CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS

Técnicas de Análise de Circuitos

I. Definições Ramo : caminho que liga 2 nós. Circuito planar : circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ramos de cruzem. Exemplo :

Circuitos planares

1 R

3 R 5 R

2 R

4 R

1 R

3 R

5 R

2 R

4 R

Circuito não planar

II. Método das tensões de nó (análise nodal)

É baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK). Incógnitas são tensões.

No de tensões incógnitas = No de nós – 1 .

Roteiro : a. Converter as resistências em condutâncias ; b. Escolher o nó de referência , atribuindo-lhe tensão nula ; c. Associar a cada nó (exceto o nó de referência, que tem tensão nula)

uma tensão incógnita (tensão de nó); d. Aplicar a LCK em cada nó (exceto no nó de referência) considerando

todas as correntes saindo do nó (por convenção); e. Resolver o sistema de equações.

1. Fontes do circuito: só fontes de corrente

a. Só fontes de corrente independentes

b. Incluindo também fonte de corrente controlada

=

−−

3

6

72

24

2

1

V

V

...

VV

VV

1

2

2

1

==

Nó 1 0)(226 211 =−++− VVV

Nó 2 035)(2 212 =−+− VVV

...

1V 2V

Ω5,0 Ω2,0

Ω5,0

A6 A3−

0S2

S2S5

ABV

A BG

ABV

A BG

i

i

( )AB A Bi GV G V V= = −

( ) ( )AB A B B Ai GV G V V G V V= − = − − = −

2. Fontes do circuito incluem fontes de tensão (dep endentes ou independentes)

a. Todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência

b. Nem todas as fontes de tensão estão ligadas ao n ó de referência

Nó 1

1 1 26 2 2 2 ( ) 0i V V V− − + + − = Nó 2

2 1 22( ) 5 2 3 0V V V i− + + − = i

25i V= −

0,5Ω

Ω5,0

0,2Ω6A 3A−

2V1V

i25S

2S 2S

1 2 1

21 2

4 8 6 4 8 6

2 3 3 2 3 3

V V V

VV V

+ = ⇒ ⇔ = + = − −

...

2

1

6

21

2

V V

V V

=−=

Nó 2

2 1 2 31( ) 6 1( ) 0V V V V− − + − =

Nó 3

3 2 3 41( ) 4 2( ) 0V V V V− − + − =

2

3

6

2

V V

V V

=⇒ =

1V 2V 3V S2S1S1

V2A4−A6V4

4V

1

4

4

2

V V

V V

= = −

Cada fonte de tensão ligada ao nó de referência diminui o número de tensões incógnitas em 1 unidade

1V 2V aI 2xi

S2 A2S1A4V10xi

S2 3V

Solução: considerar a fonte de tensão e os seus 2 nós como um único grande nó (supernó) ⇔ curtocircuitar nós 2 e 3.

II. Método das correntes de malha (análise de malha)

É baseada na Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK). Incógnitas são correntes.

No de incógnitas = No de correntes de malha .

Roteiro :

a. Converter as condutâncias em resistências ; b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horário ; c. Aplicar a LTK em cada malha; d. Resolver o sistema de equações, obtendo o valor das correntes de

malha.

Correntes de ramo , em função das correntes de malha:

1 1

2 2

3 3

4 1 2

5 3 2

i I

i I

i I

i I I

i I I

== −== −= −

Correntes de malha : 1 2 3, ,I I I .

VV 101 = Nó 2

2 1 22( ) 4 1 0aV V V I− − + + = Nó 3

32 2 0aI V− + + =

Problema: não se conhece a corrente aI na fonte de tensão

2

3

2

6

2

8

24x

x

i

V V

V V

i A

P W

= =

⇒ =

=

2 1 2 32( ) 4 1 2 2 0V V V V− − + + + =

No supernó, 232xiVV =−

)(2 21 VVi x −=

=

− 10

22

12

23

3

2

V

V

1I 2I 3I

1i 2i 3i

4i 5i

1. Fontes do circuito: só fontes de tensão

a. Só fontes de tensão independentes

b. Incluindo também fontes de tensão controladas

3 malhas⇒3 correntes incógnitas

⇒1

2

3

25 5 20 50

5 10 4 0

5 4 9 0

I

I

I

− − − = − −

...

1

2

3

29,6

26

28

I A

I A

I A

= = =

Malha 1

1 31 1 1 1 2 30 0R RV V V V R i R i− + + = ⇔ − + + =

Malha 2

3 32 3 2 2 2 30 0R RV V V R i V R i+ − = ⇔ + − =

Mas

1 11 1 1 2 1 2

2 22 3 2 2 2 2

3 1 2

( ) 0

( ) 0

i IV R I R I I

i IV R I R I I

i I I

= − + + − == ⇒ + + − == −

1 2 2 1 1

2 2 3) 2 2

( )

(

R R R I V

R R R I V

+ − ⇒ = − + −

...

Usando correntes de ramos, temos 3 incógnitas e 2 equações.

2 equações, 2 incógnitas

1I 2I

3i

1V

1i

2V

2i 3R1R

2R2RV

2RV1RV

2 malhas⇒2 correntes incógnitas

V50 Ω20

ϕi Ω4Ω5

Ω1

ϕi151I 3I

2I

Malha 1 : 1 2 1 350 5( ) 20( ) 0I I I I−− + − + =

Malha 2 : 2 2 3 2 11 4( ) 5( ) 0I I I I I+ − + − =

Malha 3 : 3 2 3 14( ) 15 20( ) 0I I i I Iϕ− + + − =

1 3i I Iϕ = −

2. Fontes no circuito: incluindo também fontes de c orrente

a. Cada uma das fontes de corrente pertence a uma ú nica malha

Calcular a potência na fonte de tensão:

Malha 2:

2 2 1 1 2 3 22 2( ) 26 1 2( ) 0 4I I I I I I I A+ − − + + − = ⇒ = Potência na fonte de tensão:

1 226( )

26(5 4) 26

P V I I I

W

= + ⋅ = − == − =

⇒Cada fonte de corrente que pertence a uma única malha diminui o número de incógnitas em 1 unidade.

b. Nem todas as fontes de corrente pertencem a uma única malha

Calcular 1V :

Existe uma fonte de corrente que pertence a uma única malha⇒2 incógnitas apenas.

1 4I A=

3 malhas⇒ 3 incógnitas

supermalha

3 malhas⇒3 incógnitas Do circuito, obtém-se imediatamente 1 5I A= e

3 2I A= − .

1Ii

V26

Ω2

Ω3

2I3I

Ω1

Ω2

2I1v

Ω4

Ω1

Ω21V

1I

A4 Ω93I

15V

Malha 2 : 2 1 2 31 4( ) 0I v I I+ + − =

Malha 3 : 3 1 3 2 1 32( ) 4( ) 9 0I I I I v I− + − − + = Problema : não se conhece a tensão na fonte de corrente ( 1v não é incógnita principal do sistema). Solução : considerar a fonte de corrente como um circuito aberto e escrever a LKT na supermalha .

3 1 2 32( ) 1 9 0I I I I− + + =

No interior da supermalha temos:

1 2 35V I I= −

ora 1 1 32( )V I I= − Assim 2 184I A= e 3 16I A= −

IV. Análise nodal ou análise de malhas?

a) Simplificar o circuito, b) determinar o número de equações necessárias utilizando a tabela abaixo. Análise Nodal Análise de Malha Incógnitas

Tensões de nó Correntes de malha

Número de incógnitas

Número de nós –1 Número de malhas

Critério para reduzir o número de incógnitas

Fonte de tensão ligada ao nó de referência

Fonte de corrente que pertence a uma única corrente de malha

Caso especial Fonte de tensão não ligada ao nó de referência ⇒ aplicar conceito de supernó

Fonte de corrente que pertence a duas correntes e malha ⇒ aplicar conceito de supermalha

Obs.: o nó de referência tem que ser colocado de preferência no nó que tem o maior número de fontes de tensão (dependente ou independente) ligado nele.

O método de análise mais adequado será aquele que l eva a escrever o menor número de equações .

Exemplo 1 Determinar a potência na fonte de tensão controlada

Ω300

Ω100 Ω250 Ω500

Ω400 V128V256 Ω200 i50

Ω150

i

Exemplo 2 Determinar 1V e 2V .

Ω4

Ω6

Ω5,2

141,0 V A5,0

2V

Ω5,7 Ω8

28,0 V

Ω2

V193

1V

V. Transformações de fontes 1. Fonte real de tensão

L s V LV V R I= − 2. Fonte real de corrente

1

L s LI

I I VR

= −

sILV

b

a

LR

LI

IRfonte real

fonte ideal de correnteLI

LV

Modelo Característica tensão-corrente

VR

sV LV

b

a

LR

LI

fonte real

fonte ideal de tensão

LI

LV

Característica tensão-corrente Modelo

3. Equivalência de fontes Objetivo : transformar uma fonte real de tensão numa fonte real de corrente ou vice-versa.

• Fonte de tensão fonte de corrente

VR

sV LV

b

a

LR ⇒V

ss R

VI =

b

a

LRVI RR =

• Fonte de corrente fonte de tensão

VR

sIs IRV =LV

b

a

LR⇒sI

b

a

LRIR

Observações :

• A equivalência deve valer para qualquer valor de IR .

• A seta da fonte de corrente sempre aponta do - para + da fonte de tensão equivalente.

b

a1R

2R ⇔

b

a

2R

b

a1R

2R ⇔

b

a1R

VI. Deslocamento de fontes

1. Deslocamento de fonte ideal de corrente

Nó 1: ia = I + i1 Nó 2: ib = I – i2 Nó 3: ic = i2 + i3

Nó 4: id = i4 – i3 Nó 5: ie = i4 – i5 Nó 6: if = i1 – i5

Nó 1: ia = I + i1 Nó 2: ib = I – i2 Nó 3: ic = i2 + i3

Nó 4: id = I-I+i4 – i3 Nó 5: ie = i4 – i5 Nó 6: if =I-I+ i1 – i5

As equações dos dois circuitos acima são iguais, portanto os dois circuitos são equivalentes.

2. Deslocamento de fonte ideal de tensão

Vca = R1i1 + E Vda = R2i2 + E Vea = R3i3 + E

Vca = R1i1 + E Vda = R2i2 + E Vea = R3i3 + E

As equações dos dois circuitos acima são iguais, portanto os dois circuitos são equivalentes.

VII. Circuitos equivalentes de Thèvenin e Norton

1. Circuito equivalente de Thèvenin

A. Objetivo Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de tensão em série com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.

LV

LIa

b

⇔

a

b

LV

LI

THV

THR

Onde

THV é a tensão que aparece entra (a) e (b) com a carga desconectada.

THR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b).

B. Determinação de THV e THR : 1o método

THV : desconectar a carga e determinar a tensão entre os terminais (a) e (b)

CCi : curtocircuitar os terminais (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito no sentido (a) (b)

CC

THTH i

VR =

C. Determinação de THR e THV : 2o método

Objetivo : determinar os valores de THR e THV de tal forma que visto dos terminais (a) e (b) os dois circuitos abaixo são equivalentes.

a

b

⇔

a

b

THV

THR

Redelinear

Então se colocamos nos terminais (a) e (b) uma fonte de corrente de teste com valor TI nos dois circuitos, as tensões abV nos dois circuitos devem ser equivalentes.

Comparando as equações (1) e (2) podemos deduzir que

XRTH =

YVTH =

Observação : se a escolha da direção da corrente na fonte de teste é invertida,

a

b

THV

THR

ABVTI

a

b

ABVTI

Redelinear

ab TH T THV R I V= − + TH

TH

R X

V Y

= −=

a

b

⇔

a

b

THV

THR

Redelinear

ABVTI ABV

TI

ab TV XI Y= + (1) ab TH T THV R I V= + (2)

D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes

a

b

cargaRRedelinear

• Determinação de THV : desconectar a carga e determinar a tensão vista dos terminais (a) e (b).

• Determinação de THR : desconectar a carga e determinar a

resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b) com todas as fontes independentes em repouso.

Fonte de tensão em repouso ⇔ 0=V (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso ⇔ 0=I (circuito aberto).

Exemplo : determinar o equivalente de Thèvenin que alimenta a carga

LR .

a

b

LRΩ6

Ω3 Ω7

V12

2. Circuito equivalente de Norton

A. Objetivo Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de corrente em paralelo com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.

a

b

Redelinear

LI

LV ⇔

a

b

LV

LI

NI NR

Onde: NI é a corrente que vai de (a) para (b) através de um curto-circuito;

NR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b).

B. Determinação de NR e NI : 1o método Idem primeiro do Thèvenin:

CCN iI =

CC

THN i

VR =

C. Determinação de NR e NI : 2o método

De (1) e (2) ⇒ X

RN1= e YI N =

a

b

Redelinear

abI

TV

a

b

NI NR

abI

TV

ab TI XV Y= + (1) 1

ab T NN

I V IR

= + (2)

D. Caso particular: circuito contendo apenas fonte s independentes

Determinação de NR : idem a THR

Determinação de NI : desconectar a carga, curto-circuitar (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito que vai do terminal (a) ao terminal (b). Exemplo :

a

b

LRΩ6

Ω3 Ω7

V12

E. Determinação de NR e NI : 3o método A partir do circuito equivalente de Thèvenin, fazer transformação de fontes.

a

b

TH

THN

R

VI = NR LR

a

b

LRTHV

THR

⇒

VIII. Transferência máxima de potência Objetivo : obter a máxima potência possível de uma rede qualquer.

LRRedelinear LR

LI

THV

THR

⇒ Determinar LR de tal maneira que a potência dissipada nela seja máxima:

22

+==

LTH

THLLLR RR

VRIRP

L

Maximizar LRP ⇔ 0=

L

R

dR

dPL ⇔ THL RR =

Então TH

TH

THTH

THTHmáxR R

V

RR

VRP

L 4

22

, =

+=

Rendimento

LTH

L

THL

THTH

LTH

THL

V

R

RR

R

RR

VV

RR

VR

P

P

TH

L

+=

+⋅

+==

2

η

THR

2

4TH

TH

V

R

LR

LP

Máxima transferência de potência não é necessariamente vantajosa. Ex: sistemas de potência

0,5

THR LR

η

IX. O princípio da superposição Circuito linear : se o circuito é alimentado por mais de uma fonte de energia, a resposta total é igual ao Σ das respostas a cada uma das fontes independentes em repouso. Observações :

Fonte de tensão em repouso ⇔ 0=V (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso ⇔ 0=I (circuito aberto). Fontes controladas não devem ser colocadas em repouso.

Redelinear

V

I

i

Redelinear

Vi

Redelinear

I

i