Capítulo 3 GEOMETRIA DE MASSAS 3.1 I NTRODUÇÃO · O teorema de Pappus-Gulding permite determinar...
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Capítulo 3
GEOMETRIA DE MASSAS
3.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo será feito o estudo de várias propriedades e características geométrico-mecânicas de linhas, superfícies e volumes, as quais constituirão uma ferramenta para a caracterização da massa, peso, distribuição da massa, inércia, etc., de sistemas de partículas discretos ou contínuos, cujo movimento será estudado nos capítulos seguintes ligados à dinâmica.
Para além das características geométricas naturais, como o comprimento, área e volume (e as suas características mecânicas de massas e pesos desses comprimentos, áreas e volumes) irá referir-se os conceitos de centro de massa, centro de gravidade, momento estático relativamente a um ponto, eixo ou plano, momento de inércia e produto de inércia também relativamente a um ponto, eixo ou plano.
3.2 CENTRO DE MASSA E CENTRO DE GRAVIDADE
O centro de massa corresponde ao centróide de massas de um sistema de partículas. Se o sistema for discreto (constituído por partículas com coordenadas
OAk − e massas mk), o centro de massa, GCM, localiza-se na posição determinada através da seguinte expressão:
∑∑==
=−⋅⋅=−n
kk
n
kkkCM mMOAm
MOG
11;1
(3.1)
Se o sistema for contínuo, a localização do centro de massa é obtida por:
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Geometria de massas
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∫∫ =⋅=−MM
CM dmMzyxdmzyxRM
OG ;),,(),,(1 r (3.2)
Note-se que o integral ∫M
dm será simples,
duplo ou triplo, consoante o sistema de partículas seja unidimensional (1D), bidimensional (2D) ou tridimensional (3D), respectivamente.
Figura 3.1 – Centro de massa.
Se o sistema de partículas estiver sujeito a um campo gravítico, terrestre ou não, ele estará sujeito a forças de atracção gravítica (ou pesos) pontualmente localizadas (sistema de partículas discreto) ou distribuídas (sistema de partículas contínuo). Designa-se centro de gravidade ou baricentro do sistema de partículas ao centróide da distribuição, discreta ou contínua, de pesos do sistemas de partículas.
Num sistema discreto, a localização do centro de gravidade, G, é dado por:
∑∑==
=−⋅⋅=−n
kk
n
kkk ppOAp
pOG
11;1 (3.3)
Figura 3.2 – Peso da partícula de massa mk.
Num sistema contínuo, a localização do centro de gravidade, G, é dado por:
;),,(),,(1
),,(),,(1
∫
∫
⋅=
=⋅=−
M
P
dmzyxgzyxRp
zyxdpzyxRp
OG
rr
r
com ∫∫ ==Mp
dmgdpp (3.4)
Figura 3.3 – Peso elementar associado a uma parcela infinitesimal de massa dm.
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Capítulo 3
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NOTAS:
1. Se o sistema de partículas for homogéneo (isto é, de massa específica constante) e se o campo gravítico for uniforme (ou seja, a mesma aceleração gravítica para todos os pontos do sistema), então o centro de massa e o centro de gravidade localizam-se no mesmo ponto.
2. Se o sistema de partículas for homogéneo, então o centro de massa é coincidente com o centro geométrico. Se, além disso, o campo gravítico é uniforme, então o centro geométrico corresponde simultaneamente ao centro de massa e ao centro de gravidade.
Considerando o caso de um sistema de partículas contínuo, o centro geométrico, GCG, é dado por:
∫∫ =⋅=−VV
CG dVVdVRV
OG ;1 r (3.5)
Por sua vez, o centro de massa, GCM, é dado por:
∫∫∫∫ ==⋅⋅=⋅=−VMVM
CM dVdmMdVRM
dmRM
OG ρρ ;11 rr (3.6)
onde ρ representa a massa específica do sistema que pode ser constante ou variável no interior do seu volume. Se a massa específica for constante (ρ = constante) então o centro de massa pode ser também definido por:
OGdVRV
dVRdV
OG CGVV
V
CM −=⋅=⋅⋅=− ∫∫∫rr 11 ρ
ρ (3.7)
ou seja, quando ρ = constante o centro de massa coincide com o centro geométrico. Quanto ao centro de gravidade, G, ele é dado por:
∫∫∫∫ ==⋅⋅=⋅=−VPVP
dVdppdVRp
dpRp
OG γγ ;11 rr (3.8)
onde,
g⋅= ργ (3.9)
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Geometria de massas
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representa o peso específico do sistema que, também, pode ser constante ou variável no interior do sistema. Se o peso específico do sistema for constante (γ = ρ · g = constante) então o centro de gravidade pode ser também definido por:
OGdVRV
dVRdV
OG CGVV
V
−=⋅=⋅⋅=− ∫∫∫rr 11 γ
γ (3.10)
ou seja, quando γ = constante o centro de gravidade coincide com o centro geométrico.
3.3 MOMENTOS ESTÁTICOS OU DE 1ª ORDEM
Considere-se uma superfície plana homogénea num campo gravítico uniforme. Nestas condições, o centro geométrico da superfície coincide com o centro de massa e com o centro de gravidade e é dado por:
=
=
====−
∫
∫∫
A
dayy
A
daxx
A
daryxrOG
SG
AG
AGGG
r
r ),( (3.11)
Designa-se momento estático, ou de 1ª ordem, Sy, da superfície A relativamente ao eixo OY a:
GA
y xAdaxS ⋅== ∫ (3.12)
Figura 3.4 – Momento estático em relação a OY.
Identicamente, o momento estático, ou de 1ª ordem, Sx, da superfície A relativamente ao eixo OX é:
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Capítulo 3
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GA
x yAdayS ⋅== ∫ (3.13)
Figura 3.5 – Momento estático em relação a OX.
Por intermédio do conceito de momento estático é possível referir algumas características e propriedades de secções planas:
1ª) Se um dos eixos, OX ou OY, for baricentrico, isto é, se contiver o centro de gravidade, G, o respectivo momento estático relativamente a esse eixo é nulo.
Exemplo:
Se OY é baricentrico, então:
00 ==⇒=== ∫∫
Ay
yAG daxS
AS
A
daxx (3.14)
Figura 3.6 – Eixo OY baricentrico.
2ª) Qualquer eixo de simetria de uma secção plana é baricentrico:
( ) ( ) =+== ∫ direitaesquerda yyA
y SSdaxS
( ) =+=+= ∫∫∫ +−+−
AAA
daxxadxdax
00 == ∫A
da (3.15)
Figura 3.7 – Eixo de simetria.
3ª) Quando se decompõe uma superfície A em duas superfícies A1 e A2 de baricentros G1 e G2, o baricentro de A pertence à recta que passa por G1 e G2:
( ) ( )∆∆∆∆∆ +=+=
21
2121 GG
AA dAdASSS
como ( ) ( ) 021
==∆∆ GG dd
Figura 3.8 – Decomposição da superfície.
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Geometria de massas
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( ) ( ) 00 =⇒=⋅= ∆∆∆ GG ddAS (3.16)
4ª) Se uma superfície tiver duas linhas de simetria, o centro de gravidade está no ponto de intersecção dessas linhas:
Figura 3.9 – Superfície com duas linhas de simetria.
3.4 TEOREMA DE PAPPUS-GULDING
O teorema de Pappus-Gulding permite determinar centróides de linhas e superfícies planas e ainda as suas correspondentes linhas e superfícies massificadas e pesadas. Mas cada parcela a que este teorema se aplica terá que ser homogénea.
3.4.1 Teorema de Pappus-Gulding – versão superfícies
A área da superfície lateral gerada pela revolução de uma linha curva em torno de um eixo do seu plano, e que não a intersecta, é igual ao produto do comprimento da linha curva pelo perímetro percorrido pelo seu centro de gravidade G durante a revolução:
( )GAB dLA π2lateral sup. ⋅= (3.17)
Figura 3.10 – Determinação do centróide
de uma linha.
A versão superfícies massificadas ou pesadas (corolário do anterior) diz que a massa ou o peso da superfície lateral gerada pela revolução de uma linha plana em torno de um eixo do seu plano, que não a intersecte, é igual ao produto da massa ou do peso da linha plana pelo perímetro percorrido pelo seu centro G durante a revolução.
perímetro percorrido pelo centro de gravidade
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Capítulo 3
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3.4.2 Teorema de Pappus-Gulding – versão volumes
O volume do sólido gerado pela revolução de uma secção plana em torno de um eixo do seu plano, e que não a intersecte, é dado pelo produto da área da superfície plana pelo perímetro percorrido pelo seu centro de gravidade G durante a sua revolução:
( ) AdV G ⋅= π2sólido (3.18)
Figura 3.11 – Determinação do centróide de uma superfície.
Também neste teorema se pode desenvolver um corolário para volumes massificados ou pesados.
Exercícios de aplicação
perímetro percorrido pelo centro de gravidade
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Geometria de massas
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3.5 MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE SECÇÕES PLANAS
3.5.1 Momentos de inércia de área e de massa
Considere-se uma secção plana e um eixo ∆, que tem área A e massa M.
Designa-se momento de inércia ou de 2ª ordem, da área A em relação ao eixo ∆, à quantidade:
( ) ∫=∆A
darI 2área (3.19)
Figura 3.12 – Momento de inércia em relação
a um eixo ∆ qualquer.
Designa-se momento de inércia, ou de 2ª ordem, da massa M (com superfície A) relativamente ao eixo ∆, à quantidade expressa por:
( ) ∫∫ ⋅==∆A
AM
dardmrI ρ22massa (3.20)
onde ρA é a massa específica superficial.
Se a secção for homogénea (isto é, ρA = constante), então:
( ) ( )área2
massa ∆∆ ⋅=⋅= ∫ IdarI AA
A ρρ (3.21)
Em relação a um referencial OXY tem-se:
Momento de inércia em relação ao eixo OX:
∫=A
x dayI 2 (3.22)
Momento de inércia em relação ao eixo OY:
∫=A
y daxI 2 (3.23)
Figura 3.13 – Momentos de inércia.
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Capítulo 3
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As dimensões dos momentos de inércia de área e de massa são as seguintes:
( )[ ] 4área m=∆I
( )[ ] 2massa mkg ⋅=∆I (3.24)
Note-se que enquanto os momentos de 1ª ordem podem ser positivos, ou negativos, ou nulos, consoante o valor da distância do centro ao eixo ∆, os momentos de inércia são sempre positivos porque correspondem à soma (ou ao integral) de produtos de áreas por distâncias quadráticas.
Exercícios de aplicação
3.5.2 Teorema dos eixos paralelos – Teorema de Steiner
O teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia relaciona os momentos de inércia relativos a dois quaisquer eixos paralelos:
'2' 2 GddAdAII ⋅⋅⋅+⋅+= ∆∆ (3.25)
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Geometria de massas
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Considere-se uma superfície A e os eixos ∆ e ∆' paralelos. Os momentos de inércia da superfície A relativamente a esses eixos estão relacionados por:
∫=∆A
dalI 2 (3.26)
como l' = l + d, então:
⇒+= ∫∆A
dadlI 2)'( (3.27a)
Figura 3.14 – Teorema dos eixos paralelos.
∫∫∫ ⋅⋅++=∆AAA
dadldaddalI '2' 2 (3.27b)
sendo o momento estático dado por:
'' ' G
A
dAdalA ⋅== ∫∆ (3.28)
então a equação (3.25) é verificada, isto é: '2' 2 GddAdAII ⋅⋅⋅+⋅+= ∆∆ .
Quando o eixo ∆' é baricentrico, isto é, quando ∆' ≡ ∆G // ∆, o teorema dos eixos paralelos designa-se por teorema de Steiner, vindo expresso por:
(como ∆' ≡ ∆G ⇒ 0' =Gd ): 2dAIIG
⋅+= ∆∆ (3.29)
ou seja, o teorema de Steiner mostra que o momento de inércia da área de uma secção plana, relativamente a um eixo qualquer, é igual à soma do momento de inércia da área da mesma secção relativamente a um eixo baricêntrico paralelo ao dado, com o produto da área da superfície pelo quadrado da distância entre os dois referidos eixos.
I∆' d2·A '2'2 ∆=∫ Addald
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Capítulo 3
95
Exemplo:
3.5.3 Momento de inércia polar
Trata-se também de um momento de 2ª ordem relativamente a um eixo perpendicular ao plano da secção num ponto fixado, sendo definido por:
∫=A
O darI 2 (3.30)
como r2 = x2 + y2, então o momento de inércia polar pode ser obtido por:
Figura 3.15 – Momento de inércia polar.
xyAAA
O IIdaydaxdayxI +=+=+= ∫∫∫ 2222 )( (3.31)
ou seja, o momento de inércia polar é igual à soma dos momentos de inércia relativos a dois eixos do plano da secção perpendiculares entre si e centrados em O:
⇒+=+=+= 2222222 ""'' yxyxyxr
""'' yxyxyxO IIIIIII +=+=+= (3.32)
ou seja, o momento de inércia polar, IO, é invariante, isto é, não depende da escolha de qualquer par de eixos ortogonais centrados em O.
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Geometria de massas
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Exemplo:
3.5.4 Raio de giração
O raio de giração refere-se à posição da superfície A onde se pode considerar que concentrando toda a superfície nesse ponto, pode-se obter o mesmo momento de inércia que essa superfície origina.
⇒=⋅= ∫∆∆A
dadrAI 22
⇒ AIr ∆
∆ = (3.33)
Figura 3.16 – Raio de giração.
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Capítulo 3
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Num sistema de eixos OXY, os raios de giração são obtidos por:
AIr x
x = (3.34)
AI
r yy = (3.35)
3.5.5 Produto de inércia
O produto de inércia é um momento de 2ª ordem, correspondendo ao produto da área da secção S (ou da massa M) relativamente ao par de eixos ortogonais OX e OY e é dado por:
( ) ∫ ⋅=A
xy dayxIárea
(3.36)
( ) ∫∫ ⋅⋅=⋅=A
AM
xy dayxyxdmyxI ),(massa
ρ (3.37)
Figura 3.17 – Produto de inércia.
Se o corpo é homogéneo, então:
( ) ( )áreamassa xyAxy II ⋅= ρ (3.38)
Os valores dos momentos de inércia relativamente a um eixo qualquer são sempre positivos. O produto de inércia Ixy de qualquer secção plana poderá ser positivo, nulo ou negativo, consoante a localização dessa superfície relativamente ao sentido dos eixos coordenados.
Figura 3.18 – Sinais para o produto de inércia.
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Geometria de massas
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Aplicação dos teoremas dos eixos paralelos e de Steiner para produtos de inércia
Conhecido o produto de inércia em relação a um sistema de eixos ortogonais OXY, é possível, pela aplicação do teorema dos eixos paralelos, obter o produto de inércia em relação a um sistema de eixos O'X'Y' paralelo ao anterior:
⇒+⋅+=
⋅=
∫
∫
A
Ayx
adaybx
adyxI
)()(
''''
∫∫
∫∫⋅+⋅=
+⋅+⋅=⇒
AA
AAyx
adxaadyb
adbaadyxI ''
(3.39)
Figura 3.19 – Aplicação do teorema dos eixos paralelos.
Considerando as seguintes igualdades:
∫ ⋅=A
xy adyxI (3.40a)
∫ ⋅=⋅⋅A
adbaAba (3.40b)
GxAA
yAbSbadybadyb ⋅⋅=⋅=⋅=⋅ ∫∫ (3.40c)
GyAA
xAbSaadxaadxa ⋅⋅=⋅=⋅=⋅ ∫∫ (3.40d)
Assim, o teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia é expresso por:
GGxyyx yAbxAaAbaII ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+='' (3.41)
Quando os eixos OX e OY são baricentricos, este teorema converte-se na versão do teorema de Steiner para produtos de inércia:
(se x≡xG e y≡yG ⇒ Sx=Sy=0): AbaIIGG yxyx ⋅⋅+='' (3.42)
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Capítulo 3
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3.5.6 Variação dos momentos de 2ª ordem Ix, Iy e Ixy resultante da rotação dos eixos de referência
)sen,(cos1 αα=ir
(3.43)
)cos,sen(1 αα−=jr
(3.44)
αααα
sencos),()sen,(cos' 1
⋅+⋅==⋅=⋅=
yxyxOMix
r
(3.45)
αααα
cossen),()cos,sen(' 1
⋅+⋅−==⋅−=⋅=
yxyxOMjy
r
(3.46)
Figura 3.20 – Rotação dos eixos de referência.
O momento de inércia em relação ao eixo O'X' , Ix', pode ser obtido a partir do conhecimento dos momentos de 2ª ordem definidos no sistema de eixos ortogonal OXY (Ix, Iy e Ixy) pela seguinte relação:
⇒⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅=
=⋅+⋅−==
∫∫∫
∫∫αααα
αα
cossen2cossen
)cossen('
2222
22'
AAA
AAx
dayxdayadx
dayxdayI (3.47a)
ααα 2sensencos 22' ⋅−⋅+⋅= xyyxx IIII (3.47b)
Identicamente, o momento de inércia em relação ao eixo O'Y' , Iy', pode ser obtido a partir do conhecimento dos momentos de 2ª ordem definidos no sistema de eixos ortogonal OXY (Ix, Iy e Ixy) pela seguinte relação:
⇒⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=
=⋅+⋅==
∫∫∫
∫∫αααα
αα
cossen2sencos
)sencos('
2222
22'
AAA
AAy
dayxdayadx
dayxdaxI (3.48a)
ααα 2sencossen 22' ⋅+⋅+⋅= xyyxy IIII (3.48b)
E ainda, de forma análoga, se obtém o produto de inércia em relação ao eixo O'Y' , Ix'y', a partir do conhecimento dos momentos de 2ª ordem definidos no sistema de eixos ortogonal OXY (Ix, Iy e Ixy) pela seguinte relação:
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Geometria de massas
100
⇒−⋅⋅+
+⋅⋅+⋅⋅−=
=⋅+⋅−⋅⋅+⋅=⋅=
∫
∫∫
∫∫
)sen(cos
cossencossen
)cossen()sencos(''
22
22
''
αα
αααα
αααα
A
AA
AAyx
dayx
dayadx
dayxyxdayxI
(3.49a)
)sen(coscossen)( 22'' αααα −⋅+⋅⋅−= xyyxyx IIII (3.49b)
Atendendo às seguintes relações trigonométricas:
ααα 2cossencos 22 =− (3.50a)
2
2cos1cos2 αα += (3.50b)
2
2cos1sen2 αα −= (3.50c)
então as expressões (3.47) a (3.49) podem-se reescrever da seguinte forma:
αα 2sen2cos22' ⋅−⋅−
++
= xyyxyx
x IIIII
I (3.51)
αα 2sen2cos22' ⋅+⋅−
−+
= xyyxyx
y IIIII
I (3.52)
αα 2cos2sen2'' ⋅+⋅−
= xyyx
yx III
I (3.53)
Note-se que as expressões (3.51) e (3.52) verificam a seguinte condição: Ix' + Iy' = Ix + Iy (ver expressão 3.32).
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Capítulo 3
101
Exemplo:
3.5.7 Momentos principais de inércia – momentos de 2ª ordem máximo e mínimo. Eixos principais de inércia
O objectivo é determinar o valor do ângulo α para o qual os momentos de inércia são extremos, ou seja, a definição da direcção dos eixos principais; e, os momentos de inércia, máximo I1 e mínimo I2, que lhes estão associados.
Figura 3.21 – Eixos principais de inércia.
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Geometria de massas
102
Como Ix + Iy = Ix1 + Iy2, então se Ix1 é máximo então Iy1 é mínimo e vice-versa. Para determinar os extremos, determina-se o zero da derivada de Ix1 ou Iy1:
⇒=⋅⋅−⋅−⋅−
== 02cos2)2sen2(2
11 αααα xy
yxyx III
ddI
ddI
⇒ yx
xy
III−⋅
−=2
2tg α (3.54)
Como a função tangente é periódica, com período π, a expressão anterior resulta em dois valores distintos de α que anulam a derivada αddI x1
: um torna Ix1(α) máximo e outro Iy1(α+π/2) mínimo, ou vice-versa.
Conhecendo as seguintes relações trigonométricas:
α
αα2tg1
2tg2sen2+
±= (3.55)
α
α2tg1
12cos2+
±= (3.56)
pode-se obter os valores de sen2α e cos2α a partir da expressão (3.54). Substituindo nas expressões de Ix' e Iy', (3.51) e (3.52), obtém-se as seguintes expressões que permitem calcular os momentos principais de inércia:
221 4)(
21
2 xyyxyx III
III ⋅+−⋅+
+= (3.57)
222 4)(
21
2 xyyxyx III
III ⋅+−⋅−
+= (3.58)
onde I1 representa o momento principal de inércia máximo e I2 representa o momento principal de inércia mínimo.
Se os eixos principais de inércia, definidos pelo ângulo α definido pela expressão (3.54), contiverem o centro de gravidade, então estes designam-se por eixos principais centrais de inércia.
Note que: O produto de inércia, I12, associado aos eixos principais de inércia é nulo: I12 = 0.
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Capítulo 3
103
3.5.8 Determinação dos eixos principais de inércia por métodos gráficos
3.5.8.1 Círculo de inércia de Land
A partir do conhecimento dos momentos de 2ª ordem (Ix, Iy e Ixy) é possível construir o círculo de Land e definir os momentos de 2ª ordem em relação a outro qualquer sistema de eixos e, inclusive, determinar os eixos que conduzem aos momentos principais de inércia.
Figura 3.22 – Círculo de inércia de Land.
BEDECDBCIIIII
I xyyxyx
x =−+=⋅−⋅−
++
= αα 2sen2cos22' (3.59)
AEDECDACIIIII
I xyyxyx
y =+−=⋅+⋅−
−+
= αα 2sen2cos22' (3.60)
EIIGDGIII
I xyyx
yx =+=⋅+⋅−
= αα 2cos2sen2'' (3.61)
Sabendo que os eixos principais são orientados de forma a que o correspondente produto de inércia é nulo, então a definição das suas orientações no círculo de Land começa por ser feita iniciando com o traçado da linha, onde se mede os momentos de inércia (neste caso I1 e I2), que une o centro do círculo e o ponto principal I. Os eixos principais de inércia são então definidos unindo a origem do sistema de eixos com os pontos onde a linha referida intersecta com a circunferência (ver figura 3.23).
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Geometria de massas
104
Figura 3.23 – Determinação dos eixos principais de inércia pelo círculo de Land.
3.5.8.2 Círculo de inércia de Mohr
O círculo de Mohr, vulgarmente utilizado para estudar estados planos de tensão (σx, σy, τxy), permite também obter os momentos de 2ª ordem em qualquer sistema de eixos ortogonais. A figura 3.24 ilustra como se constrói o círculo de Mohr e como se pode determinar os momentos de 2ª ordem noutro referencial ortogonal qualquer, conhecida a sua orientação, ou como se determina as direcções principais de inércia.
O traçado do círculo de Mohr é obtido, conhecido Ix, Iy e Ixy, percorrendo os seguintes passos:
1º) Traça-se um sistema de eixos ortogonal, em que na abcissa (com sentido positivo para a direita) se marca os valores dos momentos de inércia e nas ordenadas (com sentido positivo para baixo) se marca os valores dos produtos de inércia.
2º) Marca-se o ponto X, por onde passará o eixo OX, com as seguintes coordenadas: abcissa igual a Ix e ordenada –Ixy, ou seja, X(Ix, –Ixy).
3º) Marca-se o ponto I, por onde passará o eixo OY, com as seguintes coordenadas: abcissa igual a Iy e ordenada Ixy, ou seja, Y(Iy, Ixy).
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Capítulo 3
105
4º) O segmento de recta que une os pontos X a Y corresponde ao diâmetro do círculo de Mohr, sendo o seu centro, C, definido pela intersecção do segmento XY com o eixo das abcissas.
5º) Depois de se efectuar o traçado da circunferência, define-se o pólo P (que está associado ao ponto que define a origem dos eixos de inércia representados no círculo de Mohr) fazendo o seguinte: traça-se uma linha paralela ao eixo OX (geralmente horizontal) que passe no ponto X, o pólo P encontra-se no outro ponto de intersecção com a circunferência; ou, em alternativa, traça-se uma linha paralela ao eixo OY (geralmente vertical) que passe no ponto Y, o pólo P encontra-se no outro ponto de intersecção com a circunferência.
Figura 3.24 – Círculo de Mohr.
Os valores dos momentos principais de inércia, I1 e I2, determinam-se medindo a abcissa dos pontos que se encontram na intersecção da circunferência com o eixo das abcissas. Os respectivos eixos principais de inércia são traçados ligando o pólo P com cada um desses pontos de intersecção.
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Geometria de massas
106
3.6 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE ELEMENTOS DE
CONSTRUÇÃO METÁLICA
A determinação da resistência e da deformabilidade de elementos estruturais, vulgarmente utilizados na construção civil, exige o conhecimento das suas características mecânicas associadas à geometria de massas. Dado que as secções correntemente utilizadas em elementos estruturais de construção metálica não apresentam geometrias elementares, é vulgar a utilização de tabelas que indicam os valores associados às diferentes grandezas abordadas neste capítulo. Assim, nesta secção apresenta-se a nomenclatura e as convenções que são utilizadas nas tabelas correntes de perfis (secções) usados na construção metálica e a sua utilização de forma a extrair a informação necessária para as caracterizar mecanicamente.
Os elementos de construção metálica (figura 3.25) consistem em perfis em aço laminado a quente. Os perfis correntemente utilizadas têm a forma de I, L, U, T e Z, para secções abertas (figura 3.26); e, perfis tubulares de secção circular, quadrada ou rectangular (figura 3.27).
Figura 3.25 – Sistemas de eixos de referência segundo o EC3 e EC4.
a) Perfil I b) Perfil L c) Perfil U d) Perfil T e) Perfil Z
Figura 3.26 – Perfis de elementos metálicos de secção aberta.
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Capítulo 3
107
a) Secção circular b) Secção quadrada c) Secção rectangular
Figura 3.27 – Perfis tubulares de elementos metálicos.
As características geométricas destes tipos de perfis encontram-se tabeladas (ver figura 3.28 e anexo 1). O sistema de eixos de referência utilizado nessas tabelas é definido de acordo com as normas europeias de projecto de estruturas, nomeadamente, o Eurocódigo 3 (Projecto de estruturas de aço) e o Eurocódigo 4 (Projecto de estruturas mistas aço-betão). Assim, o sistema de eixos de referência é definido de forma que (ver figura 3.25):
– a sua origem passa pelo centro de gravidade;
– o eixo OY (ou yy na nomenclatura da tabela) é o eixo de maior inércia;
– o eixo OZ (ou zz) é o eixo de menor inércia; e,
– o eixo OX (ou xx) é o eixo longitudinal da barra, perpendicular à secção.
Exemplo:
Determinar o momento de inércia do perfil IPE-140 relativamente ao eixo ∆ que passa pela fibra inferior da secção.
Da tabela que está na figura 3.28 tira-se que: Iy=541cm4, A=16.4cm2 e a distância entre os eixos yy e ∆∆ é
∆−yd =7cm. Então, aplicando o teorema de Steiner, expressão (3.29), calcula-se o momento de inércia I∆:
254
22
m1034.1cm6.1344
74.16541−
∆−∆
×==
=×+=⋅+= yy dAII
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Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da.
Geom
etria de massas
Figura 3.28 – Características geométricas de perfis metálicos do tipo IPE (NP-2116 e DIN-1025).