Capítulo 4 – Função do 2º Grau

• Prof. Daniel Keglis • Matemática

4.1) Definição:

Uma função f: R R chama-se função polinomial do 2º grau quando ela é do tipo f(x) = ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c números reais e a 0.

Exemplos: f(x) = 2x2 - 18 a = 2 , b = 0 e c =-18

f(x) = - 3x2 + 2x a = -3 , b = 2 e c = 0

f(x) = 2x2 +5x -2 a = 2 e b = 5 e c = -2

4.2 Zeros ou raízes da função do 2º grau:

É o valor de x para qual a função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c = 0, se anula, ou seja, quando f(x) = 0.

Exemplo: Seja a função f(x) = x2 - 2x -3 O zero ou raiz da função é determinado igualando a

f(x) a zero. Através da fórmula de Bhaskara encontramos as raízes x = 3 e x = -1

4.3.1 Gráfico da função do 2º grau:

x y (x,y)

-2 5 (-2,5)

-1 0 (-1,0)

0 -3 (0,-3)

1 -4 (1,-4)

2 -3 (2,-3)

3 0 (3,0)

4 5 (4,5)

Veja a representação gráfica da função do 2º grau f(x) = x2 - 2x -3

4.3.1 Gráfico da função do 2º grau:

4.3.2 Concavidades da parábola

• O gráfico da função quadrática será sempre uma parábola com concavidades voltadas para cima ou para baixo. Veja:

a > 0 a < 0

4.3.3 Esboço gráfico da função do 2º grau

No esboço gráfico de uma função quadrática, podem ocorrer os seguintes casos:

4.3.3 Esboço gráfico da função do 2º grau

4.3.3 Esboço gráfico da função do 2º grau

4.3.3 Conclusões (Esboço Gráfico):

• Se a função do 2º grau em estudo tiver ∆ > 0, então terá 2 raízes reais e diferentes (x1 x2).

• Se a função do 2º grau em estudo tiver ∆ = 0, então terá 2 raízes reais e iguais (x1=x2).

• Se a função do 2º grau em estudo tiver ∆ < 0, então não haverá raízes reais.

4.5 Coordenadas do vértice da parábola

O vértice é um ponto notável da parábola muito importante. É ele que determina a inflexão da curva, ou seja, onde ela muda o seu sentido. Usamos as coordenadas Xv e Yv para determinar o vértice da parábola. Essas expressões são obtidas através dos coeficientes da função quadrática.

a

bXv

2

aYv

4

4.6 Valor máximo e valor mínimo da função

Considere as funções do 2º grau cujos os gráficos estão representados abaixo:

4.6 Valor máximo e valor mínimo da função

Examinando os gráficos acima, podemos concluir que:

• Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado de ponto mínimo (Valor Mínimo).

• Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é chamado de ponto máximo (Valor Máximo).

4.7 Pontos Notáveis da Parábola

Para traçar o esboço gráfico de uma parábola, com praticidade, usamos alguns pontos notáveis da parábola.

• Ponto de intersecção da parábola com o eixo x (Raízes da função do 2º grau)

• Ponto de intersecção da parábola com o eixo y. (Ponto 0,c)

• O vértice da parábola. (Xv e Yv).

4.8 Conclusões:

• Observamos que o gráfico de uma função do 2º grau é sempre uma parábola.

• Quando a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima, a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo.

• O coeficiente c é a ordenada do ponto (0,c) onde a parábola intercepta o eixo y.

• O zeros ou raízes da função são o pontos onde a parábola intercepta o eixo x, ou seja, onde f(x) = 0.

4.9 Estudo do Sinal da função do 2º grau

O estudo do sinal de uma função do 2º grau recai sempre em um dos casos a seguir:

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

Para a > 0

4.9 Estudo do Sinal da função do 2º grau

Para a < 0

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

4.9 Aplicações:

• Podemos observar nas figuras abaixo situações de aplicação deste tipo de função: