Propriedades Mecnicas dos Materiais

95 Resoluo: Steven Rger Duarte

PROBLEMAS

3.1. Um cilindro de concreto com 150 mm de dimetro e 300 mm de comprimento de referncia testado

sob compresso. Os resultados do ensaio so apresentados na tabela como carga em relao

contrao. Desenhe o diagrama tenso-deformao usando escalas de 10 mm = 2 MPa e 10 mm = 0,1

(10-3) mm/mm. Use o diagrama para determinar o mdulo de elasticidade aproximado.

Resoluo

Eaprox =

= 26,67 GPa

3.2. Os dados obtidos em um ensaio de tenso-deformao para um material cermico so dados na

tabela. A curva linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em grfico e determine

o mdulo de elasticidade e o mdulo de resilincia.

Resoluo

Eaprox =

= 387,3 GPa

ur =

= 0,0696 MJ/m

Propriedades Mecnicas dos Materiais

96 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.3. Os dados obtidos em um ensaio de tenso-deformao para um material cermico so dados na

tabela. A curva linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em grfico e determine

o valor aproximado do mdulo de tenacidade. A tenso de ruptura r = 373,8 MPa.

Resoluo

ut = 0,595 MJ/m

*3.4. Um corpo de prova de ao com dimetro original de 13 mm e 50 mm de comprimento de referncia

foi submetido a um ensaio de trao. Os dados resultantes so apresentados na tabela. Construa o grfico

do diagrama tenso-deformao e determine os valores aproximados do mdulo de elasticidade, da

tenso de escoamento, do limite de resistncia e da tenso de ruptura. Use uma escala de 10 mm = 209

MPa e 10 mm = 0,05 mm/mm. Desenhe novamente a regio elstica usando a mesma escala de tenso,

mas use uma escala de deformao de 10 mm = 0,001 mm/mm.

Resoluo

Eaprox =

= 260,8 GPa ;

;

Propriedades Mecnicas dos Materiais

97 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.5. A figura apresenta o diagrama tenso-deformao para um ao-liga com 12 mm de dimetro original

e comprimento de referncia 50 mm. Determine os valores para o material, a carga aplicada ao corpo de

prova que causa escoamento e a carga mxima que o corpo de prova suportar.

Resoluo

E =

= 290 GPa ;

Pe = 32,80 kN

Pmx = 62,2 kN

3.6. A figura apresenta o diagrama tenso-deformao para um ao-liga com 12 mm de dimetro original

e 50 mm de comprimento de referncia. Se o corpo de prova for submetido a carga de trao at 500

MPa, determine o valor aproximado da recuperao elstica e do aumento no comprimento de referncia

aps o descarregamento.

Resoluo

E =

= 290 GPa ;

= 1,72414 x 10

-3 mm/mm

= 1,72414 x 10-3

x 50 = 0,08621 mm

Aumento no comprimento = (0,08 0,00172414) x 50 = 3,91379 mm

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98 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.7. A figura apresenta o diagrama tenso-deformao para um ao-liga com 12 mm de dimetro original

e 50 mm de comprimento de referncia. Determine os valores aproximados do mdulo de resilincia e do

mdulo de tenacidade para o material.

Resoluo

ur =

= 0,145 MPa

ut = 33 x 0,04 x 100 = 132 MPa

*3.8. A figura apresenta o diagrama tenso-deformao de uma barra de ao. Determine os valores

aproximados do mdulo de elasticidade, limite de proporcionalidade, limite de resistncia e mdulo de

resilincia. Se a barra for submetida a uma carga de trao de 450 MPa, determine o valor da recuperao

da deformao elstica e da deformao permanente na barra quando descarregada.

Resoluo

; = 325 MPa ; = 500 MPa ;

;

Propriedades Mecnicas dos Materiais

99 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.9. A figura mostra o diagrama - para as fibras elsticas que compem a pele e os msculos dos

seres humanos. Determine o mdulo de elasticidade das fibras e estime os mdulos de tenacidade e de

resilincia.

Resoluo

E =

= 38,5 kPa ; ur =

= 77 kPa

ut = 77 + (385 + 77) x

= 134,75 kPa

3.10. Uma barra de ao A-36 tem comprimento de 1.250 mm e rea de seo transversal de 430 mm.

Determine o comprimento da barra se ela for submetida a uma trao axial de 25 kN. O material tem

comportamento elstico linear.

Resoluo

= 58,14 MPa ; = E =

= 2,907 x 10

-4 mm/mm

L = L0 + L0 = 1.250,363 mm

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100 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.11. O diagrama tenso-deformao para o polietileno que utilizado para revestir cabos coaxiais

determinado por um ensaio com um corpo de prova com comprimento de referncia de 250 mm. Se uma

carga P aplicada ao corpo de prova desenvolver uma deformao = 0,024 mm/mm, determine o valor

aproximado do comprimento do corpo de prova medido entre os pontos de referncia quando a carga

removida. Considere que o corpo de prova se recupere elasticamente.

Resoluo

E =

= 3,5 GPa ; 3,5 x 10

9 =

= 0,01657 mm/mm

L = L0 + L0 = 254,143 mm

*3.12. A figura mostra o diagrama tenso-deformao para fibra de vidro. Se uma barra de 50 mm de

dimetro e 2 m de comprimento fabricada com esse material for submetida a uma carga de trao axial de

60 kN, determine seu alongamento.

Resoluo

=

= 30,56 MPa ; =

= 1,0375 x 10

-2 mm/mm ; = L = 20,8 mm

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101 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.13. A mudana de peso de um avio determinada pela leitura de um extensmetro A montado no

suporte de alumnio da roda do avio. Antes de o avio ser carregado, a leitura do extensmetro no

suporte = 0,00100 mm/mm, ao passo que, aps o carregamento, 2 = 0,00243 mm/mm. Determine a

mudana na fora que age sobre o suporte se a rea da seo transversal dele for 2.200 mm. Eal = 70

GPa.

Resoluo

= 2 - 1 = 0,00243 0,001 = 0,00143 mm/mm ; = Eal = 100,1 MPa

=

P = 220,22 kN

3.14. Um corpo de prova com comprimento original de 300 mm tem dimetro original de 12 mm e

submetido a uma fora de 2,5 kN. Quando a fora aumentada para 9 kN, o corpo de prova sofre um

alongamento de 22,5 mm. Determine o mdulo de elasticidade para o material se ele permanecer elstico.

Resoluo

P = P2 P1 = 9 2,5 = 6,5 kN ; =

= 57,473 MPa ; =

= L = E =

= 766,3 MPa

3.15. Um elemento estrutural de um reator nuclear feito de uma liga de zircnio. Se esse elemento tiver

se suportar uma carga axial de 20 kN, determine a rea da seo transversal exigida. Use um fator de

segurana 3 em relao ao escoamento. Qual a carga sobre o elemento se ele tiver 1 m de comprimento

e seu alongamento for 0,5 mm? Ezr = 100 GPa, e = 400 MPa. O material tem comportamento elstico.

Resoluo

=

Aexig = 150 mm ; =

=

P = 7,5 kN

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102 Resoluo: Steven Rger Duarte

*3.16. O poste sustentado por um pino em C e por um arame de ancoragem AB de ao A-36. Se o

dimetro do arame for 5 mm, determine quanto ele se deforma quando uma fora horizontal de 15 kN agir

sobre o poste.

Resoluo

; =

= 833,4 MPa

-15 x 1,2 + 2,2 x TABsen(30) = 0

= 0,004167 mm/mm

TAB = 16,3636 kN = LAB = 10,586 mm

3.17. A adio de plastificadores ao cloreto de polivinil provoca a reduo de sua rigidez. Os diagramas

tenso-deformao apresentados a seguir mostram tal efeito para trs tipos desse material. Especifique o

tipo que deve ser usado na fabricao de uma haste com 125 mm de comprimento e 50 mm de dimetro

que ter de suportar, no mnimo, uma carga axial de 100 kN e alongar, no mximo, 6 mm.

Resoluo

=

= 50,93 MPa ;

= 0,048 mm/mm

Logo, o material que atende as caractersticas do diagrama tenso deformao o copolmero.

Propriedades Mecnicas dos Materiais

103 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.18. Os cabos de ao AB e AC sustentam a massa de 200 kg. Se a tenso axial admissvel para os

cabos for adm = 130 MPa, determine o dimetro exigido para cada cabo. Alm disso, qual o novo

comprimento do cabo AB aps a aplicao da carga? Considere que o comprimento no alongado de AB

seja 750 mm. Eao = 200 GPa.

Resoluo

WA = mg = 1.962 N

; TAB = 1.280,177 N

- TABcos(60) + 0,6TAC = 0 TABsen(60) + 0,8TAC WA = 0 TAC = 1.066,77 N

=

dAB =

= 3,54 mm ;

dAC =

= 3,23 mm ; LAB = (1 + )LAB = 750,49 mm

3.19. A figura mostra o diagrama tenso-deformao para duas barras de poliestireno. Se a rea da

seo transversal da barra AB for 950 mm e a de BC for 2.500mm, determine a maior fora P que pode

ser suportada antes que qualquer dos elementos sofra ruptura. Considere que no ocorre nenhuma

flambagem.

Resoluo

; =

; P = 99,75 kN

- 1,2P + 1,2(0,6FAB) = 0 0,8FAB Cx = 0

; P = 65,63 kN

FAB = 1,667P Cx = FCB = 1,333P

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104 Resoluo: Steven Rger Duarte

*3.20. A figura mostra o diagrama tenso-deformao de duas barras de poliestireno. Determine a rea da

seo transversal de cada barra de modo que elas sofram ruptura simultnea quando a carga P = 15 kN

aplicada. Considere que no ocorra nenhuma flambagem.

Resoluo

; =

; AAB = 142,86 mm

- 1,2 x 15 + 1,2(0,6FAB) = 0 0,8FAB Cx = 0

; ABC = 571,43 mm

FAB = 25 kN Cx = FCB = 33,33

3.21. A figura apresenta o diagrama tenso-deformao para uma resina de polister. Se a viga for

suportada por uma barra AB e um poste CD, ambos feitos desse material, e for submetida carga P = 80

kN, determine o ngulo de inclinao da viga quando a carga for aplicada. O dimetro da barra 40 mm, e

o dimetro do poste 80 mm.

Resoluo

; E =

= 3,22 GPa AB =

= 0,0098854 mm/mm

FAB + FCD 80 = 0 =

= 31,831 MPa CD =

= 0,00247133 mm/mm

FAB = FCD = 40 kN =

= 31,831 MPa = ABLAB = 19,7708 mm

= CDLCD = 1,235665 mm ; = arctang[( - )/LAC] = 0,708

Propriedades Mecnicas dos Materiais

105 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.22. A figura apresenta o diagrama tenso-deformao para uma resina de polister. Se a viga for

suportada por uma barra AB e um poste CD, ambos feitos desse material, determine a maior carga P que

pode ser aplicada viga antes da ruptura. O dimetro da barra 12 mm, e o dimetro do poste 40 mm.

Resoluo

; =

; =

FAB + FCD P = 0 P = 11,31 kN P = 238,76 kN

FAB = FCD = 0,5P

3.23. A viga sustentada por um pino em C e por um cabo de ancoragem AB de ao A-36. Se o cabo

tiver dimetro de 5 mm, determine quanto ele estica quando um carregamento distribudo w = 1,5 kN/m

agir sobre o tubo. O material permanece elstico.

Resoluo

; =

= 229,18 MPa

- 4,5 x 1,5 + 3FABsen(30) = 0 =

= 1,146 x 10

-3 mm/mm

FAB = 4,5 kN = LAB = 3,970 mm

Propriedades Mecnicas dos Materiais

106 Resoluo: Steven Rger Duarte

*3.24. A viga sustentada por um pino em C e por um cabo de ancoragem AB de ao A-36. Se o cabo

tiver dimetro de 5 mm, determine o carregamento w se a extremidade B for deslocada 18 mm para baixo.

Resoluo

; = arctang

= 0,343776

-1,5 x 3w + 3FABsen(30) = 0 AB =

FAB = 3w AB = 3,4731 m

=

= 2,59471 x 10

-3 mm/mm ; =

= 152.788,745w

= E w = 3,40 kN/m

3.25. s vezes, so instalados indicadores de trao em vez de torqumetros para garantir que um

parafuso tenha a trao prescrita quando utilizado em conexes. Se uma porca do parafuso for apertada

de tal modo que seis cabeas do indicador, cujas alturas originais eram de 3 mm, forem esmagadas at

0,3 mm, deixando uma rea de contato de 1,5 mm em cada cabea, determine a tenso na haste do

parafuso. O diagrama tenso-deformao do material mostrado na figura.

Resoluo

=

= 0,1 mm/mm

Equao da reta que passa pelos pontos (0,0015 mm/mm;450 MPa) e (0,3 mm/mm;600 MPa):

= 502,513 + 449,246

Logo, quando = 0,1 mm/mm; temos: = 502,513(0,1) + 449,246 = 500 MPa

T = 4,50 kN

Propriedades Mecnicas dos Materiais

107 Resoluo: Steven Rger Duarte

PROBLEMAS

3.26. A haste plstica de acrlico tem 200 mm de comprimento e 15 mm de dimetro. Se uma carga axial

de 300 N for aplicada a ela, determine a mudana em seu comprimento e em seu dimetro. Ep = 2,70

GPa, vp = 0,4.

Resoluo

=

= 1,6976 MPa ; long =

= 0,00062874 mm/mm ; = longL = 0,126 mm

v = -

lat = - 0,0002515 mm/mm ; = dlat = - 0,00377 mm

3.27. O bloco feito de titnio Ti-6A1-4V. submetido a uma compresso de 1,5 mm ao longo do eixo y,

e sua forma sofre uma inclinao de = 89,7. Determine x, y e xy.

Resoluo

= - yLy y = - 0,01500 mm/mm ; v = -

x = 0,00540 mm/mm

= 180 - = 90,3 =

- 0,00524 rad

*3.28. Um bloco cilndrico curto de bronze C86.100, com dimetro original de 38 mm e comprimento de 75

mm, colocado em uma mquina de compresso e comprimido at atingir o comprimento de 74,5 mm.

Determine o novo dimetro do bloco.

Resoluo

= L L0 = - 0,5 mm ; y =

= - 6,667 x 10

-3 mm/mm

v = -

x = 2,2667 x 10

-3 mm/mm ; d = d + dx = 38,0861 mm

Propriedades Mecnicas dos Materiais

108 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.29. A figura mostra a poro elstica do diagrama tenso-deformao para um ao-liga. O corpo de

prova do qual ela foi obtida tinha dimetro original de 13 mm e comprimento de referncia de 50 mm.

Quando a carga aplicada ao corpo de prova for 50 kN, o dimetro 12,99265 mm. Determine o coeficiente

de Poisson para o material.

Resoluo

E =

= 200 GPa ; =

= 376,7 MPa ; = Elong long = 1,883 x 10-3

mm/mm

lat =

= - 5,6538 x 10

-4 mm /mm ; v =

= 0,300

3.30. A figura mostra a poro elstica do diagrama tenso-deformao para um ao-liga. O corpo de

prova do qual ela foi obtida tinha dimetro original de 13 mm e comprimento de referncia de 50 mm. Se

uma carga P = 20 kN for aplicada ao corpo de prova, determine seu dimetro e comprimento de referncia.

Considere v = 0,4.

Resoluo

E =

= 200 GPa ; =

= 150,68 MPa ; = Elong long = 7,534 x 10-4

mm/mm

L = L + Llong = 50,0377 mm ;

lat = - 3,0136 x 10

-4 mm/mm ; d = d0 + d0lat = 12,99608 mm

Propriedades Mecnicas dos Materiais

109 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.31. A figura mostra o diagrama tenso-deformao de cisalhamento para um ao-liga. Se um parafuso

de 6 mm de dimetro feito desse material for utilizado em uma junta sobreposta, determine o mdulo de

elasticidade E e a fora P exigida para provocar o escoamento do material. Considere v = 0,3.

Resoluo

=

P = 9,896 kN ;

= 87,5 GPa

G =

E = 227,5 GPa

*3.32. As sapatas do freio do pneu de uma bicicleta so feitas de borracha. Se uma fora de atrito de 50 N

for aplicada de cada lado dos pneus, determine a deformao por cisalhamento mdia na borracha. As

dimenses da seo transversal de cada sapata so 20 mm e 50 mm. Gb = 0,20 MPa.

Resoluo

= 50 kPa ; = G = 0,250 rad

Propriedades Mecnicas dos Materiais

110 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.33. O tampo tem dimetro de 30 mm e ajusta-se ao interior de uma luva rgida com dimetro interno de

32 mm. Ambos, tampo e luva, tm 50 mm de comprimento. Determine a presso axial p que deve ser

aplicada parte superior do tampo para que ele entre em contato com as laterais da luva. Determine

tambm a que distncia o tampo deve ser comprimido para baixo para que isso acontea. O material do

tampo tem E = 5 MPa e v = 0,45.

Resoluo

;

dt = dl latdt + dt = dl p = 741 kPa ; = - 7,41 mm

3.34. O bloco de borracha submetido a um alongamento de 0,75 mm ao longo do eixo x, e suas faces

verticais sofrem uma inclinao de modo que = 89,3. Determine as deformaes x, y e xy. Considere vb = 0,5.

Resoluo

x =

= 0,00750 mm/mm ; v =

y = - 0,00375 mm/mm

=

= 0,0122 rad

Propriedades Mecnicas dos Materiais

111 Resoluo: Steven Rger Duarte

PROBLEMAS DE REVISO

3.35. A figura mostra a poro elstica do diagrama tenso-deformao para uma liga de alumnio. O

corpo de prova usado para o ensaio tem comprimento de referncia de 50 mm e 12,5 mm de dimetro.

Quando a carga aplicada for 45 kN, o novo dimetro do corpo de prova ser 12,48375 mm. Calcule o

mdulo de cisalhamento Gal para o alumnio.

Resoluo

E =

= 81,433 GPa ;

= 366,693 MPa

= 4,503 x 10

-3 mm/mm

lat = - 4,503(10

-3)v

d = d + dlat v = 0,2887 ;

= 31,60 GPa

*3.36. A figura mostra a poro elstica do diagrama tenso-deformao para uma liga de alumnio. O

corpo de prova usado para o ensaio tem comprimento de referncia de 50 mm e 12,5 mm de dimetro.

Quando a carga aplicada 50 kN, determine o novo dimetro do corpo de prova. O mdulo de

cisalhamento Gal = 28 GPa.

Resoluo

E =

= 81,433 GPa ;

= 407,4366 MPa ;

= 5,0032 x 10

-3 mm/mm

lat = - 5,0032(10-3

)v ;

v = 0,454

lat =-5,0032 x 10-3

x 0,454 = - 2,272 x 10-3

mm/mm ; d = d + dlat = 12,4716 mm

Propriedades Mecnicas dos Materiais

112 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.37. O cabeote H est acoplado ao cilindro de um compressor por seis parafusos de ao. Se a fora de

aperto de cada parafuso for 4 kN, determine a deformao normal nos parafusos. Cada um deles tem 5

mm de dimetro. Se e = 280 MPa e Eao = 200 GPa, qual a deformao em cada parafuso quando a

porca desatarraxada, aliviando, assim, a fora de aperto?

Resoluo

= 203,72 MPa ; p = Eao = 0,0010186 mm/mm

Ao desatarraxar a porca, o parafuso volta ao seu tamanho original, pois p e = 0, logo: = 0

3.38. O tubo rgido sustentado por um pino em C e um cabo de ancoragem AB de ao A-36. Se o

dimetro do cabo for 5 mm, determine o quanto ele esticado quando uma carga P = 1,5 kN age sobre o

tubo. O material permanece elstico.

Resoluo

;

= 152,79 MPa

- 2,4 x 1,5 + 2,4TABcos(60) = 0 AB = Eao = 7,64 x 10-4

mm/mm

TAB = 3 kN = LAB = 2,1171 mm

Propriedades Mecnicas dos Materiais

113 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.39. O tubo rgido sustentado por um pino em C e um cabo de ancoragem AB de ao A-36. Se o

dimetro do cabo for 5 mm, determine a carga P se a extremidade B for deslocada 2,5 mm para a direita.

Resoluo

;

= 1,0186 x 10-5

P

- 2,4P + 2,4TABcos(60) = 0 AB = Eao = 5,093 x 10-7

P

TAB = 2P LAB = LAB + LAB = 2,7713 + 1,41075(10-6

)P

=

= 0,059683 ; LAB = = 2,772531 mm

2,7713 + 1,41075(10-6

)P = 2,772531 P = 0,885 kN

*3.40. Ao ser submetido a um ensaio de trao, um corpo de prova de liga de cobre com comprimento de

referncia de 50 mm sofre uma deformao de 0,40 mm/mm quando a tenso de 490 MPa. Se e = 315

MPa quando e = 0,0025 mm/mm, determine a distncia entre os pontos de referncia quando a carga aliviada.

Resoluo

=

= 3,8889 x 10

-3 mm/mm ; p = 0,4 = 0,3961mm/mm

= L + pL = 69,806 mm

Propriedades Mecnicas dos Materiais

114 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.41. O parafuso de 8 mm de dimetro feito de uma liga de alumnio e est instalado em uma luva de

magnsio com dimetro interno de 12 mm e dimetro externo de 20 mm. Se os comprimentos originais do

parafuso e da luva forem 80 mm e 50 mm, respectivamente, determine as deformaes na luva e no

parafuso se a porca do parafuso for apertada de tal modo que a tenso no parafuso seja de 8 kN.

Considere que o material em A rgido. Eal = 70 GPa, Emg = 45 GPa.

Resoluo

= 159,15 MPa ; p = Ealp p = 0,00227 mm/mm

= 39,789 MPa ; l = Emgl l = 0,000884 mm/mm

3.42. Um corpo de prova de ao com dimetro original de 12,5 mm e comprimento de referncia de 50

mm foi submetido a um ensaio de trao. Os dados resultantes do teste so apresentados na tabela.

Construa o diagrama tenso-deformao e determine os valores aproximados do mdulo de elasticidade,

limite de resistncia e tenso de ruptura. Use uma escala de 20 mm = 50 MPa e 20 mm = 0,05 mm/mm.

Desenhe novamente a regio elstica linear usando a mesma escala de tenso, mas uma escala de

deformao de 20 mm = 0,001 mm/mm.

Resoluo

A =

= 1,2272 x 10-4 m

Eaprox =

= 250 GPa

Propriedades Mecnicas dos Materiais

115 Resoluo: Steven Rger Duarte

3.43. Um corpo de prova de ao com dimetro original de 12,5 mm e comprimento de referncia de 50

mm foi submetido a um ensaio de trao. Usando os dados apresentados na tabela, construa o diagrama

tenso-deformao e determine o valor aproximado do mdulo de tenacidade. Use uma escala de 20 mm

= 50 MPa e 20 mm = 0,05 mm/mm.

Resoluo

ut = 188,5 x 25 x 106 x 0,025 = 118 x 10

6

*3.44. Uma haste de lato de 8 mm de dimetro tem mdulo de elasticidade Elat = 100 GPa. Se a haste

tiver 3 m de comprimento e for submetida a uma carga axial de 2 kN, determine seu alongamento. Qual

ser o alongamento se o dimetro for 6 mm?

Resoluo

= 39,7887 MPa ; = Elatlong long = 3,97887 x 10-4

mm/mm

= Llong = 1,193 mm

= 70,7355 MPa ; = Elatlong long = 7,07355 x 10-4

mm/mm

= Llong = 2,122 mm

Propriedades Mecnicas dos Materiais

116 Resoluo: Steven Rger Duarte

Correo

Problema Resposta do livro Correo

3.9 E = 38,5 GPa, ur = 77,00 MPa, ut = 134,75 MPa E = 38,5 kPa, ur = 77,00 kPa, ut = 134,75 kPa