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1 CAPITULO 6.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. 6.1 Introducción. 6.2 La transformada de Laplace. 6.3 La transformada de Laplace unilateral. 6.4 Inversión de la transformada de Laplace. 6.5 Solución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. 6.6 La transformada de Laplace bilateral. 6.7 Análisis de sistemas mediante la transformada de Laplace. 6.1 Introducción. Generalizamos la representación senoidal compleja de la FT Caracterización más amplia de sistemas y su interacción con señales *señales no absolutamente sumables (ej. : respuesta impulso de un sistema inestable) Propiedades Función de transferencia Unilateral: solución ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales Bilateral: características del sistema (estabilidad, causalidad, resp. frec.) Análisis transitorio y estabilidad de sistemas LTI

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1

CAPITULO 6.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.6.1 Introducción.

6.2 La transformada de Laplace.

6.3 La transformada de Laplace unilateral.

6.4 Inversión de la transformada de Laplace.

6.5 Solución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales.

6.6 La transformada de Laplace bilateral.

6.7 Análisis de sistemas mediante la transformada de Laplace.

6.1 Introducción.

Generalizamos la representación senoidal compleja de la FTCaracterización más amplia de sistemas y su interacción con señales

*señales no absolutamente sumables(ej. : respuesta impulso de un sistema inestable)

PropiedadesFunción de transferencia

Unilateral: solución ecuaciones diferenciales con condiciones inicialesBilateral: características del sistema (estabilidad, causalidad, resp. frec.)

Análisis transitorio y estabilidad de sistemas LTI

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2

6.2 La transformada de Laplace

)()cos( tsenjeteeeejs

tttjtts ωω

ωσσσωσ +==

+=

==

ωσ Factor de amortiguamiento exponencial < 0

Frecuencia del coseno y seno

6.2 a

{ }

{ }

( ))()(

)(

)(

)()()(

)()(;)()()(

)()(;)(

)()()()(

)()()(*)()()(

ωσφωσφ

φ

τ

ττ

ωσ

φ

ττ

ττττ

τττ

jtjttssj

sj

ts

ststs

tstssts

tsts

eejHeesHty

sHdefasesesHsHsistemadelticocaracterísvalorsH

sistemadelticacaracterísfuncióne

dehsHesHeH

esHedehdehty

dtxhtxtheHtyetx

++

∞−

∞−

∞−

−−

∞−

+==

==

==

==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

−===⇒=

∫ ∫

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3

6.2 b( ) ( ))()()(cos)()( ωσφωωσωσφωωσ σσ jtsenejHjjtejHty tt +++++++=

)()cos( tsenjetee ttts ωω σσ +=

[ ]

[ ] [ ]

∫∫

∫∫

∞−

+

∞−

∞−

∞−

∞−

−−∞

∞−

+−

∞−

+=

+=

+⎯→←

==

==+

+==

ωωσπ

ωωσπ

ωσ

ωωπ

ω

τωσ

ωσττ

ωσ

ωσ

σ

ωω

ωσωσ

τ

dejHth

dejHeth

jHeth

dejXtxdtetxjXFT

deethdtethjH

jsdehsH

tj

tjt

FTt

tjtj

tjttj

s

)(

)(

)(21)(

)(21)(

)()(

)(21)(;)()(:

)()()(

;)()(

6.2 c

∞<

=+⎯→←⎯→←

==

==

=

=

=+=+=

∞−

∞−

∞+

∞−

∞−

∞+

∞−

∞−

+

dtetxiaconvergencdecondición

sXjXetxsXtx

thdeLaplacededaTransformadtetxsX

sHdeLaplacedeinversadaTransformadsesXj

tx

txseñaltodaParadtethsH

dsesHj

th

jdsdjsdejHth

ts

FTtL

ts

j

j

ts

ts

j

j

ts

tj

)(;

)()()(;)()(

)()()(

)()(2

1)(

)(;)()(

)(2

1)(

;;)(21)( )(

ωσ

π

π

ωωσωωσπ

σ

σ

σ

σ

σ

ωσ

ROC : Región de convergencia=intervalo de σ para converja transfor.

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4

Figure 6.2 (p. 485)The Laplace transform applies to more general signals than the

Fourier transform does. (a) Signal for which the Fourier transform does not exist.

(b) Attenuating factor associated with Laplace transform. (c) The modified signal x(t)e-σt is absolutely integrable for σ > 1.

1>σ

te σ− tetx σ−)(

1>σ

6.2 dSi x(t) es absolutamente sumable:La transformada de Fourier está dada por la transformada de Laplace evaluada a lo largo del eje imaginario

0|)()( == σω sXjX

xSXdepolosdoSXdecerosc

ds

csbasasas

bsbsbsbSX

k

k

N

k k

M

k kMN

NN

MM

MM

⇒⇒

−=

++++++++

=∏∏

=

=−

−−

)(:)(:

)(

)()(

1

1

011

1

011

1

K

K

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Figure 6.3 (p. 486)The s-plane. The horizontal axis is Re{s} and the vertical axis

is Im{s}. Zeros are depicted at s = –1 and s = –4 ± 2j, and poles are depicted at

s = –3, s = 2 ± 3j, and s = 4.

σ

σω

⇒⇒

sv

6.2 eEjemplo 6.1. Determine la transformada de Laplace de

y describa la ROC y la localización de polos y ceros. Suponer “a” real

)()( tuetx ta=

aspolo

ROCasas

sX

eee

eas

dtedtetuesX

atjta

t

tas

t

tastaststa

=

⇒>−

=

==

−−

===

>−−−

∞→

−−

∞→

∞−−∞

−−∞

∞−

− ∫∫

)Re(,1)(

0limlim

|1)()(

)()(

0)(

0

)(

σωσ

(causal)

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6

Figure 6.4 (p. 487)The ROC for x(t) = eatu(t) is depicted by the shaded region. A

pole is located at s = a.

σω

⇒⇒

sv

σ

6.2 fEjemplo 6.1. Determine la transformada de Laplace de :

y describa la ROC y la localización de polos y ceros. Suponer “a” real

)()( tuety ta −−=

[ ]

)()(

)Re(,1)(

0limlim

|1)()(

)()(

0)(0

)(

sXsYaspolo

ROCasas

sX

eee

eas

dtedtetuesY

atjta

t

tas

t

tastaststa

==

⇒<−

=

==

−=−=−−=

<−−−

−∞→

−−

−∞→

∞−−−

∞−

−−∞

∞−

− ∫∫σ

ωσ

(anticausal)

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7

Figure 6.5 (p. 488)The ROC for y(t) = –eatu(–t) is depicted by the shaded region.

A pole is located at s = a.

σ

σω

⇒⇒

sv

6.3 La transformada de Laplace unilateral.

asROCas

tueas

tue

sXtxdtetxsX

LtaLta

Lts

u

u

>−

⎯→←−

⎯→←

⎯→←= ∫∞ −+

)Re(1)(;1)(

)()(;)()(0

PROPIEDADES )()(;)()( sYtysXtx uu LL ⎯→←⎯→←

Linealidad

Escalamiento

Corrimiento en el tiempo

)()()()( sbYsaXtbytax uL +⎯→←+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎯→←

asX

aatx uL 1)(

)()()()(|)()(

τττττ τ

−−=−∀⎯→←− −

tutxtutxsXetx sLu

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6.3 aPROPIEDADES (cont.)

Corrimiento en el dominio s

Convolución

Diferenciación en el dominio de s

Diferenciación en el dominio del tiempo

Integración

Teorema valor inicialTeorema valor final

)()( 00 ssXtxe uLts −⎯→←

)()()(*)( sYsXtytx uL⎯→←

)()( sXdsdtxt uL⎯→←−

)0()()( +−⎯→← xssXtxdtd

uL

)0(|)(|)()()( 10

201

1+−

=−

=−

−−−−⎯→← ++ xstxdtdstx

dtdsXstx

dtd n

tn

tn

nnL

n

nu K

ssXdx

sdx uLt )()(1)(

0+⎯→← ∫∫

+

∞−∞−ττττ

)0()(lim +

∞→= xssX

s

)()(lim0

∞=→

xssXs

solo si Re(polos)<0

6.4 Inversión de la transformada de Laplace.

ni

Ltdn

ri

i

i

i

i

i

k

kLtdk

N

k k

k

N

k k

MM

MM

NN

N

MM

MM

dsAtue

nAt

dsA

dsA

dsA

dsAtueA

dsASX,

dsbsbsbsbSX

asasasbsbsbsb

sAsBSX

uk

r

uk

)()(

)!1(

)(,,

)(,,rdadmultiplicidpolo

)(;)(distintosdpolos

)()(

)()()(

1

2i

1k

1

011

1

011

1

011

1

21

−⎯→←

−−−

−⎯→←

−=

++++=

++++++++

==

=

=

−−

−−

−−

K

K

K

K

∫∞+

∞−=

j

j

ts dsesXtxσ

σπ)(

21)(

Polos reales:

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9

6.4 aPolos complejos

Si los coeficientes en el polinomio del denominador son reales, lospolos complejos se presentan en pares conjugados complejos.

20

2

202

02

20

21

01

20

212112

02

202

20

21

20

221

00

21

0

1

0

1

00

)()()(

)()()()cos(

;;)()(

)(

)())((

,:

ωαωω

ωααω

ωα

ωαω

ωαα

ωαωαωαωαωα

ωαωα

α

α

+−⎯→←

+−−

⎯→←

+==

+−+

+−−

=

=+−

+=

+−−−+

=+−

+−−

−+

sCtutseneC

ssCtuteC

BBCBCs

Cs

sC

sBsB

jsjsBsB

jsA

jsA

jjcomplejosconjugadospolos

u

u

Lt

Lt

Re{s}>-a

Re{s}>-a

Re{s}>0t u(t)

Re{s}>0u(t)

ROCTransformadaSeñal

Transformadas de Laplace básicas (1)

∫∞+

∞−=

j

j

ts dsesXj

txσ

σπ)(

21)( ∫

∞−

−= dtetxsX ts)()(

s1

2

1s

ste−

as +1

2)(1as +

0),( ≥− ττδ t

)(tue at−

)(tute at−

s∀

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Re{s}>-a

Re{s}>-a

Re{s}>0

Re{s}>0

Re{s}>0

ROCTransformadaSeñal

Transformadas de Laplace básicas (2)

21

2 ω+ss

)()][cos( 1 tutω

)()]([ 1 tutsen ω 21

21

ωω+s

)()]cos([ 1 tute at ω−21

2)( ω+++

asas

)()]([ 1 tutsene at ω−21

21

)( ωω

++ as

)(tut n1

!+ns

n

∫∞+

∞−=

j

j

ts dsesXj

txσ

σπ)(

21)( ∫

∞−

−= dtetxsX ts)()(

6.4 bProblema 6.8Encontrar la transformada inversa de Laplace de 54

23)( 2 +++

=ss

ssX

)()(4)()cos(3)(

)()()(

)()()()cos(

1)2(14

1)2()2(3)(

4;3;)()(

)()(

2;3;)(1)2(

2354

23)(

22

20

2

202

02

20

21

01

22

2

22

20

212112

02

202

20

21

2120

221

222

tutsenetutetx

sCtutseneC

ssCtuteC

ssssX

BBCBCs

Cs

sCsX

BBs

BsBs

sss

ssX

tt

Lt

Lt

u

u

−− −=

+−⎯→←

+−−

⎯→←

++−

+++

+=

−=+

===+−

++−−

=

==+−

+=

+++

=++

+=

ωαωω

ωααω

ωα

ωαω

ωαα

ωα

α

α

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6.5 Solución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales.

)()()()()()(

|)()(

|)()(

)(

)(

)()()()(

)()()()(

1

1

00

1

1

1

00

1

011

1

011

1

011

1

1

011

1

1

sDsXsBsCsYsA

txdtdsbsD

tydtdsasC

bsbsbsbsB

asasasasA

txbtxdtdbtx

dtdbtx

dtdb

tyatydtdaty

dtdaty

dtda

M

k

k

ltl

llk

k

N

k

k

ltl

llk

k

MM

MM

NN

NN

M

M

MM

M

M

N

N

NN

N

N

−=−

=

=

++++=

++++=

++++=

=++++

∑∑

∑∑

=

==

−−

=

==

−−

−−

−−

+

+

K

K

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

K

K

6.5 a

)()()(

sistemadelnaturalessfrecuencia

)(;0)(;)()()(

)()()()()(

)()(0)()()()()(0)(

)()(

)()()()()(

)()()()()()(

)()(

)(

)(

)(

)(

sYsYsY

p

etypraicessAsAsCsY

sAsDsXsBsY

sYsYsDsXsBnulaentradasYsYsCnulasinicialesscondicione

sAsC

sAsDsXsBsY

sDsXsBsCsYsA

nfi

i

tpi

n

f

n

f

i

+=

=

==⇒==

−=

=⇒=−⇒

=⇒=⇒

+−

=

−=−

Frecuencias naturales del sistema : raíces de A(s)=0

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12

Problema 6.38Problema 6.38 Determine la respuesta natural y forzada parael sistema LTI descrito por la siguiente ecuación diferencial

6.6 La transformada de Laplace bilateral.

causalnotxdtetxsXtx tsL )(;)()()( ∫∞

∞−

−=⎯→←

Propiedades de la región de convergencia ROC

Si x(t) es de orden exponencial.La ROC de una señal lateral izquierda es de la forma σ<σn

La ROC de una señal lateral derecha es de la forma σ>σn

La ROC de una señal bilateral es de la forma σp<σ<σn

[ ]bttx >∀= ,0)(

[ ]attx <∀= ,0)(

(es de extensión infinita en ambas direcciones)

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6.6 aPropiedades de la región de convergencia ROCLas propiedades de: linealidad, escalamiento,corrimiento,convolución y diferenciación en el dominio s son idénticas para la transformada bilateral y unilateral, aunque las operaciones asociadas con estas propiedades pueden cambiar la ROC.

Corrimiento en el tiempo

Diferenciación en el dominio del tiempocon ROC al menos Rx

Integración en el tiempo

Teoremas del valor inicial y final ,con la restricción x(t)=0 t<0

)()( sXetx tsL −⎯→←−τ

)()( ssXtxdtd L⎯→←

0)Re(:,)()( >∩⎯→←∫ ∞−sRROC

ssXdx x

Ltττ

6.6 bInversión de la tranformada de Laplace bilateral

kk

kLtdk

kk

kLtdk

N

k k

kN

k k

M

k kMN

NN

MM

MM

dsROCconds

AtueA

dsROCconds

AtueA

dsA

ds

csbasasas

bsbsbsbSX

k

k

<−

⎯→←−−

>−

⎯→←

−=

−=

++++++++

= ∑∏∏

==

=−

−−

)Re()(

)Re()(

;)(

)()(

11

1

011

1

011

1

K

K

Transf. lateral derecha

Transf. lateral izquierda

La ROC asociada a X(s) determina cual de las dos se elige.La propiedad de linealidad establece que la ROC de X(s) es laIntersección de las ROC de los términos individuales en la expansiónen fracciones parciales.Si la señal es causal elegimos transformada lateral derecha.Una señal estable es absolutamente integrable y existe la transformadade Fourier, la ROC incluye el eje Re(s)=0.

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6.6 cProblema 6.43 Use el método de la la descomposición en fracciones simples para calcular la señal en tiempo continuo correspondiente a la siguiente transformada bilateral de Laplace :

)(2)(3)())()23()())()23()()

22

13

234)(

1)Re(2)1)Re()2)Re()

234)(

2

2

2

2

2

tuetuetxctueetxbtueetxassss

sSX

sROCConcsROCConbsROCCona

sssSX

tt

tt

tt

−−

−−

−−

+−−=

+−=

−−=+

++−

=++

−−=

−<<−−>−<

++−−

=

6.7 Análisis de sistemas mediante la transformada de Laplace.

==⇒=⎯→←=)()()()()()()(*)()(

sXsYsHsXsHsYtxthty L Función de

transferencia

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6.7 aFunción de transferencia y las ecuaciones diferenciales

{ } { } { }

∏∏

∑∑

∑∑∑∑

=

=

=

=

==

====

−===

==

=⇒=

=⎯→←=

N

k k

M

k k

N

MN

k

kk

M

k

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tsktsk

kts

M

kk

k

k

N

k

tsk

k

k

tsts

M

k

kk

N

k

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LM

kk

k

k

N

kk

k

k

ds

csab

sa

sb

sXsYsH

esedtde

dtdbsHe

dtda

esHtyetx

sXsbsYsatxdtdbty

dtda

!

1

0

0

00

0000

)(

)()()()(

;)(

)()()(

)()()()(

6.7 bDescripción de función de transferencia y variables de estado

[ ]dssH

sXsHsXdssYsXss

sXsssdXssYtdxtty

sXssstxttdtd

sQ

sQsQ

s

tq

tqtq

t

L

L

N

L

N

+−=

=+−=

−=

=−+=⎯→←+=

=−⎯→←+=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=⎯→←

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

bAIcbAIc

bAIqbqAI

qccq

bqAqbAqq

qq

1

1

1

2

1

2

1

)()()()()()()(

)()()(~)()(~)(

)()(~)()()()(

)()(~)(~)()()(

)(

)()(

)(~

)(

)()(

)(MM

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6.7 cCausalidad y estabilidad

La respuesta al impulso es la transformada inversa de Laplacede la función de transferencia (¿ROC ?)La descripción de la ecuación diferencial no da información de ROC

Si el sistema es causal h(t)=0 para t<0, la respuesta al impulso sedetermina de la función de transferencia empleando transformadasinversas de Laplace laterales derechas

Si el sistema es estable la respuesta al impulso es absolutamenteintegrable, existe la transformada de Fourier, la ROC incluye el ejejω en el plano s

Un sistema estable y causal deben tener todos los polos en el semiplano izquierdo del plano s

Figure 6.19 (p. 524)The relationship between the locations of poles and the impulse

response in a causal system. (a) A pole in the left half of the s-plane corresponds to an exponentially decaying impulse response. (b) Apole in the right half of the s-plane corresponds to an exponentially

increasing impulse response. The system is unstable in this case.

σω

⇒⇒

sv

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17

Figure 6.20 (p. 524)The relationship between the locations of poles and the impulse

response in a stable system. (a) A pole in the left half of the s-plane corresponds to a right-sided impulse response. (b) A pole in the right half of the s-plane corresponds to an left-sided impulse response. In

this case, the system is noncausal.

σω

⇒⇒

sv

Figure 6.21 (p. 525)A system that is both stable and causal must have a transfer function with all of its poles in the left half of the s-plane, as

shown here.

σω

⇒⇒

sv

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18

6.7 dDeterminación de la respuesta en frecuencia a partir de polos y ceros. Diagramas de Bode

∏∏

∏∏

∏∏

=

=

=

=

=

==

=

=

=

=

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

−=⎯⎯ →←

−===

N

k k

M

k k

N

M

N

kk

M

kk

N

k k

M

k k

N

Mjs

N

k k

M

k k

N

MN

k

kk

M

k

kk

d

cabk

djcj

Kdj

cjabjHsH

ds

csab

sa

sb

sXsYsH

!

1

1

1

!

1

!

1

0

0

)(

)(

1

1

)(

)()()(

)(

)()()()(

ω

ω

ω

ωωω

Calcularemos la respuesta en frecuencia del sistema combinandoapropiadamente las respuestas en frecuencia de cada polo y cero.Suponemos que todos los polos y ceros son reales

6.7 e

{ }

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+−=

−=−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−−−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

∑∑

∑∑

==

==

=

=

2

2

11

11

1

1

1log101log20)(

;1

1)(

1arg1argarg)(arg

1log201log20log20)(

1

1)(

bbdbd

bk

k

d

N

k k

M

k k

M

k k

M

k kdb

N

kk

M

kk

jjH

realddonde

djjH

polofactorunosConsideremdj

cjKjH

dj

cjKjH

djcj

KjH

k

k

ωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

ω

ω

ω

sumas

sumas

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19

6.7 e2

transiciónocrucedefrecuencia:asintotasdecorte

log20log20log20log101log10

,sfrecuenciaaltasAsintotas

01log101log10

,sfrecuenciabajasAsintotas

1log10)(

2

2

2

2

2

2

2

⇒=

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−≈⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

>>

=−≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

<<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

b

bbbb

b

b

b

bdbd

db

jHpolok

ωω

ωωωω

ωω

ωω

ωωωω

ωωωωω

6.7 f{ }

{ } { }

{ } º45arctan)(arg

º90)arctan(arctan

,sfrecuenciabajasAsintotas

0)0arctan(arctan

,sfrecuenciabajasAsintotas

arctan/1arg)(arg

;1

1)(

1arg1argarg)(arg11

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒=

−=∞−≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

>>

=−≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

<<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+−=

−=−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= ∑∑

==

b

bbdb

b

b

b

b

bbd

bk

k

d

N

k k

M

k k

jH

jjH

realddonde

djjHpoloun

dj

cjKjH

k

k

k

ωωωωω

ωω

ωωωω

ωωωωωωω

ωωω

ωωω

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20

Figure 6.30 (p. 535)Bode diagram for first-order pole factor: 1/(1 + s/ωb).

(a) Gain response. (b) Phase response.

σω

⇒⇒

svbωω / bωω /

b

jωω

+1

1

6.7 g

Ejemplo 6.25 Dibujar el diagrama de Bode de un sistema con función de transferencia

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+=

+++

=

501)1(

101

)(

)50)(1()10(5)(

ωω

ω

ωjj

j

jH

ssssH

Sistema de fase mínima : “ todos los polos y ceros están en el semiplano izquierdo”

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21

Figure 6.31a (p. 536)Bode diagram for Example 6.25.

(a) Gain response of pole at s = –1 (solid line), zero at s = –10 (dashed line), and pole at s = –50 (dotted line).

(b) Actual gain response (solid line) and asymptotic approximation (dashed line).

ω⇒v

Figure 6.31b (p. 536)(c) Phase response of pole at s = –1 (solid line), zero at s = –10

(dashed line), and pole at s = –50 (dotted line). (d) Actual phase response (solid line) and asymptotic

approximation (dashed line).

ω⇒v

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22

6.7 h

( ) ( )[ ]{ } ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

+−−=

+−=

≤−±−=

++=

++=

2

2/12222

2

2

222

2

)/(1)/(2arctan)(arg

/4)/(1log20)(

)/(2)/(11)(

1,1

)/()/(211

2)(

n

n

nndb

nn

nn

nnnn

n

jP

jP

jjP

jspolos

sssssP

ωωωωζω

ωωζωωω

ωωζωωω

ζζωζω

ωωζωζωω

Pares de polos o ceros complejos conjugados

6.7 h2( ) ( )[ ]

707.0;35.0;01.0;14

)2log(20)(:Re

01log40)(asintotasdeCorte

)/log(40)/log(20)(

,sfrecuenciaaltasAsintotas

01log20)(,sfrecuenciabajasAsintotas

/4)/(1log20)(

{

2

2/12222

=−==

=−=⇒=

=−=⇒=⇒

−=−=

>>

=−=

<<

+−−=

ζζζ

ζωωω

ωωω

ωωωωω

ωω

ωωω

ωωζωωω

dbdbdb

jPal

dbjP

dbjP

dbjP

jP

dbnn

dbn

nndb

n

db

n

nndb

Pares de polos o ceros complejos conjugados

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23

6.7 h3{ }

{ }

{ }

{ } º90)(arg:Re

180)0arctan()(arg

,sfrecuenciaaltasAsintotas

0)0arctan()(arg

,sfrecuenciabajasAsintotas

)/(1)/(2arctan)(arg 2

−=⇒=

−=−=

>>

=−=

<<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

nn

ob

ob

n

n

jPal

jP

jP

jP

ωωω

ω

ωω

ω

ωω

ωωωωζω

Pares de polos o ceros complejos conjugados

Figure 6.32 (p. 537)Asymptotic approximation to 20log10|Q(jω)|, where

nn s ss 22 /)/(2 1

1 )Q(ω+ωζ+

=

ω⇒v

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24

Figure 6.33 (p. 538)Bode diagram of second-order pole factor for varying ζ

(a) Gain response. (b) Phase response.

nn s ss 22 /)/(2 1

1 )Q(ω+ωζ+

=

ω⇒v

ζ⇒z

6.7 i1

)20(408)()(

++

=ssssHa

Problema 6.23 Dibujar los diagramas de bode para elsistema con función de transferencia :

ω⇒v

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25

6.7 i2

)10)(2)(1(`10)()(

+++=

ssssHb

Problema 6.23 Dibujar los diagramas de bode para elsistema con función de transferencia :

ω⇒v

6.7 j)10020(

)1(100)( 2 +++

=sss

ssH

Problema 6.23 Dibujar los diagramas de bode (módulo)para el sistema con función de transferencia :

ω⇒v

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26

Re{s}>-a

Re{s}>-a

Re{s}>0t u(t)

Re{s}>0u(t)

ROCTransformadaSeñal

Transformadas de Laplace básicas (1)

∫∞+

∞−=

j

j

ts dsesXj

txσ

σπ)(

21)( ∫

∞−

−= dtetxsX ts)()(

s1

2

1s

ste−

as +1

2)(1as +

0),( ≥− ττδ t

)(tue at−

)(tute at−

s∀

Re{s}>-a

Re{s}>-a

Re{s}>0

Re{s}>0

Re{s}>0

ROCTransformadaSeñal

Transformadas de Laplace básicas (2)

21

2 ω+ss

)()][cos( 1 tutω

)()]([ 1 tutsen ω 21

21

ωω+s

)()]cos([ 1 tute at ω−21

2)( ω+++

asas

)()]([ 1 tutsene at ω−21

21

)( ωω

++ as

)(tut n1

!+ns

n

∫∞+

∞−=

j

j

ts dsesXj

txσ

σπ)(

21)( ∫

∞−

−= dtetxsX ts)()(

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27

Re{s}<-a

Re{s}<-a

Re{s}<0-t u(-t)

Re{s}<0-u(-t)

ROCTransformadaSeñal

Transformadas de Laplace bilaterales, para señales distintas de cero para

s1

2

1s

ste−

as +1

2)(1as +

0),( ≤− ττδ t

)( tue at −− −

)( tute at −− −

s∀

0≤t

Propiedades de la transformada de Laplace (1)

x(at)

x(t-τ)

al menosaX(s)+bY(s)aX(s)+bY(s)ax(t)+by(t)

Y(S)Y(s)y(t)

X(S)X(s)x(t)

ROCTransformada

bilateralTransformada

unilateralSeñal

xRs∈

0,1>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ a

asX

a

yRs∈

yx RR ∩

)(sXe sτ−

)()()()( τττ −−=− tutxtutxsi)(sXe sτ−

xR

)(0 txe ts− )( 0ssX + )( 0ssX + { }0Re sRx +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

asX

a1

aRx

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28

Propiedades de la transformada de Laplace (2)

al menos

al menos

-t x(t)

al menosX(s)Y(s)X(s)Y(s)x(t)*y(t)

Y(S)Y(s)y(t)

X(S)X(s)x(t)

ROCTransformada

bilateralTransformada

unilateralSeñal

xRs∈

∫−

∞−+

0 )()(1ssXdx

sττ

yRs∈

yx RR ∩

)(sXdsd

xR

)(txdtd

)0()( +− xssX )(ssX xR

ssX )( { }{ }0Re >∩ sRx∫ ∞−

tdx ττ )(

)(sXdsd

Propiedades de la transformada de Laplace (3)

Teorema del valor inicial

Teorema del valor final

Propiedad de diferenciación unilateral-Forma general

)0()(lim +

∞→= xssX

s

)()(lim0

∞=→

xssXs

solo si Re(polos)<0

)0(|)(|)()()( 10

201

1+−

=−

=−

−−−−⎯→← ++ xstxdtdstx

dtdsXstx

dtd n

tn

tn

nnL

n

nu K

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29

Problema 6.26

Problema 6.27

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30

Problema 6.28

Problema 6.30

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31

Problema 6.32

Problema 6.33

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32

Problemas 6.35 y 6.36

Problema 6.37

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33

Problema 6.38

Problema 6.41

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34

Problema 6.43

Problema 6.45

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35

Problema 6.47

Problema 6.48

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36

Problema 6.49

Problema 6.50

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37

Problema 6.55 a

Problema 6.55 b