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Capitulo 6 – Resolução de Exercícios

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 53

FORMULÁRIO

Conjuntos Equivalentes no Regime de Juros Simples./Vencimento Comum.

Desconto Racional ou Por Dentro

1 2 1 2

1 2 1 2

... ...1 1 1 1 1 1

m

m

CC C C C C

i n i n i n i n i n i n

11 1

mk

k k

CC

i n i n

Desconto Por Fora ou Comercial

1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1m mC i n C i n C i n C i n

1

1 1m

k k

k

C i n C i n

Conjuntos Equivalentes no Regime de Juros Compostos./Vencimento Comum.

Desconto Racional Composto ou Composto Por Dentro

1 2 1 2

1 2 1 2

' ' '

' ' '

1 1 1 1 1 1m

m

n n n n n n

CC C C C C

i i i i i i

11 1k

mk

n nk

CC

i i

Desconto Comercial Composto ou Composto Por Fora

1 2 1 2

1 2 1 21 1 ... 1 1 1 ... 1mn n n n n n

mC i C i C i C i C i C i

1

1 1k

mn n

k

k

C i C i

Vencimento Médio 1 2 ... mC C C C

no caso de desconto simples por fora 1 1 2 2

1 2

...

...

m m

m

C n C n C nn

C C C

Compras a Prazo

Desconto Racional Simples 1

1

1

n

k

V E Rk i

Desconto Comercial Simples

2 1 2;

2 2 1

i n V EV E R n R

n i n



Desconto Racional Composto

1 1

1

n

n

iV E R

i i

;

1

1 1

n

n

i iR V E

i

Desconto Comercial Composto

11 1

ni i

V E Ri

;

1

1 1n

V E iR

i i

Taxa Implícita na Compra a Prazo

*

* *

1 1

1n

V E

R i i i

Fórmula Aproximada de Karpin (Compra a Prazo) n R F

F

;

2 3ˆ

2 3 1i

n n

Caso de Prestações Decrescentes em Progressão Aritmética

1 1 ; 1,2,...,jP P j r j n ; 1F n P n r ;

* n ri

F

Caso de Prestações em Progressão Geométrica

1

1 , 1,2 ,j

jP P q j n ;

1n P q F

q F

;

2 3ˆ 1 1

2 3 1i q

n n



6.9— Exercícios Propostos

1) Determinar, sendo a taxa de juros de 3% a.m., o valor nominal de um título capaz de, com

vencimento para 30 dias, substituir, na data de hoje, outro com valor nominal de R$

1.000,00, vencível em 120 dias, considerando:

a) Desconto Racional Simples

b) Desconto Comercial Simples

c) Desconto Racional Composto

d) Desconto Comercial Composto

Solução


1000$ 919,64

1 1 1 0,03 1 1 0,03 4

C C CC R

i n i n


1 1 1 0,03 1 1000 1 0,03 4 $ 907,22C i n C i n C C R


' 1 4

' 1000$ 915,14

1 1 1 0,03 1 0,03n n

C C CR

i i


1 4

1 1 1 0,03 1000 1 0,03 $ 912,67n n

C i C i C C R

2) Determinar, sendo a taxa de juros de 3% a.m., o valor nominal de um título capaz de, com

vencimento para 30 dias, substituir, na data de hoje, uma sequência de 4 pagamentos

iguais com valor nominal de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro em 120 dias e os seguintes

a cada trinta dias, considerando:





Solução


3 1 2 4

1 2 3 41 1 1 1 1

1000 1000 1000 1000

1 0,03 1 1 0,03 4 1 0,03 5 1 0,03 6 1 0,03 7

CC C CC

i n i n i n i n i n

C



892,85714 869,56522 847,45763 826,446281,03

3436,32627 $ 3.539,421,03

C

CC R


1 1 2 2 3 3 4 41 1 1 1 1C i n C i n C i n C i n C i n

1 0,03 1 1000 1 0,03 4 1 0,03 5 1 0,03 6 1 0,03 7

0,97 3340 $ 3.443,30

C

C C R


1 2 3 4

31 2 4

1 4 5 6 7

1 1 1 1 1

1000 1000 1000 1000

1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03

888,48705 862,60878 837,48426 813,09151 3401,671601 0,03

$ 3.503,72

n n n n n

CC C CC

i i i i i

C

C

C R


1 2 3 4

1 2 3 4

1 4 5 6 7

1 1 1 1 1

1 0,03 1000 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03

0,97 1000 0,88529 0,85873 0,83297 0,80798

$ 3.489,66

n n n n nC i C i C i C i C i

C

C

C R

3) Determinar, sendo a taxa de juros de 5% a.m., o valor nominal de uma sequência com 3

pagamentos mensais e iguais, com vencimento inicial na data de hoje, capaz de substituir,

na data de hoje, uma sequência de 4 pagamentos mensais e iguais com valor nominal de

R$ 1.000,00, vencendo o primeiro em 90 dias, considerando:





Solução


1000 1000 1000 1000

1 0,05 1 1 0,05 2 1 0,05 3 1 0,05 4 1 0,05 5 1 0,05 6

C CC

2,86147 3272,12932 $1.143,51C C R




1 1 0,05 1 1 0,05 2 1000 1 0,05 3 1 0,05 4 1 0,05 5 1 0,05 6

2,85 3100 $1.087,72

C

C C R


2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 11 1000

1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,06

2,85941 3216,28164 $1.124,81

C

C C R


1 2 3 4 5 6

1 1 0,05 1 0,05 1000 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05

2,85250 3180,75408 $1.115,08

C

C C R

4) Determinar o vencimento médio, para que um capital seja equivalente, na data de hoje,

aos compromissos representados por 3 títulos cujos valores nominais são R$ 1.000,00,

R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00, vencíveis no fim de 1 ano, 2 anos e 3 anos, respectivamente, se

a taxa de juros corrente for de 5% a.a., e adotando-se o :





Solução


6000 1000 2000 3000

1 0,05 1 0,05 1 1 0,05 2 1 0,05 3

60005379,25842 6000 5379,25842 268,96292

1 0,05

6000 5379,258422,30791

268,96292

n

nn

n anos


6000 1 0,05 1000 1 0,05 1 2000 1 0,05 2 3000 1 0,05 3

6000 53006000 300 5300 2,333

300

n

n n anos

Alternativamente, lembremos que, no caso de desconto simples por fora, tem-se:



1

1

1000 1 2000 2 3000 32,333

1000 2000 3000

m

k k

k

m

k

k

C n

n anos

C


1 2 3

6000 1000 2000 3000

1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05

60001 0,05 1,11983

952,38095 1814,05896 2591,51280

0,11318LN 1 0,05 LN 1,11983 2,31968

0,04879

n

n

n n anos


1 2 36000 1 0,05 1000 1 0,05 2000 1 0,05 3000 1 0,05

950 1805 2572,125 5327,1251 0,05 0,88785

6000 6000

0,118952LN 0,95 LN 0,88785 2,31907

0,051293

n

n

n n anos

5) Certa loja de departamentos vende determinada geladeira, cujo preço de tabela é

R$ 1.200,00, nas seguintes condições:

à vista, com 10% de desconto

a prazo, com 4 prestações mensais, a primeira vencendo-se 1 mês após a data da

compra.

Dado que a loja utiliza a taxa de juros de 5% a.m., qual deve ser o valor das prestações, se

a loja considerar

a) Desconto Racional Simples?

b) Desconto Comercial Simples?

c) Desconto Racional Composto?

d) Desconto Comercial Composto?

Solução


1 1 1 11080

1 0,05 1 1 0,05 2 1 0,05 3 1 0,05 4

10803,56437 1080 $ 303,00

3,56437

R

R R R




1080 1 0,05 1 1 0,05 2 1 0,05 3 1 0,05 4

10803,5 1080 $ 308,57

3,5

R

R R R


1 2 3 4

1 1 1 11080

1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05

10803,54595 1080 $ 304,57

3,54595

R

R R R


1 2 3 4

1080 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05

10803,52438 1080 $ 306,44

3,52438

R

R R R

6) Certa loja de departamentos vende determinada geladeira, cujo preço de tabela é

R$ 1.200,00, nas seguintes condições:

à vista, com 10% de desconto

a prazo, com entrada de 20% mais 4 prestações mensais de R$ 250,00, a primeira

vencendo-se 1 mês após a data da compra.

Qual a taxa implícita mensal que está sendo cobrada pela loja, se sua determinação for

efetuada com base no modelo de

a) Desconto Racional Simples?

b) Desconto Comercial Simples?

c) Desconto Racional Composto?

d) Desconto Comercial Composto?

Solução


1 1 1 11080 240 250

1 1 2 1 3 1 4

1 1 1 13,36 0

1 1 2 1 3 1 4

i i i i

i i i i

equação que só pode ser resolvida por procedimento iterativo. Como primeira tentativa,

ensaiemos, arbitrariamente, i = 7,0% a.m.

Para i = 7,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,05947; isto é, menor que zero.

Como o lado esquerdo da equação cresce com a taxa, seu valor deve ser maior do que 7%.

Como segunda tentativa, ensaiemos, arbitrariamente, i = 8,0% a.m.



Para i = 8,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,00798; isto é, maior que zero. O

que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,0% e 8,0%.

Daqui para frente, usaremos o método da bisseção, tomando como a próxima tentativa o

ponto médio do intervalo; ou seja. 7,5%.


O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,5% e 8,0%.



Para i = 7,875% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,000028; isto é, menor que

zero. O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,875% e

8,0%.

Como o erro é da ordem de 10-5 podemos dizer que a taxa implícita linear que a loja está

utilizando está muito próxima de 7,875%a.m.

Poderíamos utilizar a função Solver do Excel para resolver este mesmo problema, como

mostrado na planilha abaixo. Vale notar que o erro apresentado pelo algoritmo foi da

ordem de 10-14.


1080 240 250 1 1 2 1 3 1 4

4 3,363,36 4 10 0,064 6,4% . .

10

i i i i

i i ou a m




1 2 3 4

1 2 3 4

1 1 1 11080 240 250

1 1 1 1

1 1 1 13,36 0

1 1 1 1

i i i i

i i i i



Para i = 7,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual -0,02721; isto é, menor que zero.

Como o lado esquerdo da equação cresce com a taxa, seu valor deve ser maior do que 7%.

Como segunda tentativa, ensaiemos, arbitrariamente, i = 8,0% a.m.









Para i = 7,375% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,00127; isto é, maior que zero.




7,375%.

Se continuássemos mais algumas iterações poderíamos chegar à taxa i = 7,3582% a.m.

com valor bem próximo da taxa efetiva.

Alternativamente, e de uma maneira mais eficiente, podemos combinar a aproximação

dada pela fórmula de Karpin com o algoritmo de Newton-Rapson. Como

4 250 8400,190476

840

a primeira aproximação será

1

2 0,190476 3 0,190476ˆ 0,073556 7,3556% . .

2 4 0,190476 3 4 1i ou a m



Com

1 1 2 3 4

1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1

1 1 1 1ˆ( ) 840 250 0,049745ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1

1 2 3 4ˆ( ) 250 1886,908731ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1

V ii i i i

e

V ii i i i

Logo

12 1

1

ˆ( ) 0,049745ˆ ˆ 0,73556 0,073582 7,3582% . .ˆ 1886,908734( )

V ii i ou a m

V i

Assim, como 2ˆ( ) 0,000003V i , já é suficientemente próxima de zero, podemos concluir

que a taxa implícita exponencial que está sendo cobrada é 7,3582% a.m.

Em se dispondo da HP 12C, fazendo-se caso da função IRR, teremos

[f][REG]1080[ENTER]240[-][CHS][g][CF0]250[g][CFj]4[g][Nj][f][IRR]7,358201

Poderíamos também utilizar a função Solver do Excel para resolver este mesmo problema,

como mostrado na planilha abaixo.




1 2 3 4

1 2 3 4

1080 240 250 1 1 1 1

3,36 1 1 1 1 0

i i i i

i i i i



Para i = 7,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual 0,01269; isto é, maior que zero.

Como o lado esquerdo da equação cresce com a taxa, seu valor deve ser menor do que

7%. Como segunda tentativa, ensaiemos, arbitrariamente, i = 6,0% a.m.









Para i = 6,875% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,00184; isto é, maior que zero.




6,875%.

Se continuássemos mais algumas iterações poderíamos chegar à taxa i = 6,85388% a.m.

com valor bem próximo da taxa efetiva.

Observação: A aplicação do algoritmo de Newton-Raphson

No caso mais geral, de n prestações periódicas e iguais a R, nosso problema consiste em

determinar a taxa de juros i tal que:

1

1 , 0 1n

j

j

V E R i com i

Consideremos a função F(i) , definida como

1

( ) 1 , 0 1n

j

j

F i V E R i com i

Nosso problema é, então, determinar a taxa i*, com 0 < i* < 1, tal que se tenha F(i*)=0.



Como 1

1

( ) 1 0n

j

j

F i R j i

, se i < 1 e 2

1

( ) 1 1 0n

j

j

F i R j j i

, se

i < 1, segue-se que o algoritmo de Newton-Raphson, tal como discutido no Apêndice 6A, é

aplicável.

Deste modo, partindo da aproximação inicial

1

2(0)ˆ(0) 1

n R V EFi

F n n R

tem-se, recursivamente

1

ˆ( )ˆ ˆˆ( )

kk k

k

F ii i

F i

Por conseguinte, no caso em questão, onde V-E = 840, n = 4 e R = 250, tem-se:

1

12 1

1

23 2

2

2 4 250 840ˆ 0,064 6,4% . .

4 5 250

ˆ( ) (0,064) 9,916514ˆ ˆ 0,064 0,064 0,068518 6,8518% . .ˆ (0,064) 2195,097856( )

ˆ( ) (0,068518) 0ˆ ˆ 0,068518 0,068518ˆ (0,068518)( )

i ou a m

com

F i Fi i ou a m

FF i

e

F i Fi i

FF i

,0461390,068539 6,8539% . .

2174,695436ou a m

Então como F(0,068539)= – 0,000928, já é suficientemente próximo de zero, temos que a

taxa que está sendo cobrada, de acordo com o modelo de desconto composto por fora, é

de 6,8539%a.m.

Poderíamos, também, utilizar a função Solver do Excel para resolver este mesmo

problema, como mostrado na planilha a seguir.



7) Um comerciante oferece a seus clientes um esquema de compra a prazo com entrada de

R$ 500,00, mais 3 prestações mensais de R$ 300,00, a primeira vencendo-se 45 dias após o

pagamento da entrada, para o caso de uma mercadoria cujo preço à vista é R$ 1.000,00.

Determinar a taxa efetiva exponencial implícita no plano.

Solução

A taxa mensal i de juros compostos que está implícita no plano de compra a prazo em

questão é tal que:

1,5 2,5 3,5

300 300 3001000 500

1 1 1i i i

ou

1,5 2,5 3,5

300 300 300500 0

1 1 1i i i

equação que só pode ser resolvida por um processo de tentativas.

Fazendo uso do algoritmo de Newton-Raphson, sendo

1,5 2,5 3,5

1 1 1( ) 500 300

1 1 1F i

i i i

e



1,5 2,5 3,5

1,5 2,5 3,5( ) 300

1 1 1F i

i i i

tem-se

1

(0) 400ˆ 0,177778(0) 2250

Fi

F

e, recursivamente

1

ˆ( )ˆ ˆˆ( )

kk k

k

F ii i

F i

Logo

12 1

1

23 2

2

34 3

3

ˆ( ) 103,186376ˆ ˆ 0,177778 0,262030ˆ 1224,728925( )

ˆ( ) 12,121967ˆ ˆ 0,262030 0,274762ˆ 952,084358( )

ˆ( ) 0,218001ˆ ˆ 0,274762 0,275000ˆ 918,112357( )

F ii i

F i

F ii i

F i

F ii i

F i

Como 4ˆ 0,000073F i já é suficientemente próximo de zero, segue-se que a taxa de

juros compostos que está implícita no plano é 27,5%a.m.

Alternativamente, para que possamos fazer uso da função IRR da HP 12C, trabalharemos

com o período de 15 dias. Com isto, o fluxo de caixa que caracteriza o plano de compras a

prazo em questão, do ponto de vista do comerciante, é:

0 1 2 3 4 5 6 7500; 0; 300; 0; 300; 0; 300CF CF CF CF CF CF CF CF

Logo, para determinação da taxa relativa ao período de 15 dias, teremos:

[f][REG]500[CHS][g][CF0]0[g][CFj][g][CFj]300[g][CFj]0[g][CFj]300[g][CFj]0[g][CFj]

300[g][CFj][f][IRR]12,915887

Por conseguinte, como a taxa relativa ao período de 15 dias é 12,915887%, temos que a taxa mensal

procurada é:

2

1 0,129159 1 0,27500 27,5% . .i ou a m

Podemos também utilizar a função TIR do Excel, como indicado na planilha a seguir. Vale notar que

o mesmo fluxo de caixa utilizado na resolução pela HP 12C foi utilizado no Excel, em que cada

período é de 15 dias. Observamos, ainda, que as células são apresentadas na forma percentual; isto

é, os verdadeiros valores calculados são 0,129159 e 0,275.



8) A De Faro Automóveis Importados está vendendo um certo modelo de carro importado da

China, nas seguintes condições:

i. à vista, por R$ 48.000,00

ii. a prazo, com R$ 8.000,00 de entrada , mais 10 pagamentos mensais de

R$ 4.500,00, cada um, com o primeiro sendo 1 mês após o pagamento da entrada.

Considerando uma inflação mensal no período de financiamento à taxa de 0,5% a.m.,

pede-se:

a) determinar a taxa anual aparente de juros compostos que está implícita no plano,

fazendo uso da HP 12C.

b) determinar a taxa anual real de juros compostos que está implícita no plano.

Solução

a) Fazendo uso da HP 12C, e tendo em vista que o valor financiado é R$ 40.000,00,

tem-se que a taxa mensal é dada por:

[f][REG]40000[CHS][g][CF0]4500[g][CFj]10[g][Nj][f][IRR]2,200912

Logo, a taxa anual aparente de juros compostos , i , que está implícita no plano de

compra a prazo em questão é:

12

1 0,02200912 1 0,298546 29,8546% . .i ou a a

b) Como a taxa mensal de inflação é suposta constante e igual a 0,5% a.m., temos

que a taxa mensal real é:

,

1 0,022009121 0,016924 1,6924% . .

1 0,005R mi ou a m

Logo a taxa anual real é:

12

, 1 0,016924 1 0,223107 22,3107% . .R ai ou a a



9) Sejam os dois seguintes conjuntos de pagamentos, todos eles com seus respectivos

vencimentos contados a partir de uma mesma data origem:

Conjunto A

1 1

2 2

3 3

4 4

$18.000,00 ; 45

$15.000,00 ; 60

$25.000,00 ; 90

$22.000,00 ; 105

P R n dias

P R n dias

P R n dias

P R n dias

Conjunto B

1 1

2 2

3 3

$30.000,00 ; 30

$12.000,00 ; 60

; 90

P R n dias

P R n dias

P N n dias

Considerada a taxa de juros de 2% a.m., determinar o valor nominal N do pagamento 3P

de modo que, relativamente à data origem, os conjuntos A e B sejam equivalentes, se for

adotado o princípio do

a) desconto racional simples

b) desconto comercial simples

c) desconto racional completo

d) desconto comercial composto

Solução

a) considerado o princípio do desconto racional simples, o valor N deve ser tal que:

18000,00 15000,00 25000,00 22000,00

45 60 90 1051 0,02 1 0,02 1 0,02 1 0,02

30 30 30 30

30000,00 12000,00

30 60 901 0,02 1 0,02 1 0,02

30 30 30

N

ou

17475,72816 14423,07692 23584,90566 20560,74766

29411,76471 11538,46154 0,943396

$37.199,89

N

N R

b) considerando o princípio do desconto comercial simples, o valor de N dever ser tal que:



45 60 90 18000 1 0,02 15000 1 0,02 25000 1 0,02

30 30 30

105 + 22000 1 0,02

30

30 60 9030000 1 0,02 12000 1 0,02 1 0,02

30 30 30N

ou

17460 14400 23500 20460 29400 11520 0,94

$37.127,66

N

N R

c) considerando o princípio do desconto racional composto, o valor de N deve ser tal que:

45/30 60/30 90/30 105/30

30/30 60/30 90/30

18.000 15.000 25.000 22.000

1 0,02 1 0,02 1 0,02 1 0,02

30.000 12.000

1 0,02 1 0,02 1 0,02

N

ou

17473,19193 14417,53172 23558,05836 20526,83917

29411,76471 11534,02537 0,942322 $37.173,94N N R

d) considerando o princípio do desconto comercial composto, o valor de N deve ser tal

que:

45/30 60/30 90/30 105/30

30/30 60/30 90/30

18000 1 0,02 15000 1 0,02 25000 1 0,02 22000 1 0,02

30000 1 0,02 12000 1 0,02 1 0,02N

ou

17462,70907 14406,00000 23529,80000 20498,11596

29400,00000 11524,80000 0,941192

$37.156,95

N

N R

10) Relativamente ao exercício anterior, suponha que o valor de N seja estabelecido de modo

que a soma dos valores nominais dos pagamentos do conjunto A, iguale a soma dos

valores nominais dos pagamentos do conjunto B.

Determine, para cada um dos quatros modelos de desconto, a correspondente taxa de

juros implícita.

Solução



Em sendo o valor nominal de 3P fixado de modo que

18000 15000 25000 22000 30000 12000

$38.000,00

N

N R

,

teremos, trivialmente, qualquer que seja o modelo de desconto, que os dois conjuntos são

equivalentes à taxa nula. Ou seja, em qualquer um dos 4 casos, a correspondente taxa

implícita é nula.

11) Ainda com relação ao exercício 9, suponha-se que se tenha fixado N=R$ 37.000,00. Pede-

se determinar, relativamente a cada um dos quatros modelos de desconto, a

correspondente taxa implícita mensal.

Solução

a) desconto racional simples.

A taxa mensal de juros simples implícita deve ser tal que:

18000 15000 25000 22000 30000 12000 37000

1 1,5 1 2 1 3 1 3,5 1 1 2 1 3i i i i i i i

ou introduzindo a função F (i), definida como

18000 15000 25000 22000 30000 12000 37000

1 1,5 1 2 1 3 1 3,5 1 1 2 1 3

30000 18000 3000 12000 22000

1 1 1,5 1 2 1 3 1 3,5

F ii i i i i i i

i i i i i

segue-se que a taxa i procurada deve anular a função F i .

Ora, a equação 0F i só pode ser resolvida por um processo de tentativas. Assim,

observando que, quando a taxa i foi fixada em 2% a.m., no exercício 9, tivemos N = R$

37.199,89, e que o valor de N decresce quando se aumenta o valor de i, tomemos

como primeira tentativa 1 2,5% . .i a m Temos que:

0,025 29268,2968 17349,39739 2857,142857 11162,79070

20229,88506 5.342130

F

Como 1( ) 0F i , deveríamos, a rigor, para saber se devemos ou não aumentar o valor

da estimativa, determinar o sinal da derivada de ( )F i . Como isto é por demais

trabalhoso, ensaiemos, algo arbitrariamente, 2 2,8% a.m.i Teremos

0,028 29182,87938 17274,47217 2840,909091 11070,11070

20036,42987 101,178950 0

F



Podemos, pois, concluir que a taxa implícita pertence ao intervalo (2,5% ; 2,8%).

Prosseguindo, adotando o método da bisseção, testemos

3 2,5 2,8 2 2,65% a.m.i . Temos que:

0,0265 29225,52362 17311,85381 2849,002849 11116,25753

20132,69275 48,231740

F

Concluiríamos que 2,5% ; 2,65%i , o que nos levaria a tomar como 4ª tentativa

4 2,5 2,65 2 2,575% a.m.i ; e assim por diante. Concluiriamos que a taxa

procurada é da ordem de 2,51% a.m.

b) desconto comercial simples

Agora, a taxa mensal de juros simples que está implícita é a taxa i tal que:

18.000 1 1,5 15.000 1 2 25.000 1 3 22.000 1 3,5 30.000 1

12.000 1 2 37.000 1 3

i i i i i

i i

que se traduz em uma equação do primeiro grau em i .

Logo:

80.000 27.000 30.000 75.000 77.000 79.000 30.000 24.000

111.000 1.000 44.000 0,022727 ou 2,27% a.m

i i i i i i

i i

c) desconto racional composto

A taxa mensal i de juros compostos, deve ser tal que:

1,5 2 3 3,5 2 3

18.000 15.000 25.000 22.000 30.000 12.000 37.000

11 1 1 1 1 1ii i i i i i

ou

1,5 2 3 3,5

30.000 18.000 3.000 12.000 22.0000

1 1 1 1 1i i i i i

Para que possamos fazer uso da função TIR da HP 12C, precisamos trabalhar com um

fluxo de caixa cujo período seja um número inteiro. Assim, no caso, adotaremos como

base o período de 15 dias (meio mês). Com isto, a taxa procurada, relativa ao período

de 15 dias, será a taxa interna de retorno do fluxo de caixa:

0 1 2 3 4 5

6 7

0; 30.000; 18000; 3.000; 0;

12.000; 22.000

CF CF CF CF CF CF

CF CF



Deste modo, teremos:

00 30000

18000 3000 12000

22000 1,357072

j j

j j j

j

f REG g CF g CF CHS g CF

g CF g CF CHS g CF

g CF f IRR

Ou seja, a taxa implícita de juros compostos, relativa ao período de 15 dias, é

1,357072% a.m. Logo, a taxa mensal procurada é:

2

1 0,0357072 1 0,027326 ou 2,73% a.m.i

d) desconto comercial composto

Neste caso, a taxa mensal de juros compostos que está implícita é a taxa i tal que:

1 1,5 2 3

3,5

30.000 1 18.000 1 3.000 1 12.000 1

22.000 1 0

i i i i

i

Alternativamente, trabalhando-se com a taxa i relativa ao período de 15 dias, esta

deve ser tal que:

2 3 4 6 7

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ30000 1 18000 1 3000 1 12000 1 22000 1 0i i i i i

Ou seja, trabalhando com a incógnita auxiliar

ˆ1x i

devemos resolver a equação1

2 3 4 6 7( ) 30.000 18.000 3.000 12.000 22.000 0F x x x x x x

ou

2 4 5( ) 30 18 3 12 22 0x x x x x

Observando que a equação ( ) 0x só pode ser resolvida por tentativas, e tendo em

vista que, fazendo uso da relação (5.21), que relaciona as taxas de desconto comercial

e racional, tomaremos como primeira aproximação a taxa 1i dada por

1 1

0,013571ˆ ˆ0,013389 1 0,013389 0,9866311 0,013571

i x

1 Observe-se que F(x) apresenta a raiz espúria ˆ0 1x i



onde a taxa 1,3571% ao período de 15 dias é solução obtida no caso do desconto

racional composto.

Temos que:

0,986631 0,124819 0 e 1 1 0

Portanto, podemos inferir que a solução procurada está no interior do intervalo

(0,986631;1), sendo mais próxima da extremidade esquerda. Como segunda

estimativa, testemos, então, 2 0,988x .

Como 0,988 0,010551 , podemos inferir que a raiz procurada é levemente

superior à tentativa 2x . Testemos, então, 3 0,9885x .

Como 0,9885 0,030710 0,988 ; 0,9885x . Assim, prosseguindo agora

com o método da bisseção, testemos o ponto médio do intervalo :

4 0,988 0,9885 2 0,988250x .

Como

5

0,988250 0,010070 0,988; 0,988250

0,988 0,98825 2 0,988125

x

x

;

com 0,988125 0,000243 , que podemos considerar já suficientemente

próximo de zero.

Assim, com razoável precisão, a taxa de desconto comercial composto, relativa ao

período de 15 dias, que está implícita quando se considera o modelo de desconto

comercial composto, é:

0,5 1 0,988125 0,011875 ou 1,1875%i

Por conseguinte, em termos de taxa mensal, teremos:

2 2

0,51 1 1 1 0,011875 0,023609 ou 2,3609% a.m.i i

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