2. Se 𝑥 + 𝑦 = 8 e 𝑥 ∗ 𝑦 = 15, qual é o valor de 𝑥2 + 6𝑥𝑦 + 𝑦2 ?

3. Fatore as expressões algébricas:

a) 4𝑎4 − 𝑎 − 𝑎3 + 4𝑎2 c) 𝑎4 − 3𝑥2 + 9

b) 𝑎8 − 𝑏8 d) 4𝑥2 + 8𝑥2𝑦2 + 9𝑦4

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4. Fatore as expressões algébricas abaixo:

a) (𝑥2−𝑥)∗(𝑥+1)

(𝑥2−2𝑥)∗(𝑥+2)

b) 𝑥2−8𝑥+16

𝑥2−16

c) 20062−20055

2006−2005

d) 𝑎3+2𝑥

𝑥+2

e) (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2

f) 𝑥6−𝑦6

𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2

g) (√2 + √3)2

+1

5+2√6

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Lista de Exercícios – Radiciação

1. Resolva os seguintes exercícios com base nas propriedades da

radiciação:

a) √463 j) √5 + √7 + 3√5 − 2√7

b) √104 k) 4√25 + √1253

c) √1

1000 l) 15√4

3− 2√4

3

d) √25

16 m) √9𝑏2

e) −√0,01 n) √1024 𝑏5𝑎105

f) −√0,81

064 o) √

1

49

4

g) √𝑡63 p)√

32𝑥8

𝑦4𝑧12

4

h) √483

q) √25𝑥4𝑧

i) √20 o) 1

3√45

2. Simplifique as expressões abaixo:

a) 6√54 − 7√18 + 14√45

b) 8√2 − 5√8 + 13√18 − 15√50 − 9√92

c)1

5√45 −

1

3√180 +

4

5√25

d) 4√81

64

3+ 81 √

375

729

3− 10 √

24

125

3

e) √645

+ √4865

+ √25

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3. Considerando 𝑎 = √9𝑚, 𝑏 = √100𝑚 e 𝑐 = −8√36𝑚 , determine:

a) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =

b) 𝑎 − (𝑏 + 𝑐) =

c) 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 =

d) (𝑎 + 𝑏) − 𝑐 =

4. Calcule:

a) 7√5 ∗ 3√6 k) √𝑎6 ∗ √𝑎46

b) 14 √93

∗ √33

l) (√𝑎)3 ∗ 𝑎2

c) 8√10

2√5 m) √𝑎3 ∗ √𝑎5 ∗ √𝑎6

d) 8+ √52∗4∗4

3 n)

√𝑎3

√𝑎5

e) 4𝑎√𝑏 + 3√𝑎𝑏2 + 3𝑎√𝑎 − 5√𝑎3

f) −6𝑏√𝑎 + 14√𝑏2𝑎 − 6𝑎√𝑎 − 2√𝑎3

g)√𝑥 ∗ √𝑥 o) √𝑥24

√𝑎38

h) √𝑥6

√𝑥3 p)

√𝑥2𝑦34

√𝑥𝑦3

i) 𝑥−7𝑥−8 q) 3√(6∗125)

5 √254

j) √𝑥𝑥7 r)1

√𝑥

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Lista de Exercícios – Produtos Notáveis

1. Desenvolva o seguintes produtos notáveis:

a) (x + 1

4)

2

b) (a

2+

b

2)

2

c) (a5 − m3)

d) (p3 + 3) ∗ (p3 − 3)

e) (5x2 + 1)2

f) (a5 + b4)2

g) (2 − x3)2

h) (x − 3)3

i) (2a − a)3

j) (2a + 12)3

k) (6a − 8)3

3. Desenvolva os seguintes produtos notáveis:

a) 𝑚8 − 18

b) 𝑎𝑥3 − 10𝑎𝑥2 + 25𝑎𝑥

c) 2𝑚3 − 18𝑚

d) 𝑎2 + 𝑏2

4. Simplifique as expressões abaixo:

a) 2−√2

√2−1

b) 1

1−√2−

1

1+√2

c) √(𝑥+𝑦)2−4𝑥𝑦

(𝑥−𝑦)2+4𝑥𝑦

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d) 𝑎2−𝑏2

𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2

e) (𝑥 − 𝑦)2 − (𝑥 + 𝑦)2

f) (𝑥 + 𝑦) ∗ (𝑥2 + 𝑦2) ∗ (𝑥 − 𝑦)

h) 𝑥2+5𝑥+6

𝑥2+7𝑥+10

i) (3𝑥 + 4)2 − (3𝑥)2

j) [(3𝑥)2 − 3𝑥 ∗ (3𝑥 − 2) − 1]2

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Lista de Exercícios – Frações algébricas

1.Simplifique as expressões abaixo:

a) 12𝑎3

3𝑎2

b) 20𝑥5𝑦6

10𝑥10𝑦3

c) 6𝑥−30

12𝑏

d) 4𝑎+4𝑏

6𝑥𝑎+6𝑥𝑏

e) 9𝑎2+24𝑎𝑏+𝑏2

9𝑎2+16𝑏2

f) 𝑥2+2𝑥−15

𝑥2−2𝑥+3

g) 𝑚3−1

𝑚6−1

h) 3𝑎

𝑚+

7𝑎

𝑚

i) 1

𝑎+1+

1

𝑎−1

j) 𝑥−5𝑦

𝑥+𝑦+

5𝑦2

𝑥𝑦+𝑦2

k) 5

𝑎2+

3

𝑎

l) (𝑥 + 3) −5

𝑥−3

m) 4𝑥2

𝑥4+𝑦4+

1

𝑥2+𝑦2−

2

𝑥2−𝑦2

n) 2𝑥

15𝑦∗

3𝑦2

10𝑥

o) 6𝑎2𝑏2

𝑚𝑝2∗

3𝑚

2𝑎∗

𝑝3

9𝑏2

p) (𝑎−1)(𝑎−2)

𝑎2−4∗

𝑎2+𝑎−2

(𝑎−1)(𝑎−2)

q) 28𝑥3𝑦

5𝑎2𝑏3∶

35𝑥2𝑦2

30𝑎𝑏2

r) 𝑥−𝑥2

𝑥2−1∶ (

𝑎

𝑎+1− 𝑎)

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s) 3𝑥

𝑎−𝑥−

𝑥2−3𝑎𝑥

𝑥2−𝑎2

t) 𝑎2−9

𝑏2−5𝑏+6+

𝑏−𝑏2

2𝑏2−6𝑏+4

2. Sabendo que 𝑥 + 𝑦 = 1 e 𝑥𝑦 = −1

2 , qual o resultado da adição

𝑦

𝑥+

𝑥

𝑦 ?

3. Simplifique as expressões abaixo:

a) 2𝑎𝑏+𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑏𝑐−𝑏2−𝑐2+𝑎2

b) 𝑎2𝑥+2 −1

𝑎𝑥+1−1

c) 𝑥+

𝑦−𝑥

1+𝑥𝑦

1−𝑥𝑦−𝑥2

1+𝑦

e) 𝑎

(𝑎−𝑏)∗(𝑎−𝑐)+

𝑏

(𝑏−𝑐)∗(𝑏−𝑎)+

𝑐

(𝑐−𝑏)∗(𝑐−𝑎)

f) 𝑎+𝑏

𝑎−𝑏−

𝑎𝑏+𝑏2

𝑎2−𝑏2

g)

𝑥2

𝑦2−𝑦2

𝑥2

1

𝑥2+2

𝑥𝑦+

1

𝑦2