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Capitulo 3 – Resolução de Exercícios

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 17

FORMULÁRIO

Regime de Juros Compostos

S C J 1 1n

nJ C i

1n

nS C i 1

nn

SC

i

1

1n

nSi

C

LN

LN 1

nS

Cn

i

3.7 Exercícios Propostos1

1) Qual o montante de uma aplicação de R$ 100.000,00 aplicados por um prazo de 12

meses, a uma taxa de 5% a.a?

Solução 1

1(1 ) 100000 (1 0,05) $105.000,00n

nS C i S R

2) Qual o capital inicial que deve ser aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., para ao final

de 1 ano e meio gerar R$ 100.000,00?

Solução

18

100000$ 91.413,62

1 1 0,005

n

n

SC C R

i

3) Qual o prazo de uma aplicação a 5% a.m. que dobra seu capital inicial?

Solução

Observe-se que, caso houvesse sido explicitado a adoção da convenção linear, a parte

fracionária f do prazo deveria ser tal que

14

14

21

1 0,052 1 0,05 1 0,05 0,2027

0,05

14 0,2027 14,2027

C C f f

então n meses

1 Na resolução dos problemas propostos considerar anos comerciais de 360 dias e meses de 30 dias,

salvo menção em contrário. Considerar neste capítulo o Regime de Juros Compostos, com a adesão à convenção exponencial, salvo menção explicita de adesão à convenção linear.

2LN LN

LN 2 0,6931514,2067

LN 1 LN 1 0,05 LN 1,05 0,04879

nS C

C Cn n meses

i



4) Qual a taxa de juros anual, a que devemos aplicar um capital inicial para que ele

dobre o seu valor num prazo de 10 anos?

Solução 1 1

1021 1 0,07177 7,177% . .

nnS C

i i a aC C

5) Qual o total de juros acumulado, ao final de 7anos, de uma aplicação de

R$ 20.000,00, à taxa de juros de 5% a.a.?

Solução

7

1 1 20000 1 0,05 1 $ 8,142,01n

nJ C i R

6) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 750.000,00 e após 183 dias

resgatou R$ 1.033.650,00 brutos.

a) Qual foi a taxa mensal de juros composto auferida pelo investidor?

b) Qual a taxa efetiva diária se uma alíquota de 10% de imposto sobre operações

financeiras for aplicada sobre o rendimento auferido, antecipadamente e

postecipadamente?

Solução

a)

1 30

18310336501 1 0,053994 5,3994% . .

750000

nnS

i i ou a mC

b) IOF Antecipada

1 1

183

1033650 750000 283650

0,10 283650 28365

750000 28365 $ 778.365,00

1033650

10336501 1 0,001551 0,1551% . .

778365

n n

líquido

n n

líquido nn

S C J J S C

T t J

Desembolso inicial C T R

S S

Si i ou a d

C T

Deve-se notar que, está sendo admitido que o rendimento é prefixado; sendo,

pois, conhecido na data da aplicação.

IOF Postecipada

1 1

183

1033650 750000 283650

0,10 283650 28365

1033650 28365 1005285

10052851 1 0,001602 0,1602% . .

750000

líquido

n n

líquido nn

l

S C J J S C

T t J

S S T

Si i ou a d

C



7) Qual é o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00, com prazo de 5 meses, à taxa

de juros compostos de 22% a.a., se for pago imposto de renda, com a alíquota de 20%

incidindo sobre os juros, no resgate da aplicação, considerando:

a) a Convenção Exponencial?

b) a Convenção Linear?

Solução

a) Considerando a Convenção Exponencial

5

125/12 5/12

5/12 5/12

5/12 5/12

(1 ) 1 1

1 1 8000 1 0,22 1 691,07

8000 691,07 8691,07

8691,07 0,2 691,07 8552,86

nn

n n

n n n n

n

S C i e J C i

S S T S t J

J C i J

S C J

S S t J

b) Considerando a Convenção Linear

5/12

5/12 5/12

5/12 5/12 5/12

(1 )

58000 0,22 733,33

12

8000 733,33 8733,33

8733,33 0,2 733,33 8586,66

n

n n

n n n n

S C i e J C i n

S S T S t J

J C i n

S C J

S S t J

na parte fracionária

8) Ana colocou R$ 100.000,00 à taxa de juros composto de 1% a.m. pelo prazo de 50 meses.

Entretanto, antes do término do prazo, conseguiu um aumento da taxa para 1,5% a.m.

referente ao restante do prazo. Sabe-se que, no final do período, recebeu um montante de

R$ 190.725,49. Quais foram os prazos em que o capital esteve aplicado à cada uma das

taxas , considerando a Convenção Exponencial?

Solução

1 1

1

1 1 1

1

1 2

50 50

50

(1 ) , 1 1 , 50

1 1 100000 1 0,01 1

1 1 100000 1 0,01 1 0,015 1

nn

n n

n n

n

n n n

n

S C i J C i n n

J C i

J S i

Alternativa 1



1

1 1 1

1 1 1

1

50 50

50

50

100000 190725,49

190725,49 100000 100000 1 0,01 1 100000 1 0,01 1 0,015 1

190725,49 100000 100000 1,01 100000 100000 1,01 1 0,015 1

190725,49 100000 1,01 1 1,01

n

n n n

n n n

n

S J J

1 1 150 505 1 100000 1,01 1,015

n n n

Alternativa 2

1 2

1 1 1 1

50 1 2

50 50

1 2

100000 1 1 190725,49

190725,49 100000 1 1 100000 1,01 1,015

n n

n n n n

S i i

i i

Logo

1 1 1 150 50

1 1

1 1

1

1 1

1,9072549 1,01 1,015 LN 1,9072549 LN 1,01 1,015

LN 1,9072549 LN 1,01 50 LN 1,015

0,64566 0,00995 50 0,01489 0,01489

0,64566 0,00494 0,74450

0,098840,00494 0,09884 20

0,00494

n n n n

n n

n n

n

n n meses

2 30n meses

9) Uma pessoa realizou dois investimentos com o mesmo capital inicial de

R$ 3.000,00, em duas instituições financeiras, no mesmo dia, obtendo taxas de

juros idênticas. Sabendo-se que o prazo total das duas aplicações foi 60 dias; que a

diferença entre os prazos é de 20 dias; e que uma rendeu de juros R$ 806,02 a mais

que a outra, quais foram os prazos das duas aplicações e a taxa de juros diária

obtida.

Solução

1 2

1 2

1 2 2 1

1 2 1 1 1 1 2

40 20

2 1

40 20

40 20

3000 1 1 ; 3000 1 1 ;

20 20

60 20 60 2 40 20 40

806,02 3000 1 1 3000 1 1 806,02

3000 1 1 1 1 806,02

806,021 1 0,

3000

n nJ i J i

n n n n

n n n n n n n

J J i i

i i

i i

2

40 20 20 20

26867

1 1 0,26867 0 1 1 0,26867 0i i i i



20

12

2

1

1,220191 1 4 0,268670,26867 0

0,220192

fazendo y i temos

yy y y

y

y

Como é um número elevado a uma potência inteira par,

ele nunca pode ser negativo. Logo, a segunda raíz deve ser desprezada.

20

201 1,22019 1,22019 1 0,01 1% . .y i i a d

10) Uma aplicação rende 15% a.s. e é taxada pelo Imposto de Operações Financeiras

(IOF), no recebimento do rendimento, a uma alíquota fixa de 1,5% aplicada sobre o

mesmo. Se você aplicou R$ 100.000,00 pelo prazo de um ano, qual a taxa líquida

semestral obtida, considerando que o rendimento líquido obtido no fim do 1º

semestre, foi reaplicado à mesma taxa pelo restante do período?

Solução

O rendimento líquido em cada semestre, do investimento inicial, é dado por:

1 1

1 1 1 100000 1 0,15 1 1 0,015 14775lJ C i t

O rendimento líquido no 2º semestre, do juros líquidos reinvestidos, é dado por:

1 1

1 1 1 14775 1 0,15 1 1 0,015 2183,01l lJ J i t

Logo, no resgate, o aplicador recebe:

1 12 100000 2 14775 2183,01 131733,01nS E J J

O esquema abaixo representa o fluxo de caixa do investimento.

Logo a taxa líquida semestral é dada por:



1 1

2

2 2

131733,011 1 0,14775 14,775 . .

100000

2 14775 2183,010,31733 31,733 .

100000

1 1 1 0,14775 1 0,31733 1,

nn

l

l

s a

Si a s

C

ou

Jurosi a a

Capital

i i

Lógico que estas taxas são equivalentes, já que:

31733

11) Você foi comprar uma geladeira e a loja lhe ofereceu 4 opções:

i. R$ 1.800,00 à vista.

ii. R$ 300,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 600,00.

iii. R$ 500,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 500,00.

iv. 8 prestações mensais e sucessivas de R$ 275,00, com carência de 3 meses.

Pede-se:

a) qual é a melhor opção para você, comprador, considerando uma taxa de juros

composto de 4% a.m. e data focal na data da compra?

b) qual a taxa de juros compostos, que está embutida em cada um dos 3 planos de

compra à prazo?

Solução

A melhor opção para o comprador é a que tem o menor valor presente; isto é, na

data da compra (data focal 0). Calculando os valores atuais das opções, temos:

a) qual é a melhor opção para você, comprador, considerando uma taxa de juros

composto de 4% a.m. e data focal na data da compra?

i. Como o valor é a vista, 1800aVP

ii.

1 2 3

600 600 600300 1965,05

1 0,04 1 0,04 1 0,04bVP

iii.

1 2 3

500 500 500500 1887,55

1 0,04 1 0,04 1 0,04cVP

iv.

3 4 5 6 7

8 9 10

275 275 275 275 275

1 0,04 1 0,04 1 0,04 1 0,04 1 0,04

275 275 2751711,82

1 0,04 1 0,04 1 0,04

dVP



Logo a melhor opção para o comprador é a opção iv.

b) qual a taxa de juros compostos, que está embutida em cada um dos 3 planos de

compra à prazo?

i. Como o valor é à vista, 1800aVP

ii.

1 2 3

600 600 600300 1800 9,701% . .

1 1 1Valor à Vista i a m

i i i

Usando a função IRR da HP 12C, temos os seguintes comandos:

[f] [REG] –1500[CHS][g][CF0 ] 600[g][CFj]3[g][Nj] [f][IRR]9,701

A planilha abaixo mostra o cálculo utilizando a função TIR do Excel

iii.

1 2 3

500 500 500500 1800 7,511% . .

1 1 1Valor à Vista i a m

i i i


[f] [REG] –1300[CHS][g][CF0 ] 500[g][CFj]3[g][Nj] [f][IRR]7,511




iv.

3 4 5 6 7

8 9 10

275 275 275 275 275

1 1 1 1 1

275 275 2751800 3,176% . .

1 1 1

Valor à Vistai i i i i

i a mi i i


[f] [REG] –1800[CHS][g][CF0]0[g][CFj] 2[g][Nj]275[g][CFj]8[g][Nj]

[f][IRR]3,176


12) Pensando nas festas de fim de ano, Fabio pretende depositar R$ 2.000,00 em 05/06 e

R$ 3.000,00 em 05/09. Se o banco usado lhe pagará juros compostos à taxa de 10% ao

trimestre, qual será o valor que Fabio poderá retirar em 05/12?

Solução

2 1

2 2000 1 0,10 3000 1 0,10 $ 5.720,00S R

13) João faz uma aplicação de R$ 500,00, pelo prazo de um ano, à taxa de 18% a.s.. Qual a taxa

de juros ao ano que resultaria no mesmo montante no mesmo período?

Solução

2

2

1

1 500 1 0,18 696,20

696,20696,20 1 696,20 500 1 1 0,39240 39,24% . .

500

n

n s

n

a a a

S C i S

então

C i i i a a



14) O fluxo de caixa da Indústria Zé Bolinha apresenta os pagamentos de R$ 120.000,00 e

R$ 80.000,00, respectivamente, de hoje a 3 e 9 meses. Antevendo dificuldades, o gerente

financeiro, Dr. Araújo, tenta negociar junto à instituição credora essa dívida, na forma de

dois pagamentos iguais vencíveis de hoje a 12 e 15 meses. Supondo que essa renegociação

se faça à taxa de 5%a.t., qual o valor dos novos pagamentos?

Solução

A soma dos valores atuais dos pagamentos originais deve ser igual à soma dos valores

atuais dos pagamentos propostos.

1 3 4 5

120000 80000

1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05

114285,71 69107,01 0,8227 0,78353

183392,721,60623 183392,72 $114.175,88

1,60623

P P

P P

P P R

15) Uma pessoa deve R$ 50.000,00 daqui a 2 meses, R$100.000,00 daqui a 3 meses e

R$20.000,00 daqui a 4 meses. Desejando liquidar esses débitos com um único pagamento

daqui a um mês, qual deverá ser o valor do mesmo, considerando uma taxa de juros

compostos de 10% ao ano, com convenção exponencial?

Solução

A soma dos valores atuais dos pagamentos originais deve ser igual ao valor atual do

pagamento proposto.

2 3 4 1

12 12 12 12

50000 100000 20000

1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1

49212,02 97645,41 19374,59 0,99209

166232,020,99209 166232,02 $167.557,40

0,99209

P

P

P P R

16) Imagine-se o caso de um título de renda fixa, com valor de emissão R$12.000,00,

com prazo de vencimento igual a dois anos, taxa de rendimento bruta 10% . .bi a a ,

e tributo cobrado à alíquota de 10%, sobre cada rendimento; com o título sendo

negociado com deságio de 7%.

a) Considerando que os rendimentos são pagos anualmente, pede-se determinar a taxa

anual de rentabilidade líquida se o tributo não levar em conta o deságio.



b) O tributo levar em conta o deságio, com o rendimento só sendo pago no resgate do

título; ocasião onde é apurado o lucro contábil e cobrado o tributo.

Solução

a)

Não sendo considerado o deságio, para fins do cálculo do tributo, o fluxo de caixa é:

Data 0: 0 1 12000 1 0,07 11160CF E

Data 1: 1 1 12000 0,1 12000 0,1 0,1 $1.080,00CF J T E i E i R

Data 2: 2 1 $13.080,00CF E J T E E i E i R

Sendo que a taxa anual líquida de rentabilidade, ie , é tal que:

2

2

2

2

2

1080 1308011160 0 11160 1 1080 1 13080 0

1 1

1 11160 1080 13080 0

1080 1080 4 11160 13080

2 11160

1080 1080 4 11160 13080 1080 24187,9641,1321

2 11160 2 11160

:

e e

e e

e

i ii i

se y i y y

y

y

obs

só a r

1 1,1321 0,1321 13,21% . .e ey i i ou a a

aiz positiva tem significado financeiro.

b)

2

2 2

2 2 2

2 2

1

1

1 1 12000 1 0,1 1 2520

1 (1 ) 1 1 12000 1,1 1 0,07 3360

0,1 3360 336

1 12000 1 0,1 336 14184

1 0,93 12000 11160

11

b

b

b b

b

n

l

N E i T

R E i

LC E i E E i

T t LC

N E i T

V E

Ni

V

1

241841 0,1274 12,74% .

11160ou a a

17) Seja uma instituição financeira que esteja emitindo títulos com prazo de 2 anos e taxas

brutas de rentabilidade de 18% ao ano.

a) Em sendo cobrado imposto de renda no resgate à uma alíquota de 15%, qual será a

taxa anual de rentabilidade líquida para o investidor?

b) Supondo que o investidor demande uma taxa líquida de rentabilidade de 17 % a.a.,

quanto deverá ser concedido de deságio se o deságio for ou não considerado para fins

de imposto de renda?



Solução

a)

2

2 2

2 2

1 1

2

1 ;

1 1 1 0,18 1 0,3924

0,15 0,3924 0,05886

1 1 0,18 0,05886 1,33354

1,333541 1 0,15479 15,479% .

b

b

b

n

l

N E i T V E

R E i E E

T t R E E

N E i T E E E

N Ei a a

V E

b) Deságio não considerado para fins imposto de renda

2

2 2

2 2

112

1

2

1 ; 1

1 1 1 0,18 1 0,3924

0,15 0,3924 0,05886

1 1 0,18 0,05886 1,33354

1,333541 1

1

1,33354 1,333540,17 1 1,17

1 1

b

b

b

n

l

N E i T V E

R E i E E

T t R E E

N E i T E E E

N Ei

V E

1

22 1,33354

1,171

1,3689 1 1,33354 1,3689 1,3689 1,33354

0,035360,02583 2,583%

1,3689

Deságio considerado para fins imposto de renda

2

2 2

2 2 2

2 2

1 ; 1

1 1 1 0,18 1 0,3924

1 (1 ) 1 1 1,18 1 0,3924

0,15 0,3924 0,05886 0,15

1 1,18 0,05886 0,15 1,33354 0,15

b

b

b b

b

l

N E i T V E

R E i E E

LC E i E E i E E

T t LC E E

N E i T E E E

i

1121,33354 0,15

1 11

n EN

V E



1

22

1,33354 0,15 1,33354 0,150,17 1 1,17

1 1

1,3689 1 1,33354 0,15 1,2189 0,03536

0,035360,02901 2,901%

1,2189

E

E

ou

18) Certo indivíduo, que costuma efetuar empréstimos de curto prazo, cobrando juros

compostos, possui em sua Carteira de Investimentos as seguintes quatro notas

promissórias:

a) A primeira, com valor de face de R$ 1.000,00, termo de 8 meses a juros

compostos de 5% ao mês, sendo datada de 2 meses antes da data de hoje.

b) A segunda, com valor de face de R$ 2.000,00, termo de 10 meses a juros

compostos de 80% ao ano, sendo datada de 3 meses antes da data de hoje.

c) A terceira com valor nominal de R$ 1.500,00, vencendo-se de hoje a 3 meses.

d) A quarta com valor nominal de R$ 3.000,00, vencendo-se de hoje a 6 meses.

Tendo o indivíduo recebido a proposta de vender as quatro notas promissórias

em questão, por R$ 6.400,00, pagáveis à vista, deve ou não aceitar a proposta se,

na data de hoje, consegue fazer empréstimos cobrando a taxa de juros compostos

de:

i. 6% ao mês

ii. 8% ao mês

Solução

Calculando o valor nominal das notas promissórias

8

10

12

1000 1 0,05 1477,46

2000 1 0,8 3264,05

1500

3000

a

b

c

d

N

N

N

N

, seis meses após a data de hoje (0)

, sete meses após a data de hoje (0)

, três meses após a data de hoje (0)

, seis meses após a data de hoje (0)

I. Taxa de 6% ao mês, na data de hoje

O valor atual das notas promissória é:

6 7 3 6

1477,46 3264,05 1500 30006586,64

1 0,06 1 0,06 1 0,06 1 0,06VP

Logo, como R$ 6.586,64 é maior que o valor oferecido, R$ 6.400,00, deve-se recusar a

oferta.



II. Taxa de 8% ao mês, na data de hoje

O valor atual das notas promissória é:

6 7 3 6

1477,46 3264,05 1500 30005916,85

1 0,08 1 0,08 1 0,08 1 0,08VP

Logo, como R$ 5,916,85 é menor que o valor oferecido, R$ 6.400,00, deve-se aceitar a

oferta.

19) Determinada pessoa, ao comprar um carro novo cujo preço é R$ 20.000,00, teve seu carro

usado aceito como entrada. O saldo do preço de venda será pago em cinco prestações

mensais de R$ 2.600,00, a primeira vencendo um mês após a compra. Sabendo-se que a

taxa de juros compostos do financiamento é de 2% a.m., qual o valor da avaliação do carro

usado?

Solução

Na data de hoje, a equação de valor é:

1 2 3 4 5

2600 2600 2600 2600 260020000

1 0,02 1 0,02 1 0,02 1 0,02 1 0,02

20000 2549,02 2499,04 2450,04 2402,00 2354,90 12255,00

20000 12255,00 $ 7.745,00

usado

usado

usado

V

V

V R

20) Uma aplicação no regime de juros compostos durante o prazo de 5 meses, rende juros à

taxa de 22% a.a. e paga imposto de renda igual a 20% dos juros. O imposto é pago no

resgate. Qual o montante líquido de uma aplicação de R$8.000,00?

Solução

5

125/12 1 1 8000 1 0,22 1 691,07

0,2 691,07 138,21

8000 691,07 138,21 8552,86

n

l

J C i

T t J

S C J T

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