Capítulo 4 Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 2ª Edição © Gerson Lachtermacher,2005...

Capítulo 4

Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões

2ª Edição© Gerson Lachtermacher,2005

Análise de Sensibilidade

Capítulo 4

Conteúdos do Capítulo

Análise de Sensibilidade Interpretação Econômica do Problema Dual Preço de Sombra – Shadow Price Custo Reduzido – Reduced Cost

Caso Motorela Celulares Caso Agropecuária Coelho

Capítulo 4

Conteúdos do Capítulo Continuação

Intervalos de validação Preço Sombra ( Shadow Price ou Dual Price ) Custo Reduzido (Reduced Cost)

Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Solução Gráfica Análise dos Coeficientes da Função Objetivo A Análise do Lindo A análise do Excel

Capítulo 4

Conteúdos do CapítuloContinuação

O Limite dos coeficientes das Restrições Lindo Excel

Analisando todas as respostas do Excel Answer Report Análise Econômica Sensitivity Report Limits Report Solução Degenerada

Capítulo 4

Interpretação Econômicado Problema Dual

Cada variável yi do Dual está diretamente relacionada

com a restrição i do problema Primal;

O valor ótimo desta variável, yi* recebe diversas

denominações, entre elas: Preço-Sombra (Shadow Price);

Preço-Dual (Dual Price);

Portanto, cada restrição i possui um preço-sombra yi*

Capítulo 4

Preço de Sombra

O preço-sombra para o recurso i (yi*) mede o valor

marginal deste recurso em relação ao lucro total;

Isto é, a quantidade que o Lucro Total (Z) seria

melhorado, caso a quantidade do recurso i (bi) fosse

aumentado de uma quantidade igual à unidade.

Capítulo 4

Preço de Sombra Solução Gráfica

0,

21

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

(0;25)

(0;0)

(18,75;25)

(35;0)

16003040 21 xx

Solução Ótima

(25;20)

Vamos medir o efeito de aumentar essa constante em 3 unidades, até 24?

Capítulo 4

0,

21

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

0,

24

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

Preço de SombraSolução Gráfica

Capítulo 4

O conjunto de soluções viáveis foi alterado A solução ótima também foi alterada

0,

24

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ


(0;25)

(0;0)

(18,75;25)

(35;0)

(25;20)

(40;0)

340

3100 ;

Solução Ótima

352003040 21 xx

Capítulo 4

Na primeira situação tínhamos Dado o acréscimo de 3 unidades na segunda restrição obtivemos:

Portanto: Alteração da Função-objetivo:

Logo, preço de sombra : 44,443

3400

3

4001600

3

5200

1600Z

3

5200Z


Capítulo 4

0,

21

6

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

0,

21

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ


Capítulo 4

0,

21

6

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

(0;25)

(0;0)

(18,75;25)

(35;0)

16003040 21 xxSolução Ótima

(25;20)

(0;30)

O conjunto de soluções viáveis foi alterado Essa restrição não limitava à solução ótima inicial, que não foi alterada. Qual é o preço de sombra desta restrição? ZERO


Capítulo 4

Cada variável de folga/excesso do Dual está diretamente relacionada a uma determinada variável original do problema Primal;

Esse valor é chamado de Custo Reduzido ou Reduced Cost;

Portanto, cada variável do problema original possui um determinado custo reduzido.

Cada variável de folga/excesso do Dual está diretamente relacionada a uma determinada variável original do problema Primal;

Esse valor é chamado de Custo Reduzido ou Reduced Cost;

Portanto, cada variável do problema original possui um determinado custo reduzido.

Interpretação Econômica do Problema Dual Custo Reduzido

Capítulo 4

Custo Reduzido

O custo reduzido de uma variável é: o total que o seu coeficiente na função-objetivo deve

melhorar para que ela deixe de ser zero na solução ótima; quanto a função-objetivo irá piorar para cada unidade que a

variável aumente a partir de zero;

O custo reduzido só se aplica a variáveis que, na solução ótima, assumem o valor zero.

Capítulo 4

Exemplo

A tabela abaixo sintetiza o problema de um pecuarista: São três alimentos diferentes que contribuem com alguns nutrientes para a alimentação do gado. Qual é o custo mínimo diário para estabelecer uma dieta com o requerimento mínimo?

Ingrediente

Nutritivo

Quilode

milho

Quilode

ração

Quilode

alfafa

Requerimentomínimodiário

carboidratos 90mg 20mg 40mg 200mgproteínas 30mg 80mg 60mg 180mgvitaminas 10mg 20mg 60mg 150mgcusto ($/kg) 21 18 15

Capítulo 4

Modelagem no Lindo

Default,

0,, 321xxx

Capítulo 4

A resposta

A ração é muito cara!

Estou fornecendo mais vitamina que o mínimo

Capítulo 4

Modelagem no Excel

Capítulo 4

Os Parâmetros do Solver

Capítulo 4

Resultado do Excel

Mesmo resultado apresentado pelo Lindo

Capítulo 4

Os Reduced Costs têm os mesmos valores que os do LINDO

Os preços de sombra não são negativos,como no LINDO.

A Análise do Excel

Capítulo 4

Análise de SensibilidadeInterpretação no Excel

Para o Excel, os conceitos de Preço-Sombra estão

relacionados ao valor nominal do efeito na função-

objetivo, isto é, quanto a função-objetivo aumenta ou

diminui.

Capítulo 4

Análise de SensibilidadeInterpretação no Lindo

Para o Lindo, o conceitos de Shadow Price indica o quanto a

função-objetivo melhora ou piora.

Melhorar

Numa Maximização significa aumentar o valor da função-objetivo

Numa Minimização significa diminuir o valor da função-objetivo

Piorar Numa Maximização significa aumentar o valor da função-objetivo

Numa Minimização significa diminuir o valor da função-objetivo

Capítulo 4


As quantidades informadas pelas grandezas Preço-Sombra e Custo Reduzido refletem as conseqüências de alterações unitárias; Alterações diferentes da unidade provocaram conseqüências

proporcionais.

Entretanto, estes valores só podem ser garantidos dentro de intervalos apontados nos relatórios, se a solução ótima não for degenerada.

Capítulo 4

Preço de SombraLimite

s.r.

0, 21 xx

212103

153 xx

5251 x

20221

152 xx

3040Max 21 xxZ

(0;25)

(0;0) (35;0)

16003040 21 xx

Solução Ótima

(25;20)

Partindo do problema:

(18,75;25)

Capítulo 4

s.r.

3040Max 21

0, 21 xx

212103

153 xx

5251 x

20221

152 xx

xxZ

s.r.

21

242103

153

0, xx

xx

5251 x

20221

152 xx

3040Max 21 xxZ


Capítulo 4

(0;25)

(0;0) (35;0)


(25;20)

(18,75;25)

3

4001600

3

5200

Alteração da Função= Objetivo:

(0;25)

(0;0)

(18,75;25)

(35;0)

(25;20)

(40;0)

340

3100 ;

Solução Ótima

352003040 21 xx

Logo, preço de sombra : 44,44

33

400


Capítulo 4

Preço Sombra:Limite no Excel

Problema Original

Problema Alterado

Capítulo 4


Problema Original

Problema Alterado

MesmoPreço-Sombra

Capítulo 4

30

s.r.

0, 21 xx

212103

153 xx

5251 x

20221

152 xx

3040Max 21 xxZs.r.

0, 21xx

2103

153 xx

5251 x

20221

152 xx

3040Max 21 xxZ


Capítulo 4

Logo, preço de sombra :

44,449

40040016002000

Alteração da Função-

Objetivo:

(0;0) (35;0) (50;0)

(0;25) (18,75;25)(25;20)

Solução Ótima20003040 21 xx

O valor do preço de sombra permaneceu constante

Preço de Sombra: Limite

(0;25)

(35;0)


(25;20)

(18,75;25)

Capítulo 4


Problema Original

Problema Alterado

Capítulo 4


Problema Original

Problema Alterado

MesmoPreço-Sombra

Capítulo 4

Caso Motorela Celulares

Para produzir 3 tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorela utiliza três processos diferentes, o de montagem, a configuração e a verificação. Para fabricar o celular Multi-Tics, são necessárias 0,1 h de montagem, 0,2 h de configuração e 0,1 h de verificação. O mais popular Star Tic Tac requer 0,3 h de montagem, 0,1 h de configuração e 0,1 h de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 h de montagem, 0,3 h para configuração, porém, em virtude de seu circuito de última geração, não necessita de verificação. A fábrica dispõe de capacidade de 290 hs/mês na linha de montagem, 250 hs/mês na linha de configuração e 110 hs/mês na linha de verificação. Os lucros unitários dos produtos Multi-Tics, Star Tic-Tac e Vulcano são R$ 100, R$ 210 e R$ 250, respectivamente e a Motorela consegue vender tudo o que produz. Sabe-se ainda que o presidente da Motorela exige que cada um dos três modelos tenha produção mínima de 100 unidades e quer lucrar pelo menos R$ 25.200/mês com o modelo Star Tic-Tac. O presidente também exige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo Star Tic-Tac. Resolva utilizando o Solver do Excel:

Capítulo 4

Caso Motorela Celulares Variáveis de Decisão

x1- Número de celulares Multi-Tics produzidos mensalmente.

x2- Número de celulares Star Tic-Tacs produzidos mensalmente.

x3- Número de celulares Vulcanos produzidos mensalmente.

Capítulo 4

Caso Motorela Celulares:Função-Objetiva

Maximizar o Lucro da Motorela

321 250210100 xxxMax

Capítulo 4

Caso Motorela Celulares:Restrições

Produção

Linha de Montagem

Linha de Configuração

Linha de Verificação 1101,01,0 21 xx

2503,01,02,0 321 xxx

2904,03,01,0 321 xxx

Capítulo 4

Produção Mínima

Lucro Mínimo Star Tic-Tac

Produção Vulcano

Não Negatividade

100; 100; 100 321 xxx

25200210 2 x

23 2xx

0;; 321 xxx

Caso Motorela Celulares:Restrições

Capítulo 4

0;;2

25200210100; 100; 100

1101,01,02503,01,02,02904,03,01,0

250210100

321

23

2

321

21

321

321

321

xxxxx

xxxx

xxxxxxxx

stxxxMax

Caso Motorela Celulares:Modelo

Capítulo 4

Caso Motorela Celulares:Modelo no Excel

Capítulo 4

Caso Motorela Celulares:Parametrização do Solver

Capítulo 4

Caso Motorela Celulares:Relatórios

Marcar os Relatórios Desejados

Capítulo 4

Caso Motorela Celulares:Solução

Capítulo 4

Que restrições limitam a solução ótima?

Caso Motorela Celulares:análise dos Relatórios

Capítulo 4

Quanto deve ser melhorado no lucro unitário para que se produza o modelo Star Tic-Tac?


Capítulo 4


Até quanto você pagaria por uma hora de verificação terceirizada?

Capítulo 4

Alterando o Problema Para Verificar Resultado

Problema Alterado - Mesmo Valor Ótimo

Capítulo 4

Caso Motorela CelularesAnálise dos Relatórios

Até quanto você pagaria por uma hora de montagem terceirizada?

Capítulo 4


=204200+480

Capítulo 4

O que significa o shadow price de -20 na última restrição?


Cada unidade adicional de Vulcano provoca perda de lucratividade de R$20,00, isto é, a função-objetivo diminui de 20.

Capítulo 4

=204200-20


Capítulo 4

Caso Agropecuária Coelho

Milho Ração AlfafaCarboidratos 10 20 20Proteínas 10 20 40Vitaminas 40 30 20

O Sr. Coelho possui uma fazenda de criação de porcos para abate, e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requerimentos básicos diários de nutrientes: 200 u.m. de carboidratos, 250 u.m. de proteínas e 120 u.m. vitaminas. Considere que os alimentos disponíveis do mercado são milho, ração e alfafa, ao custo por quilo de R$20,00, R$30,00 e R$35,00, respectivamente. A tabela abaixo resume a quantidade de cada nutriente (u.m.) presente em um quilo de cada alimento:

Capítulo 4

Caso Agropecuária Coelho:Variáveis de Decisão

Variáveis de decisão: x1 – quantidade de quilos de milho na alimentação diária

x2 – quantidade de quilos de ração na alimentação diária

x3 – quantidade de quilos de alfafa na alimentação diária

Função-objetivo: minimizar custos da alimentação diária

Min 20x1 + 30x2 + 35x3

Restrições do modelo: Carboidratos: 10x1 + 20x2 + 20x3 200

Proteínas: 10x1 + 20x2 + 40x3 250

Vitaminas: 40x1 + 30x2 + 20x3 120

Capítulo 4

0;;

120203040

250402010

200202010

353020

321

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

st

xxxMin

Caso Agropecuária Coelho:Modelo

Capítulo 4

Caso Agropecuária Coelho:Modelo no Excel

Capítulo 4

Caso Agropecuária Coelho:Solução no Excel

Capítulo 4

Que tipos de nutrientes são limitantes da dieta básica?

Carboidratos e Proteínas

Caso Agropecuária Coelho:Análise dos Relatórios

Capítulo 4

Quanto deveríamos exigir de redução no custo do milho para que ele participasse como matéria prima da alimentação diária?


Capítulo 4

Qual o custo marginal que uma 1 u.m. adicional de vitaminas traria à agropecuária?


Capítulo 4

Qual a variação de custo que uma exigência de 1 u.m. adicional de carboidratos na dieta diária?


O custo adicional é de R$ 1,25 (valor positivo)

Capítulo 4

Intervalos de Validação do Preço-Sombra e do Custo Reduzido

A análise de sensibilidade determina os intervalos em que o Custo Reduzido e o Preço-Sombra são válidos

Uma razão para se estabelecer esses intervalos está ligada a hipótese de certeza assumida em modelos de programação linear.

Capítulo 4

Análise de SensibilidadeSolução Degenerada

A solução de um problema de Programação Linear algumas vezes apresenta uma anomalia conhecida como degeneração.

Uma solução de uma PL é dita degenerada quando o valor de incremento ou decremento de uma restrição é igual a zero.

A presença de degeneração altera a interpretação da análise de sensibilidade em um certo número de maneiras.

Capítulo 4


A análise de sensibilidade serve também para amenizar a hipótese de certeza nos coeficientes e constantes.

Em uma análise de sensibilidade queremos responder basicamente a duas perguntas: Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função-

objetivo? Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma

restrição?

Capítulo 4


Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade:1. Estabelece limites inferiores e superiores para todos os

coeficientes da função-objetivo e constantes das restrições: Lindo/Excel; Hipótese de uma alteração a cada momento;

2. Verifica se uma ou mais mudanças em um problema alteram a sua solução ótima: Mais Complicado Pode ser feito através da alteração do problema e sua

nova resolução.

Capítulo 4

A Análise de SensibilidadeAtravés de Limites

Vamos nos dedicar ao primeiro tipo de análise.

A análise dos limites dos coeficientes da função-objetivo e das constantes das restrições do problema.

Vamos entender o processo da análise dos coeficientes da função-objetivo primeiro.

Capítulo 4

Análise de Sensibilidade Solução Gráfica

Max Z x 40 30x1 2

x x 0 01 2,21

5

20

2103

153

251

221

152

xx

x

xxSolução Ótima

16003040 21 xx

(0;0)

(0;25)(18,75;25)

(35;0)

(25;20)

x2

x1

Capítulo 4

Análise de Sensibilidade Solução Gráfica

2Max Z x 40 30x1

x x 0 01 2,21

5

20

2103

153

251

221

152

xx

x

xx

(0;25)

(0;0) (35;0)

(25;20)

Função-Objetivo

(18,75;25)

Capítulo 4

Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo

(0;0) (35;0)

(25;20)

Função-Objetivo

212103

153 xx

20221

152 xx

As três retas pertencem a uma mesma família de retas, pois têm o ponto (25;20) em comum.

Uma diferença entre elas é no coeficiente angular.

A mudança de um coeficiente da função objetivo causará uma alteração no coeficiente angular da função-objetivo.

(0;25)

(18,75;25)

Capítulo 4

Análise dos Coeficientes da Função Objetivo

Portanto, enquanto o coeficiente angular da função-objetivo estiver entre os das retas limites a solução ótima não se alterará.

A Linha da

e Declividad

Objetivo-Função da

e Declividad

B Linha da

e Declividad

(0;0) (35;0)

(25;20)

21

20

2103

153

221

152

xx

xx

B

A

(0;25)(18,75;25)

Capítulo 4

Declividade da reta B Declividade da reta A


-2 < Declividade da Função-Objetivo < -0,8

12

153

310

2

153

2103

2103

153

270

21

21

21

xx

xx

xx

xx

12

154

2

152

221

221

152

8,040

40

20

20

xx

xx

xx

xx

Capítulo 4

A forma geral da função objetivo é dada por:

Que na Forma declividade-Interseção é dada por

2211 xcxcz

21

2

12 c

zx

c

cx


Capítulo 4

Estudaremos uma variação por vez, portanto manteremos constante primeiramente c2=30. Logo, podemos dizer que:

temos30c para 8.02 22

1 c

c

248.030

60 2308.0

302

11

11

1

cc

cc

c

6024 1 c


Capítulo 4

Para estudarmos as variações possíveis de c2, manteremos c1 =40. Logo, temos:

temos40c para 8.02 12

1 c

c

508.040

20 240

8.040

2

22

22

2 cc

cc

c

5020 2 c


Capítulo 4


Poderíamos então criar uma tabela resumindo os limites dos coeficientes das variáveis na função-objetivo:

Mantendo esses limites, podemos garantir que a solução ótima (não degenerada) será a mesma!

503020x2

60 4024x1

MáximoAtualMínimo

Capítulo 4

A Análise do Lindo

Variações permitidas

50=30+203020=30-10x2

60=40+20 4024=40-16x1

MáximoAtualMínimo

Capítulo 4

A Análise do Excel

Esta resposta é idêntica à do Lindo, a menos de erros de aproximação.

50=30+203020=30-10x2

60=40+20 4024=40-16x1

MáximoAtualMínimo

Capítulo 4

Caso Especial

Um caso especial de limite de crescimento acontece

quando a rotação da função-objetivo em torno do

extremo ótimo passa pela reta vertical;

Isso significará que não existirá (será infinito) ou o

limite superior ou inferior para a declividade;

Observemos isso graficamente

Capítulo 4

Caso Especial

212103

153 xx B

(0;0) (35;0)

(25;20)

Função Objetivox2

x1

Suponhamos que a situação ótima seja a seguinte:

Esta reta possui declividade indeterminada!

Capítulo 4

Explicação MatemáticaC

oef.

Ang

ular

=T

an

Ângulo emradianos

A declividade de uma reta é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo das abcissas, e a tangente de uma reta vertical (90o) não existe, e tende para o infinito(+/-)

Declividade da função objetivo estudada

Capítulo 4

Análise de SensibilidadeConstantes das Restrições

As constantes das restrições também estão submetidas a limites;

Esses limites dizem respeito aos Preços-Sombra, e não à solução ótima; Veja que os Preços-Sombra equivalem à solução

ótima do Dual, onde as constantes das restrições são os coeficientes da Função-objetivo;

O estudo dos limites é feito de maneira similar.

Capítulo 4

O Limite dos Coeficientes das RestriçõesLindo

Variações permitidas às constantes das restrições!

Capítulo 4

O Limite dos Coeficientes das RestriçõesExcel

Variações permitidas às constantes das restrições!

= infinito

Capítulo 4

Analisando Todas asRespostas do Excel

Modelo

Max Z x 40 30x1 2

x x 0 01 2,21

5

20

2103

153

251

221

152

xx

x

xx

Capítulo 4

Solicitando os Relatórios

Marcar os relatórios desejados

Capítulo 4

Análise de SensibilidadeExcel

Valor das variáveis na solução ótima

Valor máximo da função-objetivo

Capítulo 4

Relatório de Respostas

Agrupar => LHS=RHS

Sem Agrupar => LHSRHS, quando a variável de folga for básica e diferente de zero.

Variáveis de Folga

Capítulo 4

Relatório de Respostas Observação Importante

O Excel determina que a restrição tem status “Sem Agrupar" quando a variável de folga daquela restrição é básica. Geralmente, isto significa que existe folga, e portanto LHS (diferente) RHS .

Entretanto, é possível acontecer da variável de folga ser básica e igual a zero. Neste caso, a restrição terá status Agrupar e LHS = RHS.

Capítulo 4

Análise Econômica do Excel

Valores ligados ao Problema Dual

Capítulo 4


As interpretações para o Preço-Sombra são as seguintes:

A quantidade pela qual a função-objetivo será modificada (valor nominal) dado um incremento de uma unidade na constante de uma restrição.

Quanto estaríamos dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso.

Capítulo 4


Existem duas interpretações para o Custo Reduzido:

A quantidade que o coeficiente da função- objetivo de uma variável original deve ser modificada antes dessa variável se tornar básica.

A quantidade de penalização que será paga se quisermos tornar uma variável básica.

Capítulo 4


Variações de incremento

e decremento, aos quais

cada coeficiente da

Função-Objetivo,

isoladamente, pode ter

sem que a solução ótima

(valores ótimos das

variáveis) se altere.

Capítulo 4


Variações de incremento

e decremento, ao qual a

constante de uma

Restrição, isoladamente,

pode ter sem que o seu

Preço-Sombra (Dual

Price) se altere.

Capítulo 4

Relatório de Limites

A coluna Inferior Limite indica o menor valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.

Capítulo 4

Análise de SensibilidadeExcel – Limits Report

A coluna Superior Limite indica o maior valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.

Capítulo 4

Análise de SensibilidadeSolução Degenerada

Quando a solução ótima é degenerada O valor do Custo Reduzido pode não ser único. O valor de incremento e decremento dos coeficientes da

função-objetivo permanecem válidos. De fato, os valores podem se alterar substancialmente acima desse valores, sem que a solução ótima se altere.

O valor do Preço-Sombra e seus intervalos podem continuar sendo interpretados da mesma maneira, contudo podem não ser únicos.

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