Capitulo 4

Escoamento

Aulas do Prof Jos Antonio

FENMENOS DE TRANSPORTES - A

ANO : 2015

4.1 - Introduo

Os elementos de um fluido em escoamento podem possuir

diferentes velocidades e podem estar sujeitos a diferentes

aceleraes.

Estudaremos os comportamentos de um fluido em uma condio de

movimento.

Os fluidos contm um nmero de particulas cujas caracteristicas

podem variar continuamente.

4.1.1 - Campo de acelerao

Esta equao representa a variao da acelerao de um fluido no

espao e no tempo.

4.1. 2 - Os tres principios Fundamentais

A teorias da mecnica dos fluidos se baseia em tres principios

consideradods fundamentais para a explicao dos fenmenos a

que esto submetidos os fluidos.;

1. O Principio da Conservao da Massa

A massa que atravessa todas as seces de um tubo de

corrente fluida por unidade de tempo sempre a mesma.

Este principio permite deduzir a equao da continuidade.

representada matemticamente por : = 0

2 A segunda Lei de Newton que diz que a somatria das foras

que agem em uma particula em movimento relativo a um

sistema de referncia fixo, igual taxa de variao da

quantidade de movimento linear.

Matemticamente podemos escrever:

Onde p = m v quantidade de movimentio ou momentum

linear.

3 Primeira Lei da Termidinmica ou lei da conservao da

Energia. Esta lei diz que a energia total do sistema

conservada.

Isto significa dizer que esta lei deve ser satisfeita para todo e

qualquer instante de tempo t (taxas) isto , em qualquer

instante precisaremos ter um equilibrio entre todas as taxas

de energias , medidas em [Joules;/segundo], ou [ Watt ].

Deve satisfazer um equilibrio para qualquer intervalo de tempo

t, ou seja, um equilibrio entre as trocas de quantidades de

energia medidas em Joule.

A nivel de taxas podemos escrever a primeira lei da

termodinamica matemticamente da seguinte forma:

Esta equao nos diz o segjuinte:

A energia que entra no sistema aberto, menos a energia que sai

do sistema aberto, mais a energia gerada dentro do sistema, igual

energia armazenada no sistema.

Se (dE/dt)ARMAZENADA = 0 EARMAZENADA = cte o sistema

chamado de estacionrio ou permanente.

4.1.2.1 - SISTEMA FECHADO

Podemos imaginar um sistema fechado como sendo um volume

com massa M, no espao, e que no troca massa com o meio

exterior, mas podendo trocar energia atravs de suas fronteiras. No

sistema fechado temos uma situa o no instantnea, mas a

variao de energia ocorre em um intervalo de tempo.

Matemticamente para um sistema fechado podemos escrever a

primeira lei da termodinmica da seguinte forma: dQ dW = dE

Esta equao nos diz que a energia que entra menos a que sai,

igual energia armazenada total E do sistema.

Figura 1 - Sistenma Fechado

4.1.2.2 - Sistema Aberto

O sistema aberto tambm chamado de Volume de Controle,

pode ser uma quantidade de volume e massa no espao,

porm ele se comunica com o meio ambiente podendo trocar

massa e energia com o meio,

Aqui no sistema aberto, temos situaao instantnea, isto ; a

energia varia por unidade de tempo.

A equao da primeira lei aplicada a este sistema aberto,

ficar da seguinte forma:

Figura 2 - Sistema Aberto

Lembrete:

Esta equao nos traduz que a energia que est entrando no

sistema junto com a massa por unidadde de tempo, menos a que

est saindo, tambm junto com a massa por unidade de tempo,

mais a energia gerada dentro do sistema, igual energia

acumulada

Na equao acima, :

m = a massa por unidade de tempo (vazo massica)

u = energia interna

pV = energia devida presso

V/S = Energia Cintica

gz = energia potencial em relao a um sistema de referncia.

Se e dE/dt = 0 O sistema estacionrio ou

permanente.

4..2 Classificao dos Escoamentos

Diz-se que um fluido est em escoamento, quando ele est em

movimento. de translao., ou seja, possue velocidade.

O escoamento pode ser:

- Permanente (ou estacionrio)

- Uniforme ou no uniforme

- Laminar ou Turbulento

- Uni bi e tridimensional

Figura 3 Esquema para classificao dos escoamentos

Do diagrama acima, tiramos uma classificao para fluidos e para

escoamentos, a saber:

FLUDOS

Newtonianos e No Newtonianos -

Nesta defini o, separamos os que seguem ( Newtonianos) e os

que no seguem ( No Newtonianos) a Lei de Newton da

viscosidade

Compressiveis e incompressiveis

Nos fluidos compressiveis a massa especifica no constante .

So os gases e vapores.

Nos fluidos incompressiveis (liquidos em geral) podemos considerar

a massa especifica como constante ao longo do escoamento.

Viscosos e No viscosos

Nos viscosos a viscosidade dinmica ( ) n o nula., ou seja

diferente de zero.

Nos fluidos no viscosos esta considera o s feita para

aqueles casos onde a viscosidade tem um valor muito baixo.

Por exemplo: gua.

A viscosidade tabelada. Todos os fluidos t m viscosidade.

Portanto, no existe fluido sem viscosidade. O que se faz ao afirmar

que ela zero apenas para aproxima es permitidas por n o

oferecer resultados que tem influ ncia nos problemas. Portanto, o

uso e considera o de = 0 apenas simplifica o.

ESCOAMENTOS

Permanente -

Uniforme e no uniforme

Uni dimensional, Bi dimensional e tridimensional

Laminar ou Turbulento

4.3 Escoamentos Unidimensionais e Bidimensionais

unidimensional ou unidirecional, quando apenas uma

coordenada suficiente para descrever as propriedades do fluido.

Hipteses prticas:

1 a varia o da sec o transversal muito pequena

2 - o perfil de velocidades no varia ao longo do tubo.

3 - - a velocidade, a press o, e a massa especifica t m varia

es despreziveis para cada seco em cada instante

Figura 4 Escoamento unidimensional

A dire o e a intensidade da velocidade a mesma em cada sec

o e em cada ponto da sec o. Observar que em sec es

diferentes podemos ter velocidades diferentes, porm , na secc o

ela no varia.

No escoamento bidimensional temos a varia o de velocidade em

dois eixos de coordenadas cartesianas.

Figura 5 -Escoamento bidimensional

4.3 Escoamentos Uniformes

Quando a velocidade no varia em dire o e intensidade de ponto

a ponto, ou seja; em cada sec o ela constante.

Figura 6 - Escoamento Uniforme

Observar que o escoamento uniforme unidimensional ou

unidirecional.

Uma forma de entender o escomento uniforme a an lise da

equa o geral da acelera o, que nos mostra como varia a

velocidade num escoamento.

De uma forma generalizada:

No movimento uniforme as derivadas em x , y e z so zero, pois a

velocidade constante na dire o do escoamento e n o tem

componentes nas outras duas dire es.

Observe que no movimento uniforme a velocidade pode variar com

o tempo.

Matemticamente podemos escrever para o movimento uniforme:

a velocidade constante na dire o X

a velocidade n o tem componente em Y

a velocidade n o tem componente em Z

a velocidade varia com o tempo

Consequentemente,

a press o constante na dire o X

a massa especifica constante na dire o X

4.5 Escoamentos Permanentes

Regime em escoamento permanente aquele no qual as condi

es do fluido so invariaveis em cada ponto em rela o ao tempo.

Em cada ponto a velocidade de sucessivos espaos de tempo

constante.

v = constante com o tempo, ou seja, n o muda com o

tempo.

Implica es:

a presso no varia com o tempo.

a massa especifica no varia com o tempo.

Exemplo pr tico, o do tanque de gua que alimentado por um

registro e tem uma saida de tal forma que a vazo de gua que

entra igual vaz o de gua que sai, conforme figura abaixo:

Figura 7 - Tanque alimentado por vazo constante

A quantidade de gua que entra a mesma que est saindo.

Assim, as configura es das propriedades deste fluido em

qualquer ponto, no tempo, so iguais. Portanto, presso, massa

especifica, velocidade, etc. so as mesmas em qualquer instante.

Note que, em cada ponto, as propriedades so diferentes, mas,.no

tempo elas no mudam.

Podemos matemticamente, para um escoamento tridimensional,

escrever:

a velocidade muda com a posi o X

a velocidade muda com a posi o Y

a velocidade muda com a posi o Z

Se fecharmos a torneira ter um movimento VARIADO, pois haver

trambm variao das propriedades com o tempo.

Novamente, tomando-se a equao geral da acelerao:

Agora, a acelerao convectiva diferente de zero, mas a

acelerao total = 0

A velocidade no muda com o tempo.

OS ESCOAMENTOS TRIDIMENSIONAIS E VARIADOS SO

MUITO COMPLICADOS E NO SO OBJETOS DE NOSSO

ESTUDO.

4.6 - A experincia de Reynolds

Osborn Reynolds Fisico e Engenheiro irlandes , em 1883, fez o

seguinte experimento:

Figura 8 - Experimento de Reynolds

Ao abrir um pouco a vlvula (pequenas velocidades de descarga)

forma-se um filete continuo de fluido colorido no eixo do tubo (3). Ao

abrir mais a valvula (5) o filete comea a apresentar ondulaes e

finalmente desaparece.

Como o nvel continua descendo no recipiente (2), conclui-se que o

fluido colorido injetado e totalmente diluido na gua. do tubo (3) .

Estes fatos denotam a existncia de dois tipos de escoamento

separados por um escoamento de transio.

No primeiro caso, (filete colorido) as particulas viajam sem agitao

transversal mantendo-se em lminas sobrepostas sem trocas de

particulas.

No segundo caso as particulas apresentam velocidades

transvesrsais, j que o filete desaparece pela diluio de suas

particulas no volume de gua.

Figura 9 - Escoamentos laminar transio e turbulento

Escoamento Laminar: aquele no qual as particulas se deslocam

em lminas individualizadas, sem troca de massa entre si.

Escoamento turbulento aquele no qual as particulas apresentam

um movimento catico, isto , a velocidade apresenta componentes

transversais ao movimento.

4.6.1. O nmero de Reynolds

Reynolds verificou com seu experimento que para o escoamento

ser laminar ou turbulento dependia do valor de um nmero

adimensional dado por:

lembrete:

onde:

Re nmero de Reynolds

V velocidade do fluido [m/s]

D dimetro do tubo [ m]

viscosidade cinemtica [ m/s]

viscosidade absoluta [ N/ms] ou [ kgf/s.m]

Nota-se que Re depende do conjunto de grandezas V, D e e de

e no somente de cadas um deles.

Assim, Reynolds verificou que:

Re 2000 Escoamento Laminar

2000 < Re < 2300 escoamento de transio

Re 2300 escoamento turbulento

No escoamento turbulento temos flutuaes da velocidade em

cada ponto.

A Tabela abaixo fornece alguns valores para a viscosidade

dinamica de alguns fluidos importantes e usuais na prtica de

engenharia.

Um artificio s vezes possivel de se utilizar na engenharia tirar em

cada ponto uma medida da velocidade ( em vrios pontos) e

considerar que ela no varia no tempo, caracterizando o

escoamento em laminar ou permanente..

Figura 10 - Artificio usado na pratica

A importncia fundamental do Re a possibilidade de se avaliar a

estabilidade do escoamento, podendo obter uma indicao se o

escoamento flui de forma laminar ou turbulenta. O Re constitui a

base do comportamento de sistemas reais, baseado em modelos de

tamanhos reduzidos.

Exemplo: Tunel aerodinmico medem-se esforos em modelos

de asas de avio.

Dois sistemas so dinamicamente semelhantes se o Re for o

mesmo para ambos.

Para aplicaes aerodinmicas o nmero de Reynolds toma a

forma:

Onde

massa especifica do ar

V velocidade da aeronave

corda area mdia do perfil

viscosidade dinamica ou absoluta

Figura 11 Tuinel de Vento com modelos de asas em teste (EMBRAER)

4.7 Tenses de cisalhamento turbulentas Consideremos dois dutos de mesmo dimetro, sendo que em um

temos escoamento turbulento e no outro temos escoamento laminar

Figura 12 Perfil de velocidades laminar e turbulento

Pelo principio da aderncia nas paredes, em ambos os casos v =0.

No caso (a,) - laminar, v (r ) = VMAX ( 1 - r/R ) equao da

curva de velocidades para o caso laminar.

No caso (b) turbulento v(r) = V MAX [1 r/R ]1/7 equao da

curva de velocidades para o caso turbulento.

Vimos na experincia de Reynolds que, para o caso de escoamento

laminar, vimos um movimento retilineo, indicando a no passagem

de particulas na direo transversal, embora a velocidade V

varie com o raio r .

No caso turbulento, houve passagem de particulas na direo

transversal entre as camadas ( aqui falamos em camadas e no em

laminas) ocasionando a turbulncia ( movimento desgovernado

das partriculas ).

Ocorre que, no h passagem apenas de particulas, mas de

quantidade de movimento.

Quando uma particula fluida se desloca de uma camada de menor

velocidade para outra de maior velocidade , ela causa uma

desacelerao nas particulas que a hospedaram, e, vice versa,

aceleram quando migram para uma de maior velocidade,

ocasionando uma certa compensao, e uma certa uniformidade

no perfil deas velocidades., conforme mostrado na figura 13.

Conforme a segunda lei de Newton, a variao de quantidade de

movimento na camada, da origem a uma fra, que, por unidade

de rea tranversal atravessada pelas particulas fluidas, resulta em

uma tenso de cisalhamantoo TURBULENTA.

Tendo em vista a definio de tenso de cisalhamento em funo

de viscosidade e do gradiente de velocidades.

Esta no propriedade do fluido porque depende das condies do

escoamento.

Ela depende da velocidade na camada com valor variando de zero

na parede, at o valor mximo no centro do duto, para voltar a ser

zero na outra parede devido ao principio da aderncia. Como ela

depende de velocidades ela aumenta com o nmero de Reynolds.

Asssim, a tenso de cisalhamento total num escoamento turbulento

dada pela soma da tenso viscosa com a turbulenta.

+

Figura 13 - Variao das tenses viscosas e turbulentas

Figura 14 - Representao Grfica das Tenses no fluido

4.8 - Linhas de Corrente e Tubos de Corrente Trajetria o caminho percorrido por uma particula em instantes sucessivos.

Ligamos cada ponto ocupado pela particula em cada instante, e teremios a

trajetria desta particula. [

A equao da trajetria ser uma funo do ponto inicial e do

tempo inicial (incio da contagemdos tempos)

Figura 15-Representao da trajetria com espao e tempo

Onde tn - t0 = intervalo de tempo de exposio.

LINHA DE CORRENTE A LINHA IMAGINRIA TANGENTE AOS VETORES

VELOCIDADES DE DIFERENTES PARTICULAS NO MESMO INSTANTE.

TRATA-SE DE UM FENOMENO INSTANTNEO.

A visualisao pode ser feita jogando serragem em diversos pontos ao longo

do escoamernto ( utilizando um tubo transparente) e batendo-se uma foto

instantnea .

A serragem, num curto intervalo de tempo, deixar marcado um espao

percorrido que representar o vetor velocidade em cada ponto.

Na trajetria traamos linhas tangentes aos traos de velocidade marcados

pela serragem, e ai teremos uma linha de corrente.

Figura 16 -Resultado de uma foto instantnea

Na equao de uma linha de corrente, diferentemente da trajetria da particula,

o tempo no seria uma variavel, porque o fenomeno se d em um

determinado instante de tempo.

O tubo de corrente um tubo imaginrio formado por n , linhas de corrente..

Ele pode ter a forma que se desejar, porm, com a nica condio de ser

construido por linhas de corrente , num mesmo instante t .

Figura 17 - Representao de um tubo de corrente

As linhas de corrente so consrtruidas a partir de pontos fixos no espao,

atravessados pelo fluido, e , potanto, no acompanham o fluido em seu

movimento.

As particulas fluidas, pelo fato de terem suas velocidades sempre tangentes s

linhas de corrente, elas nunca atravessaro as paredes do tubo de corrente,

ou seja, nunca haver movimento de particulas transversais ao tubo de

corrente. ]

Vale observar que, quando um fluido em movimento ocupa todo o volume

interno de um tubo de paredes rigidas, esse duto pode ser naturalmente

considerado um tubo de corrente.

Num regime permanente (ou estacionrio ) as linhas de corrente podem ser

consideradas linhas fixas no espao formando um tubo de corrente . O fluido

escoa sempre com os mesmos valres de detererminada grandeza associada

partcula fluida, quer seja esta grandeza um escalar, como a presso, a

massa especifica, etc... ou vetorial , como a velocidade, a quantidade de

movimento, a acelerao, etc... sem mudanas com o passar do tempo.

Essas linhas imaginarias, tomadas atravs do fluido, servem para indicar a

direo da velocidade nas diversas seces do escoamento. Uma tangente

curva em qualquer ponto representar a direo instantnea da velocidade das

particulas fluidas naquele ponto.

4.9 Conceito de Vazo

4.9.1 - Vazo em Volume ou Vazo volumtrica

Define-se vazo em volume ou volumtrica Q, como sendo o volume de fludo

que atravessa determinada seco do escoamento, na unidade de tempo.

Matemticamente:

no sistema SI [m/s]

Outras unidades tambm so usuais para vazo: [ m/h] , [ m/min] , [l/s] , [

l/min]

Se uma torneira encher 1 [l] em 5 [s] ; ento a vazo na seco de descarga

da torneira ser de 0.2 [l/s], pos Q = 1/5 [l/s] = 0.2 [l/s]

4.9.2 Vazo em massa ( Qm) e Vazo em Peso ( QG )

a massa de fluido que atravessa uma certa seco do tubo de corrente na

unidade de tempo.

A vazo em peso (QG ) o peso do fluido que atravessa uma certra seco do

tubo de corrente na unidade de tempo.

Asssim temos:

Vazo em massa:

No sitema internacional SI [kg/s]

Vazo em peso:

No sistema internacional SI [ N/s]

As vazes se relacionam entre si segundo a seguinte expresso:

4.10 - Velocidade mdia no escoamento

A velocidade mdia na seco do escoamento uma velocidade ficticia e

uniforme na seco que, quando substitue o perfil real de velocidade na

seco, produzir a mesma vazo em volume.

Asssim, se conhecermos a vazao em volume numa dada seco de area A,

podemos obter a velocidade mdia V pela relao:

Consideremos agora uma seco de um tubo de corrente qualquer em

escoamento..

:

Figura 18 - Elemento infinitesimal de um tubo de corrente

Figura 19 - O Perfil da Velocidade Mdia

Seja dV o volume de fluido que atravessa a area dA no intervalo de tempo dt.

Podemos escrever:

dv = dl. dA

A vazo volumtrica de um elemento infinitesimal ser:

dQ = dV/dt = (dl / dt ) dA

Mas (dl / dt) a velocidade da particula de volume dV que atravessa a area

dA .

Logo:

Onde:

Usamos a integral porque a velocidade varia para cada dA.

Se a velocidade fosse uniforme Q = V.A

Aplicando o conceito de velocidade mdia podemos escrever:

onde

Onde V o perfil de velociodade real.

As seguintes relaes entre vazes podem ainda ser consideradas:

=

EXEMPLO 4.1

Dado um perfil de velocidades, determinar a velocidade mdia.

Esquema:

Supor que no haja variao da velocidade, segundo a direo normal ao

plano do papel.

Soluo

Sendo o diagrama linear, temos a seguiinte representao para esta

distribuio de velocidades:

V = C1y + C2 ( 1 )

Precisaremos agora calcular C1 e C 2 , que so duas constantes.

Aplicando as condies de contorno temos:

Para y = 0 V = 0 C2 = 0

Para y = h V = V0 V0 = C1 h C1 = V0/ h

Substituindso em (1 ) ficar :

Nestas condies a velocidade mdia ser dada por :

, pois dA = b.dy , j substituido dentro da

integral.

Assim,

Em uma representao grfica, teremos:

4.11 - Equao da Continuidade para regime permanente

Esta equao resulta do principio da conservao da Massa. Para o

escoamento permanente, a massa de fluido que passa por todas as seces

de uma corrente de fluido por unidade de tempo a mesma.

Em A1 passa uma vazo massica de valor:

Em A2 passa a vazo

Aplicando para fluidos compressiveis teremos:

definio matemtica da equao da continuidade

= = constante no sistema SI [ kg/s] em unidades inglesas [ lb/s]

Ou, utilizando o peso especifico:

[kgf/s] ou em unidades inglesas [ lbf/s]

Para fluidos incompressiveis, a massa especifica no varia com a distncia

nem com o tempo: , ento podemos cortar a massa especifica, ficando a

equao:

Q = = [ m/s] ou [ft/s] 1 = 2 e w1 = w2

De uma forma geral, para escoamentos permanentes , de um fluido

incompressivel, a equao da continuidade dada por:

An1 V1 = An2 V2 = An3V3 = cte, onde An1, An2,...... etc, representam reas

normais aos respectivos vetores velocidade.

4.11.1. Caso mais complexo. Equao da continuidade para

escoamento tridimensional e varivel

Vamos deduzir a equao continuidade para fluido compressivel, e depois

para incompressivel.

Consideremos tres eixos de coordenmadas cartesianas como referncia para

um sistema infinitesimal de um fluido em movimento, conforme a figura

abaixo :

Figura 20 - Paralelepipedo infinitesimal para deduo da

equao da continuidade

Para o fluido montante, ( lado 1 ) , aplicando a equao da continuidade

temos:

u (dy dz)

Para o fluido jusante (lado 2) , anlogamente , teremos:

+

A diferena entre os fluxos a montante e a jusante ( Qm1 Qm2 ) nos

fornecer o acmulo de energia e massa dentro do volume considerado,

resultando:

[ ( u dy dz dx) ] ( A )

Utilizando o mesmo raciocinio para os eixos y e z, teremos respectivvemente:

Y : [ ( v dy dz dx) ] ( B )

Z : [ ( w dy dz dx) ] ( C )

Lembrando que:

u = dx v = dy w = dz

Somando (A ) + ( B ) + ( C ) teremos o fluxo resultante com os eixos X,Y

e Z.

Ento ficar:

{ [ ( u dy dz dx) ] + [ ( v dy dz dx) ] + [ ( w dy

dz dx) ] } =

u + v + w ] dx dy dz representa o fluxo de massa

resultante.

Considerando agora variao com o tempo, a real variao de massa com o

tempo dentro do paralelepipedo ser:

( dx dy dz ) = ( dx dy dz ) representa a variao de

massa com o tempo.

Pelo principio da conservao da massa, o fluxo resultante igual variao

da massa.

Igualando os termos, vem:

u + v + w ] dx dy dz = ( dx dy dz )

A parcela referente ao volume ( dxdydz ) pode ser cancelada, porque aparece

multiplicando ambos os membros da equao

+ u + v + w = 0 Equao da Continuidade para

um escoamento de fluido compressivel, tridimensional e variado ( no

permanente).

4.11.2 - Equao da continuidade para escoamento em regime

permanente , fluido compressivel e tridimensional

No escoamento permanenente as propriedades no variam com tempo

Logo: = 0 a massa especifica constante porque o escoamento

permanente.

A equao da continuidade ento resulta:

u + v + w = 0

Note que aparece na equao porque ele no varia com o tempo, porm varia com

x,y e z.

Caso dos fluidos compressiveis (gases e vapores).

4.11.3. - Equao da continuidade para fluidos

incompressiveis em regime de escoamento permanente

Como temos fluido incompressivel, no varia, portanto podemos cancelar na

equao acima.

u + v + w = 0

Observar que no temos o termo variando com o tempo. Por se tratar de

escoamento em regime permanente.,.

4.11.4 Equao da Continuidade para escoamento bi-

dimensional, fluido incompressivel e escoamento em regime

permanente

Agora o termo w/z = 0 e novamente no temos variao com o tempo, por

isto /t = 0 porque o fluxo em regime permanente,.

u + v = 0

Notar que no aparece na equao, porque o fluido incompressivel.

4.11.5 Equao da continuidade para escoamento em regime

permanente, fluido incompressivel e unidirecional,

S temos velocidade na direo x e ela constante.

u = 0 significa que a componentre de V em x, ( u ) a prpria

velocidade total que cosntanmte.

v = 0 significa que no tem componente em y

w = 0 significa que no tem componente em z.

EXEMPLO 4.2

Dadas as componentes de velocidade para um fluido incompressivel em

escoamento permanente, verificar se a condio de continuidade satisfeita.,

sendo este escoamento tridimensional.

Dados:

u = 2x - xy + z

v = x - 4 xy + y

w = -2xy yz + y

Soluo

Para escoamento de fluido incompressivel e em regime permanente, e

tridimensional, a equao deduzida para este caso :

u + v + w = 0

= 4x y

= -4x + 2y

= -y

Somando os termos conforme manda a equao da continuidade acima:

( 4x y ) + ( - 4x + 2 y ) + ( -y) = 0

0 = 0 Satisfaz a condio da continuidade.

EXEMPLO 4.3 - Exercicio proposto

Para um escoamento permanente de fluido incompressivel as componentes de

velocidade so dadas por:

U = ( 2x 3y )t

V= (x 2y) t

W =0

Verificar se a condio de continuidade- satisfeita.

Exemplo 4.4

Quando 1800 [l/min] escoam atravs de um tubo de = 200 mm de dimetro ,

que converge para = 100 mm , qual a velocidade mdia em cada uma destas

seces?

Esquema

Soluo

Para operar com unidades coerentes, precisaremos passar a vazo

volumetrica Q de [ l/min] ra [ m/s]

Q = 1800 [l] / [min] = 1800 [l]/60 [s] = (1800/60) x 10-3 [m/s] = 0.030 [m/s]

Velocidade do fluido na seco de diametro de 200 mm

V200 = Q/A = 0.030/(D)/4 = 0.030 x 4 / x (020) [m/s/m] = 0.955 [m/s]

Velocidade do fluido na seco de dimetro 100 mm

V100 = Q/A = 0.030 x 4 / x (0.1) = 3.82 [m/s]

EXEMPLO 4.5 PROPOSTO

Se a velocidade em um tubo de dimetro 350 mm de 0.5 [m/s] qual ser a

velocidade em um jato de = 70 mm de dimetro saindo de um bocal fixado

no tubo?

Esaquema

Soluo

Aeqwuao da contionuidade diz que a vazo que entre igual que sai.

Logo:

A350 .v350 = A0 v70

Substituindo os valores:

[ x(0.350) /4 ]x 0.5 = [ (0.0700\0 x /4 v70

V70 = 12.5 [ m/s]

EXEMPLO 4.6

Em um tubo de 150 mm de dimetro escoa ar sob uma presso manomtrica

de 2 [kgf/cm] e uma temperatura de 27C. Se a presso baromtrica for de 1

[kgf/cm] e a velocidade for de 3 [m/s] quantos quilos de ar por segundo

estaro escoando?

Dado : constante universal para o ar ( tabelado ) a 27C

R = 29.3 [ m/K]

Esquema

Soluo

Queremos a massa por segundo, que a vazo massica.

Pelo principio da continuidade a vazo que entra igual que sai.

Precisaremos da massa especifica nas condies de presso e temperatura

que o ar se encontra.

V = 1/ ( o volume especifico igual ao inverso da massa especifica (Cap 1)

Substituindo P/ = RT P = R T

Como w nmericamente igual , podemos substituir e fazer as contas com

w

P = w R T w = P/RT = (2 +1 ) x 104 / 29.3 x 300 = 3.41 [kgf/m]

A vazo massica ser ento

Qm = w Q = 3.41 var A

Qm = 3.41 [kgf/m] x 3 [m/s] x x ( 0.150) /4 = 0.181 kg/s

Portanto Qm = 0.181 [ kg/s]

Obs . Como o kgf numricamente igual ao kg , ele foi simplesmente

substituido para haver coerncia na resposta do problema.

EXEMPLO 4.7

Ar escoa num tubo convergente,. A rea de maior seco do tubo 20 cm e

a de menor rea de 10 cm. A massa especifica do ar na seco (1) de

0.12 [utm/m], enquanto que na seco (2 ) de 0.09 [utm/m].

Sendo a velocidade na seco (1) 10 m;/s determinar a velocidade na seco (

2) e a vazo em massa.

Dado

1 utm = [ 1 kgf.s/m]

Figura

Soluo

A1 = 20 cm

A2 = 10 cm

1 = 0.12 [ utm/m]

2 = 0.09 utm/ m

V1 = 10 [m/s]

Calculo de v2

Pela equao da continuidade

Qm1 = Qm2

Mas

Qm1 = 1 v1A1

Qm2 = 2v2A2

Iguaalando as vazes massicas teremos:

1 v1A1 = 2v2A2 v2 = 1 v1 A1 / 2 A2

V2 = 0.12 [kgf.s/m4] x 10 [m/s] x 20 x10-4 [m] / 0.09 [kgf.s/m4]x10 x10 -

4[m]

V2 = 26.67 [m/s]

Calculo da vazo massica

Qm1 = 1 v1A1

Substituindio os valores, teremos:

Qm1 = 0.12 [kgfs/m4] x 10 [m/s] x20 x10-4 [m]

Qm1 = 0.023 [kg/s]

4.12 Tubo de Venturi ( Tubo Convergente-divergente)

Consideremos um fluido incopmpressivel escoando por um Vengturi conforme

a figura abaixo:

Figura 21 Tubo de Venturi e as linhas de corrente

Vamos determinar a velocidade mdia na garganta do Venturi.

Pela Contionuidade

Q =QG

Sendo v e vG as ve.locidades mdias nas seces de entrada e na garganta

respectivamente e sendo A e AG as areas nas respectivas seces

transversais, tgeremos:

vA = vGAG

vG = vA/AG

Anlise

A presso na garganta menor devido conservao da Energia, Na

garganta a velocidade maior, As linhas de correnmte convergem para a

garganta e divergem ao passar pela garganta, diminuindo a velocidade at se

normalizar novamente em v ,

Ento, quando as linhas de corrente convergem, haver um aumento de

velocidasde e onde deivergem haver uma reduo de velocidade.

Apicao apropriada para medir vazo de liquido, gas ou vapor. Fabricado em

ao carbono, ou ao inoxidavel

Para se medir vazes se procede da segjuinte forma:

Pela equao da Conservao da Energia (a ser estudado no Capitulo 5)

demonstra-se que

[ m/s]

Assim, a partir de valres geomtricos do tubo, podemos calcular a velocidade

corrente e a vazo volumtrica no tubo.

Uma outra aplicao , usada com os VENTURIS , pelo fato de a presso

diminuir na garganta., (porque aumenta a velocidade e consequetemente

aumenta a energia cintica, logo, para manter a energia tiotal constante

conforme a lei da conservao da enegia, a presso deve diminuir ). a

aplicao como dosador de produtos quimicos em tratamento de gua , pois se

a presso diminue na garganta, o fluxo pode puxar o fluido que passa em

comuinicao com o Venturi, conforme a figura abaixo:

Figura 22 -Aplicao de Venturi em tratamento de gua

FIM