Capítulo 4 Dinâmica dos osciladores lineares discreto e ... · 4.8 Osciladores generalizados de...

UNL FCT DEC Engenharia Sísmica 2001/2002 Acetato Responsável: João P. Bilé Serra

57

Capítulo 4

Dinâmica dos osciladores lineares discreto e contínuo

4.8 Osciladores generalizados de um grau de liberdade.

O caso da viga de Euler-Bernoulli.

Osciladores generalizados com um grau de liberdade

Trata-se de osciladores com propriedades de inércia,

amortecimento e rigidez com distribuição contínua no seu corpo

)y()t(q)t,y(u)y()t(q)t,y(u)y()t(q)t,y(u

φ=φ=φ=

&&&&&&

e nos quais a deformada dinâmica pode ser representada por uma

função de forma )y(φ respeitando as condições de fronteira

cinemáticas (e portanto o campo de deslcoamentos relativos)


58

Por aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais às forças

aplicadas (de inércia, dissipativas e de restituição elástica) e às

deformações resultantes de uma variação infinitesimal (virtual) da

configuração deformada )t(q)y()t,y(u δφ=δ :

PTV (mais concretamente, a sua versão dos deslocamentos

virtuais)

IE WW δ=δ

Trabalho realizado pelas forças exterior, de inércia e

dissipativa ∫ δ++=δ

L

0DIEE dy)y(u)fff(W

Força de inércia

)t,y(u)y(m)t,y(f tI &&−=

Força dissipativa )t,y(u)y(c)t,y(fD &−=

( )∫ δ++−=δL

0gE dy)y(u)t,y(u)y(c))t(u)t,y(u)(y(mW &&&&&

Recordando a definição do campo virtual de deslocamentos:

)t(q)y()t,y(u δφ=δ

qdy)y()y(mudy)y()y(c

dy)y()y(m)t(qW L

0g

L

0

2

L

0

2

E δ

φ+φ

+φ−=δ

∫∫∫

&&

&&


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O trabalho δWI depende do tipo de modelo estrutural adoptado.

Caso da viga com hipótese de Euler-Bernoulli

)t,y(k)y)(EI()t,y(M =

)t,y(u)t,y(k ''=

Trabalho realizado pelo campo de tensões no campo de deformações virtuais

∫ δ=δL

0I dy)y(k)t,y(MW

∫ δ=δL

0yy,yy,I dy)y(u)y(uEIW

Expressando a derivada yy,u e a sua variação virtual yy,uδ em função do campo de deslcoamentos assumido

q)y()y(u)y()t(q)t,y(u

''yy,

''yy,

δφ=δφ=

( ) qdy)y(EI)t(qWL

0

2''I δ

φ=δ ∫


60

( )0q

dy)y()y(mudy)y(EI)t(q

dy)y()y(c)t(qdy)y()y(m)t(q

WW

L

0g

L

0

2''

L

0

2L

0

2

IE

=δ

φ+φ

+φ+φ⇔

⇔δ=δ

∫∫∫∫

&&

&&&

Equação de equilíbrio do OL1GL correspondente ao grau

de liberdade dinâmico )t(q

)t(uL)t(qK)t(qC)t(qM g&&&&& =++

Massa generalizada associada a )t(q

∫ φ=

L

0

2 dy)y()y(mM

Coeficiente generalizado de amortecimento associado a

)t(q

∫ φ=L

0

2 dy)y()y(cC

Coeficiente generalizado de rigidez associado a )t(q

( )∫ φ=L

0

2'' dy)y(EIK


61

Massa generalizada associada à excitação )t(ug&& : L− ∫ φ−=

L

0dy)y()y(mL

Frequência própria associada ao oscilador generalizado definido pela configuração )y(φ

( )

∫∫

φ

φ==ω L

0

2

L

0

2'

2n

dy)y()y(m

dy)y(EI

mK

Equação transformada correspondente à resposta do oscilador generalizado (fictício)

g2nn u

ML)t(q)t(q2)t(q &&&&& =ω+βω+

MK2C β=


72

Aula 12

Aplicação do método de Rayleigh a osciladores discretos

de vários graus de liberdade: o caso do “shear

building”.

Caracterização dos movimentos sísmicos em

Engenharia Sísmica.

Instrumentos de medição.

Quanto à variação no tempo: aceleração de pico,

velocidade de pico, aceleração quadrática média,

intensidade de Arias.


73

“Shear Building” Trata-se de um modelo estrutural simplificado de pórtico plano: simplificadamente, assume-se que a rigidez de flexão das vigas é consideravelmente superior à dos pilares. Como consequência, as

configurações deformadas

podem ser integralmente

descritas pelos deslocamentos

horizontais das travessas (por ex. u1 e u2). Corresponde a um oscilador discreto de vários graus de liberdade. A força de corte entre os

pisos 1i − e i , iV , é dada por 0u,n...,,1i),uu(KKV 0pisos1iiiiii ==−=∆= − .

A energia de potencial de deformação é, assim, dada por:

∑∑=

−=

=−=∆=pisospisos n

1i0

21iii

n

1i

2iiP 0u,)uu(K

21K

21E

Constata-se que a expressão de PE é igual à forma quadrática associada à

matriz de rigidez [ ]K : [ ] [ ][ ]uKu21E T

P = .

Por sua vez, a energia cinética toma a expressão

∑=

=pisosn

1i

2ic um

21E &


74

a qual pode também ser apresentada como a forma quadrática associada à

matriz (diagonal) de massa [ ]M : [ ] [ ][ ]uMu21E T

c &&=

A aplicação do método de Rayleigh permite estimar a frequência própria mais baixa do oscilador (associada ao modo fundamental de vibração):

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]uMu

uKuT

T21 ≈ω

Considerando a idealização da estrutura como um oscilador de um grau de liberdade:

[ ] [ ]φ= )t(q)t(u Como consequência, os valores máximos de iu ocorrem simultâneamente, sendo dados por

[ ] [ ]φ= máxmáx qu

A determinação da resposta )t(q corresponde a resolver a equação

)t(uL)t(qK)t(qC)t(qM g&&&&& =++

sendo, [ ] [ ][ ]φφ= MM T

[ ] [ ][ ]φφ= KK T

[ ] [ ][ ]1MmL Tn

1iii

pisos

φ−=φ−= ∑=

MK2C β=


75

Capítulo 5

Caracterização dos movimentos sísmicos em Engenharia Sísmica

O instrumento fundamental para o conhecimento das características do movimento sísmico é o acelerógrafo (“strong motion”). Trata-se essencialmente de um transdutor correspondendo a um OL1GL com características adequadas para o efeito de medição do movimento.

Esquema simplificado de um acelerógrafo analógico [K p56 S073.pcx]

Os parâmetros desse oscilador são seleccionados de modo a obter uma reprodução fiel do movimento ocorrido. Assim, para os acelerógrafos analógicos tem-se tipicamente Hz25fn = e %60=β , enquanto que para os digitais (mais recentes) se tem Hz50fn = e %70=β . Recordando a função de transferência entre aceleração harmónica imposta )t(ug&& e o deslocamento relativo da massa )t(u (vidé figura seguinte)

( ) ( ) 2n

d2222

nguu

)(R

21

11UU

)(Hg ω

ϖ=

βϖ+ϖ−ω==ω

&&&&

compreende-se que seja possível medir movimentos com conteúdo em frequência correspondendo a 5.0~ <ω , isto é cerca de 13 Hz ou 25 Hz, respectivamente, nos acelerógrafos analógicos e digitais. De facto, tem-se nesta gama de frequências que 1)(H uu g

≈ω&& o que favorece a qualidade

do registo.


76

Função de transferência de aceleração imposta para deslocamento relativo para diversos valores de amortecimento.

[K p58 S072.pcx]


77

Parâmetros de amplitude: valores de pico de aceleração, velocidade e deslocamento

Aceleração de pico máxgua &&= .Reflecte as componentes de

frequência mais elevada do movimento. Trata-se de um parâmetro importante já que está associada à força de inércia máxima introduzida no oscilador, em especial os de frequência própria mais elevada (i.e. as estruturas mais rígidas).

Velocidade de pico máxguv &= . Reflecte as componentes de

frequência intermédia do movimento. Deste modo expressa com mais propriedade o efeito sobre as estruturas mais comuns (com frequências próprias mais baixas, por exemplo, inferiores a 3 Hz). Como além disso, se correlaciona bem com a Intensidade de Mercalli, tem vindo a assumir o papel de parâmetro de amplitude de eleição. Esta correlação permite traduzir a informação pré-instrumental em valores de v.

Deslocamento de pico máxgud = . Parâmetro com medição mais

errónea já que reflecte as componentes de muito baixa frequência, nas quais a precisão dos registos é menor. A dependência de a, v e d relativamente ao conteúdo em frequência do movimento resulta numa relação frequentemente existente entre aquelas

grandezas: 15vda5 2 ≤≤ . Para um movimento harmónico tem-se 1

vda2 = .

Aceleração quadrática média dtuT1a

DT

0

2g

Drms ∫= &&

Intensidade de Arias dtug2

IDT

0

2ga ∫

π= &&


78

Aula 14

Caracterização dos movimentos sísmicos em

Engenharia Sísmica quanto ao conteúdo em frequência:

espectro de Fourier, espectros de resposta em regime

elástico.


79

Espectro de Fourier de uma série cronológica discreta (por exemplo, )t(ug&& .

∑∞

=

π=ω∆

π=ωφ+ω+=

1n nnnnn0g T

2nnT2)tsin(cc)t(u&&

Espectro de Fourier de amplitude: nc

s014.jpg

Espectro de Fourier de fase: nφ

Espectro de resposta (relativo a uma dada grandeza representativa do comportamento do OL1GL) de um certo movimento )t(ug&& é o gráfico )R,T( máxn representando os valores máximos da resposta R de cada oscilador com período próprio nT e fracção de amortecimento crítico β.


80

Espectro de resposta de deslocamento relativo ),T,t(umáx),T(S),T(D ntnd β=β=β

Relaciona-se com o valor máximo da força de restituição elástica KDFmáx = .

Espectro de resposta de velocidade (relativa) ),T,t(umáx),T(S ntnv β=β &

Espectro de resposta de aceleração (total)

),T,t(umáx),T(S nt

tna t β=β &&

Pseudo-espectro de resposta de velocidade

DV),T(S),T(V

n

ndnω=

βω=β

Relaciona-se com a energia potencial de deformação elástica:

22

n

22máxmáxp mV

21Vk

21Dk

21uk

21E =

ω

===

Pseudo-espectro de aceleração

VDA),T(S),T(A

n2n

nd2nn

ω=ω=βω=β

Relaciona-se com o valor máximo da força de restituição elástica e com o valor do denominado coeficiente sísmico

WgAWmAF máx α===

coeficiente sísmico α: proporção entre a força de restituição elástica (estática) equivalente à ocorrência do valor máximo do pseudo-espectro de aceleração e o peso da massa do oscilador.


81

Relação entre espectro de resposta de aceleração (total) e de pseudo-aceleração.

1)t(u2)t(u

)t(u0)t(u)t(u2)t(u

n2n

t

2nn

t

−ω

β−=

ω

=ω+βω+&&&

&&&

0=β AS1)t(u

)t(uta2

n

t=⇒−=

ω&&

No instante em que D)t(u = tem-se 0)t(u =& , logo AS ta =

A relação AS ta = é tão mais representativa quanto menor fôr β e menor Tn (maior ωn)

Relação entre espectro de resposta de velocidade (relativa) e de pseudo-velocidade.


82

Relação entre A,V e D

VlogTlog)2log(Alog

VT2A

n

n+−π=

π=

A isolinha da pseudo-ordenada espectral de aceleração ( cA = )

n

n

n

Tlog'cVlog2clogTlogVlog

VlogTlog)2log(clog

+=

π+=

+−π=

é uma recta de declive igual a 1 num sistema de eixos logarítmicos )V,T( n

n

nTlog)2log(VlogDlog

T2VD

+π−=

π=


83

A isolinha da ordenada espectral de deslocamento ( cD = )

n

n

n

Tlog'cVlog

Tlog2clogVlog

Tlog)2log(Vlogclog

−=

−

π=

+π−=

é uma recta de declive igual a -1 num sistema de eixos logarítmicos )V,T( n .

Equação das isolinhas de V, A e D num sistema de eixos logarítmico (Tn,V): representação trilogarítmica das respostas. Velocidade

'cVlogclogVlogcV =⇔=⇔= recta horizontal de ordenadas iguais a 'c .

Pseudo-aceleração

nTlog'cVlogcA +=⇔= recta de declive igual a 1

Pseudo-deslocamento

nTlog'cDlogcD −=⇔= recta de declive igual a -1

A representação gráfica de uma dada grandeza faz-se na direcção perpendicular à respectiva isolinha, logo a direcção de leitura de cada uma das grandezas V, A e D é:


84

Isolinhas de V, A e D

Esta circunstância permite representar as respostas V, A e D num diagrama de três eixos logarítmicos

Error! Not a valid link. Diagram tri-logarítmico (Tn, V, A, D)


83

0.5

15

1050

100

250 0.150 10 5 1 0.5

0.02 0.1 0.5 1 5 10 200.1

500

100

5010

51

Des

loca

men

to [c

m]

Aceleração [g]

Velo

cida

de [c

m/s

]

Período [s]

Diagram tri-logarítmico (Tn, V, A, D)


84

Aulas 15 e 16

Factores que influenciam as ordenadas espectrais.

Exemplo do pseudo-espectro de aceleração. Intensidade

sísmica baseada na velocidade. Intensidade espectral.

Espectro de dimensionamento. O caso do espectro de

Newmark e Hall


85

Factores que influenciam a ordenada espectral A(Tn,β) A ordenada espectral ),T(A n β reflecte as características do movimento

superficial e pode ser conceptualmente apresentada na seguinte forma:

),T(Aa),T(A nn β=β

em que a

),T(A),T(A nn

β=β representa o pseudo-espectro normalizado

pelo valor da aceleração de pico do solo tendo o significado de pseudo-

amplificação espectral. Logo, tem-se 1),T(Alim n0Tn

=β→

reflectindo o

facto de para osciladores de elevada frequência própria o deslocamento

relativo ser desprezável.

Os principais factores que influenciam a ordenada espectral ),T(A n β

podem ser resumidos na seguinte equação:

),T,Sup,R(A)R,h,M(aA n β=

em que as variáveis têm o seguinte significado:

M – medida da severidade da génese sísmica (habitualmente uma das

definições de magnitude)

h – profundidade focal

R – distância epicentral

Sup – condições geológicas e geotécnicas locais

Influência de M

A magnitude sísmica espelha a energia potencial libertada na ocorrência

sísmica, pelo que, nas mesmas condições relativamente aos outros

factores, se têm valores de pico a crescentes com a magnitude. O efeito de


86

M na forma do pseudo-espectro de amplificação ),T(A n β não é

facilmente equacionável dada a dificuldade em identificar e, por

conseguinte individualizar, o efeito que o mecanismo de génese sísmica

exerce naquela forma.

Influência de h

A profundidade focal desempenha um papel preponderante no padrão do

movimento superficial devido às diferenças existentes entre mecanismos

de génese sísmica profundos e superficiais (inferiores a duas dezenas de

quilómetros).

No entanto tal dependência é presentemente explicitada somente no que

respeita ao valor de pico a, tipicamente através de uma relação inversa do

tipo 0),R(faln >α= α− .

Influência de R

A propagação das ondas sísmicas processa-se com decaímento de

amplitude em resultado da dissipação energética devido à histerese do

meio atravessado (amortecimento de natureza mecânica), ao aumento da

frente de onda (amortecimento de natureza geométrica) e perdas pontuais

no atravessamento de interfaces entre meios de rigidez contrastante

(refracções e reflexões). O carácter dispersivo dos meios atravessados leva

a que a dissipação das ondas se processe com rapidez diferente consoante a

sua frequência: quanto maior a frequência da onda (i.e. menor o seu

comprimento de onda para a mesma velocidade de propagação) maior a

dissipação por unidade de comprimento.


87

Em resumo: A maiores distâncias epicentrais correspondem menores

acelerações de pico e um maior conteúdo relativo para nT crescentes.

Influência de Sup

Como se disse, a propagação das ondas sísmicas desenrola-se,

essencialmente em material rochoso, ao longo de distâncias variáveis

(desde poucos até algumas centenas de quilómetros) num processo

dissipativo que inclui fenómenos pontuais nas interfaces entre meios de

velocidade de propagação contrastantes. Na proximidade da superfície a

existência de formações geologicamente mais recentes (por exemplo

terrenos aluvionares) introduz uma singularidade significativa no processo

de propagação superficial. Em primeiro lugar, a ocorrência de reflexão e

refracção acompanhadas de dissipação energética por fenómenos

essencialmente radiativos. Depois, pelo mecanismo não linear de

propagação nos terrenos recentes, devido ao qual as características em

frequência (espectrais) do trem de ondas são alterados num processo de

filtragem assimilável ao que o movimento imposto na base de um

oscilador linear de um grau de liberdade é sujeito pela função de

transferência do oscilador. A este efeito de concentração do conteúdo em

frequência em redor de certas frequência associadas aos modos de

propagação das ondas nos solos superficiais e do condicionamento dos

valores de pico do movimento dá-se, correntemente, o nome de efeito

sísmico de sítio (cf. acetato 78 e figura abaixo).


88

Ilustração da influência das condições geotécnicas superficiais no deslocamento superficial na Formosa 011.jpg

Influência de Tn

O valor de pico de ),T,t(u n β – determinado através do integral de Duhamel – depende do período próprio nT considerado. Para valores muito pequenos de nT , correspondentes a estruturas pouco esbeltas com

0Tn → , tem-se:

0D)t(u)t(u0)t(u gt →⇔≈⇔≈

e, ainda, 0T2V

n→

π= embora com menor significado e

máxgtmáx

2

nuuD

T2A &&&& →≈

π=


89

Por sua vez, para valores elevados de nT – estruturas esbeltas – tem-se:

1u/D)t(u)t(u0)t(u máx;ggt ≈⇔−≈⇔≈ e, 0D

T2A

2

n→

π=


90

Influência de β

Quanto maior a fracção de amortecimento crítico menor será a amplitude da resposta em deslocamento relativo

222d)2()1(

1)(Rβϖ+ϖ−

=ϖ

e por conseguinte se 12 β>β então n1n2n Tpara),T(A),T(A ∀β<β .

Espectro de resposta de dimensionamento

Um espectro de resposta constitui a assinatura espectral de um dado movimento sísmico e representa o conjunto das respostas de pico de um conjunto de osciladores Para o efeito de dimensionamento, a irregularidade típica de um espectro de resposta – derivada da individualidade e da irregularidade do movimento, a qual limita a sua representatividade estatística –aconselha a que se definam estatisticamente envolventes para o efeito de estabelecer uma configuração espectral com baixa probabilidade de excedência.


91

Esta configuração, o espectro de resposta de dimensionamento, está associada a um conjunto de espectros de resposta os quais se tomam como representativos da sismicidade do local. O espectro de resposta de dimensionamento substitui, assim, a consideração individual de cada espectro na medida em que deles deriva e corresponde a um quantilho superior tido por suficientemente elevado. Um caso particular, de definição particularmente expedita uma vez conhecidos os valores de pico d, v e a, é seguidamente apresentado.

Espectro de resposta de dimensionamento de Newmark e Hall

Este espectro de resposta de pseudo-velocidade é composto por troços rectos no plano definido pelos eixos logarítmicos (Tn,V) os quais reflectem essencialmente três condições chave:

aA0Tn ≈⇒≈ dD0n ≈⇒≈ω

Os valores de pico do movimento dos osciladores resultam da amplificação conferida pela respectiva função de transferência, assim:

AaA α= para períodos baixos (sensíveis à aceleração) vvV α= para períodos intermédios (sensíveis à velocidade) ddD α= para períodos altos (sensíveis ao deslocamento)

Factores de amplificação

Mediana (percentil 50) Mediana+desvio padrão (percentil 84) aα β− ln68.021.3 β− ln04.138.4

vα β− ln41.031.2 β− ln67.038.3

dα β− ln27.082.1 β− ln45.073.2


92

Ponto

Período

[s] Troço D

[m] V

[m/s] A

[m/s2] …A

A2T 2

π A

2Tπ

a

A 331

AB

1mmAA T

2TV +−

π

mmAA TTV −

(1) 1mm

AA TTV2 −−π

B 81

BC

A2T 2

π A

2Tπ

aaα

C

a

vC a

v2Tαα

π=

(3)

CD V

2Tπ

vvα

VT2π

D

v

dD v

d2Tαα

π=

(4)

DE ddα DT2π

DT2 2

π


93

E 10

EF 1m

mEE T

2TV +−

π

mmEE TTV −

(2)

1mmEE TTV2 −−π

F 33

F… d

DT2π

DT2 2

π

(1)

mmAA

AB

ABAA

TTV)T(VTlogTlogVlogVlogm);TlogT(logmVlogVlog

−=−−

=−=−

(2)

mmEE

EF

EFEE

TTV)T(VTlogTlogVlogVlogm);TlogT(logmVlogVlog

−=−−

=−=−

(3)

a

vCv

Ca

aCvC

av2Tv

T2a

aA;vV

αα

π=⇔απ

=α

α=α=

(4)

v

dDd

Dv

adDvD

vd2Td

T2v

dD;vV

αα

π=⇔απ

=α

α=α=

A pseudo-ordenada espectral V relaciona-se directamente com a máxima

energia de deformação elástica armazenada pelo oscilador linear de

período nT . A soma destas energias representa uma medida da severidade

sísmica no que respeita ao comportamento elástico e linear. A tal conceito

corresponde a intensidade espectral de Housner )(SI β definido por:

∫ β=β5.2

1.0nn dT),T(V)(SI

Capítulo 4 Dinâmica dos osciladores lineares discreto e ... · 4.8 Osciladores generalizados de...

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