Capitulo 4 Teoria de Elementos de Pa

1 Teoria de elementos de pá

A teoria do momento linear é um método simples e rápido para estimar a potência e a

velocidade induzida no rotor, baseando apenas na área total do rotor, no peso do

helicóptero (que será igual à propulsão gerada no rotor para o caso do voo pairado).

Podemos por isso com esta teoria estimar o tamanho do rotor, para gerar uma

determinada propulsão com um motor com uma determinada potência máxima. No

entanto este método não serve para projectar em detalhe o rotor, tal como o número de

pás, a forma da mesma (afilamento, flecha zona junto à raiz), as características

(coeficiente de sustentação, de resistência ângulo de ataque) do perfil a utilizar ou a

corda da pá, presença de torção ao longo da pá ou mesmo os efeitos de

compressibilidade na ponta da pá que avança ou a entrada em perda na pá que recua.

1.1 Elementos de pá

A teoria de elementos de pá foi proposta por Drzwiecki em 1982 para o estudo de hélice

do avião. Como base desta teoria a pá é dividida em secções independentes (que não

interagem entre si) onde todos os cálculos são feitos utilizando a aerodinâmica

bidimensional. Isto quer dizer que são desprezados todos os efeitos tridmensionais,

actuado cada perfil como um perfil bidimensional. Integrando ao longo de toda a pá

(desde a raiz da pá à ponta da mesma) podemos calcular a propulsão e a potência total.

Analisando então um perfil de largura dy distanciado de y do eixo de rotação.

Figura 1 Elemento de pá dy distanciado de y do eixo de rotação. Pá vista de cima

A velocidade total no plano do rotor �� pode ser decomposta numa velocidade

perpendicular ao bordo de ataque �� e noutra paralela ao bordo de ataque ��. A

velocidade �� só interessará para o cálculo da resistência aerodinâmica. Analisando

agora no plano do perfil:

Figura 2 Definição das velocidade e ângulos no plano do perfil

A velocidade �� é perpendicular ao perfil e está no plano do rotor e será calculada a

partir da velocidade de rotação e da velocidade de avanço. A velocidade �� é

perpendicular ao plano do rotor e calculada a partir da velocidade vertical do

helicóptero e da velocidade induzida na plano do rotor. Podemos então escrever:

�� = + � sin �� = �� + �� 1.1

Sendo a velocidade total dada por:

� = �� + �� 1.2

Em relação aos ângulos temos θ que é o ângulo de picada do perfil (o ângulo imposto ao

perfil pelo piloto), sendo este medido em relação ao plano do rotor. O ângulo entre o

vector velocidade total e o plano do rotor, � é dado por :

� = atan �� 1.3

Finalmente o ângulo de ataque, α, é dado pela diferença entre o ângulo de picada e o

ângulo da velocidade:

α = θ − � = θ − atan �� 1.4

Em relação à força aerodinâmica gerada pelo perfil !��, é normalmente decomposta

numa força paralela a velocidade incidente �� (resistência aerodinâmica "��) e numa

outra perpendicular à mesma velocidade (sustentação #��). No entanto para o nosso caso

é mais interessante decompor a força gerada !�� na sua componente horizontal ( $%��

paralela ao rotor) e na sua componente vertical ( $&�� perpendicular ao paralela ao rotor).

Da aerodinâmica bidimensional sabemos que a sustentação e a resistência aerodinâmica

podem ser calculadas através dos respectivos coeficientes específicos para o perfil:

' # = 12 *��+ -. " = 12 *��+ -/ � 1.5

Em que c é a corda do perfil e dy a sua largura. Calculando as componentes verticais e

horizontais da força aerodinâmica:

� $& = # cos � − " sin � $% = # sin � + " cos �� 1.6

Dado que temos 23 pás no rotor a propulsão será calculada a partir da componente

segundo a direcção vertical:

4 = 23 $& 1.7

O binário será encontrado através do momento que a força horizontal faz em relação ao

eixo de rotação:

5 = 236 $& 7 1.8

E a potência é encontrada multiplicando o binário pela velocidade de rotação:

8 = 5 = 236 $& 7 1.9

Introduzindo a equação 1.6 nas equações 1.7, 1.8 e 1.9 obtemos:

9 4 = 236 # cos � − " sin �7 5 = 236 # sin � + " cos �7 8 = 236 # sin � + " cos �7� 1.10

Realizando agora algumas simplificações que são aceitáveis no âmbito do presente

estudo (aerodinâmica dos helicópteros) dados os valores normalmente encontrados

temos que:

• A norma da velocidade �� é muito maior do que a norma da velocidade ��.

Esta afirmação só não é verdade junto ao eixo de rotação dado que �� = e = 0 junto ao eixo de rotação. No entanto esta zona não pertence à pá devido à

instalação dos mecanismos de movimento da pá, como foi visto no segundo

capítulo. Temos então que:

�� ≫ �� ⇒ � = �� + �� ≈ �� 1.11

• O ângulo da velocidade, �, é pequeno. Esta afirmação é consequência da

primeira e é devido à grande diferença na norma das velocidades. Podemos

escrever:

�� ≫ �� ⇒ � = atan �� ≈ 0 1.12

E devido a este facto as seguintes aproximações podem ser feitas

>?@� = atan �� ≈ ��sin � = �cos � = 1

� 1.13

• A resistência aerodinâmica é em módulo muito menor do que a sustentação.

Esta afirmação é uma conclusão analisando os resultados experimentais para

qualquer perfil. Assim ao multiplicar a resistência (que é um valor pequeno)

pelo ângulo (que vimos que também é pequeno) obtemos algo que é próximo de

zero:

" ≪ # ⇒ " sin � ≈ "� ≈ 0 1.14

Ao introduzir estas aproximações nas equações da propulsão, binário e potência

obtemos 1.10:

9 4 = 236 # cos � − " sin �7 = 23 # 5 = 236 # sin � + " cos �7 = 236 #� + "7 8 = 236 # sin � + " cos �7 = 236 #� + "7� 1.15

Se adimensionalisármos o distância com o comprimento da pá ! obtemos uma nova

variável r

B = ! 1.16

Se agora adimensionalizarmos a velocidade �� com a velocidade da ponta da pá �CDEFG = !, temos:

��! = ! = ! = B 1.17

Obtemos a mesma variável adimensional. Se adimensionalizarmos a velocidade ��

obtemos:

H = ��! = �� ! = ��! = �B 1.18

Com base nesta adimensionalisações podemos encontrar as expressões para os

coeficientes de propulsão, binário e potência conforme definidos no capítulo anterior.

-� = 4*I6!7� , -K = 5*I6!7�! , -� = 8*I6!7L, 1.19

Substituindo em 1.19 as expressões obtidas em 1.15 para a propulsão:

-� = 23 #*I6!7� = 23 MN�*��-.+ O* P !�6!7� = N� �23+P !� -. Q!R� Q!R ⇒ -� = N� S -. B� B

1.20

E de igual modo para a potência e binário:

-� = -K = 236 #� + "7*I6!7�= 23 MN�*��-.+ � + N�*��-/+ O* P !�6!7�= N� �23+P !� 6-.� + -/7 Q!RL Q!R ⇒ -� = N� S 6-.� + -/7 BL B

1.21

As expressões obtidas em 1.20 para a propulsão e em 1.21 para a potência são válidas

apenas para a secção considerada B multiplicada pelo número de pás. Se queremos a

contribuição total da pá temos que integrar estas expressões desde a raiz da pá até à

ponta da pá. Se consideramos que a pá começa no eixo de rotação então temos que a

gama de variação de B é 0 < B < 1. Se além disso considerarmos que a pá é rectangular

isto é a corda + não varia com B, implicando que S é constante ao longo de toda a pá

podemos escrever para o coeficiente de propulsão:

-� = N� U S -. B� BNV = N� S U -. B� BN

V 1.22

E para o coeficiente de binário e potência, introduzindo a equação 1.18:

-K = -� = N� U S 6-.� + -/7 BL BNV = N� S U 6H-.B� + -/BL7 BN

V 1.23

Para os cálculos dos integrais 1.22 e 1.23 vamos precisar:

• Variação do rácio da velocidade induzida com a distância adimensional ao

longo da pá H� = H�6B7. O do mesmo modo sabendo a velocidade da ponta da pá �CDEFG = ! precisamos da variação da velocidade induzida �� = ��6B7

• Do coeficiente de sustentação assim como da sua variação com o ângulo de

ataque, número de Reynolds e número de Mach -. = -.6X, !Y, Z7

• Do coeficiente de resistência assim como da sua variação com o ângulo de

ataque, número de Reynolds e número de Mach -/ = -/6X, !Y, Z7

• Da variação do ângulo de ataque ao longo da pá que depende do ângulo de

picada local do perfil e das velocidades �� e �� X = X6B, [, ��, ��7

Estas variações implicariam uma solução numérica dos integrais. No entanto com

algumas aproximações é possível encontrar uma solução analítica. Esta solução é

importante porque serve para ilustrar a forma fundamental dos resultados em termos de

parâmetros operacionais e geométricos do rotor. Das equações linearizadas da

aerodinâmica bidimensional temos que o coeficiente de sustentação pode ser dado pelo

declive da curva -. �\ X a multiplicar pelo ângulo de ataque medido a partir do ângulo

de ataque para sustentação nula:

-. = -.]6X − XV7 = -.]6[ − � − XV7 1.24

1.1.1 Pás rectangulares sem torção

As simplificações que serão feitas são:

• -.] é constante, sendo esta aproximação válida desde que estejamos afastados

do ângulo de perda do perfil

• Os perfis são simétricos logo XV = 0

• A pá não tem torção [ = [V

• A velocidade induzida é constante ao longo da pá, logo H = +^_\` tal como foi

assumido na teoria do momento linear.

Com estas aproximações a equação do coeficiente de propulsão 1.22 pode ser escrita,

introduzindo mais uma vez a equação 1.18:

-� = N� U S -. B� BNV = N� S-.] U 6[V − �7 B� BN

V= N� S-.] U 6[VB� − HB7 BNV = 12 S-.] a[V BL3 − H B�2 cV

N

⇒ -� = 12 S-.] d[V3 − H2e

1.25

Para a condição de pairar, tínhamos chegado à relação em a velocidade induzida e o

coeficiente de propulsão:

HC = f-�2 ⇒ -� = 12 S-.] g[V3 − 12 f-�2 h 1.26

Como a pairar a propulsão tem que ser igual ao peso e -.] é conhecido dado termos

escolhido o perfil, podemos retirar de 1.26 o ângulo de picada a introduzir na pá de

modo a conseguir a situação de voo pairado:

[V = 6 -�S-.] + 32 f-�2 HC 1.27

Figura 3 Comparação entre a teoria de elementos de pás e resultados experimentais

Podemos comparar os resultados obtidos com esta teoria com resultados experimentais,

Figura 3, e concluímos que os resultados obtido com a teoria estão muito próximos dos

resultados experimentais, validando deste modo a teoria.

1.1.2 Pás rectangulares com torção linear

Consideremos agora que a pá é rectangular, corda constante que implica solidez

constante, mas com torção linear:

[6B7 = [V + B[FDj 1.28

Substituindo a equação 1.28 na equação 1.22 juntamente com 1.24:

-� = N� U S -. B� BNV = N� S-.] U 6[ − �7 B� BN

V= N� S-.] U M6[V + B[FDj7B� − HBO BNV

⇒ -� = 12 S-.] d[V3 + [Fk4 − H2e

1.29

Em vez de considerarmos a referência de torção como o valor na raiz [607 = [V,

podemos considerar como referência o valor a 3 4⁄ do raio da pá ou seja a 0.75r:

[6B7 = [V.no + 6B − 0.757[FDj 1.30

Então a equação 1.29 pode ser escrita como:

-� = N� U S -. B� BNV = N� S-.] U 6[ − �7 B� BN

V= N� S-.] U M6[V.no + 6B − 0.757[FDj7B� − HBO BNV

⇒ -� = 12 S-.] d[V.no3 − H2e

1.31

Que é uma expressão equivalente à encontrada para a pá sem torção (equação 1.25).

1.1.3 Cálculo da potência

Tínhamos chegado à conclusão que o coeficiente de potência incremental (que é igual

ao coeficiente do binário) era dado pela expressão (equação 1.21). Trabalhando esta

expressão:

-� = N� S 6-.� + -/7 BL B = N� S 6H-.B� + -/BL7 B= N� SH-.B� B + N� S -/BL B = H -� + -�r= -�s + -�r

1.32

Podemos então concluir que temos duas contribuições para a potência, uma devido a

geração da propulsão, potência induzida, -�s, e outra devido à necessidade de vencer a

resistência aerodinâmica nas pás, -�r. Considerando agora a seguintes aproximações:

• Pá rectangular, com corda constante + = +^_\ logo com solidez constante.

• Rácio da velocidade induzida constante H = +^_\` e que pode ser dada pelo

expressão encontrada na teoria do momento linear (primeira parte da equação

1.26)

• Coeficiente de resistência constante igual ao valor quando a sustentação é nula -/ = -/V = +^_\`. Esta aproximação é válida para ângulos de ataque não

muitos grandes.

Podemos assim escrever:

-� = U -�sjtN

jtV + U -�rjtN

jtV = U H -�jtNjtV + U N� S -/BLN

V= H-� + Nu S -/V 1.33

E introduzindo a relação entre o rácio da velocidade induzida e o coeficiente de

propulsão chegamos finalmente à expressão:

-� = -�L �v√2 + Nu S -/V 1.34

Esta é a mesma expressão encontrada para a teoria do memento linear, validado assim

este novo cálculo desde que seja assumida em particular que a velocidade induzida (e

logo o seu rácio) seja constante ao logo de toda a pá.

Tendo calculado a expressão para o coeficiente de propulsão podemos escrever que a

eficiência do rotor é:

$Z = -�sxyz{-�|yz{ = H-�H-� + Nu S -/V 1.35

de onde podemos concluir que:

• Uma solidez elevada σ (muitas pás, cordas grandes área das pás grandes) induz

um elevado consumo de potência e uma eficiência pequena.

• Perfis com pequena resistência induzem eficiências elevadas.

1.2 Coeficiente de sustentação médio

O coeficiente de propulsão é obtido integrando ao longo de toda a pá a expressão 1.22,

podendo ser considerado que o coeficiente de sustentação, -., possa variar ao longo da

pá. O coeficiente de sustentação médio, -.} , é definido de maneira a se obter o mesmo

coeficiente de propulsão, estando neste caso toda a pá a trabalhar com o mesmo

coeficiente de sustentação local:

-� = N� U S -. B� BNV = N� U S-.} B� BN

V = 16 S-.} 1.36

Onde foi mais uma vez assumido que estamos a tratar de pás rectangulares. Sabendo

também que o coeficiente de propulsão tem que ser igual ao coeficiente do peso

podemos encontrar o coeficiente de sustentação médio da pá

-.} = 6 -�S 1.37

Cujos valores típicos em pás de helicóptero variam entre 0.5 e 0.8. Introduzindo esta

expressão na equação da eficiência (equação 1.34) podemos escrever:

$Z = H-�H-� + Nu S -/V = 11 + S -/V 68H-�7⁄ = 11 + S -/V Q86 HS-.} Rv = 11 + 34 �6-/V -.}⁄ 7 H⁄ � 1.38

Dado que queremos maximizar a eficiência termos de minimizar -/V -.}⁄ , ou seja

encontrar perfis cujo rácio entre o coeficiente de sustentação e o de resistência seja o

máximo possível.

1.3 Efeitos não ideais

No capitulo anterior introduzimos um factor B para entrar em conta com os efeitos da

ponta da ponta onde, como vimos, a geração da sustentação não era igual ao gerado bi-

dimensionalmente, sendo este caso o considerado para a restante pá. Assim a pá efectiva

é BR, ou em termos adimensionais r varia entre zero na raiz e B na ponta. A expressão

do coeficiente de propulsão 1.22 será então dada por:

-� = N� S-.] U 6[B� − HB7 B�V 1.39

E considerando a pá sem torção, [ = [V:

-� = 12 S-.]�� d[V�3 − H2e 1.40

Podemos admitir na pá uma torção do tipo [6B7 = [CDEFG B⁄ , e veremos mais à frente a

importância desta torção, que na realidade é impossível fisicamente de realizar dado que

se B → 0 têm-se que [6B7 → ∞. Ao introduzir esta torção na expressão 1.22:

-� = N� S-.] U 6[B� − HB7 B�V = N� S-.] U M[CDEFGB − HBO B�

V= 14 S-.]��[CDEFG − H� 1.41

Dado que os valores típicos de B são entre 0.95 e 0.98, concluímos que a redução da

propulsão utilizando a expressão 1.41 é de 6 a 10%. Há autores que defendem que a

influência do efeito da ponta da pá não é uma redução efectiva do comprimento da pá

mas sim uma influência na velocidade induzida. Assim a expressão para a velocidade

induzida corrigida é na realidade:

�C�Dj = f 42 * I� = f 42 * 6I��7 = 1� f 42 * I = 1� �C ⇒ H�Dj = 1� H 1.42

Podemos substituir esta correcção na expressão obtida para pás sem torção e velocidade

induzida uniforme (equação 1.25):

= 12 S-.] d[V3 − H2�e 1.43

E na equação com torção e velocidade induzida uniforme:

-� = S-.] d[CDEFG − H�e 1.44

Os mesmos cálculos podem ser feitos para o coeficiente de potência de onde se pode

tirar:

>�?�@[ = [V ⇒ -� = S-.]2 H� d[V3 − H2�e + 18 S-/V

[ = [CDEFG Bv ⇒ -� = S-.]4 dH� �[CDEFG − H��e + 18 S-/V� 1.45

1.4 Voo horizontal

Modelar o voo horizontal é extremamente difícil tal como foi demonstrado no capítulo

anterior utilizando e por isso utilizando a teoria de elementos de pá a situação mantém-

se. No entanto, com algumas simplificações, pode-se obter os termos importantes das

forças aerodinâmicas do rotor. Comece-mos com a expressão para a sustentação

incremental (sustentação gerada por um elemento de pá) de um perfil simétrico:

# = 12 *��+ -. = 12 *��+ -.]6[ − �7 1.46

Utilizando as aproximações feitas em que o módulo da velocidade � pode ser

aproximado por �� e � é pequeno e pode ser aproximado pelo rácio das velocidades

(equação 1.11, 1.12, 1.13):

# = 12 *��+ -.] �[ − �� = 12 *+ -.]M[�� − ��O

1.47

E resistência incremental por sua vez é dada por:

" = 12 *��+ -/ = 12 *��+ -/ 1.48

Decompondo estas forças nas suas componentes perpendicular, $&, e paralela $% ao

disco:

$& = # cos � − " sin � ≈ # = 12 *+ -.]M[�� − ��O 1.49

e

$% = # sin � + " cos � ≈ #� + "= 12 *+ -.] �� − �� + -/-.] �� 1.50

Dado que estamos na situação de voo com velocidade horizontal vale a pena relembrar

que neste caso as velocidades são periódicas dependendo da posição azimutal da pá,

sendo que:

• No plano do rotor a velocidade tem duas contribuições:

o Devido à rotação

o Devido à velocidade de avanço

• Perpendicular ao plano do rotor há tem três contribuições:

o Velocidade induzida

o Devido ao movimento de batimento

o Devido ao ângulo de batimento

A velocidade no plano do rotor já tinha sido calculada:

Figura 4 Velocidade no plano do rotor perpendicular ao bordo


Velocidade no plano do rotor perpendicular ao bordo


��6



6, �7 =



+ � sin �

Velocidade no plano do rotor perpendicular ao bordo de ataque da pá


�

de ataque da pá

de ataque da pá

1.51

A velocidade no

onde mais uma vez assumimos que o ângulo de batimento é pequeno por isso o ângulo

pode ser aproximado pelo seu seno que é igual à tangente.

primeira vez introduzimos o movimento de batimento da pá, que já tínhamos visto no

capitulo 1

que ainda há uma componente da velocidade paralela ao plano do rotor é dada por

Adimensionalisando as velocidade obtemos para a equação

para a equação

e finalmente para a equação

A velocidade no perpendicular à pá pode ser dada por:

��6, �onde mais uma vez assumimos que o ângulo de batimento é pequeno por isso o ângulo



capitulo 1 é um movimento fundamental para o controlo do helicóptero.


Adimensionalisando as velocidade obtemos para a equação

para a equação 1.52

��! = 6H�e finalmente para a equação

Figura 5

perpendicular à pá pode ser dada por:

6 �7 = �� + ��= 6Honde mais uma vez assumimos que o ângulo de batimento é pequeno por isso o ângulo



é um movimento fundamental para o controlo do helicóptero.


�� =Adimensionalisando as velocidade obtemos para a equação

��! = !52:

6 + H�7 + ��!e finalmente para a equação 1.

5 Velocidade no plano perpendicular à pá


�� + ��6�7 +6H� + H�7! +onde mais uma vez assumimos que o ângulo de batimento é pequeno por isso o ângulo





= � cos � =Adimensionalisando as velocidade obtemos para a equação

! + � ! sin �

�! + �� cos �.53

��! = �

Velocidade no plano perpendicular à pá


6 7 + � �6�7 cos+ ��6�7 +onde mais uma vez assumimos que o ângulo de batimento é pequeno por isso o ângulo





= �! cos �Adimensionalisando as velocidade obtemos para a equação

� = B + � sin

� = 6H� + H�

cos �



6 7 cos �7 �!�6�7 cosonde mais uma vez assumimos que o ângulo de batimento é pequeno por isso o ângulo

pode ser aproximado pelo seu seno que é igual à tangente. Vemos também que pela




�

Adimensionalisando as velocidade obtemos para a equação 1.51

sin �

�7 + B �� + ��


6 7 cos �


Vemos também que pela


é um movimento fundamental para o controlo do helicóptero. Não esquecer


� �� cos �

1.52


Vemos também que pela


Não esquecer


1.53

1.54

1.55

1.56

1.5 Modelos para a velocidade induzida no rotor

Para realizar estes cálculos Precisamos de saber a distribuição da velocidade induzida

que depende da esteira do rotor que depende da propulsão gerada, batimento,

distribuição de forças e da própria velocidade induzida. Seria por isso necessário um

cálculo iterativo computacional. Podemos simplificar o cálculo impondo alguns

modelos de esteira que podem ser baseados em resultados experimentais ou empíricos.

Analisando os resultados experimentais vários autores chegaram à conclusão que a

média temporal das velocidades induzidas demonstra uma variação longitudinal

aproximadamente linear. No entanto esta verificação só é válida para velocidades

horizontais maiores que 0.1, dado que na transição do voo pairado para o voo horizontal

verificou-se que a velocidade induzida não é uniforme. Fora desta zona a variação linear

da rácio velocidade induzida pode ser dada por, (ver Leishman):

H� = HV Q1 + �% �!R = HV61 + �%B cos �7 1.57

O valor λ0 é valor médio do rácio da velocidade induzida no centro do rotor, dado pela

teoria do momento linear:

HV = -�2�� + H�� 1.58

e a constante �% tem o valor de 1.2. Uma modificação a deste modelo permite não só a

variação do rácio com x mas também com y:

H� = HV Q1 + �% �! + �� !R = HVM1 + �%B cos � + ��B sin �O 1.59

Tabelando os resultados para os diversos autores:

Autor(es) kx ky

Coleman et. Al. tan Q�2R 0

Drees �LMN�� N.u ��O �� ⁄ -

2µ

Payne �L6� �⁄ 7 6N.�� ⁄ 7⁄ 0

White & Blake √� �� 0

Pitt & Peters 615P 23⁄ 7 tan Q�2R 0

Howlett 6sin �7� 0

Na expressão anterior χ é o ângulo da esteira e é dado por:

� = atan � �%�& + H�� 1.60

Figura 6 Ângulo da esteira em voo horizontal

Mangler & Squire desenvolveram um modelo usando as equações de Euler

(incompressível e linearizadas) para relacionar a distribuição de pressões no disco com

o rácio da velocidade induzida:

H� = �2-�� +V2 + 6−17E+E 6B, X7 cos _� EtN ¡ 1.61

Onde α é o ângulo de ataque do disco e cn são as constantes que dependem do

carregamento do rotor. A grande desvantagem deste modelo é que necessita do

carregamento aerodinâmico do rotor ou que este seja assumido “a priori”.

A comparação de todos estes modelos pode ser feita com resultados experimentais

Figura 7 Comparação da variação longitudinal da velocidade induzida para uma velocidade de avanço adimensional de 0.23


Figura 9 Comparação da variação lateral da velocidade induzida para uma velocidade de avanço adimensional de 0.23


De onde se pode concluir que apesar de nenhum dos modelos ser correcto, dão

resultados suficientemente próximos para um primeiro cálculo num projecto preliminar.

Capitulo 4 Teoria de Elementos de Pa

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