Capítulo 6 Círculo de Mohr para...

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Resistência dos Materiais I – SLIDES 07

Capítulo 6

Círculo de Mohr para

tensões

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6.4 Círculo de Mohr - Tensão no

plano

Consiste na solução gráfica das equações de

transformação de tensão no plano

Permite a “visualização” das componentes de

tensão de acordo com a orientação do plano

em que agem.

2

)1.6(2sin2cos22

'

xy

yxyx

x

)2.6(2cos2sin2

''

xy

yx

yx

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6.4 Círculo de Mohr - Tensão no

plano Permite a “visualização” das componentes de tensão de

acordo com a orientação do plano em que agem.

3

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Dedução do Círculo de Mohr

As equações (6.1) e (6.2) podem ser reescritas:

4

(6.10)2sin2cos22

(6.1)2sin2cos22

'

'

xy

yxyx

x

xy

yxyx

x

)11.6(2cos2sin2

)2.6(2cos2sin2

''

''

xy

yx

yx

xy

yx

yx

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Elevando ao quadrado as eqs. (6.10) e (6.11) e

somando-as, tem-se:

Dedução do Círculo de Mohr

5

(6.10)2sin2cos22

'

xy

yxyx

x

)11.6(2cos2sin2

''

xy

yx

yx

2

2

2

''

2

'22

xy

yx

yx

yx

x

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A eq. anterior pode ser colocada em uma

forma mais compacta:

Dedução do Círculo de Mohr

6

2

2

2

''

2

'22

xy

yx

yx

yx

x

)12.6(22

''

2

' Ryxmedx

2

yx

med

2

2

2xy

yxR

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Se definirmos eixos coordenados com σ positiva para

a direita e τ positiva para baixo e então construirmos

o gráfico da eq. (6.12), veremos que essa equação

representa um círculo de raio R e centro no eixo σ no

ponto C(σmed,0).

Dedução do Círculo de Mohr

7

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Dedução do Círculo de Mohr

8

Qual a orientação

dos eixos

positivos???

σ positiva

para a direita e

τ positiva para

baixo

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Dedução do Círculo de Mohr

9

)12.6(22

''

2

' Ryxmedx

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Construção do Círculo de Mohr

1. Estabelecer um sistema de coordenadas com σ positiva

para a direita e τ positiva para baixo

2. Utilizar a convenção mostrada

ao lado para os valores positivos

de σ e de τ

3. Marcar o centro do círculo C, que está

localizado no eixo σ a uma distância de

σméd=(σx+ σy)/2 da origem

4. Marcar o ponto de referência A cujas coordenadas são

A(σx, τxy), referente ao ângulo θ=0º, ou seja, alinhado

com o eixo σx do estado de tensões dado

10

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Construção do Círculo de Mohr

11

med

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Construção do Círculo de Mohr

5. Unir o ponto A ao centro

C, determinando a

hipotenusa CA, que

representa o raio R do

círculo. Um ponto G de

coordenadas (σy, -τxy),

diametralmente oposto

ao ponto A também pode

ser marcado

6. Traçar o círculo

utilizando o raio

encontrado

12

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Análise com o Círculo de Mohr

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As tensões principais σ1 e σ2 são apresentadas pelos dois pontos B e D,

onde o círculo intercepta o eixo σ

As tensões principais agem nos planos definidos por 2θp1 e 2θp2 (sentido

anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB

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Análise com o Círculo de Mohr

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As componentes de tensão de cisalhamento máxima e

de tensão normal média são determinadas pelo círculo

com as coordenadas dos pontos E e F

O ângulo 2θs1 é determinado por trigonometria. Aqui a

rotação é em sentido horário (ver figura)

As componentes σx’ e τx’y’ num ponto qualquer P

atuantes em um plano definido por um ângulo θ, medido

no sentido anti-horário, são obtidos por trigonometria

Para localizar P, o ângulo θ de um plano (no sentido

anti-horário) é medido no círculo como 2θ (no mesmo

sentido anti-horário) da linha CA para CP

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Análise com o Círculo de Mohr

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Análise com o Círculo de Mohr

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Exemplo 9.7 (Hibbeler) A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra

a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.

Figura 9.18

Pela Figura:

00 xyyx

Centro do círculo:

22

0

2

yx

med

As coordenadas do ponto de

referência para θ = 0º são A(σ,0).

O Raio do Círculo CA é R = σ/2.

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Exemplo 9.7 (Hibbeler) A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra

a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.

Pela Figura:

00 xyyx

Centro do círculo:

22

0

2

yx

med

As coordenadas do ponto de

referência para θ = 0º são A(σ,0).

O Raio do Círculo CA é R = σ/2.

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Exemplo 9.7 (Hibbeler) A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra

a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.

Tensões principais (Pontos A e D):

021

Tensão de cisalhamento máxima

e Tensão normal média:

2max

Dadas pelo ponto E na figura:

2

med

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Exemplo 9.7 (Hibbeler) A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra

a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.

Por observação, o ângulo em sentido horário

2θs1 = 90º. Portanto, θs1 = 45º, de modo que o

eixo x’ está orientado a 45º em sentido horário

em relação ao eixo x.

Como E tem coordenadas positivas, então σmed

e τmax agem nas direções x’ e y’ positivas,

respectivamente.

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Exemplo 9.8 (Hibbeler) A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra

a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.

Figura 9.19

Pela Figura:

xyyx 00

Centro do círculo:

02

00

2

yx

med

As coordenadas do ponto de

referência para θ = 0º são A(0,-τ).

O Raio do Círculo CA é R = τ.

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Exemplo 9.8 (Hibbeler) A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra

a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.

Pela Figura:

xyyx 00

Centro do círculo:

02

00

2

yx

med

As coordenadas do ponto de

referência para θ = 0º são A(0,-τ).

O Raio do Círculo CA é R = τ.

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Exemplo 9.8 (Hibbeler) A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra

a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.

Tensões principais (Pontos B e D):

2

1

Tensão de cisalhamento máxima

e Tensão normal média:

max

Dadas pelo ponto A na figura:

0med

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Exemplo 9.9 (Hibbeler) As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de

tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões

principais que agem no ponto.

Figura 9.20a

Pela Figura:

MPa6

0MPa12

xy

yx

Centro do círculo:

MPa62

012

2

yx

med

As coordenadas do ponto de

referência para θ = 0º são A(-12,-6).

Raio do Círculo eq. (6.12):

MPa49,82

''

2

' yxmedxR

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Exemplo 9.9 (Hibbeler) As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de

tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões

principais que agem no ponto.

Pela Figura:

MPa6

0MPa12

xy

yx

Centro do círculo:

MPa6med

As coordenadas do ponto de

referência para θ = 0º são A(-12,-6).

Raio do Círculo eq. (6.12):

MPa49,82

''

2

' yxmedxR

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Tensões principais (Pontos B e D):

MPa49,1449,86

MPa49,2649,8

2

1

Orientação das tensões principais:

º45612

6tan2 1

2

p º5,222 p

Exemplo 9.9 (Hibbeler) As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de

tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões

principais que agem no ponto.

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Exemplo 9.10 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,

determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do

elemento sobre o qual ela age.

Figura 9.21a

Centro do círculo:

MPa352

9020

med

As coordenadas do ponto de

referência para θ = 0º são A(-20,60).

Raio do Círculo eq. (6.12):

MPa4,812

''

2

' yxmedxR

Pela Figura:

MPa60

MPa90MPa20

xy

yx

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Exemplo 9.10 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,

determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do

elemento sobre o qual ela age.

Centro do círculo:

MPa352

9020

med

As coordenadas do ponto de

referência para θ = 0º são A(-20,60).

Raio do Círculo eq. (6.12):

MPa4,812

''

2

' yxmedxR

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Exemplo 9.10 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,

determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do

elemento sobre o qual ela age.

Orientação do elemento:

º3,211 s

Tensão de cisalhamento máxima

e Tensão normal média:

MPa4,81max

Dadas pelos pontos E e F na figura:

MPa35med

º5,4260

3520tan2 1

1

s

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Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente

o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-

horário em relação à posição mostrada na figura.

Figura 9.22a

Centro do círculo:

MPa22

128

med

As coordenadas do ponto de

referência para θ = 0º são A(-8,-6).

Raio do Círculo eq. (6.12):

MPa66,112

''

2

' yxmedxR

Pela Figura:

MPa6

MPa12MPa8

xy

yx

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Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente

o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-

horário em relação à posição mostrada na figura.

Centro do círculo:

MPa22

128

med

As coordenadas do ponto de

referência para θ = 0º são A(-8,-6).

Raio do Círculo eq. (6.12):

MPa66,112

''

2

' yxmedxR

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Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente

o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-

horário em relação à posição mostrada na figura.

Como o elemento deve sofrer

rotação de 30º em sentido anti-

horário, deve-se traçar a linha

radial CP, 2(30º) = 60º em

sentido anti-horário, medida

em relação a CA (θ = 0º).

Tensões no elemento a 30º

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Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente

o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-

horário em relação à posição mostrada na figura.

Tensões no elemento a 30º

Coordenadas do Ponto P:

º96,3010

6tan 1

º04,29º96,30º60

MPa20,804,29cos66,112' x

MPa66,504,29sin66,11'' yx

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SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões

REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt34

Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente

o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-

horário em relação à posição mostrada na figura.

Tensões no elemento a 30º

MPa20,8' x

MPa66,5'' yx

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SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões

REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt35

Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente

o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-

horário em relação à posição mostrada na figura.

Tensões no elemento a -60º

Coordenadas

do Ponto Q:

MPa2,1204,29cos66,112' x

MPa66,504,29sin66,11'' yx