MOMENTO DE UM BINRIO

Um binrio definido como duas foras paralelas de mesma intensidade,

sentidos opostos e separadas por uma distncia perpendicular d, como

mostra a figura. Como a fora resultante nula, o nico efeito de um binrio

produzir rotao ou tendncia de rotao em determinada direo. O

momento produzido por um binrio chamado de momento de um binrio.

MOMENTO DE UM BINRIO

Podemos determinar seu valor calculando a soma dos momentos das foras

que compem o binrio em relao a qualquer ponto arbitrrio. Por exemplo,

na figura, os vetores posio rA e rB so orientados do ponto O para os

pontos A e B, respectivamente, que se localizam na linha de ao de F e F.

O momento do binrio calculado em relao a O , portanto:

M = rA x (-F) + rB x F

MOMENTO DE UM BINRIO

Em vez de somar os momentos de ambas as foras para determinar o

momento binrio, mais simples tomar os momentos em relao a um ponto

localizado na linha de ao de uma das foras. Se, por exemplo, o ponto A

escolhido, ento o momento de F zero, e se tem:

M = r x F

O fato de se obter o mesmo resultado em ambos os casos pode ser

demonstrado observado-se que no primeiro caso se escrever

M = (rB - rA) x F e, pela regra do tringulo de adio vetorial, rA + r = rB ou

r = rB rA. Assim, por substituio se obtm a equao (M = r x F) .Esse resultado indica que o momento de um binrio um vetor

livre, isto , pode atuar em qualquer ponto, pois M depende apenas do vetor

posio r, que orientado entre as foras, no se encontrando ligado ao

ponto arbitrrio O. Isso no acontece com os vetores posio rA e rB, que

tem origem no ponto O e extremidade nas foras.

Esse conceito , portanto, diferente do momento de uma fora, que

requer um ponto (ou eixo) definido em relao ao qual o momento

determinado.

Formulao Escalar: O momento de um binrio, M (figura), definido com

intensidade dada por:

M = F.d

Onde F a intensidade de uma das foras e d a distncia perpendicular ou

brao do momento entre as foras. A direo e o sentido do momento binrio

so determinados pela regra da mo direita, pela qual o polegar indica a

direo e o sentido quando os demais dedos esto curvados com o sentido

de rotao provocado pelas duas foras. Em todos os casos, M atua

perpendicularmente ao plano contendo essas foras.

Formulao Vetorial: O momento de um binrio pode tambm ser expresso

pelo produto vetorial utilizando a equao:

M = r x F

A aplicao dessa equao pode ser facilmente lembrada tomando-se os

momentos de ambas as foras em relao a um ponto sobre a linha de ao

de uma delas.

Se os momentos so tomados em relao ao ponto A na Figura, por

exemplo, o momento de F nulo em relao a esse ponto, e o momento de

F definido a partir da Equao acima. Portanto, nessa formulao, r

multiplicado vetorialmente por F, que a fora em cuja direo r est

orientado.

Binrios Equivalentes

Dois binrios so ditos equivalentes se produzem o mesmo momento.

Como o momento produzido por um binrio sempre perpendicular ao

plano que contm as foras desse binrio, necessrio que as foras de

binrios iguais estejam ou no mesmo plano ou em planos paralelos entre

si. Dessa forma, as direes dos momentos gerados por esses binrios

sero as mesmas, isto , perpendiculares aos planos paralelos.

Como os momentos de binrios so vetores livres,

podem ser aplicados a qualquer ponto P de um

corpo e somados vetorialmente. Por exemplo, dois

binrios atuando em planos diferentes do corpo na

figura (a) devem ser substitudos pelos seus

correspondentes momentos de binrios M1 e M2,

como na figura (b). Esses vetores livres podem ser

movidos at o ponto arbitrrio P e somados para se

obter o momento de binrio resultante

Mr = M1 + M2 , como mostrado na figura (c). Se mais

de dois momentos de binrio atuam no mesmo

corpo, pode-se generalizar esse conceito e

escrever o vetor resultante como:

MR = (r x F)

Momento de Binrio Resultante

Pontos Importantes

Um momento de binrio produzido por duas foras no colineares que so iguais

em intensidade e direo, mas tem sentidos opostos. Seu efeito o de produzir to-

somente rotao ou tendncia de rotao, uma direo especfica.

Um momento de binrio um vetor livre e, como resultado, ele provoca o mesmo

efeito de rotao em um corpo, independentemente de seu ponto de aplicao

nesse corpo;

O momento gerado pelas duas foras do binrio pode ser calculado em relao a

qualquer ponto. Por convenincia, esse ponto freqentemente escolhido na linha

de ao de uma das foras, com a finalidade de eliminar o momento dessa fora em

relao ao ponto;

Nos casos tridimensionais, o momento de binrio costuma ser determinado por

meio da formulao vetorial, M = r x F , onde r tem origem em qualquer ponto sobre

a linha de ao de uma das foras e extremidade em qualquer ponto sobre a linha

de ao da outra fora F;

Um momento de binrio resultante simplesmente a soma vetorial de todos os

momento de binrios do sistema

EXEMPLO. 4.10 pg 127Um binrio atua nos dentes da engrenagem mostrado na Figura 4.29a. Substitua esse binrio por um equivalente, composto por um par de foras que agem nos pontos A e B.

O momento de um binrio tem intensidade M = Fd = 40 (0,6) = 24 N.m, orientado perpendicularmente e para fora da pgina, uma vez que as foras tendem a girar no sentido anti-horrios. M um vetor livre e por isso pode ser aplicado em qualquer ponto da engrenagem, conforme a Figura 4.29b. Para preservar o sentido de rotao de M, foras verticais atuam pelos pontos A e B, que devem ser orientadas como mostrado na Figura 4.29c. A intensidade de cada foras :

M = Fd24 N.m = F (0,2 m)

F = 120 N

EXEMPLO. 4.11 pg 128Determine o momento de binrio que age no elemento mostrado na figura 4.30a.

O momento binrio pode ser calculado em relao a qualquer ponto:

Para o ponto D (Anlise Vetorial):M = 120 (0 p) 90 lb (2 ps) + 90 lb (5 ps) + 120 lb (1 p)M = 390 lb.ps

mais fcil, no entanto, determinar os momentos em relao aos pontos A ou B com o objetivo de eliminar o momento de foras que atuam nesses pontos.

Para o ponto A (Anlise Escalar):M = 90 lb (3 ps) + 120 lb (1 p)M = 390 lb.ps

Para o ponto B (Anlise Escalar):M = 90 lb (3 ps) + 120 lb (1 p)M = 390 lb.ps

EXEMPLO. 4.12 pg 129Determine o momento de binrio que atua sobre a estrutura de tubos mostrada na Figura 4.31a. O segmento AB est orientado em 30 abaixo do plano x-y.

Apesar de esse problema ser apresentado em trs dimenses, a geometria simples o suficiente para se usar a equao escalar M = Fd.

M = Fd = 25 lb . (6 cos 30) polM = 129,9 lb.pol

EXEMPLO. 4.73 pg 132Um momento torsor de 4 N.m aplicado ao cabo de uma chave de fenda. Decomponha esse momento de binrio em um par de binrios F exercido no cabo e P atuando na lmina de ferramenta.

MF = MF ( 0,03 ) = 4 N.mF = 133 N

MP = MP ( 0,005 ) = 4 N.mP = 800 N

EXEMPLO. 4.74 pg 132O momento de binrio resultante criado pelos dois binrios atuantes no disco MR = {10k}kip.pol. Determine a intensidade da fora T.

MR = MT10 = T (9) + T (2)T = 0,909 kip

EXEMPLO. 4.76 pg 132O sistema de rodzio submetido a dois binrios. Determine as foras F que os dois mancais criam no eixo de modo que o momento de binrio resultante no rodzio seja nulo.

MA = 0500 (50) F (40) = 0F = 625 N

EXEMPLO. 4.78 pg 133Dois binrios atuam na viga. Determine a intensidade de F, de modo que o momento de binrio resultante seja 450 lb.ps no sentido anti-horrio. Em que local da viga o momento de binrio resultante atua?

MR = M450 lb.ps = 200 (1,5) + F cos 30o (1,25) F = 138,56 lb

O momento par resultante um vetor livre. Pode atuar em qualquer ponto da viga.

EXEMPLO. 4.82 pg 133Dois binrios atuam na viga mostrada na figura. Determine a intensidade de F de modo que o momento de binrio resultante seja 300 lb.ps no sentido anti-horrio. Em que local da viga o momento de binrio resultante atua?