244 CA PfT ULO 7 I Energa xltcncial y conservacin de la energa

que podemos reescribir como

Xl + VI = K2 + Vzo

(si slo la gravedad realiza lrabajo) (7.4)

(si s610 la gravedad realiza trabajo)

(7.5)

Ahora def1nimos la suma K + U de las energas cintica y pOlencial como E, laenerga mecnica total del sistema. -Por "sistema", nos referimos al cuerpo demasa m y la Tierra considerados juniOS, porque Ues W1ll propiedad compartida de amobos cuerpos. As, El" K l - VI es la energa mecnica total coy! YE2 = KI + Vzes la energa mecanica total en h La ecuacin (7A) dice que, cuando el peso delcuerpo es la nica fuerza que realiza trabajo sobre l. El = El' Es decir, E es cons-tante; tiene el mismo valor enYI que eoy}, No obstante, dado que las posicionesYI yYI son puntos arbitrarios en el movimiento del cuerpo, la energa mecanica to-tal E tiene el mismo valor en todos los puntos durante el movimiento;

E = K + U = constante (si slo la gravedad efecta trabajo)Una cantidad que siempre tiene el mismo valor es una cantidad que se conserva.Si slo la fuerza de gravedad efecta trabajo, la energa mecnica total es cons-tante. es decir, se conserva (Fig. 7.2). ste es nuestro primer ejemplo de la con-servacin de la energa mecnica.

Cuando lanzamos una pelota al aire, su rapidez disminuye al subir, a medidaque la energa cintica se convierte en energa potencial; Al( < Oy oU> O. Al ba-jar, la energa potencial se convierte en cintica y la rapidez de la pelota aumenta;Al( > Oy!1U < O. No obstante, la energa mecnica total (cintica ms potencial)es la misma en todos los puntos del movimiento, siempre que nin~na otra fuerzarealice trabajo sobre la pelota (la resistencia del aire debe ser insignificante). Si-gue siendo verdad que la fuerza gmvitacional efecta trabajo sobre el cuerpo alsubir o bajar ste, pero ya no tenemos que calcularlo directamente; basta ver c-mo cambia el valor de U.

ClflbAl:) Un punto importante en lo que se refiere a la energa potencialgravitacional es que no importa qu altura escojamos como Y" 0, el origen decoordenadas. Si desplazamos el origen de y, los valores deYl yYl cambiarn. pe

Al subirK disminuye

U aumenla~-'_'

7.2 Mientras el atleta est en el aire, slo la gravedad efectatrabajo sobre l (si despreciamos los efeetos menores de laresistencia del aire). La energa mecnica -la suma de las energascintica y potencial gravitacional- se conserva.

7.1 I Energa pOlencial gravitacional 245

ro su diferencia no. Se sigue que aunque VI y V1 dependen de dnde coloque-mos el origen, la diferencia V1 - VI - lIIg(yl - YI) es independiente. La cantidadque tiene importancia ffsica no es el valor de Ven cierto punto, sino la diferen-cia en V entre 2 puntos. Asf, podemos definir U como cero en cualquier puntosin afectar fa fsica de la situacin. Esto se ifustra en ef siguiente ejempfo.

Altura de una pelota por conservacin de la energa

EVALUAR: La masa se elimina, como esperbamos; en el captulo2 vimos que el movmiento de un cuerpo en cada libre no dependede su masa. De hccho, podramos haber deducido el resultado Y2 =V1212g utilizando la ecuacin (2.13).

Al realizar el clculo anterior, escogimos ef origen en el punto 1,de modo queYI = OYVI - O. Qu pasa si escogemos otro origen?Suponga que lo colocamos 5.0 m debajo del punto 1, de modo queYI .. 5.0 m. Entonces, la energa mecnica total en el punto 1 sera enpane cintica y en pane polencial, pero en el punto 2 ser puramen-te potencial. Si realiza el clculo usando este origen, obtendr "25.4 ro, esto es 20.4 m sobre el punto 1, igual que con el primer ori-gen. En cualquier problema, corresponde a Ud. escoger la altwadonde U - O; no se rompa la cabeza, porque la riSiea de la respucs-ta no depende de su decisin.

1'2mv11 "" IIlgYl

v? (20.0mlsPY::! = 2g = 2(9.80 mls2) "" 20.4 m

U, 29.0J)"2 = "~ = (0.145k:g)(9.80mI~) = 20.4 m

yes igual a la energa potencial U1 - mg)7 en el punto 2, as que

Tambin podemos resolver KI= U2 algebraicamente despcjandoYl:

EJECUTAR: Puesto que Yl - O, la energia polencial en el punto I esV. = mg)'1 - O. Ademas, dado que la pelota esta en reposo en el pun-102, la energa cintiea en ese punto es K2 "" lmv/ = O. La ecua-cin (7.4), que dice que K1 + V. = K2 + V1, se convierte en

Kl _"" V1

Como se ve en las grficas de banas de energa de la figura 7.J, laenerga cintica de la bofa en el punlo 1se convierte totalmente en ener-ga potencial gravitacional !!n el punto 2. En el punto 1, la energacintica es

1 1KI "" 2"mv? "" 2"(0.145kg)(20.0mls)l "" 29.0J

abandona la mano. Entonces,Yl = O(Fig. 7.3) Y la incgnita es sim-plemcnte Y2'

E K U

E K U

lLVI = 20.0 mism - 0.150 kg. ~.-o

Ejemplo7.1

u

Lanzamos una pelota de bisbol con masa de 0.145 kg haciaarriba, dndole una rapidez inicial de 20.0 mis. Use la conservacinde la energa para determinar qu altura alcanza, despreciando laresistencia def aire.

EI!!mIIDENTIFICAR: Una vez en el aire, la nica fuerza que acta sobrela pelota es su peso; por tanlo, podcmos usar la conservacin de laenerga mecnica.

PLANTEAR: Usaremos las ecuaciones (7.4) y (7.5); ef punto I serel punto en que la bola abandona fa mano, y el punto 2, donde fa pe-lota alcanza su altura mxima. Al igual que en fa figura 7.1, esco-gemos un ejeyque apunta venicalmente hacia arriba. La rapidez dcla pelota en el punlo I es VI - 20.0 mis. La pefota esta instanranea-mente en reposo en el punto ms alto de su movimiento (punto 2),as que V2 - o.

La incgnita es la distancia que la pelota se mueve venicalmen-le entre estos dos punlos, es decir, el desplazamienlo"Y2 - Yl' Porsencillez, colocaremos el origen en el punto 1, donde la pelola

73 Despus de separarse la pelota de la mano, la nica fuerzaque acta sobre ella es su peso (despreciando la resistencia delaire), asi que la energa mecnica E = K + U se conserva. Lasgrficas de barras de energia muestran los valores de E, K Y UenYl=OYY2'

246

Act',vPhyscs5.2 Deteniendo un elevador que

asciende

5.3 Detencin de un elevador quebaja

5.6 Rapidez de un esquiador

CA PfT ULO 7 I Energa potencial y conservacin de la energa

Efecto de otras fuerzas

Si otras fuerzas actan sobre el cuerpo adems de su peso, entonces FOh>; de lafigura 7.1 no es O. En el caso del martinete del ejemplo 6.5 (seccin 6.2) la fuerzaaplicada por el cable y la fric~n de las guias verticales son ejemplos de fuerzasque podran estar incluidas en F_. El trabajo gravitacionaI Wpo_ an esta dad~ porla ecuacin (7.3), pero el trabajo tolal WlOt es la suma de IVm' Yel trabajo de Fotros-Llamamos a este trabajo adicional Wocra" de modo que el trabajo total realizadopor todas las fuerzas es W;oc = Wgra + WOl",," Igualando esto al cambio de energacintica, tenemos

Por ltimo, usando las expresiones apropiadas para los dislintos terminos de ener-ga, obtenemos

K + VI + WOlrti = K2 + V2 (7.7)(si otras fuerzas adems de la gravedad efectan trabajo)

El significado de las ecuaciones (7.7) y (7.8) es que el Trabajo realizado por fo-das las fUerzas distintas de la gravitacional es igual al cambio en la energa mec-nico ToTal E = K + V del sisTema, donde U es la energa poTencial gravifacional. SiWoau es positivo, E aumenta y (K1 + UiJ > (K + VI)' Si IV.-. es negativo, E dismi-nuye. En el caso especial en que slo el peso realiza trabajo, WOlra5 = O. La encrgiamecnica total es entonces constante, y volvemos a la ecuacin (7.4) o (7.5).

Estrategia pararesolver problemas

WDl/U + IV""y = K2 - K lAdems, por la ecuacin (7.3), Wen" = VI - V2, as que

WOQ;\lO + VI - V2 == K2 - KIque podemos reacomodar as:

I 2 I 2'2mv + mgy + WOlnt-, = '2/1lU2 + mgy2

(si otras fuerzas adems de la gravedad efeeman trabajo)

Problemas en 105 que se utiliza energa mecnica

(7.6)

(7.8)

IDENTIFICAR los conceptos pertinellles: Primero decida si con-viene resolver el problema con metodos de energa, usando

"iF = mii directamente, o con una combinacin de estrategias.El enfoque de energa es muy til si el problema implica movi-miento con fuerzas variables, en una !rayectora curva (quc ve-remos ms adelante) o ambas cosas. Si el problema implicatiempo transcurrido, el enfoque de energa no suele ser el mejorporque en el no interviene el tiempo direclamente.

PLANTEAR el problema empleando fos pasos sigllientes:1. S usa el enfoque de cnergia, primero decida cules son

los estados inicial y final (posiciones y velocidades) delsistema. Use el subindice I para el estado inicial y el 2 pa-

ra el fmal. Resulla l hacer dibujos que muestren los es-lados inicial y final.

2. Defina su sistema de coordenadas, sobre todo el nivel encl que y = O. Esto le servir para calculat las energias po-tcnciales gravitacionales. La ecuacin (7.2) supone que ladireccin +yes hacia arriba; le sugerimos tomar esa deci-sin de forma consistente.

3. Identifique las fuerzas no gravitacionales que: efecluentrabajo. Los diagramas de: cuerpo libre siempre son uliles.Si algunas de las cantidade:s que necesira son incgnitas,rcprc:sntelas con simbolos algebraicos.

4. Haga una lista de las cantidades conocidas y desconoci-das, incluidas las coordenadas y velocidades en cada pun-lO. Dccida qu incgnitas resolver.

7.1 I Energa potencial gravitacional 247

EJECUTAR la solucin, Escriba e;.;:presiones para las energiascinticas y potenciales iniciales y finales (XI> X2, V y V2). Engeneral, algunas sern conocidas y otrdS no. Relacione las ener-

gias cintica y potencial y el trabajo no gravitacional Wo'""usando la ecuacin (7.7). (Tendr que calcular W""", en tnninosde las fuerLas no gravitacionales.) Si no hay trabajo no gravita-cional, la expresin se convertir en la ecuacin (7.5). Las gr~

ficas de barras que muestran los valores iniciales de K, U Y E '"K + U son tiles. Despeje la cantidad desconocida.

EVALUAR la respresla: Verifique si su respuesta es lgica fsi-camente. Tenga presente, aqu y ms adelante, que el trabajoefectuado por cada fuerza debe estar representado en Ut - U2 '"'-..Vo bicn cn Wotros, pero nunca en ambos. El trabajo gravita-cional est incluido en ..U; tenga cuidado de no incluirlo otravez en W"',....

Ejemplo72 Trabajo y energa al lanzar una pelota

En el ejemplo 7.1, suponga que la mano sube 0.50 m al lanzar lapelota, la cual, al separarse, tiene una velocidad hacia arriba de 20.0mis. Haga, otra vez, caso omiso de la resistencia del aire. a) Supo-niendo que su mano ejerce una fuen::a constante hacia arriba sobre

la pelota, calcule la magnitud de csa fuerza. b) Calcule la rapidez de lapelota en un punto 15.0 m arriba de donde se le sall.

>'3'" 15.0m

(b)

uKElLy, = O

y,

F

0.50 m

1 ceroYI - -0,50 m --:-=~_-E K U

U2 = 20.0 mis '''--

7.4 (a) Lanzamiento vertical de una pelota hacia arriba. ~(b) Diagrama de cuerpo libre de la pelota mientras la fuerza Faplicada por la mano efecta el trabajo Wott>. sobre la pelota. EntreYI y Y2 actan Fy la gravedad; deh aY3 slo acta la gravedad.

PLANTEAR: La figura 7.4 muestra un diagrama de la situacin, conun diagrama dc cucrpo libre de la pelota al ser lanzada. El movi-miento de la pelota tiene dos etapas: mientras est en contacto conla mano y despus de lanzada. Para definir esas etapas, sea el pun-to 1 el punto donde la mano inicia su movimiento, el punto 2, don-de la pelola pierde contacto con la mano y el punto 3, donde lapelota est 15.0 m arriba del punto 2. La fuerza no gravitacional desu mano, le slo acta entre los puntos l y 2. Utilizando el mismosstema de coordenadas que en el ejemplo 7.1, tenemos YI .. -0.50

m'Yl '" OYY3 '" 15.0 lll. La pelota parte del reposo en el punto 1, asique v .. O, Ynos dicen que la rapidez con que la pelota abandona lamano es V2 = 20.0 mis. Las incgnitas son (a) la magnitud F dc la fuer-za que la mano aplica y (b) la rapidez V3 en el punto 3.

llil!!m:'llIIDENTIFICAR: En el ejemplo 7.1, usamos la conservacin de laenerga mecnica porque slo la gravedad efectuaba trabajo. En es-te ejemplo, en cambio, deberemos incluir tambin el trabajo no gra~vitacional efectuado por la mano.

EJECUTAR:a) Para determinar la magnitud de F, primero usaremos la ecuacin(7.7) para calcular el trabajo IV"""" efectuado por esa fuerza, Tenemos

K I = O

VI =mgy = (0.145 kg)(9.80 m/s2 )(-O.50 m) = -0.7IJI I

K2 = "2mvl = "2(0.145 kg)(20.0 m/sF = 29.0 J

V2 = mgY2 = (0.145 kg)(9.80 m/s2)(0) = O

La energa potencial inicial UI es negativa porque la pelota estabaabajo del origen. Por la ecuacin (7.7), KI + Ul + Wott>. '" K2 + U2,as que

248 CA pfT ULO 7 I Energa polencial y conservacin de la ent:rga

IV_ = (K2 - K1 ) + (U2 - VI)~ (29.0) - O) + (O - (-0.71 J)) ~ 29.7J

Dado que K] = !mvl;' donde ulJ"es la componente y de la veloci-dad dc la pelola en el punto 3, tenemos

La energa cinetica de la pelota aumenta en K: - K1 = 29.0 J, Ylapotencial, en U2 - VI - 0.71 J; la suma es E2 - Eh el cambio enla energa mecnica lotal, que es igual a W..~.

Suponiendo que la fuerza Fhacia arriba aplicada por la mano esconstante, el trabajo WOItU efectuado por esa fuerza es igual a lamagnitud F de la fuerza multiplicada por el desplazamiento haciaarriba Y: - Yl en el que acta:

Yen< = F(y2 - Yl)

W.... 29.7JF~ ---~-- "" 59N

>'2 -}'. O.SOm

Esto es unas 40 veces mas que el peso de la pelota.b) Para obtener la rapidez en el puniD 3, tomamos nota de que, en-tre los puntos 2 y 3, se conserva la energa mecnica total; la fuerza de: la mano ya no acta, asi que IV_ = O. Podemos obtener laenerga cinetica en el punto 3 usando la ecuacin (7.4):

K2 + U2 = KJ + UJUl = mgYl = (0.145 kg)(9.80 m/s2)( 15.0 m) = 21.31X] = (Xl + U2 ) - Ul = (29.01 + 01) - 21.31 = 7.71

(.)

IfjK 2(7.7 J)v =... ----1 = ... ,/~~;-;:'- = ~ 10 misJ, - m - O.145kgEl significado del signo ms/menos es que la pelota pasa dos vecespor el punto 3, una vez de subida y otra de bajada. La energia mecnica total E es constante e igual a 29.0 1 mientras la pelota est encaida libre, y la energa potencial en el punto 3 es Ul = 21.31, seaque la pelota est subiendo o bajando. Asi, en el punto 3 la energacintica y la rapidez de la pelota 00 dependen de la direccin delmovimiento. La velocidad vlf es positiva (+ IOmis) cuando la pelo-la sube y negativa (-10 mis) cuando baja; la rapidez ti] es de 10mis en ambos casos.

EVALUAR: Para comprobar el resullado, recordemos que en elejemplo 7.1, la pelota alcanza una altura mxima dey= 20.4 m. Enese punto, loda la energa cinetica que la pelota tena cuando aban-don la mano en y - Ose ha convertido en energia potencial gravi-lacional. Eny = 15.0, la pelota est a tres cuartas partes del caminohacia su altura mxima, as que unas tres cuartas partes de su ener-ga mecnica debern estar cn forma de energra potencial. Puededemostrar que es as, con base en los valores obtenidos para Kl y U]'l

Energa potencial gravitacional para movimiento curvo

En nuestros primeros dos ejemplos, el cuerpo se movi en una trayectoria verticalrecta. Qu sucede si la trayectoria es inclinada o curva (Fig. 7.5a)? Sobre el cuer-ea acta la gravedad w=mg y tal vez otras fuerzas cuya resultante llamamosFotras. Para calcular el trabajo efectuado por la fuerza gravitacional durante estedesplazamiento, dividimos la trayectoria en segmentos pequeos ~s; uno de ellosse muestra en la figura 7.5b. El trabajo realizado por la gravedad sobre este seg-mento es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento. En trminos de vec-tores unitarios, la fuerza es Mi = mi = -mgj y el desplazamento esAS = Axi + l1)'j, as que el trabajo efectuado por la fuerza gravitacional es

w AS = -mgj' (!l:ci + l1yj) = -mgl1yEl trabajo efectuado por la gravedad es el mismo que si el cuerpo se hubiera des-plazado verticalmente una distancia !ly, sin desplazamiento horizontal. Esto secumple para cada segmento, as que el trabajo toral de la fuerza gravitacional es-mg multiplicado por el desplazamiento vertical total (Y2 - YI):

W,nv = -mg(Y2 - YI) = I1Igyl - mgy2 = UI - U2

Esto es igual a la ecuacin (7.1) o (7.3), donde se supuso una trayectoria vertical.Asl que, aun si la trayectoria de un cuerpo entre dos puntos es curva, el trabajo to-tal efectuado por la gravedad depende slo de la diferencia de altura entre esospuntos. Este trabajo no se ve afectado por ningn movimiento horizontal que pue-da darse. Por tanto, podemos usar la misma expresin para la energa potencialgrouitacional. sea la trayectoria del cuerpo recta o curva.

(b)

7.5 (a) Desplazamiento a lo largo de unatrayectoria curva. (b) Ellrabajo realizadopor la fuerza gravitacional w= mg slodepende de la componente vertical deldesplazamiento Ay(eo esta figura, Ay esnegativo).

~JL"_~~,:.,=_'_'W__I:'

7.1 1 Energa potencial gravitacional 249

Ejemplocor.ceptuaI7.3 Energa en el movimiento de proyectiles

7.6 Para la misma rapi!iez y altura inicial, la rapidez de unproyectil a una alra dada h siempre'es la misma si se despreciala resistencia del aire.

Se batean dos bolas idnticas con la misma rapidez inicial pero dis-tintos ngulos iniciales. Demuestre que, a una altura dada 11, ambasbolas tienen la misma rapidez si puede despreciarse la resistenciadel aire.

Si no hay resistencia del aire, la nica fuerza quc acta sobre cadabola despus de ser bateada es su peso, as que la energia mecnicatotal de cada una es constante. La figura 7.6 muestra las trayecto-rias de dos bolas bateadas a la misma altura con la misma rapidezinicial y por tanto la misma energa mecnica total, pero con dife-rentes ngulos iniciales. En todos los puntos con la misma altura, laenerga potencial es la misma, as que la energia cintica a esta al-tura debe ser igual para ambas bolas y su rapidez es idntica.

ILh

E K U oEny = o

Y'

E K U

Eny = h

Ejemplo74 Altura mxima de un proyectil. usando mtodos de energa

Deduzca esta cxpresin empicando consideraciones de energa.

En el ejemplo 3.10 (seccin 3.3), dedujimos una expresin para laaltura mxima h de un proyectil lanzado con rapidez inicial vo, a unngulo ao:

l'lil!!I3l!DIDENTIFICAR YPLANTEAR: Hacemos caso omiso de la resistenciadel aire, as que, igual que en el ejemplo conceptual 7.3, la energa

mecnica total se conserva. Sca el punto 1el punto de lanzamiento,donde la rapidez es VI = Vo, Y sea el punto 2 el cenit de la trayecto-ria (Fig. 7.7). La incgnita es la altura mxima 11, donde la energacintica es mnima y la energa potencial gravitacional es mxima.

El problema parece fcil: la energa potencial.en el punto 2 esU2 - mgh, por 10 que aparentemente slo necesitamos es despejar U2de la ecuacin de conscrvacin de la energia, K + U = K2 + V2. Sinembargo, aunque conocemos las cnergas cintica y potencial ini-ciales (K = ~mv? = ~mvo2 y V = O), no conocemos la rapidezni la energa cintica en el punto 2. Para superar esta deficiencia,usaremos dos resultados relacionados con el movimiento de pro-yectiles que obtuvimos en el captulo 3: (1) la componente x de laaceleracin es cero, as que la componellle x de la velocidad esconstante, y (2) la -componente y de la velocidad es cero en el pun-to 2 (el cenit de la trayectoria).2

y

EJECUTAR: Podemos expresar la energa cintica en cada punto entrminos de las componentes de la velocidad, usando v2 "" v/ + v/:

7.7 Trayectoria de un proyectil.

ILLJPara simplificar, multiplicamos fodo por 2/m, obteniendo

v} + VI} = Vl>;' + V,,2 + 2gh

_ 1 (' ')K 2 - 2m Vl>; + V2)"1"""

La conservacin de la energa da KI + V = K, + U2, asi que

E K U

Pumo 2 (y = h)

E K U

Punto 1 (y = O)

o

250 e ti. pfT U LO 7 I Energa potencial y conservacin de la energa

Ahora usamos nuestros resultados para el movimiento de proyectiles.Puesto que la componente x de la velocidad no cambia, VII = Uh. Ypodremos cancelar los tnninos u} de ambos miembros de la ecua-cin anterior. Adems, puesto que el proyectilliene velocidad verti-cal cero en el punto ms alto de su movimiento, u,,- O. Asi, tenemos

UI/ = 2gh

Sin embargo, Uly no es ms que la componente y de la velocidad ini-cial, igual a Uo sen ao. Sustituyendo y despejando 11 obtenemos

EVALUAR: Esto concuerda con el resultado del ejemplo 3.10, comodebe ser.

Ejemplo7 5 Clculo de rapidez en un circulo vertical

Imagine que su primo Tito baja en patineta una rampa curva en unparque. Tratando a Tito y su patineta como una partcula, sta des-cribe un cuarto de crculo de radio R (Fig. 7.8). La masa total de Tito y su patineta es de 25.0 kg. Tilo parte del reposo y no hayfriccin. (a) Calcule su rapidez en la base de la rampa. (b) Calculela fucrza normal que acta sobre l en ese punto.

ll'imt!I':'llIIDENTIFICAR: No podemos usar las ecuaciones de movimientocon aceleracin constante; la aceleraci6n no es conStante porque lapendiente disminuye a medida que Tito descicnde. En vez de ello,usaremos el enfoque de energia. Dado que Tito se mueve en un aro

uE K U

co circular, tambin usaremos lo que aprendimos acerca del movi-miento circular en la seccin 5.4.

PLANTEAR: Puesto que no hay mecin, la nica fuerza adems delpeso de Tito es la fuerza normal ejercida por la rampa (Fig. 7.8b).Aunque ii acnia en toda la traycctoria, no efccta trabajo porquesiempre es perpendicular a la velocidad de Tito. As, Wottu - OYseconserva la energa mecnca total.

Llamemos I al punto de panida y 2 a la base de la rampa, y seay" Oen la base (Fig. 7.80). Entonces,YI - R YY~ - O. (Estamos tra-tando a Tilo como si toda su masa estuviera concentrada en su cen-tro.) Tilo parte del reposo en el tope, as que tl l - O. La incgnita enla pane (a) es su rapidez en la base, u~. En la parte (b), nos inleresa lamagnitud n de la fuerza normal en el punto 2. Puesto que esta fuer-za no efecta trabajo, no aparece en la ecuacin de energia. asl queusaremos la segunda ley de Newton.

(.)

2

.,-Nivel de referencia

lLE K U

punlOI.., n=o--~---~

R IIIII

"

.~~---! Punlo 2w

w

(b)

7,8 (a) Tito baja en patineta por una rampa circular sin friccin. La energa mecnicatotal es constante. (b) Diagramas de cuerpo libre de Tito y su patineta en varios puntosde la rampa.

7.1 I Energa potencial gravilacional 251

VI = mgR

EJECUTAR:a) Las diferentes energias son

KI = O

1 ,K! = '2mut

Por la conservacin de la energa,

K1 + VI = Kl + Vl1 ,

O+ mgR = '2mut + O

U2 = ViiRLa rapidez es la misma que si Tito hubiera cado venicalmente unaaltura R, y es independiente de su masa.

Como ejemplo numrico, sea R = 3.00 m. Entonces

ul 2gR0 ... ::-=--=2g

R R

Si tomamos la direccin +y hacia arriba, la componente y de la segunda ley de NeWlon es

LF,::n+ (-w) =ma... =2mg

n=w+2mg=3mg

En el pumo 2, la fuerza normal es el triple del peso de Tito. Este re-sultado es independiente del radio de la rampa. En los ejemplos5.10 (seccin 5.2) y 5.25 (seccin 5.4) aprendimos que la magnitudde n es el peso aparente, asi que Tito sentir que tiene tres veces supeso real mg. Sin embargo. Wl pronlo como llegue a la parte horizontal de la rampa a la derecha del punto 2, la fuerza normal baja-r a w = mg. y TilO se sentir nonual. Entiende por que?

Ul = \/2(9.80 m1r)(3.00 m) = 7.67 mis

Cabe sealar que esta respuesta no depende de que la rampa seacircular; sea cual sea la forma de la rampa, lito tendr la misma rapi-dez Ul :: v'2iR en la base. Esto se cumpliria aunque las ruedas de supatineta perdieran contacto con la rampa durante la bajada, porque lafuerza gravitacional seguiria siendo la nica que efecta trabajo.b) Para obtener n en el punto 2 empleando la segunda ley de Newton,necesitamos el diagrama de cuerpo libre en ese plDlto (Fig. 7.8b). Enel punto 2, Tito se mueve con rapidez Ul = v'2iR en un circulo deradio R; su aceleracin es hacia el centro del circulo y tiene magnitud

EVALUAR: Este ejemplo ilustra una regla general acerca del papelde las fuerzas en problemas en que usamos tcnicas de energa: loque importa no es slo si acta una fuerza, sino si efec.:tla trabajo.Si no es as, como en el caso de la fuerza nonnal en este ejemplo,no aparece en la ecuacin (7.7), KI + VI + W.... = K2+ U2.

Observe que tuvimos que usar lanl0 el enfoque de energia comola segunda ley de Newton para resolver este problema; la conserva-cin de energa nos do la rapidez, y I,F = mii nos dio la fucrzanonnal. En cada pane del problema usamos la tecnica que ms fa-cilmente nos lleva a la respuesta.

Ejemplo7.6 Crculo vertical con friccin

En el ejemplo 7.5, suponga que la rampa tiene friccin y la rapidezde Tito en la base es de slo 6.00 mis. Qu trabajo efectu la fuer-za de friccin sobre l? Use R - 3.00 m.

El trabajo efectuado por la fuerza de friccin es -285 J, Yla ener-ga mecnica total disminuye en 285 J. Entiende por qu Wdebeser negativo?

7.9 Diagrnma de cuerpo libre de lilo bajando en patineta unarampa con friccin. La energa mecnica total disminuyeconforme Tlo baja.

Punto "2f

E K U

f-OPunto I 11 - 0-----------;;:,

11' /!R :,,,,," "

E K Uu

EJECUTAR: Las energas son

K I ::0

VI :: msR '" (25.0 kg){9.80 misl )(3.00 m) = 735 J

K1 :: ~mul =~(25.0 kg)(6.oo misF = 450J

Ul = O

Por la ecuacin (7.7).

W = Kl + Ul - K1 - U I:: 450 J + O - O - 735 J = -285 J

lI!l!!mi.IlIIDENTIFICAR YPLANTEAR: Usamos el mismo sistema de coorde-nadas y los mismos puntos inicial y final que en el ejemplo 7.5(Fig. 7.9). Una vez ms, la fuerza nOnTIal no realiza trabajo, peroahora hay una fuerza dc friccin] quc s cfccta trabajo. Por tanto,el trabajo no gravitacional efectuado sobre Tito entre los puntos I y2, W_,.es igual al trabajo efectuado por la friccin, W. sta es laincgnita, que obtendremos con la ecuacin (7.7).

252 e A PfTU LO 7 I Energa potencial y conservacin de la energfa

EVALUAR: El movimiento de Tilo esta determinado por la segwKlaley de Newton, 2F = ,,;j. Pero seria muy dificil aplicar esa ley di-rectamente al problema porque las fuerzas normal y de friccin, ascomo la aceleracin, estin cambiando continuamente de magnitudy direccin conforme Tito baja. El enfoque de enetgia, en cambio,

relaciona los movimientos en el tope y la base de la rampa sin implicar los pormenores de 10 que sucede en medio. Muchos proble-mas son fticiles si usamos consideraciones de energa y muycomplejos si tratamos de usar las leyes de Newton directamente.

Ejemplo77 Plano inclinado con friccin

Queremos subir una caja de 12 kg a un camin deslizndola poruna rompa de 2.5 ro inclinada 30. Un obrero, sin considerar la fric-cin, calcula que puede subir la caja dndole una rapidez inicial de5.0 mis con un empujn en la base. Sin embargo, la friccin no esdespreciable; la caja sube 1.6 m por la rumpa, se para, y regresa(Fig. 7.10). a) Suponiendo que la fuerza de friccin que acta sobrela caja cs constante, calcule su magnitud. b) Qu rapidez tiene la ca-ja al volver a la base de la rampa?

La fuerza de friccin de 35 N. actuando a lo largo de 1.6 m, reducela energa mecnica de la caja de 150 a 94 J. (Fig. 7. l Oc). b) La cajavuelve al punto 3 en la base de la rampa; y) = Oy U} = O(Fig. 7,1 Ob).

(b)

(o) lL Ll ~E K U E K U E K U

Punto I Punlo2 Punto 3

(.) ,.--'----'J

7,10 (a) Una caja sube deslizndose por una rampa, se para y(b) baja. (e) Gr:ifieas de harras de energa para los puntos 1,2 Y3.

ll!l!!m:DIDENTIFICAR: La fuerza de friccin que efecta trabajo sobre lacaja mientras sta se desliza. Igual que en el ejemplo 7.2, obtendre-mos la magnitud de la fuerza no gravitacional que efecta 1mbajo(en este caso la friccin) con el enfoque de energia. Una vez que co-nozcamos la magnitud de esa fuerza, podremos calcular cunto tra-bajo no gravilacional efecta mientras la caja se desliza rampaabajo. Entonces podremos usar el enfoque de energa otra vez paraobtener la rapidez de la caja en la base de la rampa.

EJECUTAR:a) Las energas son

K. :::: ~(I2kg)(5.0 mis)!:::: 150J VI = O

K1 = O V 2 = (l2kg)(9.8m1s!)(0.80m):::: 94J"'_:::: -ft

dondeI es la magnitud desconocida de la fuerza de friccin y s =1.6 m. Usando la ecuacin (7.7), obtenemos

KI + VI + W..... = K2 + U2w_ = -ft = (K:! + U2 ) - (KI + VI)

f= _ (K! + V1) - (KI + VI),

PLANTEAR: La primera pane del movimiento es del punto 1, la ba-se de la rampa, al punto 2, donde la caja se para instantneamenle(Fig. 7.l0a). En la segunda pane del movimiento, la caja vuelve ala base de la rampa, que llamaremos PUnlO 3 (Fig. 7.IOb). TomaremosY" O(y por tanto V '" O) en el piso, osi que YI '" O, y:! '" (1.6 m)sen 30 .. 0.80 m y Y3 '" O. Nos dicen que VI '" 5.0 mis y 1.12 '" O(lacaja esta instantneamente en reposo en el punto 2). La incgnita enla parle (a) esf, la magnihld de la fuerza de friccin, que obtendremos con la ecuacin (7.7), En la parte (h), \a incgnita es v], la rapidez en la base de la rampa.

[(0+94J)-(150J+0)]= - = 35N

1.6m

7.2 I Energa potencial elstica 253

Al bajar, la fuerza de friccion y el desplazarnjento invierten su di-reccin pero tienen las mismas magnitudes, as que el i1abajo porfriccin tiene el mismo valor negativo en cada mitad del viaje, y eltotal entre los puntos l y 3 es

IV..... =- Wfric.= -2ft = -2(35N)(1.6m) = -1121

Por la parte (a), KI - 150 J Y VI = O. La ecuacin (7.7) da

K I + VI + If'.-. = KJ + V3KJ = K , + VI - V) + W""'"

= 1501 + O - O + (-112 J) = 38 J

La caja vuelve a la base de la rampa con s610 38 1 de los 150 J ori-ginales de energia mecnica (Fig. 7. lOe). Usando KJ = 1mvl, ob-tenemos

r on

v}= [2K;=J2(381) = 2.5 misV--;;; 12kg

EVALUAR: Observe quc la rapidez de la caja cuando regresa a labase de la rampa, VJ = 2.5 mis. es menor que la rapidez VI - 5.0 miscon que sali de ese punto. Eso est bien: se perdi energa debidoa la friccin.

En la parte (b) aplicamos la ecuacin (7.7) a los puntos 1 y 3.considerando el viaje redondo en conjuDlo. Tambin podriamos ha-ber considerado sola la segunda parte del movimiento, aplicando laecuacin (7.7) a los puntoS 2 y 3. lntentelo y vea si obtiene el mis-mo valor de v).

La figura 7.11 muestra dos rampas distintas sin friccin. Las alNras)'1 Y)'2 soniguales en cada rampa. Si un bloque con masa m se suelta del reposo desde el ex-tremO izquierdo de cada rampa, cul bloque tendr mayor rapidez al llegar al extre-mo derecho?

ry,

I

t)',

I

rl~ _)'1 tI '

7.11 Dos rampas con las mismasYl y Y2-

7.2 I Energa potencial elsticaCuando un vagn de ferrocarril choca con un parachoques de resorte al final de lava, el resorte se comprime y el vagn se para. Si no hay friccin, el resorte rebo-ta y el vagn se aleja con su rapidez original en la direccin opuesta. Durante lainteraccin con el resorte, la energa cinetica del vagn se "guard" en la defor-macin elastica del resorte. Algo similar ocurre en una liga de hule de una resor-tera. La fucrza que estira la liga efecnia trabajo sobre ella, el cual se almacena enla liga hasta que se suelta. Entonces, la liga imparte energa cinetica al proyectil.

ste es el mismo patrn que vmos en el martinete de la seccin 7.1: efcctuartrabajo sobre el sistema para almacenar energia, que despus se convierte en ener-ga cintica. Describimos el proceso de guardar energa en un cuerpo defonnable,como un resorte o una liga, en tnninos de energa polencial elstica (Fig. 7.12).Un cuerpo es elstico si recupera su fonna y tamao originales despus de defor~marse. Especficamente, consideraremos el almacenamiento de energa en un re-sorte ideal como los de la seccin 6.3. Para mantener un resorte ideal estirado unadistancia x, debemos ejercer una fuerza F= kx, donde k es la constante de fuerzadel resorte. sta es una idealizacin til porque muchos cuerpos elsticos exhiben

7.12 El tendn de Aquiles, que \'1l de laparte de atrs del tobillo al hueso del talon.acta como un resorte namIa!. Cuando seestira y luego se relaja, ellcndOn almacenay despus libera energa potencial elastica.Esta accin de resorte reduce el trabajoque los msculos de la picrna debenefectuar 111 correr.

(7.9)

(trabajo efectuado por un resorte)

(trabajo efectuado sobre un resorte)

(energa potencial elstica)1

U = -kx 22

La figura 7. 14 es una grfica de la ecuacin (7.9). La unidad de U es el joule (J), lamisma de todas las cantidades de energa y trabajo; esto es evidente en la ecuacin(7.9) si recordamos que las unidades de k son N/m y que 1 N . m = I 1.

El subndice "el" significa elstico. Si XI YX2 son positivos y X2 > XI (Fig. 7.13b),el resorte efecta trabajo negativo sobre el bloque, que se mueve en la direccin+x mientras el resone tira de l en la direccin -x. El resone se estira ms y elbloque se frena. Si Xl YX2 son positivos y X2 < Xl (Fig. 7. I3c), el trabajo del resor-te es positivo al relajarse y el bloque se acelera. Si el resorte puede comprimirse,Xl o X2' o ambos, pueden ser negativos, pero la expresin para Wd sigue siendovlida. En la figura 7.13d, XI YXl son negativos, pero Xl lo es menos; el resortecomprimido efecta trabajo positivo al relajarse, acelerando al bloque.

Como hicimos con el trabajo gravitacional, podemos expresar el trabajo del re-sorte en terminas de una cantidad dada al principio y al final del desplazamiento.Esta cantidad es !kxl , que definimos como la energa potencial elstica:

donde k es la constante de fuerza del resorte. Si estiramos ms el resorte, realiza-mos trabajo positivo sobre l; si 10 dejamos relajarse sosteniendo un extremo, rea-lizamos trabajo negativo sobre l. Tambin vimos que esta expresin para eltrabajo sigue siendo correcta si el resone se comprime, en vez de estirarse, de mo-do quex I oXlo o ambos, son negativos. Ahora nos interesa el trabajo efectuado j)Qrel resone. Por la tercera ley de ewton, un trabajo es el negativo del otro. Cam-biando los signos en la ecuacin, vemos que, al desplazarse de XI a Xl' el resorteefecta un trabajo W.. dado por

tal proporcionalidad directa corre la fuerza F y el desplazamiento x, siempre quex DO sea demasiado grande.

Procedemos igual que con la energia potencial grnvilacional. Comenzamoscon el trabajo realizado por la fuerza elstica (del resorte) y 10 combinamos con elteorema de trabajo-energa. La diferencia es que la energia potcncial gravitacionales una propiedad compartida de un cuerpo y la Tierra, pero la elstica slo se al-macena en cl resorte (u otro cuerpo deformable).

La figura 7.13 muestra el resorte ideal de la figura 6.15, con su extremo iz-quierdo fijo y el derecho conectado a un bloque de masa m que puede moverse so-bre el ejex. En la figura 7.13a, el cuerpo est en x = Ocon el resorte ni estirado nicomprimido. Movemos el bloque lateralmente, estirando o comprimiendo el resorte, y lo soltamos. Al moverse el bloque de una posicin XI a otra posicin Xl.cunto trabajo realiza la fuerza elstica sobre el bloque?

En la seccin 6.3 vimos que el trabajo que debemos efectuar sobre el resortepara mover un extremo desde un alargamiento XI a otro distinto Xl es

e A P fT u L o 7 1 Energa polencial y conservacin de la energa

--F_

---co--,

(.)

0,,\\\\\W\\\\

(d)

(o)

: .....-t----Xl~

t--Xl~ I

~~~'~V~D---...,o,,

,,IX_ o

....... I!.:....-x~,- , ,: I .r,...J- ,

1..r.=l'""II ,,7-----=--,__ 0

F_

254

1.13 (a) Bloque conectado a un resorteen equilibrio (x - O) en una superficiehorizontal. (b) Cuando el resorte sufre unestiramienlo, efecna trabajo negativosobre el bloque. (e) Cuando el resorte serelaja, efecta trabajo positivo sobre elbloque. (d) Un resorte comprimidotambin realiza trabajo positivo sobree! bloque al relajarse.

7.2 I Energa potencial elstica

Podemos usar la ecuacin (7.9) para expresar el trabajo Wol efectuado sobre elbloque por la fuerza elstica en trminos del cambio en la energia potencial:

(7.10)

Si un resorte estirado se estira ms, como en la figura 7.l3b, Wo1 es negativo y Uaumenta; se almacena ms energa potencial en el resorte. Si un resorte estiradose relaja (Fig. 7.13c), x disminuye, Wel es positivo y U disminuye; el resorte pier-de energa potencial elstica. Los valores negativos de x corresponden a un resor-te comprimido pero, como muestra la figura 7.14, U es positiva para x tantopositiva como negativa, y las ecuaciones (7.9) y (7.10) son vlidas en ambos ca-sos. As, cuando un resorte comprimido se comprime ms, Wel < Oy U aumenta;si un resorte comprimido se relaja (Fig. 7.13d), Wol > Oy U disminuye. Cuantoms se comprime o estira un resorte, mayor es su energa potencial elstica.

U Una diferencia importante entre la energa potencial gravitacio-

nal U = mgy y la elstica U = tkxl es que no podemos escoger X" Odonde nosplazca. Para que sea congruente con la ecuacin (7.9), x = Odebe ser la posicin

en la que el resorte no est ni estirado ni comprimido. Ah, su energa potencial

elstica y la fuerza que ejerce son cero.

El teorema de trabajo-energia dice que W,o, = K2 - K i , sin importar qu fuer-zas acten sobre el cuerpo. Si la fuerza elstica es la nica que realiza trabajo so-bre el cuerpo,

W;", :: WcJ = V - Vz

El teorema de trabajo-energa W,o, = K2 - K nos da entonces

255

u

~---'---~-,

xO(comprimido) (extendido)

7.14 La grfica de la energia potencialelstica para un resorte ideal es unaparbola: U= tkr, donde x es laextensin o compresin del resorte. Enel caso de una extensin (estiramiento),x es positiva. En una compresin (si esposible), x es negativa. La energiapotencial elstica U nunca es negativa.

(si s610 la fuerza elstica real iza trabajo) (7. 11)

Aqu, V est dada por la ecuacin (7.9), asi que

1 1 1-//lU 2 + -kx 2 = ~mV 2 + -kr}2 1 2 1 2 2 2'"

(si slo la fuerza elstica realiza trabajo)

(7.12)

En este caso, la energa mecnica total E = K + V (la suma de las energas cinti-ca y potencial elstica) se conse/va. Un ejemplo es el movimiento del bloque dela figura 7.13, siempre que la superficie horizontal no tenga friccin y ningunafuerza adems de la ejercida por el resorte efecte trabajo.

Para que la ecuacin (7.12) sea estrictamente correcta, el resorte ideal no debetener masa; si la tene, tambin tendr energa cintica al moverse las espiras delresorte. Podemos despreciar la energa cintica del resorte si su masa es muchomenor que la masa m del cuerpo conectado al resorte. Por ejemplo, un auto comntiene una masa de 1200 kg o ms. Los resortes de su suspensin tienen masas deunos cuantos kilogramos, asi que podemos despreciarlas si queremos estudiar c-mo el auto rebota sobre su suspensin.

256 e A P TUL o 7 I Energa potencial y conservacin de la energa

Si-otras fuerzas adems de la elstica efectan trabajo sobre el cuerpo, llama-mos a su trabajo W",,,,., igual que antes. Entonces, el trabajo total es Ww = Wd +Wotrn" y el teorema de trabajo-energa da

El trabajo realizado por el resorte sigue siendo W.1= U - Uz, as que, otra vez,

y

K 1 + VI + Wotra, = K2 + V2(si otras fuerzas aparte de la elstica efectan trabajo)

1 2 1 2 I 1"2111VI + "2kxl + Wooas = "2111vl + "2 kxl

(si otras fuerzas aparte de la elstica efectan trabajo)

(7.13)

(7.14)

Esta ecuacin muestra que el trabajo realizado por todas las fuerzas aparle dela elstica es igual al cambio de energa mecnica total E = K + U del sistema,donde Ves la energa potencia! elstica. El "sistema" se compone del cuerpo demasa m y el resorle de constante k. Si Wooa, es positivo, E aumenta; si Wo1ras es ne-gativo, E disminuye. Compare la ecuacin (7.14) con la (7.8), que describe situa-ciones en las que hay energa potencial gravitacional pero no elstica.

Situaciones con energa potencial tanto gravitacionalcomo elstica

Las ecuaciones (7.11), (7.12), (7.13) Y(7.14) son vlidas si la nica energa poten-cial del sistema es la elstica. Qu sucede si tenemos fuerzas tanto gravitaciona-les como elsticas, digamos un bloque conectado al extremo inferior de un resorteque cuelga verticalmente? An podemos usar la ecuacin (7.13), pero ahora UI yU2 son los valores inicial y final de la energia potencial total, que incluye la gra-vitacional y la elstica (V = Ugra,. + Vol)' As, la expresin ms general de la rela-cin entre energa cintica, energia potencial y trabajo realiZ2do por otras fuerzas es

Esto es, el trabajo realizado por todas las fuerzas aparte de la gravitaciownal o la elstica es igual al cambio en la energa mecnica total E = K + U delsistema, donde U es la suma de las energas potenciales gravitacional }' elsti-ca. Si las fuerzas gravitacional y elstica son las nicas que efectan trabajo sobreel cuerpo, Wo1ra, = Oy la energa mecnica lotal (que incluye energas potencialesgravitacional y elstica) se conserva.

El salto con bungee (Fig. 7.15) es un ejemplo de transformaciones entre ener-ga cintica, energia potencial elstica y energa potencial gravitacional. Al caer lapersona, la energa potencial gravilacional disminuye y se convierte en la energiacintica dcl saltador y la energia potencial elstica del bungee. Ms all de ciertopunto de la cada, la rapidez de' la persona disminuye, con 10 que tanto la energapotencial gravitacional como la energa cintica se convierten en energa poten-cial elstica.

7.15 La cada de una persona atada a unbungee implica interacciones entre energacintica, energa potencial gravitacional yenerga potencial elstica. Sin embargo,la energa mecnica no se conserva porquelanto fuerzas de friccin dclllro del bungeecomo la resistencia del aire tambinefectan trabajo. Esto es bueno: si laenerga mecnica se conservara, la personaseguira rebotando cternmnenle.

KI + Ugra" I + UeI I + Wo,m., = K2 + Ugrd\',2 + Vel 2(vlida en general)

(7.15)

7.2 I Energa potencial elstica

La estrategia bosquejada en la seccin 7.1 es igualmente til para resolver pro-blemas que implican fuerzas elsticas adems de gravitacionales. Lo nico nuevoes que ahora U incluye la energa potencal elstica Vel = ~kx2, donde x es el des-plazamento del rcsorte respecto a su longitud no estirada. La energa potencial dacuenta del trabajo realizado por las fuerzas gravitacional y elstica; el trabajo delas otras fuerzas, W"""" debe nclurse por scparado.

ActjVPhyscs5.4 Salto inverso,con bungee

5.5 Bolos con impulso de resorte

257

Ejemplo78 Movimiento con energa potencial elstica

En la figura 7.16a, un deslizador de masa ni = 0.200 kg descansa enun riel de aire horizontal, sin friccin, conectado a un resortc con k= 5.00 N/m. Se tira del deslizador, estirando el resorte 0.100 m, yluego se suelta con veloedad inicial cero (Fig. 7.16b). El deslizadorregresa a su posicin de equilibrio (x = O). Qu velocidad tienecuando x = O.OSO m?

llil!!I3mlIIDENTIFICAR: Dado que la fuerza del resorte varia con la posicin,este problema no puedc resolverse con las ecuaciones para movi-miento con aceleracin constante; usaremos el mtodo dc encrgiapara obtener una solucin sencilla. En particular, utlizaremos laidea de que, al comenzar a moverse el deslizador, la energa poten-cial elstica se convierte en cintica. (El destizador permanece a lamisma altura durante todo el movimiento, as que la energa poten-cial gravitacional no es factor).

PLANTEAR: La fuerza del resorte es la nica que efecta trabajosobre el deslizador, asi que W""", = OYpodemos usar la ecuacin(7.11). Sea el punto I donde se suclta el destzador (Fig. 7.16b), Ycl 2, cn x .. O.OSO m (Fig. 7.16c). Conocemos la velocidad en elpunto 1(VI~" O); la incgnita es la velocidad x en el punto 2, Vlr

EJECUTAR: Las energias son

K = (0.200kg)(0)2 = O

1VI = "2(5.00 n/m)(O.l00 m)2 = 0.02501

1 ,K2 = :zmvh

V2 = ~(5.00N/m)(0.OSOm)2 = 0.01601

(b)UE K U

(.) cero cero cero

E K U

",WE K U0.080 m.,

m

7.16 (a) Deslizador de ne1 de aireconectado a un resorte. (b) Se agregacncrga potencial elstica al sistemacstirando el rcsorte. (e) La energapotencial elstica se transforma enenerga cintica cuando el deslza

CA PfTULO 7 I Energa polencial y conservacin de la energa

Movimiento con energa potencial elstica al dejar de actuarlas dems fuerzas

hacia la derecha (la direccin +x) (vease la Fig. 7.3d). La segundasolucin nos dice que, cuando el deslizador pase por x = 0.080 mmovindose hacia la derecha, su rapidez ser de OJO mis: la misma

que cuando pas por este punto movindose hacia la izquierda.Cuando el deslizador pase por el punto.! - 0, el resone estar re-

lajado y toda la energa mecnica estar en forma de energa cintica. Puede demostrar que la rapidez del deslizador en cse punto es

de 0.50 mis?

EVALUAR: Para verificar la respuesta, piense en qu cambiara si

desconecfliramos cl deslizador del resorte. Entonces, sera la nica fuerza que efecta trabajo, la energa potencial sera cero en to-do momento y la ecuacin (7.13) nos dara

K2 = K + W..... = O+ 0.0610 J

Uh = [2iZ; = J2(O.0610J) = Q.78 mis\/ --;;; 0.200 kg

(Para ealcular W......, multiplicamos la magnitud de la fue~ por eldesplazamiento, ya que ambas tienen la direccin +x.) Inicialmen-te, la energa mecnica total es cero; el trabajo realizado por Fau-menta la energa mecnica total a 0.0610 J, de los que 0.0250 Jcorrcsponde a energa potcncial elstica. El resto es energa cinti-ca. Por la ecuacin (7.13),

K I + UI + IV...... = K2 + U2K2 = KI + UI + w__ - U2

= O + O + 0.0610J - 0.0250J = O.0360J

[I~ = [2iZ; = J2( 0.0360 J) = 0.60 mis~ \/-;;; 0.2ookg

Escogemos la raz cuadrada positiva porque el deslizador se mueveen la direccin +.1:'.

Obtuvimos una velocidad menor que este valor porque el resorteefecta trabajo negativo sob~ el deslizador al estirarse.

EJECUTAR: Vimos en el ejemplo 7.9 que las energias cintica y po-tencial en el punto 2 son Kl '" 0.0360 J YU1 - 0.0250 J, respectiva-

PLANTEAR: Tomaremos el punto 2 en x - 0.100 m, como en elejemplo 7.9, y sea el punlo 3 el punto donde el dcslizador esl ins-tantneamente en reposo. La incgnita es lo coordenada X3 de estepunlo. Obtendremos su valor empleando las expresiones para con-servacin de la energa, ecuacn (7. 11), junto con la relacinU = ~kxlpara la energa potencial elstica.

Movimiento con energa potencial elstica y trabajo efectuadopor otras fuerzas

KI = O

Ejemplo7.9

Ejemplo7.10

VI = O

1V2 = "2(5.00N/m)(O.IOOm)l

= 0.0250 JW_ = (O.6ION)(0.IOOm) = 0.0610J

K1 = Kl + VI - U2 = O + 0.02501 - 0.01601 = OJ)090J

~_K' 2(0.00901)

(lb = == -n,' = ::!: ,,:.:'=e:-:-'-C = =0.30 mis0.200 kg

Enlonces, por la ecuacin (7.11),

EVALUAR: Qu significa la segunda solucin. (111' - +0.30 mis? Enalgn momento, el resorte se comprimir y empujara el deslizador

Escogemos la raz negativa porque el deslizador se est moviendoen la direccin -x; la respuesta que queremos es (11< ""' -0.30 mis.

258

PLANTEAR: Tomemos como punto 1 en x - O, donde la rapidez eslIb =0. y como punlO 2,x- 0.100 m (no son los mismos punlos ro-rulados en la figura 7.16). La incgnita es vz., la velocidad en clpunto 2.

Para el sistema del ejemplo 7.8, suponga que el deslizador est enreposo en x., O, con el resorte sin estirar. Usted aplica al deslizadoruna fuerza constante en la direccin +x con magnitud de 0.610 N.Qu velocidad tiene ste cuando x = 0.100 m?

l1ill!mmIDENTIFICAR: Aunque la fuerza aplicada Fes constante, la fuerzadel resorte no lo es, as que la aceleracin del deslizador no es cons-tante. La energa mecnica tOlal no se conserva a causa del trabajoefectuado por F. pero aun asi podemos usar la relacin de encrgade la ecuacin (7. 13).

EJECUTAR: Las energas son

En el ejemplo 7.9, suponga que Fdeja de IIcluarcuando el deslizadar llega al pumo x - O.l 00 m. Cunto ms avanza el deslizadorantes de parar'!

l1ill!mm1DENTlFICAR: Al quitarse F la fue~ del resorte es la lInica queefecta trabajo. asi que en esta parte del movimiento la energa me-cinica tola! E - K - U se conserva.

7.2 I Energa potencial elstica 259

menle. Por lanto, la energia mecnica tOlal en esle punlo y msadelanle es Kl + U2 -0.0610 1. Cuando el cuerpo se para enx Xl'la energa cinCtica KJ es cero y la energa polencial VJ es igual a laenerga mecanica IOtal de 0.0610 1. Esto tambin se deduce de K2 +Vl-KJ+Vl :

UJ = K2 + U2 - K3 = 0.0360J + O.0250J - O = O.06lOJ

2(0.0610))

00= 0.156 m

5. N/m

El cuerpo se mueve 0.056 m ms despus de ~Iirarse la fuerza enx-O.loom.

EVALUAR: La energa mecnica total para el movimiento del punto2 al punto 3 es de 0.0610 J. igual al trabajo W_ efectuado por lafuerza Fen el ejemplo 7.8. Es coincidencia? De ninguna manera:inicialmente (en el punto I del ejemplo 7.9), el siSlema deslizador-re-sone tena energa ffiecnica cero, as que toda la energa mecnicaque liene proviene del trabajo efectuado por F.

Ejemplo7.11 Movimiento con fuerzas gravitacional, elstica y de friccin

En una situacin de diseo "de peor caso", un elevador de 2000 kgcon cables rotos cae a 25 mis cuando hace contacto con un resorteamoniguador en el fondo del cubo. Se supone que el resorte debedetener al elevador, comprimindose 3.00 m al hacerlo (Fig. 7.17).Durante el movimiento. un freno de seguridad aplica una fuerza defriccin constanle de 17,000 N al elevador. Imagine que es un con-sultor de diseo y le piden delenninar qu constante de fuerza debetener el resorte.

contacto con el resorte, y como punto 2, su posicin cuando quedaen reposo. Escogemos el origen en el punto 1, as que J'[ '" OYY2-- 3.00 m. Entonces, la coordenada del extremo sux:rior del resortees la misma Que la del elevador, y la energa potencial elil.stica encualquier punto entre el I Yel 2 es Ud = i~. (La energa polen-cial gravitacional es VJ'2' '" mgy, como siempre.) Conocemos la ra-pidez inicial y nnal del elevador y la magnitud de la fuerza defriccin, as que la nica incgnita es la constante de fuerza k.

l'l!I!!I3l'illIIDENTIFICAR: Us;mmos el enfoque de energa para dctcnninar laconstante de fuerza que aparece en la expresin de energia poten-cial elslica. Observe que en este problema intervienen energaspotenciales tanto gravitacional como elstica. Ademas, la energiamecnica total no se conserva porque la friccin realiza trabajo ne-gativo IVocnr sobre el elevador.

PLANTEAR: Puesto que la energa mecnica no se conserva e inter-vienen dos tipos de energa potencial. usaremos la fonna ms gene-ral de la relacin de energa, la ecuacin (7.15). Tomaremos comopunto I la posicin de la base del elevador cuando recin cntra en

EJECUTAR: La rapidez inicial del elevador es VI = 25 mfs, as quesu energa cintica inicial es

K[ = ~mu/ = i(2000 kg)(25 mls)l = 625JXX) J

El elevador se detiene en el punto 2, as que K1 = O. La energa po-tencial en el punto 1, V[, es cero; V_ Oporque)'1 = O, YUol '"' Oporque el resorte an no se ha comprimido. En el punto 2, hay ener-ga potencial tanto gravitacional como elstica, asi que

7.17 La cada de un elevador es detenida por un resorte y unafuerza de friccin constante.

La energia pOlencial gravitacional en el punto 2 es

11I8:>'1 = (2000 kg)(9.8 m/s1 )( -3.00m) = -58,800 1

c'",(K""c.+,--,-w-'_T-,--,-m"8Y",,,,-lk=- yl2[625.000 J + (-" ,000 J l - (-58.800 1)]

;

{-3.00mp

= 1.41 X IWN/m

Incluimos estos tnninosen K[ + VI + W_-Kl + Vl y obtenemos

K I + O + W_ = O + (m8Y1 + .tJ.l)

La otra fuerza es la de friccin (17,000 N), que acta opuesta aldesplazamiento de 3.00 m, as que

W_ = -{17,OOON)(HlOm) = -51.0001

asi que la conslante de fuerza del resorte es

sta es comparable con la de la suspensin de un auto.

f 170Cl0N.

'U..! 1;' .. '"

u.",, I~

"....:~

.~ 1 ,.mg ~

::'

" .,,"'"

260 CAPTULO 7 I Energa potencial y conservacin de laenergfa

EVALUAR: Examinemos 10 que podra parecer una paradoja aqu.La energa potencial elstica del resone en el punto 2 es

ky/:(1.41 X lo'N/m)(-3.00m)2 = 632,8001

Esloes ms que la energia mecnica total en el punto 1,

El = K] + VI = 625,000 J + O = 625.000 J

Sin embargo, la fuerza de friccin hizo que la energa mecnica del sis-tema disminuyera en 51,000 J entre el punto 1 y el punto 2. Apa-reci energa de la nada? No se preocupe; no hay tal paradoja. En elpunto 2 lambien hay energia potencial gravitadonal negativa mgy1~ -58,800 J porque el PUDiO 2 esta debajo del origen. La energiamecnica lotal aqu es

IEl = K~ + U1 = O + "2kJl + mgJ2

= 632.800 J + (-58.800 J) = 574,000 J

sta no es sino la energa mec~ica inicial de 625,000 J menos los51 000 ] perdidos por la friccin.

Ahora, como consultor de diseo, le: corresponde advertir a sucliente que el elevador no se quedar en el fondo de:l cubo; rebota-r. Ello se de:be: a que, en el punto 2, el resorte comprimido ejerceUDa fuerza bacia arriba de magnitud F'~..."e (1.41 X ID'NfmX3.00 m) =422,000 N. J::I peso del elevador es slo w = mg(2000 kg)(9.80 mlr) - 19,600 N, asi que la fuerza nda ser haciaarriba. El elevador subir a pesar de que el freno ahora ejerce una fucr-za de friccin hacia abajo de magnitudf = 17,000 N; la fuerza delresorte es mayor que la suma def y mg. El elevador rebotar una yotra vez hasta que la friccin haya eliminado suficiente energa me:-cnica para que se detenga.

Puede demostrar que la aceleracin del elevador cuando gol-pea el resorte es inaceptablemente alta?

Obtenga el valor de y cuando el elevador del ejemplo 7.11 por fin se detiene, ytambin los valores de K, Up" Uel y E en ese punto. Suponga que el freno de se-guridad ejerce una fuerza hacia arriba de 17,000 N. (Sugerencia: Qu relacinhay entre la compresin del resorte y la fuerza que ejerce sobre el elevador?)Compare la energa mecnica en este punto con su valor en el punto l.

7.3 I Fuerzas conservativas y no conservativasAl estudiar la energa potencial hemos hablado de "almacenar" energia cinticaconvirtindola en energia potencial, pensando siempre que podremos recuperarladespus como energa cintica. Una pelota lanzada hacia arriba se frena al conver-tirse su energa cintica en potencial, pero al bajar la conversin se invierte y labola se acelera al convenirse energa potencial otra vez en cintica. Si no hay re-sistencia del aire, la pelota se mueve con la misma rapidez cuando regresa al pun-to de lanzamiento que cuando se lanz.

Si un deslizador sobre un riel de aire horizontal sin friccin choca con un amortiguador de resone en el extremo del riel, el resorte se comprime y el deslizadorse detiene, pero luego rebota y, como no hay friccin, tiene la misma rapidez yenerga cintica que tena antes de chocar. Aqu tambin, hay una conversin bidi-reccional de energa cintica a potencial a cintica. En ambos casos, vemos quepodemos definir una funcin de energa potencial tal que la energa mecnica to-tal, cintica ms potencial, es constanle o se conserua durante el movimiento.

Decimos que una fuerza que ofrece esta oportunidad de conversin bidireccio-nal entre energas cintica y potencial es una fuerza consenatva. Hemos vistodos ejemplos de fuerzas conservativas: la gravitacional y la de resorte. Una ca-racterstica fundamental de las fuerzas conservativas es que su trabajo siempre esreversible. Lo que depositamos en el "banco" de energa puede retirarse sin pr-dida. Otro aspecto importante de las fuerzas conservativas es que un cuerpo pue-de moverse del punto 1 al 2 siguiendo varios caminos, pero el trabajo realizado

7.3 I Fuerzas conservativas y no conservativas 261

1~7.18 Para cualquier fuerza conservativa, eltrabajo realizado por esa fuerza dependeslo de los ctremos del movimiento,no del camino seguido. As, la fuerzagravitacional, que es conservativa, realizael mismo trabajo sobre el corredor sinimponar qu camino siga para ir delpunto I al punto 2.

por una fuerza conservativa es el mismo para todos (Fig. 7.18). As, si un cuerpose mantiene cerca de la superficie terrestre, la fuerza gravitacional mi es indepen-diente de la altura, y el trabajo realizado por ella slo depende del cambio de altu-ra. Si el cuerpo describe una trayectoria cerrada, volviendo al punto de partida, eltrabajo roral de la fuerza gravitacional siempre es cero.

El trabajo realizado por una fucrza conservativa siempre tiene estas propiedades:

1. Siempre puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y fi-nal de una funcin de energa porencial.

2. Es reversible.3. Es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende slo de los puntos

inicial y final.4. Si los puntos inicial y final son el mismo, el trabajo total es cero.

Si las nicas fuerzas que efecfan trabajo son conservativas, la energa mecnicatotal E"" K + U es constante.

No todas las fuerzas son conservativas. Considere la fuerza de friccin que ac-ta sobre la caja que se desliza en la rampa del ejemplo 7.7. (seccin 7.1). El cuer-po sube y regresa al punto de partida, pero el trabajo total efectuado por la friccinsobre l no es cero. Al invertirse la direccin del movimiento, se invierte la fuerzade friccin, que realiza trabajo negatiuo en ambas direcciones. Si un auto con freonos bloqueados derrapa con rapidez (y energa cintica) decrecienle, la energa ci-ntica perdida no se puede recuperar invirtiendo el movimiento ni de ninguna otramanera, y la energia mecnica no se conserva. No hay funcin de energa poten-cial para la fuerza de friccin.

De manera anloga, la fuerza de resistencia de fluidos (seccin 5.3) no es con-servativa. Si lanzamos una pelota hacia arriba, la resistencia del aire efecta tra-bajo negativo sobre ella al subir y al bajar. La bola regresa a la mano con menorrapidez y menos energa cintica que cuando sali, y no hay forma de recuperar laenerga mecnica perdida.

262

Ejemplo7.12,

e Jo, p fTUL o 7 I Energa potencial y conservacin de la energa

El trabajo realizado por una fuerza no conservativa /lO puede represenlarsecon una funcin de energa potencial. Algunas fuerzas no conservativas, como lafriccin cintlca o la resistencia de fluidos. hacen que se pierda o disipe energamecnica; son fuerzas disipadoras. Tambin hay fuerzas no conservalivas queaumentan la energa mecnica. Los fragmcOIos de un petardo salen despedidoscon una energa cintica muy grande, gracias a una-reaccin qumica de la plvo-ra con el oxigeno. Las fuerzas liberadas por la reaccin no son conservativas por-que el proceso no es reversible. iImagine Jos trozos armndose espontneamentepara fonnar un petardo!

El trabajo de friccin depende de la trayectoria

Imagine que est reacomodando sus muebles y desea mover 2.50 mun silln de 40.0 kg en una hahitacin (Fig. 7.19), pero el caminorecto est bloqueado por una pesada mesa de centro que no deseamover. Por tanto, mueve el silln siguiendo una trayectoria acodadacuyos miembros tienen 2.00 m y 1.50 m de longitud. En COmp8111.-cin con la trayectoria recta, cunto trabajo ms se debe realizarpara cmpujar el silln por la trayectoria acodada? El coeficiente defriccin cintica es de 0.200.

Ei1I!mmIIDENTIFICAR: Aqui efectan tmbajo tanto usted como la fuerza dcfriccin, as que deberemos usar la relacin de energa que incluyefuerzas distintas dc las elsticas y gravitacionales. Con esa relacin,

sor,

2.00 m

~------,

" ,'/' I

" ', ,. ,, ."!'+"7'~:7-.J ,: Punt02 : J.50m: :I I I II I I I.~ ~ c ~

7.19 Vista superior de los muebles. Cunto tmbajo ms serequiere para mover el sof por la trayectoria acodada?

obtendremos un vinculo enlTe el trabajo efectuado por usted y elefectuado por lariecion.

PLANTEAR: Los puntos inicial y final se muestran en la figura7.19. El sof est en reposo en ambos, as que K] - Kz= O. La ener-ga potencial gravitacional no cambia porque el movimiento es ho-rizontal: VI - V2= O. De la ecuacin (7.7), se sigue que W"'.... = O.El trabajo realizado sobre el sof es la suma dellTabajo positivo queUd. realiza, "'Ud. y el trabajo negativo "'h: de la fuerza de friccincintica. Puesto que la suma es cero, tenemos

Por tanto, para detenninar iYUd., calcularemos cl trabajo efectuadopor la friccin.

EJECUTAR: El piso es horizontal, as que la fuerza oorrnal sobre elsilln es igual a su peso mg, y la magnitud de la fuerza de friccinesA - 1411 = IJ.tfflg. EllTabajo que usted debe efectuar en cada tra-yectoria es entonces

WUd.:: -Wfric =:: -(-s):: +1J..mgs

~ (0.200)(40.0 k,)(9.'O mI,')(2.50 m)=:: 196 J (trayectoria recta)

WlJd,. = - WIri podemos ex.presar esto como

Este notable enunciado es la fonna general de la ley de conservacin de la ener-ga. En un proceso dado, las energas cintica, potencial e interna de un sistemapueden cambiar, pero la slIma de todos los cambios siempre es cero. Una dismi-nucin en una forma de energa se compensa con un aumento en las otras (Fig.7.21). Si ampliamos nuestra definicin de energa para incluir la interna, la ecua-cin (7.16) dice que la energa nunca se crea ni se destruye. slo cambia de for-ma. No se ha observado aun una excepcin a esta regla.

Observe que el concepto de trabajo no aparece en la ecuacin (7.16). Estaecuacin nos invita a pensar slo en trminos de conversin de energa de una for-ma a otra. Si lanzamos una pelota hacia arriba, convertimos parte de la energa in-terna de las molculas de nuestro cuerpo en energia cintica de la pelota, que seconvierte en energa potencial gravitacional conforme la pelota sube y otra vez enenerga cintica al bajar. Si hay resstencia del aire, parte de la energa calienta elaire y la pelota, aumentando su energa interna. Si atrapamos la pelota al caer, laenerga que no se perd en el aire se convertini otra vez en energa interna; la pe-lota y su mano ahora estn ms calientes que al principio.

En una estacin generadora hidroelctrica, el agua que cae mpulsa las turbinas("ruedas de agua") que a su vez impulsan generadores elctricos. Bsicamente, selibera energa potencial gravitacional al caer el agua, y la estacin generadora laconvierte en energa elctrica. Aun si no conocemos los detalles de cmo se lograesto, podemos usar la ley de conservacin de la energa (ecuacin 7.16) para sa-car una conclusin importante: la cantidad de energa elctrica producida no pue-de ser mayor que la energa potencial gravitacional perdida. (A causa de lafriccin, parte de la energa potencial se gasta en calentar el agua y el mecanismo.)

En capitulos posteriores estudiaremos la relacin entre energa interna, cam-bios de temperatura, calor y trabajo. ste es el coraZn del campo de la fisica lla-mado termodinmica.

7.21 Cuando se quema un litro degasolina en el motor de un automvil,libera 3.3 X 107 J de energia intema. Portanto, ~UiDI = - 3.3 X IOJ J, donde elsigno menos indica que la cantidad deenerga almacenada en la gasolina hadisminuido. Esa energa se puedeconvertir en energa cintica (para hacerque aumente la rapidez del auto) o enenerga polencial (para hacer que el autosuba una cuesta).

Act"vPhyscs5.7 Mquina de Atwood modificada

!lK + dU + AV;"l = O (ley de conservacin de la energa) (7.16)

Trabajo efectuado por la friccinElemplo

714

Examinemos otra vez el ejemplo 7.6 de la seecin 7.1, donde Titobaja una rampa curva en palmeta. Su energa cinlica ndal es ce-ro, y la potencial es 735 J. Abajo, su energa cintica es de 450 J Yla potencal es cero. Por tanto, AK- +450J YAV- -735 J. El Irabajo IV... - Wrro;: efecruado por las fuerzas de friccin no conserva-doras es -285 J, as que el cambio de energa interna es !J.U.. -- W... - +285 J. Las ruedas, cojinetes y rampa se calientan un po-

co al bajar Tito. Segn la ecuacin (7.16), la suma de los cambiosde energa es cero:

I1K + I1U + AV. = +450J + (-7351) + 285J = O

La energa tOlal del sislema (incluidas las formas de energa no me-cnicas) se conserva.

7.4 I Fucrza y cncrga potencial

Para la situacin del ejemplo 7.12, calcule el trabajo total que debera efectuar pa-ra mover el silln del punto 1 al punto 2 siguiendo los tramos de 2.00 m y 1.50 mde la trayectoria acodada y regresarlo despues al pumo I por el camino recto i.D.di-cado con una linea punteada en la figura 7.19. (Suponga que primero se hizo a unlado la mesa de cemro.) El silln qucd cn su posicin original; entonces, porque el trabajo lolal efeclUado sobre el no es cero?

7.4 I Fuerza y energla potencialEn los dos tipos de fuerzas conservativas (gravitacional y elstica) que estudia-mos, comenzamos con una descripcin del comportamiemo de la fuerza y de eldedujimos una expresin para la energa potencial. Por ejemplo, para un cuerpo demasa 11I en un campo gravitacional uniforme, la fuerza gravitacional es F, = -mg.Vimos que la energa potencial correspondiente es U(y) = mgy. Para estirar un re-sorte ideal una distancia x, ejercemos una fuerza igual a +n. Por la lercera ley deNewton, la fuerza que un resorte ideal ejerce sobre un cuerpo es igual y opuesta,Fx ~ -n. La funcin de energa potencial correspondieme es U(x) = !k.r.

No obstante, en su estudio de la fisica encontrara situaciones en las que lieneuna expresin para la energia potencial en funcin de la posicin y necesita deter-minar lafuena. Veremos varios ejemplos de este tipo cuando estudiemos las fuer-zas elctricas ms adelante. En general, es mucho ms fcil calcular primero laenerga potencial elctrica y luego determinar la fuerza elctrica correspondiente.

Veamos cmo calcular la fuerza que corresponde a una expresin de energapotencial dada. Primero, consideremos un movimiemo rectilneo sobre el eje x.Denotamos la componente x de la fuerza, que es funcin dex, con Fx(x), Yla ener-gia potencial, con U(x). Esta nOlacin nos recuerda queFxy U sonfunciones dex.Ahora recordamos que, en cualquier desplazamiento, el trabajo W efectuado poruna fuerza conservativa ~s el negativo del cambio de energa potencial AU:

w= -AVApliquemos esto a un desplazamiento pequeo Ilx. El trabajo efectuado por Fx(x)durante este desplazamiento es aproximadamente igual a FAx).6.x. Decimos"aproximadamente" porque Fx(x) podria variar un poco en el intervalo Ar, pero secumple aproximadamente que

265

y

Probablemente ya ve hacia dnde vamos. En el lmite .6.x -+ O; la variacin de Fxse hace despreciable y tenemos la relacin exacla

Fx(:x) = - d~X) (fuerza a panirde la energa potencial. en una dimensin) (7.17)

Este resultado es lgico; en las regiones donde U(x) cambia ms rpdamente conx (donde dU("c)/dx es grande), se efecta lrabajo mximo durante un desplazamiento dado, y esto corresponde a una magnitud de fuerza grande. Adems, siF~(x) est en la direccin +x, U(x) disminuye al aumentar x. Queda claro que F~(x)y dU(x)/dx deben tener signos opuestos. El significado fisico de la ecuacin (7.17)

266 CA PfTULO 7 1 Energa potencial y conservacin de la energa

u u

u = rngy----"'~Of---,

7.22 Grficas de energa potencial yfuerza contra posicin para (a) la fuerzade resorte y (b) la fuerza gravitacional. Enambos casos, la fuerza es elllC;ativo de laderivada de la energa potencial.

o

(.)

dU~:--;;--b

x -----cO;j-----,

dUF'''-dy=-mg

(b)

Ejemplo7 15

es que una fuerza conservativa siempre trola de llevar el sistema a una energapotencial menor.

Como verificacin, consideremos la funcin de la energa potencial elslica,U(x) = !kr. Si sustituimos esto en la ecuacin (7.17), obtenemos

F,(x) - - ~(~kx') = -kx

que es la expresin correcta para la fuerza ejercida por un resorte ideal (Fig.7.22a). De manera anloga, tenemos U(y) = mgy para la energa potencial gravita-cional; despues de cambiar x ay (el eje donde se efecta el movimiento), tenemosF

1=' -dUldy'" -d(mgy)ldy =' -mg, que es la expresin correcta para la fuerza

gravitacional (Fig. 7.22b).

Fuerza elctrica y su energa potencial

Una partcula con carga elctrica se sostene en reposo en x-O,mienrras otra con idntica carga puede moverse libremente en el eje+x. La energa potencial del sistema es

eU(x) =-

x

donde e es una constante positiva que depende de la magnitud delas cargas. Deduzca una expresin para la componente x de fuerzaque acta sobre la carga mvil, en funcin de su posicin.

lE!!millIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Tenemos la funcin de energia polen-cial U(x), as que podemos usar la ecuacin (7.17) para obtener loque buscamos, la funcin FAx).

EJECUTAR: La derivada con respecto axde la funcin Ihes -l/r.as que la fuerza sobre la caiga mvil para x > Oes

7.4 I Fuerza y energa potencial 267

EVALUAR: La componente.r de fuerza es positiva, y corresponde auna interaccin de repulsin entre cargas elctricas iguales. La ener-gia potencial es muy grande si x es pequeila y sc acerca a cero cuan-

do.r se hace grande; la fuen:a empuja la carga mvil hacia valorespositivos grandes de.r, para los que [a energa potencial es menor.La fuerza varia segn l/r; es pequena si las partculas estn muy se-paradas (.r grande) pero se hace grande si las paniculas se acercan(x pequea). ste es un ejemplo de la ley de Coulomb para interacciones elctricas, que estudiaremos ms a fondo en el captulo 21.

Fuerza y energia potencial en tres dimensiones

Podemos extender este anlisis a tres dimensiones, donde la partcula puede moverse en las direcciones x, y, Z, o todas a la vez, bajo la accin de una fuerza con-servativa con componentes Fr> Fy Y F:;. Cada componente de fuerza puede serfuncin de las coordenadas x, y y z. La funcin de energa potencial U tambnes funcin de las tres coordenadas espaciales. Ahora podemos usar la ecuacin(7.17) para calcular cada componente de la fuerza. El cambio de energa potencialtJ.U cuando la partcula se mueve una distancia pequea ~x en la direccin x estdada por -F~tJ.x; no depende de Fy y F:;, que representan las componentes de lafuerza perpendicular al desplazamiento que no efectan trabajo. Tenemos otra vezla relacin aproximarla

Las componentes de fuerza y y z se determinan exactamente de la misma forma:

~uF =--, ~y

~uF.~--

6.z

(7.18)

Si queremos que las relaciones sean exactas, deberemos tomar limiles Ax-+O,tJ.y--+O Y6.z-+O para que estos cocientes se conviertan en derivadas. Dado que Upuede ser funcin de las tres coordenadas, debemos recordar que, al calcular lasderivadas, slo una coordenada cambia a la vez. Calculamos la derivada de U conrespecto a x suponiendo que y y z son constantes y slo x varia, etc. stas se lla-man derivadas parciales. La notacin usual es aUlax, etc.; el smbolo a es una dmodificada para recordarnos la naturaleza de la operacn. Escribimos

F = _ au F = _ iJU F. = _ au~ ~ J ~ ~

(fuerza a partir de la energa potencial)

Podemos usar vectores unitarios para escribir una sola expresin vectorial com-pacta para la fuerza F:

La expresin en parntesis representa una operacin especifica sobre la funcinU, donde se obtiene la derivada parcial de U con respeclO a cada coordenada, semultiplcan por el vector unitario correspondiente y se suman vectoralmentc. Esta operacin se denomina gradiente de V y suele abrevarse VU. Por tanto, lafuerza es el negativo del gradiente de la funcin de energa potencial:

- (OVA iJV. iJUA)F = - -d -] +-kiJx iJy aZ.

(fuerza a partir de la energa potencial)

F = -VU

(7.19)

(7.20)

268 e A PT U L o 7 I Energa potencial y conservacin de la energa

Como verificacin, sustituyamos en la ecuacin (7.20) la funcin U= mgy para laenerga potencial gravilacional:

_ -( ) (,(",gy)_ a("'8Y). a("'8Y) -) ( )'F = -\7 mgy = - l + J + k = -mgJ

(Ix ay Jz

sta es la expresin que ya conocemos para la fuerza gravitacional.

Ejemplo7.16 Fuerza y energa potencial en dos dimensiones

7.5 I Diagramas de energa

F. = - dU = ~~(!kr2) = ~kr, dr dr 2

Igual que en nuestro resultado anterior, la fuerza tiene magnitud kr;el signo menos indica que la fuerza est dirigida radialmente haciaadentro (hacia el origen).

tcula, es decir, que siempre est dirigida al origen. La energa po-tencial es minima en el origen, asi que en eSle caso tambin la fuer-za empuja en la direccin de energa potcncial dccreciente.

La magnitud de la fucrza en cualquier punto es

F=Y( kx)2+ ( ky)2=kVx2 +l=kr

donde r es la distancia de la partcula al origen. Sla es la fuerzaejercida por un resorte que obedece la ley de Hooke y tiene longi-rud despreciable (en comparacin con las dcms distancias del pro-blema) cuando no eSla deformado. As, el movimiento del disco esel que tendria si estuviera unido a un extremo de un resorle idealcon longitud despreciable sin deformar; el otro extremo est unidoa la mesa de hockey en el origen.

EVALUAR: Podemos comprobar nuestro resultado tomando nota deque la funcin de energa pOlencial tambin puede expresarse comoU = !kr2. Escrita de este modo, U es funcin de una sola coordc-nada r, asi que podemos calcular la fuerza con la ecuacin (7.17)despus de sustitur x por r:

Deduzca una expresin para la fuerza que acta sobre el disco y ob-tenga una cprcsin para la magnitud de la fuerza en funcin de lapOSIcin.

Una fuerza conservativa Fx acta sobre una partcula que se mueve sobre el eje x.En cierto punto, la fuerza es cero. Qu le dice esto acerca del valor de la funcin

de energa potencial U(x) en ese punto? Y del valor de la derivada de U(x) en esepunto?

Un disco de hockey se desliza sobre una mesa de hockey de aire,sin friccin; sus coordenadas son x y y, y sobre l acrua llna fuerzaconservativa descrita por la Funcin de energa potencial

Cuando una particula se mueve en lnea recta bajo la accin de una fuerza conser-

vativa, podemos entender mejor los posibles movimientos examinando la grfica

de la funcin de energa pOlencial U(x). La figura 7.23a muestra un deslizador demasa m que se mueve en el ejex sobre un riel de aire. El resorte ejerce sobre l unafuerza de magnitud Fx = -/o:. La figura 7.23b es la grfica de la funcin de ener-

llIiJ!!millIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Obtendremos las componentes de lafuerza a partir de la funcin U(x, y) empleando la ecuacin (7.18);luego determinaremos la magnitud de la fuerza empleando la frmu-

la para la magnitud de un vector: F = YF} + F/.EJECUTAR: Las componentes de la fuerza son

JU OUFx = ~- = -kx F = -- = ~kyeh y ay

Por la ecuacin (7.19), esto corresponde a la expresin vectorial

F = -k(x + )j). + )j es el vector de posicin rde la partcula, asi que podemosreescribir la expresin como F == -kr. Esto representa una fuerzaque siempre tiene direccin opuesta al vector de posicin de la par-

U=1J:.-22,,

f:K+U,'

u

,,,

7.24 (a) Funcin de energa polencia]U(x) hipoltica. (b) La fuerzacorrespondiente Fr = -dUldx. Losmximos y minimos de U{.x) tute".....a los puntos en los que Fr ~ o.

-7-~.L--';--"-A O A

(b)

269

7.23 (a) Deslizadoren un riel de aire. Elresone ejerce una fuerza Fr = -/cx. (b)Funcin de energa polencial. Los lmilesdel movimiento son los punlos donde lacurva de U inlcrseca la lnea horizontalque representa la energa mecnica lotal E.

Equilibriosineslables

u

-"r---+---+----'r-----+-- ,O

(b)

ga potencial correspondiente U(x) = !k,r. Si la fuerza elstica del resone es lanica fuerza horizontal que acta sobre el deslizador, la energa mecnica total E= K + U es constante, independiente de x. En ese caso, una grfica de E en fun-cin de x es una recta horizontal.

La distancia vertical entre las curvas de U y E en cada punto representa E - UYes igual a la energa cintica K en ese punto. Vemos que K es mxima en:r = OYcero en los valores de x donde se cruzan las curvas (A y-A en el diagrama). Asi,la rapidez u es mxima en x = OYcero en:r'" :::!::A, los puntos del mximo despla-zamiento posible desde x = Opara un valor dado de la energa tOlal E. La energapotencial U nunca puede ser mayor que la energa total E, pues entonces K tendraque ser negativa, lo que es imposible. El movimiento es una oscilacin entre lospuntosx=A yx= -A.

En cada punto, la fuerza Fx sobre el deslizador es igual al negativo de la pen-diente de la curva U(x): Fx = -dUldx. Cuando la partcula est en x= O, la pendien-te y la fuerza son cero, y tenemos una posicin de equilibrio. Si x es positivo, lapendiente de la curva de U(x) es positiva y Fx es negativa, dirigida hacia el origen.Si x es negativo, la pendiente es negativa y Fxes positiva, otra vez hacia el origen. Unafuerza as se denommafuerza restauradora: si el deslizador se desplaza hacia cual-quier lado dex "" O, la fuerza resultante tiende a "restaurarlo" a x = O. Una situacinanloga es una canica que rueda en una ensaladera de fondo redondo. Decimos queX"" Oes un punto de equilibrio estable. Ms generalmente, todo minimo de unacurva de energia potencial es una posicin de equilibrio estable.

La figura 7.24a muestra una funcin de energia potencial U(x) hipottica peroms generaL La figura 7.24b muestra la fuerza correspondiente Fx - -dUldx.

7.5 I Diagramas de energa

,,,,El _..j~\-__,(

" ,Ea --~-i- I Equilibrios

1: :estables--:;:r--'---'---7'-----7----;C-----'--7--"

O Xc Xo

~J X, :2 1] Xd ~41 1 I 1

: : (a): :1 1 1 11 I 1 11 1 1 11 1 1 ,1 1 1 ,

dUldx < 01 dUldx > O ldUldx O 'dUldx< O1 1 1 I

F F>O, FO 1 FOx ----.. 1 .. ,----.., 1 t----"

, ,1 II t I II I I II I I II I I II I I I

I .

270 e A PT U L o 7 I Energa potencial y conservacin de la energa

Dondex] y X3 son puntos de equilibrio estable. En ellos, Fx = Oporque la pendien-te de la curva V(x) es cero. Si la partcula se desplaza hacia cualquier lado, la fuer-za la empuja hacia el punto de equilibrio. La pendiente de la curva V(x) tambines cero enx2 YX4' que tambin son puntos de equilibrio. Sin embargo, si la pancu-la se desplaza un poco a la derecha de cualquiera de ellos, la pendiente de la curvade V(x) se hace negativa, lo que corresponde a una F" positiva que tiende a alejar msla partcula. Si sta se desplaza un poco a la izquierda, F x es negativa y tambintiende a alejar a la pancula del equilibrio. Esto es anlogo a una canica sobre unabola de bolos. Los puntos Xz y x4 son puntos de equilibrio inestable; todo mxi-mo de ul1a clI1va de energa potencial es una posicin de equilibrio inestable.

La direccin de la fuerza sobre un cuerpo no est determinada porel signo de la energia potencial U; lo que importa es el signo de F~ = -dUldx

Como vimos en la seccin 7.1, la cantidad fsicamente significativa es la diferen-cia en el valor de U entre dos puntos, y esto es lo que mide la derivadaF~ = -dUldx Esto implica que podemos agregar cualquier constante a la funcin de energa potencial sin alterar ia fsica de la situacin.

Si la energa total es El y la partcula est inicialmente cerca de Xl' slo puedemoverse en la regin entre xa y Xb determinada por la interseccin de las curvasde El y U (Fig. 7.24a). U no puede ser mayor que El porque K no puede ser nega-tiva. Decimos que la partcula se mueve en un pozo de potencial, y Xa y Xb son losplintos de retomo de su movimiento (pues en ellos la partcula se detiene e invier-te su direccin). Si aumentamos la energa total al nivel E2, la pancula puede am-pliar su movimiento, de Xc a XJ. Si la energa total es mayor que EJ , la partculapuede "escapar" y alcanzar valores indefinidamente grandes de x. En el otro ex-tremo, Eo representa la energa total mnima posible que el sistema puede tener.

La funcin de energa potencial de una partcula que se mueve en el eje +x es U(x)= (0.600 N)x + (2.40 N . m 2)/x. Dnde est el punto de equilibrio? (Considere s-lo valores positivos de x.) Calcule la energa potencial en ese punto. Calcule lafuerza en ese punto.

Resumen 271

RESUMEN

El trabajo efectuado sobre una pancula poruna fuerza gravitacional constante puede re-presentarse en trminos de un cambio en laenerga potencial U - mgy. Esta energa esuna propiedad companida de la panculay la Tierra.

= V. - Vl = -liV(7.1). (7.3)

'-1O MOVllIuenw If MOVlllllenw1'- .= mi1"~j jO"

O I.=mil flUn resorte deal estirado o comprimido ejer-ce una fuerza elstica Fz - -kx sobre unapartcula, donde x es la distancia de estira-miento o compresin. El trabajo efectuadopor esta fuerza puede representarse como uncambio en la energa potencial elstica delresane, U = tb-2.

(7.10)

La energa potencial total es la suma de lasenergias potenciales gravitacional y elstica.S slo fuerzas gravitacional y elstica reali-zan trabajo sobre una partcula, la suma delas energas cintica y potencial se conserva.Esta suma, E - K + U. se denomina energamecnica total. (Vanse ejemplos 7.1. 7.3.7.4. 7.5, 7.8 Y 7.10.)

,

~h.

lli EKV~ ny = hEKU :Eny - O

Punto 2

fEKV

p;:'nrt n = 0- - --;:.;--W R'

n :m' o, , o

EKV

Si otras fuerzas adems de la gravitacional yde las fuerzas elsticas realizan trabajo sobreuna partcula, el trabajo W_ efectuado poresas otras fuerzas es igual al cambio en laenerga mecnica total (energa cinticams energa potencial total), (Vanseejemplos 7.2, 7.6, 7.7, 7,9 Y 7,11.)

Todas las fuerzas son conservativas o bien no conservativas. Una fuerza conservativa esaquella para la eualla relacin trabajo-energa cintica es totalmente reversible, El trabajode una fuerza conservativa siempre puede representarse mediante una funcin de energiapotencial. no asi el de una fuerza no conservativa.

272 CA PT U LO 7 I Energa potencial y conservacin de la energa

El trabajo realizado por fuerzas no conservativas semanifiesta como cambios en la energa interna de

los cuerpos. La suma de las energas cintica, po-tencial e interna siempre se conserva.(Vanse ejemplos 7.12 a 7. 14,)

!:J.K + AV + I::.U;", = o (7.16)

Equilibriosinestable,

u