Cap´ıtulo 4 Fun¸cões Reais de Variável Real: Primitivacão · Cap´ıtulo 4 Fun¸cões...

Capıtulo 4

Funcoes Reais de Variavel Real:

Primitivacao

4.1 Primitivas imediatas

Definicao 4.1.1 Sejam f e F duas funcoes definidas num intervalo I. Diz-se que F euma primitiva de f em I se F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

EXEMPLO 1: Como (sen(x))′ = cos(x) temos que sen(x) e primitiva de cos(x).

EXEMPLO 2: De (x2)′ = 2x concluımos que x2 e primitiva de 2x.

Definicao 4.1.2 Uma funcao f diz-se primitivavel num intervalo I se existir umaprimitiva de f , definida em I.

NOTA: Ha funcoes que nao sao primitivaveis. Por exemplo, a funcao f : R → R definidapor

f(x) =

{0, se x < 21, se x ≥ 2

nao e primitivavel em R. De facto, a existencia de uma funcao F : R → R tal queF ′(x) = f(x), ∀x ∈ R, contradiz o Teorema de Darboux: f nao toma nenhum valor entre0 e 1.

Teorema 4.1.1 Se F e primitiva de f , num intervalo I, entao, qualquer que seja C ∈ R,a funcao G(x) = F (x) + C e tambem primitiva de f em I.

Demonstracao: Basta notar que G′(x) = F ′(x) + C ′ = F ′(x) = f(x).

Teorema 4.1.2 Se F e G sao duas primitivas de f num intervalo I, entao F − G econstante em I.

68 4. Funcoes Reais de Variavel Real: Primitivacao

Demonstracao: Usa-se o Corolario 2 do Teorema de Lagrange, notando que F ′(x) =G′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

NOTAS:

1. Como consequencia dos teoremas anteriores temos que todas as primitivas de f saoda forma F + C com F uma primitiva de f e C ∈ R.

2. Se F e uma primitiva de f no intervalo I, designamos por P f qualquer primitivade f em I, isto e, P f = F + C, com C ∈ R, qualquer.

Geometricamente:

Figura 4.1

Definicao 4.1.3 Chamam-se primitivas imediatas as que se deduzem directamentede uma regra de derivacao.

A partir das regras de derivacao obtem-se facilmente:

Teorema 4.1.3 Sejam f e g duas funcoes primitivaveis num intervalo I e a ∈ R. Entao

a) P a f(x) = aP f(x);

b) P (f(x) + g(x)) = P f(x) + P g(x).

Apresentamos a seguir uma tabela com algumas primitivas imediatas.

f(x) P f(x)

xα, α 6= −1xα+1

α + 1+ C

(u(x))α u′(x), α 6= −1(u(x))α+1

α + 1+ C

1

xlog(|x|) + C

4.1 Primitivas imediatas 69

f(x) P f(x)

u′(x)

u(x)log(|u(x)|) + C

ex ex + C

eu(x) u′(x) eu(x) + C

ax, (a > 0)ax

log(a)+ C

au(x) u′(x), (a > 0)au(x)

log(a)+ C

cos(x) sen(x) + C

cos(u(x)) u′(x) sen(u(x)) + C

sen(x) − cos(x) + C

sen(u(x)) u′(x) − cos(u(x)) + C

1√1 − x2

arc sen(x) + C

u′(x)√

1 − (u(x))2arc sen(u(x)) + C

− 1√1 − x2

arc cos(x) + C

− u′(x)√

1 − (u(x))2arc cos(u(x)) + C

1

1 + x2arc tg(x) + C

u′(x)

1 + (u(x))2arc tg(u(x)) + C

sec2(x) tg(x) + C

sec2(u(x)) u′(x) tg(u(x)) + C


f(x) P f(x)

cosec2(x) −cotg(x) + C

cosec2(u(x)) u′(x) −cotg(u(x)) + C

EXEMPLOS:

P (x2 + x + 1) = Px2 + Px + P1 =x3

3+

x2

2+ x + C;

P cos2(x) = P1 + cos(2x)

2=

1

2(P1 + P cos(2x)) =

1

2

(

x +sen(2x)

2

)

+ C;

P 2x 3√

x2 + 3 = P 2x(x2 + 3)1

3 =(x2 + 3)

1

3+1

13

+ 1+ C =

3

4(x2 + 3)

3√

x2 + 3 + C;

P3x2

x3 + 1= log |x3 + 1| + C;

Pe5x =1

5P 5 e5x =

1

5e5x + C;

P 10x cos(5x2 + 7) = sen(5x2 + 7) + C;

P2

1 + (2x)2= arc tg(2x) + C;

P (cos(x) − 2 e3x) = P cos(x) − 2Pe3x = sen(x) − 2

3e3x + C;

Px2

3√

x3 − 1= P x2(x3 − 1)−

1

3 =1

3· (x3 − 1)−

1

3+1

−13

+ 1+ C =

1

23

√

(x3 − 1)2 + C.

Teorema 4.1.4 Seja f uma funcao primitivavel num intervalo I. Entao, para cadax0 ∈ I e cada y0 ∈ R, existe uma, e uma so, primitiva F de f tal que F (x0) = y0.Em particular, existe uma, e uma so, primitiva de f que se anula em x0.

EXEMPLO 1: Calculemos f sabendo que f ′(x) = x√

x e f(1) = 2.Comecemos por calcular as primitivas F de f ′, pois f e uma dessas funcoes.

F (x) =2

5x

5

2 + C.

4.1 Primitivas imediatas 71

Mas

f(1) = 2 ⇔ 2

5+ C = 2 ⇔ C =

8

5,

portanto, f(x) =2

5x

5

2 +8

5·

EXEMPLO 2: Pretendemos calcular f sabendo que f ′′(x) = 12x2 + 6x − 4, f(0) = 4 ef(1) = 5.

A funcao f pertence ao conjunto das funcoes F tais que

F ′(x) = 4x3 + 3x2 − 4x + C

e, portanto, sera uma funcao da forma F (x) = x4 + x3 − 2x2 + Cx + C1. Como

{f(0) = 4f(1) = 5

⇔{

C1 = 4C = 1

entao f(x) = x4 + x3 − 2x2 + x + 4.


4.2 Metodos gerais de primitivacao: Primitivacao por

partes e por substituicao

Teorema 4.2.1 (Primitivacao por partes) Sejam I um intervalo, F uma primitivade f em I e g uma funcao diferenciavel em I. Entao

P (fg) = F g − P (Fg′)

Demonstracao: Pela regra da derivacao do produto (F g)′ = F ′ g +F g′ = fg +Fg′, o queimplica que fg = (Fg)′ − Fg′ e, portanto, P (fg) = F g − P (Fg′).

EXEMPLO 1: Seja h(x) = x log(x). Calculemos a primitiva de h por partes: considere-mos f(x) = x e g(x) = log(x).

P (x log(x)) =x2

2log(x) − P

(x2

2· 1

x

)

=x2

2log(x) − 1

2P (x) =

x2

2log(x) − x2

4+ C.

EXEMPLO 2: Podemos primitivar a funcao h(x) = log(x) usando este metodo. Sejamf(x) = 1 e g(x) = log(x).

P (log(x)) = P (1. log(x)) = x log(x) − P

(

x1

x

)

= x log(x) − P (1) = x log(x) − x + C.

EXEMPLO 3: Seja h(x) = cos(x) log(sen(x)). Sejam f(x) = cos(x) e g(x) = log(sen(x)).Entao

P (cos(x) log(sen(x))) = sen(x) log(sen(x)) − P

(

sen(x)cos(x)

sen(x)

)

= sen(x) log(sen(x)) − P (cos(x))

= sen(x) log(sen(x)) − sen(x) + C.

EXEMPLO 4: Para calcular a primitiva de h(x) = cos(log(x)) consideremos f(x) = 1 eg(x) = cos(log(x)). Entao

P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + P sen(log(x)).

Esta ultima primitiva calcula-se novamente por partes obtendo-se

P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)) − P cos(log(x)),

e, portanto,2 P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)),

4.2 Primitivacao por partes e por substituicao 73

ou seja,

P (cos(log(x))) =x

2(cos(log(x)) + sen(log(x))) + C.

EXEMPLO 5: Sejam h(x) = log3(x), f(x) = 1 e g(x) = log3(x).

P (1. log3(x)) = x log3(x) − P (3 log2(x)).

Primitivando novamente por partes, e usando o resultado obtido anteriormente paraP (log(x)), obtemos

P (1. log3(x)) = x log3(x) − 3 (x log2(x) − P (2 log(x)))= x log3(x) − 3x log2(x) + 6x log(x) − 6x + C.

Teorema 4.2.2 (Primitivacao por substituicao) Sejam f uma funcao primitivavelnum intervalo J e ϕ uma funcao bijectiva e diferenciavel no intervalo I tal que ϕ(I) = J .Seja Φ(t) = P (f(ϕ(t))ϕ′(t)). Entao a funcao F (x) = Φ(ϕ−1(x)) e uma primitiva de f

em J .

Demonstracao: Seja F uma primitiva de f . Como, por hipotese, x = ϕ(t) temos F (x) =F (ϕ(t)). Pela regra de derivacao da funcao composta

(F (ϕ(t)))′ = F ′(ϕ(t))ϕ′(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t) = Φ′(t),

porque designamos por Φ(t) uma primitiva de f(ϕ(t))ϕ′(t).Como F (ϕ(t)) e Φ(t) sao ambas primitivas de f(ϕ(t))ϕ′(t) sabemos que

F (ϕ(t)) − Φ(t) = C, C constante real,

ou ainda,F (ϕ(t)) = Φ(t) + C,

o que implica queF (x) = Φ(ϕ−1(x)) + C.

EXEMPLO 1: Seja f(x) =x3

√x − 1

. Para calcular a primitiva de f facamos√

x − 1 = t,

isto e, ϕ(t) = 1 + t2 = x.

P (f(ϕ(t)).ϕ′(t)) = P(1 + t2)3

t2t = 2P (1+t2)3 = 2P (1+3t2+3t4+t6) = 2(t+t3+3

t5

5+

t7

7).

Assim,

Px3

√x − 1

= 2

(√x − 1 + (

√x − 1)3 +

3

5(√

x − 1)5 +1

7(√

x − 1)7

)

+ C.


EXEMPLO 2: Consideremos f(x) =1

ex + e−x· Podemos calcular a sua primitiva fazendo

ex = t, isto e, ϕ(t) = log(t).

P (f(ϕ(t)).ϕ′(t)) = P1

t + t−1· 1

t= P

1

1 + t2= arc tg(t).

Consequentemente,P f(x) = arc tg(ex) + C.

NOTA: Usamos, por vezes a notacao

P f(x) = {Pt f(ϕ(t))ϕ′(t)} t=ϕ−1(x) .

4.3 Primitivacao de funcoes racionais 75

4.3 Primitivacao de funcoes racionais

Sejam

P (x) = anxn + · · · + a1x + a0

e

Q(x) = bmxm + · · · + b1x + b0,

n,m ∈ N0, an 6= 0, bm 6= 0, dois polinomios com coeficientes aj, bj ∈ R; n e m os graus

de P e Q, respectivamente.

Definicao 4.3.1 Chama-se funcao racional toda a funcao f : D ⊂ R → R que podeser expressa na forma

f(x) =P (x)

Q(x)

em que P e Q sao polinomios e D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.

Definicao 4.3.2 Dois polinomios P e Q dizem-se iguais, e escreve-se P = Q, se P (x) =Q(x), ∀x ∈ R.

Verifica-se facilmente que, sendo P (x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 e Q(x) = bmxm + · · ·+

b1x + b0, se tem

P (x) = Q(x), ∀x ∈ R ⇔ n = m ∧ an = bm, . . . , a1 = b1, a0 = b0.

Dados dois polinomios P e Q, de graus n e m, respectivamente, n > m, existempolinomios M e R tais que P (x) = M(x) Q(x)+R(x) e grau de R < grau de Q. M diz-seo polinomio quociente e R o polinomio resto.

Definicao 4.3.3 Um polinomio P de grau maior ou igual a 1 diz-se redutıvel se existempolinomios P1 e P2 tais que grau de Pi < grau de P (i = 1, 2) e P (x) = P1(x)P2(x). Opolinomio P diz-se irredutıvel se nao for redutıvel.

E possıvel determinar quais sao precisamente os polinomios irredutıveis. Considere-se,sem perda de generalidade, os polinomios unitarios (com coeficiente an = 1): P (x) =xn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0.

• Todos os polinomios de grau 1, P (x) = x − a, sao irredutıveis.

• Um polinomio de grau 2, P (x) = x2 + bx + c e irredutıvel se, e so se, nao temraızes reais, isto e, b2 − 4ac < 0. Assim os polinomios de grau 2 irredutıveis saoprecisamente os polinomios da forma P (x) = (x − α)2 + β2, α, β ∈ R, β 6= 0,associado as duas raızes complexas conjugadas α ± iβ.


• Os unicos polinomios irredutıveis sao os considerados e mostra-se que todo o po-linomio P (x) com grau maior ou igual a 1 e produto de polinomios irredutıveis:

P (x) = (x − a1)n1 · · · (x − ap)

np [(x − α1)2 + β2

1 ]m1 · · · [(x − αq)

2 + β2q ]

mq

em que ni,mj ∈ N representam o grau de multiplicidade do correspondentefactor em P .

Definicao 4.3.4 Uma funcao racional f(x) =P (x)

Q(x)diz-se irredutıvel se P e Q nao

tiverem raızes comuns.

Dada uma funcao racional irredutıvel, podemos ter dois casos:

1o O grau do polinomio P e maior ou igual ao grau do polinomio Q.

2o O grau do polinomio P e menor do que o grau do polinomio Q.

No primeiro caso, fazendo a divisao dos polinomios obtemos

P (x) = M(x) Q(x) + R(x),

em que M e R sao polinomios, sendo M o quociente e R o resto (que tem grau inferiorao grau de Q). Temos entao

P (x)

Q(x)= M(x) +

R(x)

Q(x)

o que implica que

P

(P (x)

Q(x)

)

= P (M(x)) + P

(R(x)

Q(x)

)

·

A primitiva de M e imediata por ser a primitiva de um polinomio. A segunda e aprimitiva de uma funcao racional, em que o grau do numerador e menor do que o do deno-minador. Concluımos, assim, que basta estudar o caso das funcoes racionais irredutıveisem que o grau do numerador e menor do que o grau do denominador, isto e, ficamosreduzidos ao 2o caso atras considerado. Os teoremas seguintes, que nao demonstraremos,permitem-nos decompor uma funcao racional irredutıvel do 2o caso na soma de funcoesracionais cujas primitivas sao “faceis” de calcular (ou mesmo primitivas imediatas). Aprimitivacao de funcoes racionais irredutıveis fica, pois, completamente resolvida.

Comecemos por analisar os casos em que Q admite apenas raızes reais. Temos oseguinte teorema:

Teorema 4.3.1 SeP (x)

Q(x)e uma funcao racional irredutıvel, se o grau de P e menor que

o grau de Q e se

Q(x) = a0 (x − a1)n1 (x − a2)

n2 . . . (x − ap)np ,


com a1, a2, . . . , ap numeros reais distintos e n1, n2, . . . , np ∈ N, entao a funcao e decom-ponıvel numa soma da forma

P (x)

Q(x)=

An1

(x − a1)n1

+ · · · + A1

x − a1

+ · · · + Bnp

(x − anp)np

+ · · · + B1

x − anp

onde An1, . . . , A1, . . . , Bnp

, . . . , B1 sao numeros reais.

NOTA: Nas condicoes do Teorema 4.3.1, qualquer das parcelas em que se decompoe afuncao tem primitiva imediata:

PA

(x − a)p=

A

1 − p· 1

(x − a)p−1, se p 6= 1

PA

x − a= A log |x − a|

1o caso: Q tem raızes reais de multiplicidade 1, isto e, Q decompoe-se em factores do tipo

x − a com a ∈ R. A cada raiz a de Q associa-se uma parcela do tipoA

x − a, com A

constante a determinar.

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da funcao f definida por f(x) =4x2 + x + 1

x3 − x·

Como o numero de raızes de um polinomio nao ultrapassa o seu grau e x3 − x admiteas raızes x = 0, x = −1 e x = 1, podemos concluir que estas raızes tem multiplicidade 1.Entao

4x2 + x + 1

x3 − x=

A

x+

B

x − 1+

C

x + 1

=A(x2 − 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1)

x3 − x

=(A + B + C)x2 + (B − C)x − A

x3 − x

Pelo metodo dos coeficientes indeterminados temos

A + B + C = 4B − C = 1−A = 1

⇔

B + C = 5B − C = 1A = −1

⇔

B = 3C = 2A = −1

Assim:4x2 + x + 1

x3 − x=

−1

x+

3

x − 1+

2

x + 1


e

P

(4x2 + x + 1

x3 − x

)

= P

(−1

x

)

+ P

(3

x − 1

)

+ P

(2

x + 1

)

= − log |x| + 3 log |x − 1| + 2 log |x + 1| + C

= log

(∣∣∣∣

(x − 1)3

x

∣∣∣∣(x + 1)2

)

+ C.

2o caso: Q tem raızes reais de multiplicidade p, p > 1, isto e, Q admite x − a, coma ∈ R, como divisor p vezes. Na decomposicao, a cada raiz a de Q de multiplicidade p

vai corresponder uma soma de p parcelas com a seguinte forma:

Ap

(x − a)p+

Ap−1

(x − a)p−1+ · · · + A1

x − a,

com Ap, Ap−1, . . . , A1 constantes a determinar.

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da funcao f definida por f(x) =2x3 + 5x2 + 6x + 2

x(x + 1)3·

Como x(x+1)3 admite as raızes x = 0, x = −1 e x+1 aparece 3 vezes na factorizacaodo polinomio, podemos concluir que estas raızes tem multiplicidade 1 e multiplicidade 3,respectivamente. Entao

2x3 + 5x2 + 6x + 2

x(x + 1)3=

A

x+

B

(x + 1)3+

C

(x + 1)2+

D

x + 1

=A(x + 1)3 + Bx + Cx(x + 1) + Dx(x + 1)2

x(x + 1)3

=(A + D)x3 + (3A + C + 2D)x2 + (3A + B + C + D)x + A

x(x + 1)3


A + D = 23A + C + 2D = 53A + B + C + D = 6A = 2

⇔

D = 0C = −1B = 1A = 2

Assim:2x3 + 5x2 + 6x + 2

x(x + 1)3=

2

x+

1

(x + 1)3+

−1

(x + 1)2


e

P

(2x3 + 5x2 + 6x + 2

x(x + 1)3

)

= P

(2

x

)

+ P

(1

(x + 1)3

)

− P

(1

(x + 1)2

)

= 2 log |x| − 1

2

1

(x + 1)2+

1

x + 1+ C

= log (x2) − 1

2

1

(x + 1)2+

1

x + 1+ C.

Vejamos agora os casos em que o polinomio Q admite raızes complexas.



o grau de Q e se α + iβ (α, β ∈ R) e uma raiz de Q, de multiplicidade r, entao

P (x)

Q(x)=

Mr x + Nr

[(x − α)2 + β2]r+ · · · + M1 x + N1

(x − α)2 + β2+

H(x)

Q∗(x)

onde H e Q∗ sao polinomios tais que o grau de H e menor que o grau de Q∗, Mr,

Nr, . . . ,M1, N1, sao numeros reais e nem α + iβ nem α− iβ sao raızes do polinomio Q∗.

1o caso: Q tem raızes complexas de multiplicidade 1, isto e, Q admite como divisorespolinomios de grau 2, (uma unica vez cada polinomio), que nao tem raızes reais. Nadecomposicao, a cada par de raızes (α + iβ, α − iβ) vai corresponder uma parcela com aseguinte forma:

Ax + B

(x − α)2 + β2

com A e B constantes a determinar.

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da funcao f definida por f(x) =x2 + 2

(x − 1)(x2 + x + 1)·

Como

(x − 1)(x2 + x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1

2± i

√3

2

podemos concluir que estas raızes tem multiplicidade 1. Entao

x2 + 2

(x − 1)(x2 + x + 1)=

A

x − 1+

Bx + C

(x + 12)2 + 3

4

=A(x2 + x + 1) + (Bx + C)(x − 1)

(x − 1)(x2 + x + 1)

=(A + B)x2 + (A − B + C)x + A − C

(x − 1)(x2 + x + 1)



A + B = 1A − B + C = 0A − C = 2

⇔

A = 1B = 0C = −1

Assim:x2 + 2

(x − 1)(x2 + x + 1)=

1

x − 1+

−1

(x + 12)2 + 3

4

e

P

(x2 + 2

(x − 1)(x2 + x + 1)

)

= P

(1

x − 1

)

+ P

( −1

(x + 12)2 + 3

4

)

= log |x − 1| − P

(1

(x + 12)2 + 3

4

)

.

A primitiva

P

(1

(x + 12)2 + 3

4

)

calcula-se fazendo a substituicao x +1

2=

√3

2t, isto e, ϕ(t) =

√3

2t − 1

2· (No caso geral,

sendo a + ib a raiz, a substituicao e x − a = bt). Entao

Pf(ϕ(t)).ϕ′(t) = P

(

1

(√

32

t)2 + 34

·√

3

2

)

=2√3P

1

t2 + 1=

2√3arc tg(t),

portanto,

P

(1

(x + 12)2 + 3

4

)

=2√3arc tg

(2√3x +

1√3

)

.

Finalmente,

Pf(x) = log |x − 1| − 2√3arc tg

(2√3x +

1√3

)

+ C.

2o caso: Q tem raızes complexas de multiplicidade p, p > 1, isto e, Q admite como divisorespolinomios de grau 2 que nao tem raızes reais, aparecendo p vezes cada polinomio nafactorizacao de Q. Na decomposicao, a cada par de raızes (α+iβ, α−iβ) vai corresponderuma soma de parcelas com a seguinte forma:

Apx + Bp

((x − α)2 + β2)p+

Ap−1x + Bp−1

((x − α)2 + β2)p−1+ · · · + A1x + B1

(x − α)2 + β2

com Ap, Ap−1, . . . , A1, Bp, Bp−1, . . . , B1 constantes a determinar.

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da funcao f definida por

f(x) =x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7

(x − 1)(x2 + 2)2·


Como(x − 1)(x2 + 2)2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = ±i

√2

e (x − 1)(x2 + 2)2 tem grau 5, podemos concluir que estas raızes tem multiplicidade 1 emultiplicidade 2, respectivamente. Entao

x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7

(x − 1)(x2 + 2)2=

A

x − 1+

Bx + C

(x2 + 2)2+

Dx + E

x2 + 2

=A(x2 + 2)2 + (Bx + C)(x − 1) + (Dx + E)(x − 1)(x2 + 2)

(x − 1)(x2 + 2)2


A = 1B = 1C = −1D = 0E = −1

Assim:x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7

(x − 1)(x2 + 2)2=

1

x − 1+

x − 1

(x2 + 2)2+

−1

x2 + 2

e

P

(x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7

(x − 1)(x2 + 2)2

)

= P

(1

x − 1

)

+ P

(x − 1

(x2 + 2)2

)

+ P

( −1

x2 + 2

)

= log |x − 1| + P

(x − 1

(x2 + 2)2

)

− P

(12

1 + x2

2

)

= log |x − 1| + P

(x − 1

(x2 + 2)2

)

− 1√2P

1√2

1 +(

x√2

)2

= log |x − 1| + P

(x − 1

(x2 + 2)2

)

− 1√2

arc tg

(x√2

)

.

A primitiva

P

(x − 1

(x2 + 2)2

)

= P

(

x − 1

(x2 +√

22)2

)

calcula-se fazendo a substituicao x =√

2 t, isto e, ϕ(t) =√

2 t. Entao


Pf(ϕ(t)).ϕ′(t) = P

( √2 t − 1

(2t2 + 2)2·√

2

)

=

√2

4P

(√2 t − 1

(t2 + 1)2

)

=

√2

4P

( √2 t

(t2 + 1)2− 1

(t2 + 1)2

)

=

√2

4

(

P

√2 t

(t2 + 1)2− P

1

(t2 + 1)2

)

=

√2

4

(√2

2P 2t(t2 + 1)−2 − P

1

(t2 + 1)2

)

=

√2

4

(

−√

2

2(t2 + 1)−1 − P

1 + t2 − t2

(t2 + 1)2

)

= −1

4

1

t2 + 1−

√2

4

(

P1 + t2

(t2 + 1)2− P

t2

(t2 + 1)2

)

= −1

4

1

t2 + 1−

√2

4

(

P1

t2 + 1− P

t

2

2t

(t2 + 1)2

)

= −1

4

1

t2 + 1−

√2

4

(

arc tg(t) −(

− 1

t2 + 1

t

2+ P

1

2

1

t2 + 1

))

= −1

4

1

t2 + 1−

√2

4arc tg(t) −

√2

4

t

2(t2 + 1)+

√2

8arc tg(t)

= −√

2t + 2

8(t2 + 1)−

√2

8arc tg(t),

portanto,

P

(x − 1

(x2 + 2)2

)

= − x + 2

4(x2 + 2)−

√2

8arc tg

(x√2

)

.

Finalmente,

Pf(x) = log |x − 1| − 5√

2

8arc tg

(x√2

)

− x + 2

4(x2 + 2)+ C.


NOTA: SeP (x)

Q(x)admite uma decomposicao da forma que aparece neste teorema, a sua

primitiva pode ser calculada recorrendo a primitivas de funcoes da forma

Ax + B

(x − α)2 + β2e

Cx + D

[(x − α)2 + β2]p, p > 1.

Temos no primeiro caso, usando a substituicao x − α = βt,

PAx + B

(x − α)2 + β2=

{

Pt

A(α + βt) + B

β2t2 + β2· β

}

t= x−αβ

Pt

A (α + βt) + B

β2t2 + β2· β = P

A α + B + A βt

β(t2 + 1)

= PA α + B

β(t2 + 1)+ P

A βt

β(t2 + 1)

=A α + B

βP

1

t2 + 1+ A P

t

t2 + 1

=A α + B

βarctg(t) +

A

2log(t2 + 1)

Portanto,

PAx + B

(x − α)2 + β2=

A α + B

βarctg

(x − α

β

)

+A

2log

[(x − α

β

)2

+ 1

]

+ C.

No segundo caso, usando a mesma substituicao,

PCx + D

[(x − α)2 + β2]p=

{

Pt

C(α + βt) + D

(β2t2 + β2)p· β

}

t= x−αβ

.

Pt

C (α + βt) + D

(β2t2 + β2)p· β = P

C α + D + C βt

β2p−1(t2 + 1)p

= PC α + D

β2p−1(t2 + 1)p+ P

C βt

β2p−1(t2 + 1)p

=C α + D

β2p−1P

1

(t2 + 1)p+

C

β2p−2P

t

(t2 + 1)p

=C α + D

β2p−1P

1

(t2 + 1)p− C

2β2p−2· 1

p − 1· 1

(t2 + 1)p−1


Resta-nos calcular P1

(t2 + 1)p·

Mas

1

(t2 + 1)p=

1 + t2 − t2

(t2 + 1)p=

1

(t2 + 1)p−1− t2

(t2 + 1)p

o que implica que

P1

(t2 + 1)p= P

1

(t2 + 1)p−1− P

t2

(t2 + 1)p

= P1

(t2 + 1)p−1− P

t

2· 2t

(t2 + 1)p

= P1

(t2 + 1)p−1+

t

2(p − 1)(t2 + 1)p−1− P

1

2(p − 1)(t2 + 1)p−1

=t

2(p − 1)(t2 + 1)p−1+

2p − 3

2p − 2P

1

(t2 + 1)p−1,

isto e, o calculo da primitiva de1

(t2 + 1)pficou apenas dependente do calculo da primitiva

de1

(t2 + 1)p−1, que por sua vez pode, de modo analogo, fazer-se depender do calculo da

primitiva de1

(t2 + 1)p−2, e assim sucessivamente ate chegarmos a primitiva de

1

1 + t2que

e imediata.



o grau de Q e se

Q(x) = a0 (x − a)p · · · (x − b)q[(x − α)2 + β2]r · · · [(x − γ)2 + δ2]s

entao a funcao e decomponıvel numa soma da forma

P (x)

Q(x)=

Ap

(x − a)p+ · · · + A1

x − a+ · · · + Bq

(x − b)q+ · · · + B1

x − b+

+Mr x + Nr

[(x − α)2 + β2]r+ · · · + M1 x + N1

(x − α)2 + β2+ · · ·+

+Vs x + Zs

[(x − γ)2 + δ2]s+ · · · + V1 x + Z1

(x − γ)2 + δ2

onde Ap, . . . , A1, Bq, . . . , B1, Mr, Nr, . . . ,M1, N1, Vs, Zs, . . . , V1, Z1 sao numeros reais.

4.4 Primitivacao de funcoes algebricas irracionais 85

4.4 Primitivacao de funcoes algebricas irracionais

Vejamos agora alguns tipos de funcoes cuja primitivacao pode reduzir-se a primitivacaode funcoes racionais com uma substituicao adequada. Introduza-se em primeiro lugar anocao de polinomio e funcao racional em varias variaveis.

Definicao 4.4.1 Designa-se por polinomio em duas variaveis , x e y, com coefici-entes reais, a aplicacao P : R × R → R, dada por

P (x, y) = amnxmyn + · · · + a11xy + a10x + a01y + a00,

com m,n ∈ N0, aij ∈ R. Define-se o grau de P como o maior inteiro i+ j tal que aij 6= 0.Mais geralmente define-se, de modo analogo, polinomio em p variaveis u1, . . . , up,

como a aplicacao P : R × · · · × R︸︷︷︸

p vezes

→ R, dada por

P (u1, . . . , up) =∑

i1,...,ip

ai1...ipui11 . . . uip

p ,

i1, . . . , ip ∈ N0, ai1...ip ∈ R e∑

i1,...,ip

uma soma finita em i1, . . . , ip.

Definicao 4.4.2 Se P (u1, . . . , up) e Q(u1, . . . , up) sao dois polinomios em p variaveis,chama-se funcao racional em p variaveis a uma aplicacao da forma

R(u1, . . . , up) =P (u1, . . . , up)

Q(u1, . . . , up)

definida nos elementos (u1, . . . , up) ∈ R × · · · × R︸︷︷︸

p vezes

tais que Q(u1, . . . , up) 6= 0.

Analisemos entao algumas classes de funcoes susceptıveis de serem racionalizadas porconvenientes mudancas de variavel. No que se segue R designa uma funcao racional dosseus argumentos.

Expressao Substituicao

f(x) = R(xmn , x

p

q , . . . , xrs ) x = tµ

µ = m.m.c.{n, q, . . . , s}

f(x) = R(

x,(

a x+bc x+d

)mn ,

(a x+bc x+d

) p

q , . . . ,(

a x+bc x+d

) rs

)a x+bc x+d

= tµ

µ = m.m.c.{n, q, . . . , s}

f(x) = xα (a + b xβ)γ xβ = t


EXEMPLO 1: Consideremos a funcao f(x) =1√

x + 3√

x=

1

x1

2 + x1

3

· A substituicao a

usar e x = ϕ(t) = t6 e a primitiva a calcular e

P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P1

t3 + t2· 6t5 = P

6t5

t2(t + 1)= 6 P

t3

t + 1= 6 P

(

t2 − t + 1 − 1

t + 1

)

= 6

(t3

3− t2

2+ t − log |t + 1|

)

= 2t3 − 3t2 + 6t − 6 log |t + 1|

tendo-se assim

P1√

x + 3√

x= 3

√x − 3 3

√x + 6 6

√x − 6 log( 6

√x + 1) + C.

EXEMPLO 2: Seja f(x) =

√2x + 3

1 − 4√

2x + 3· A substituicao 2x + 3 = t4 permite resolver o

problema. Temos

P f(ϕ(t))ϕ′(t) = Pt2

1 − t· 2t3 = −2 P

t5

t − 1= −2P

(

t4 + t3 + t2 + t + 1 +1

t − 1

)

= −2

(t5

5+

t4

4+

t3

3+

t2

2+ t + log |t − 1|

)

e

Pf(x) = −2

(( 4√

2x + 3)5

5+

( 4√

2x + 3)4

4+

( 4√

2x + 3)3

3+

( 4√

2x + 3)2

2+ 4

√2x + 3

+ log( 4√

2x + 3)

)

+ C

EXEMPLO 3: Seja f(x) = x√

3√

x2 + 2. Facamos a substituicao x2

3 = t. Obtemos:

P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P t3

2 (2 + t)1

2

3

2t

1

2 =3

2P t2

√2 + t

que, como vimos anteriormente (exemplo 2), se resolve fazendo a substituicao 2 + t = z2,isto e,

3

2P t2

√2 + t =

3

2

{Pz (z2 − 2)2 · z · 2z

}

z=√

2+t

=3

2

{Pz2(z6 − 4z4 + 4z2)

}

z=√

2+t

= 3

{z7

7− 4

z5

5+ 4

z3

3

}

z=√

2+t

=3

7

(√2 + t

)7

− 12

5

(√2 + t

)5

+ 4(√

2 + t)3


tendo-se finalmente

P x

√

3√

x2 + 2 =3

7

(√

x2

3 + 2

)7

− 12

5

(√

x2

3 + 2

)5

+ 4

(√

x2

3 + 2

)3

+ C.


√a x2 + b x + c =

√a x + t

se a > 0

√a x2 + b x + c = t x +

√c

f(x) = R(x,√

a x2 + b x + c) se c > 0

√a x2 + b x + c = t (x − α)

ou√

a x2 + b x + c = t (x − β)

se α e β sao zeros reais

distintos de a x2 + b x + c

EXEMPLO 1: Consideremos a funcao f(x) =1

x√

3x2 − x + 1. Como a = 3 podemos

usar a substituicao√

3x2 − x + 1 =√

3 x + t, tendo-se:

3x2 − x + 1 = 3x2 + 2√

3xt + t2

−x − 2√

3xt = t2 − 1

x =1 − t2

1 + 2√

3t= ϕ(t)

o que implica ϕ′(t) =−2

√3t2 − 2t − 2

√3

(2√

3t + 1)2·

A primitiva a calcular e

P1

1 − t2

1 + 2√

3t

(√3 · 1 − t2

1 + 2√

3t+ t

) · −2√

3t2 − 2t − 2√

3

(2√

3t + 1)2

= P−2

√3t2 − 2t − 2

√3√

3(1 − t2)2 + t(1 − t2)(2√

3t + 1

= P−2(

√3t2 + t +

√3)

(√

3 −√

3t2 + 2√

3t2 + t)(1 − t2)


= −2P1

1 − t2= −2P

( 12

1 − t+

12

1 + t

)

= log |1 − t| − log |1 + t| = log

∣∣∣∣

1 − t

1 + t

∣∣∣∣

o que implica que

P1

x√

3x2 − x + 1= log

∣∣∣∣∣

1 −√

3x2 − x + 1 +√

3x

1 +√

3x2 − x + 1 −√

3x

∣∣∣∣∣+ C.

EXEMPLO 2: Primitivemos a funcao f(x) =1

x√−x2 + 4x − 3

· Tendo em conta que

−x2 +4x−3 = 0 ⇔ x = 1∨x = 3 podemos usar a substituicao√−x2 + 4x − 3 = t(x−3).

√−x2 + 4x − 3 = t(x − 3)

√

−(x − 3)(x − 1) = t(x − 3)

−(x − 3)(x − 1) = t2(x − 3)2

−(x − 1) = t2(x − 3)

x =3t2 + 1

t2 + 1= ϕ(t)

o que implica ϕ′(t) =4t

(t2 + 1)2·

A primitiva a calcular e

P1

3t2 + 1

t2 + 1· t

(3t2 + 1

t2 + 1− 3

) · 4t

(t2 + 1)2

= P4

(3t2 + 1)(3t2 + 1 − 3t2 − 3)

= P−2

3t2 + 1= − 2√

3arc tg(

√3t)

o que implica que

P1

x√−x2 + 4x − 3

= − 2√3

arc tg(√

3 ·√−x2 + 4x − 3

x − 3) + C.



√a2 − x2 x = a cos(t) ou x = a sen(t)

√x2 − a2 x = a sec(t) ou x = a cosec(t)

√x2 + a2 x = a tg(t) ou x = a cotg(t)

EXEMPLO 1: Seja f(x) =

√9 − x2

x2· Facamos a substituicao x = 3 sen(t) = ϕ(t). Temos

ϕ′(t) = 3 cos(t) e

P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P

√

9 − 9 sen2(t)

9 sen2(t)· 3 cos(t) = P

√

1 − sen2(t)

sen2(t)· cos(t)

= Pcos2(t)

sen2(t)= P cotg2(t) = P (cosec2(t) − 1)

= −cotg(t) − t

e, assim,

P

√9 − x2

x2= −cotg(arc sen(

x

3)) − arc sen(

x

3) + C = −

√9 − x2

x− arc sen(

x

3) + C

EXEMPLO 2: Consideremos a funcao f(x) =1

x3√

x2 − 16e a substituicao x = 4 sec(t) =

ϕ(t). Temos ϕ′(t) = 4 sec(t) tg(t) e

P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P1

43sec3(t)√

16 sec2(t) − 16· 4 sec(t) tg(t)

= Ptg(t)

43 sec2(t)√

sec2(t) − 1= P

tg(t)

43 sec2(t) tg(t)

=1

43P

1

sec2(t)=

1

43P cos2(t)

=1

43

(t

2+

sen(2 t)

4

)

e, assim,

P1

x3√

x2 − 16=

1

43

(1

2arc sec(

x

4) +

sen(2 arc sec(x4))

4

)

+ C

EXEMPLO 3: Para calcular as primitivas de f(x) =1

x2√

x2 + 4podemos fazer a subs-


tituicao x = 2 tg(t) = ϕ(t). Temos ϕ′(t) = 2 sec2(t) e

P f(ϕ(t))ϕ′(t) = P1

4 tg2(t)√

4 tg2(t) + 4· 2 sec2(t)

= Psec2(t)

4 tg2(t)√

tg2(t) + 1= P

sec2(t)

4 tg2(t) sec(t)

=1

4P

sec(t)

tg2(t)=

1

4P cotg(t) cosec(t)

= −1

4cosec(t)

e, assim,

P1

x2√

x2 + 4= −1

4cosec(arc tg(

x

2)) + C = −1

4

√x2 + 4

x+ C

4.5 Primitivacao de funcoes transcendentes 91

4.5 Primitivacao de funcoes transcendentes


f(x) = R(sen(x), cos(x)) tg(x2) = t

f(x) = R(sen(x), cos(x)) tg(x) = t

R(−y,−z) = R(y, z), ∀y, z

f(x) = R(ex) ex = t

A substituicao tg(x

2

)

= t conduz a uma funcao racional de t. De facto, de

sen(x) = 2 sen(x

2

)

. cos(x

2

)

= 2tg

(x2

)

√

1 + tg2(

x2

) · 1√

1 + tg2(

x2

)

= 2tg

(x2

)

1 + tg2(

x2

) =2t

1 + t2

e

cos(x) = cos2(x

2

)

− sen2(x

2

)

=1

1 + tg2(

x2

) − tg2(

x2

)

1 + tg2(

x2

)

=1 − tg2

(x2

)

1 + tg2(

x2

) =1 − t2

1 + t2

conclui-se, tendo em conta que

tg(x

2

)

= t ⇒ x = 2 arc tg(t) = ϕ(t) ⇒ ϕ′(t) =2

1 + t2,

P f(x) =

{

Pt R

(2t

1 + t2,1 − t2

1 + t2

)

.2

1 + t2

}

tg(x2)=t

A substituicao indicada serve no caso geral, mas em certos casos particulares saopreferıveis outras substituicoes. Assim, por exemplo, se R(sen(x), cos(x)) e funcao par emsen(x) e cos(x) (isto e, se nao se altera ao mudarmos simultaneamente sen(x) para −sen(x)e cos(x) para − cos(x)), pode fazer-se a substituicao tg(x) = t, ou seja, ϕ(t) = arc tg(t) e

sen(x) =t√

1 + t2e cos(x) =

1√1 + t2

·

EXEMPLO 1: Calculemos as primitivas de f(x) =1

2 cos(x) + 1· A substituicao indicada


e tg(x

2

)

= t:

P1

21 − t2

1 + t2+ 1

· 2

1 + t2= P

2

3 − t2

=1√3

P

(1√

3 − t+

1√3 + t

)

=1√3(− log |

√3 − t| + log |

√3 + t|) =

1√3

log

∣∣∣∣∣

√3 + t√3 − t

∣∣∣∣∣

o que implica que

P1

2 cos(x) + 1=

1√3

log

∣∣∣∣∣∣

√3 + tg

(x

2

)

√3 − tg

(x

2

)

∣∣∣∣∣∣

+ C.

EXEMPLO 2: Para calcular as primitivas de f(x) =1

cos2(x) − sen2(x)fazemos a substi-

tuicao tg(x) = t e obtemos

P1

1

1 + t2− t2

1 + t2

· 1

1 + t2= P

1

1 − t2

=1

2P

(1

1 − t+

1

1 + t

)

=1

2(− log |1 − t| + log |1 + t|) =

1

2log

∣∣∣∣

1 + t

1 − t

∣∣∣∣

e, portanto,

P1

cos2(x) − sen2(x)=

1

2log

∣∣∣∣

1 + tg(x)

1 − tg(x)

∣∣∣∣+ C

EXEMPLO 3: Para primitivar a funcao f(x) =1

ex + 1usa-se a substituicao ex = t:

P1

t + 1· 1

t= P

−1

1 + t+ P

1

t= − log |1 + t| + log |t| = log

∣∣∣∣

t

1 + t

∣∣∣∣

e

P1

ex + 1= log

(ex

ex + 1

)

+ C.

As funcoes do tipo f(x) = sen(ax)sen(bx), com a e b constantes, |a| 6= |b|, podemprimitivar-se tendo em conta que

sen(ax).sen(bx) =1

2[cos(a − b)x − cos(a + b)x]

4.5 Primitivacao de funcoes transcendentes 93

e conclui-se que

P sen(ax).sen(bx) =sen(a − b)x

2(a − b)− sen(a + b)x

2(a + b)+ C

De modo analogo,

P cos(ax). cos(bx) =sen(a − b)x

2(a − b)+

sen(a + b)x

2(a + b)+ C

Se pretendermos primitivar um produto de varios factores sen(amx) e cos(bnx) po-demos comecar por substituir por uma soma o produto de dois dos factores; depoissubstituem-se por somas os novos produtos obtidos por associacao de novos pares defactores; e assim sucessivamente ate esgotar todos os factores.

EXEMPLO:

P sen(3x) cos(5x)sen(6x)

= P1

2(sen(8x) + sen(−2x)) sen(6x)

=1

2P

1

2(cos(2x) − cos(14x)) − 1

2P

1

2(cos(−4x) − cos(8x))

=1

4P cos(2x) − 1

4P cos(14x) − 1

4P cos(4x) +

1

4P cos(8x)

= 18

(

sen(2x) − sen(14x)

7− sen(4x)

2+

sen(8x)

4

)

+ C

As funcoes do tipo f(x) = p(x)eax, onde p e um polinomio de grau n em x e a e umaconstante, primitivam-se por partes:

P p(x)eax =1

aeaxp(x) − 1

aPeaxp′(x).

A primitiva que aparece no segundo membro e ainda do mesmo tipo, mas mais simples,pois o grau de p′(x) e inferior em uma unidade ao grau de p(x). Aplicando novamente omesmo processo ate chegar a um polinomio de grau zero, obtem-se

P f(x) =eax

a

(

p(x) − p′(x)

a+

p′′(x)

a2+ · · · + (−1)n p(n)(x)

an

)

+ C.

EXEMPLO: Primitivemos a funcao f(x) = (x2 + 2x + 1)e3x.

P (x2 + 2x + 1)e3x =1

3(x2 + 2x + 1)e3x − 1

3P (2x + 2)e3x

=1

3

(

(x2 + 2x + 1)e3x − 1

3(2x + 2)e3x +

1

3P2e3x

)

=1

3e3x

(

(x2 + 2x + 1) − 1

3(2x + 2) +

2

9

)

+ C.


As primitivas que obtivemos foram sempre funcoes elementares, isto e, funcoes alge-bricas, a funcao exponencial, as funcoes trigonometricas e as trigonometricas inversas e,de um modo geral, as funcoes que se possam obter por composicao destas em numerofinito. Por outras palavras, aprendemos a calcular primitivas de funcoes elementarmenteprimitivaveis. Nem todas as funcoes estao nesta situacao. No entanto,

Teorema 4.5.4 Toda a funcao contınua num intervalo [a, b] e primitivavel nesse inter-valo.

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